Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen

Transcriptie

1 Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n) voorkomen. Dit in tegenstelling tot gewone differentiaalvergelijkingen die betrekking op een functie van slechts één variabele en z n gewone afgeleide(n). In het algemeen zijn partiële differentiaalvergelijkingen (veel) moeilijker op te lossen dan gewone differentiaalvergelijkingen. Veel voorkomende partiële differentiaalvergelijkingen zijn de warmtevergelijking of diffusievergelijking, de golfvergelijking en de aplace vergelijking of potentiaalvergelijking. Deze drie typen partiële differentiaalvergelijkingen zijn allemaal op te lossen met dezelfde methode : scheiden van variabelen. Bij de bestudering van partiële differentiaalvergelijkingen beperken we ons daarom tot de drie genoemde typen en de methode van scheiding (of separatie) van variabelen. Een belangrijk hulpmiddel bij het oplossen van deze partiële differentiaalvergelijkingen is de theorie van Fourierreeksen... Tweepunts randwaardeproblemen. Tot nu toe hebben we veel gekeken naar beginwaardeproblemen bestaande uit een (lineaire) differentiaalvergelijking met één of meer beginvoorwaarde(n), zoals bijvoorbeeld y + p(t)y + q(t)y = g(t), t I () y(t ) = y, y (t ) = y met t I, waarbij I een open interval is. In plaats van beginvoorwaarden kunnen we ook kijken naar zogenaamde randvoorwaarden waarbij de gezochte functie in de randpunten van een interval wordt vastgelegd, zoals bijvoorbeeld y + p(x)y + q(x)y = g(x), α < x < β () y(α) = y, y(β) = y. Dit wordt een (tweepunts) randwaardeprobleem genoemd. Deze bestaat dus uit een differentiaalvergelijking op een interval (α, β) met twee randvoorwaarden waarbij de waarden van de gezochte functie in de randpunten van het interval (α, β) worden vastgelegd. We zullen ons hierbij beperken tot lineaire differentiaalvergelijkingen. Zo n randwaardeprobleem wordt homogeen genoemd als zowel de differentiaalvergelijking homogeen is (dat wil zeggen : g(x) = voor alle x (α, β)) als de randvoorwaarden homogeen zijn (dat wil zeggen : y = en y = ). Een homogeen randwaardeprobleem is dus altijd oplosbaar, want de oplosg y(x) = voor alle x [α, β] voldoet. Dit noemt men de triviale oplosg. Er lijkt niet zoveel verschil te zitten tussen een beginwaardeprobleem van de vorm () en een randwaardeprobleem van de vorm (). We zullen zien dat het verschil juist erg groot is. We weten inmiddels dat een beginwaardeprobleem van de vorm () precies één oplosg heeft als p, q en g continu zijn op het interval I. Zie de existentie- en eenduidigheidsstelling 3.. in 3. op pagina 38. Een randwaardeprobleem van de vorm () kan geen, precies één of zelfs oneindig veel oplosgen hebben zoals de volgende voorbeelden laten zien.

2 Voorbeeld. Beschouw het randwaardeprobleem y + y =, < x < y() =, y() =. De algemene oplosg van de differentiaalvergelijking is y(x) = c x + c x. Uit y() = volgt dan dat c =. En uit y() = volgt dat c + c =. Dus : c = en c =. Er is dus precies één oplosg : y(x) = x x. Voorbeeld. Beschouw het randwaardeprobleem y + y =, < x < y() =, y() = a voor zekere a R. De algemene oplosg van de differentiaalvergelijking is nu y(x) = c x + c x. Uit y() = volgt dan dat c =. En uit y() = volgt dat c = a. Dit betekent dus dat er voor a helemaal geen oplosg bestaat. Voor a = vinden we echter alleen dat c =, terwijl c R willekeurig is. Voor a = zijn er dus oneindig veel oplosgen : y(x) = x + c x met c R. De randwaardeproblemen in bovenstaande voorbeelden zijn niet homogeen vanwege de randvoorwaarde y() =. Maar ook voor homogene randwaardeproblemen treden dergelijke verschillen op zoals blijkt uit de volgende voorbeelden. Voorbeeld 3. Beschouw het homogene randwaardeprobleem y + y =, < x < y() =, y() =. De algemene oplosg van de differentiaalvergelijking is y(x) = c x + c x. Uit y() = volgt dan dat c =. En uit y() = volgt dan dat c =. Omdat volgt hieruit dat c =. Dus : c = c =. Dit homogene randwaardeprobleem heeft dus alleen de triviale oplosg. Voorbeeld 4. Beschouw het homogene randwaardeprobleem y + y =, < x < y() =, y() =. De algemene oplosg van de differentiaalvergelijking is y(x) = c x+c x. Uit y() = volgt dan dat c =. Dus y(x) = c x. Maar dan geldt y() = voor alle waarden van

3 c R. Dit homogene randwaardeprobleem heeft dus oneindig veel oplosgen : y(x) = c x waarbij c R willekeurig is. aten we nu eens kijken naar een homogeen randwaardeprobleem van de vorm y + λy =, < x < y() =, y() =. We gaan nu onderzoeken voor welke waarden van de parameter λ R dit homogene randwaardeprobleem niet-triviale oplosgen heeft. We onderscheiden daarbij drie mogelijkheden :. λ = : y = = y(x) = a x + a. Uit y() = en y() = volgt dan dat a = a =. Voor λ = vinden we dus alleen de triviale oplosg.. λ = µ < : y µ y = = y(x) = b h µx + b h µx. Uit y() = volgt dan dat b =. Uit y() = volgt dan dat b h µ =, maar omdat h µ volgt hieruit dat ook b =. Dus ook voor λ < vinden we alleen de triviale oplosg. 3. λ = µ > : y + µ y = = y(x) = c µx + c µx. Uit y() = volgt dan dat c =. Uit y() = volgt dan dat c µ =. Als c = dan vinden we weer de triviale oplosg, maar als µ = dan is c R willekeurig te kiezen. Nu geldt : µ = voor µ = n met n =,, 3,.... Dus : µ = n met n =,, 3,... en dus λ = µ = n met n =,, 3,.... Dit noemt men de eigenwaarden van het randwaardeprobleem. De bijbehorende oplosgen y n (x) = nx met n =,, 3,... noemt men de eigenfuncties. Nog iets algemener vindt men voor y + λy =, < x < de eigenwaarden λ n = n y() =, y() = en de eigenfuncties y n (x) = ( ) met n =,, 3,.... Bij de bestudering van partiële differentiaalvergelijkingen treden vaak dergelijke randwaardeproblemen op. In hoofdstuk gaab we nog wat dieper in op dergelijke tweepunts randwaardeproblemen... Fourierreeksen. Een reeks van de vorm a + n= ( a n + b n ) (3) heet een Fourierreeks. De verzameling van punten x waarvoor deze som convergeert definieert een functe f, waarvan de functiewaarde f(x) de som van de reeks is. We noemen de reeks dan een Fourierreeks voor f. We zullen onderzoeken voor welke functies een dergelijke Fourierreeks bestaat. ater zullen we zien dat dergelijke Fourierreeksen nauw verbonden zijn 3

4 met de methode van scheiden van variabelen voor het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen. Waarom de eerste term van de reeks als a / wordt geschreven zal duidelijk worden als we formules voor de coëfficiënten gaan afleiden. Een functie f heet periodiek met periode T > als voor iedere x in het domein van f ook x + T tot dat domein behoort en f(x + T ) = f(x) voor alle x in het domein van f. De kleinste waarde van T waarvoor dit geldt wordt wel de fundamentele periode genoemd. De functies in de Fourierreeks (3) zijn elk periodiek met periode. Voor twee functies f en g gedefinieerd op een interval (α, β) kunnen we een inwendig product definiëren van de vorm < f, g > := β α f(x)g(x) dx. Twee functies noemt men dan orthogonaal als dat inwendig product nul is. Een verzameling functies heet orthogonaal als elk paar verschillende functies in die verzameling onderline orthogonaal zijn. De functies in de Fourierreeks (3) zijn allemaal gedefinieerd op het interval (, ). Deze functies vormen een orthogonale verzameling, want voor m, n,, 3,...} geldt : en mx dx =, m n, m = n, dx = voor alle m, n, m n dx =, m = n. Om deze relaties te bewijzen maken we gebruik van twee elementaire goniometrische formules, te weten : (x + y) = x y + x y en (x + y) = x y x y. Hieruit volgt dat (x + y) + (x y) = x y, waarmee de eerste relatie bewezen kan worden. Verder volgt dat (x+y)+(x y) = x y, waarmee de twee integraal uitgerekend kan worden. Zo geldt ook (x y) (x + y) = x y, waarmee de laatste integraal uitgerekend kan worden. Het bewijs van de laatste relatie vindt u in het boek op pagina 549 en pagina 55. We zullen hier de eerste relatie bewijzen. De middelste integraal berekent men op soortgelijke wijze. Voor m n geldt : = [ dx = [ (m + n)x + (m + n)x + (m + n) ] (m n)x dx (m n)x (m n)x ] =. 4

5 Voor m = n geldt : Stel nu dat = dx = [ x + dan volgt voor n =,, 3,... n + f(x) dx = a m= ] } [ dx = + ] dx = ( + ) =. ( a m m= + b m mx ), dx + a m m= + b m mx dx dx = a n. Hieruit volgt dat a n = f(x) dx voor n =,, 3,.... Evenzo vinden we dat b n = f(x) dx voor n =,, 3,.... Om a te vinden berekenen we f(x) dx = a dx + a m dx + b m mx dx = a. m= Hieruit volgt dat a = f(x) dx. Dit is gelijk aan de formule voor a n als n =. Dit is de reden van de vorm van de constante a / in de Fourierreeks. Deze formules voor de coëfficiënten a, a n en b n met n =,, 3,... worden de Euler-Fourier formules genoemd..3. De stelling van Fourier. Zonder bewijs vermelden we hier de convergentiestelling van Fourier : Stelling. Als f en f stuksgewijs continu zijn op een interval [, ) en f wordt buiten dat interval periodiek voortgezet met periode, dan is de Fourierreeks voor f : met a = a n = f(x) dx, + n= ( a n m= + b n ) f(x) dx en b n = f(x) dx, n =,, 3,.... Deze Fourierreeks convergeert voor alle x naar f(x+) + f(x ) met f(x+) = lim t x f(t) en f(x ) = lim t x f(t). 5

6 De uitdrukking [f(x+) + f(x )]/ is het gemiddelde van de linker- en de rechterlimiet van f in het punt x. Als f continu is in dat punt x, dan is dus f(x+) = f(x ) = f(x) en nadert de Fourierreeks dus gewoon naar f(x). Maar als f discontinu is in x, dan convergeert de Fourierreeks dus naar het gemiddelde van de linker- en de rechterlimiet van f in dat punt x. We besluiten met enkele voorbeelden : Voorbeeld 5. Stel f(x) = x voor x <. Dan geldt = en volgt : met a = + (a n nx + b n nx) n= f(x) dx = x dx = x =, en a n = f(x) nx dx = = n x nx n b n = f(x) nx dx = = n x nx + n x nx dx = x d nx n nx dx = + n nx =, n =,, 3,... = n n = n ( )n+, n =,, 3,.... De Fourierreeks voor f is dus f(x) = x nx dx = x d nx n nx dx = n n n ( ) n+ nx. n n= n + n nx Voor x = is de reeks gelijk aan nul en ook f() =. Voor x = is de reeks echter ook gelijk aan nul. Als we f periodiek voortzetten met periode =, dan is f discontinu in x = en geldt dat f(+) = en f( ) =. Het gemiddelde van deze twee waarden is inderdaad gelijk aan nul. Voor x = / moet de som van de reeks volgens de stelling van Fourier gelijk zijn aan f(/) = /. Hieruit volgt dus dat = n= ( ) n+ n n. Nu is n = als n even is. Voor oneven n, zeg n = k + geldt (k + ) = (k + ) = ( )k, k =,,,.... 6

7 Dus : Hieruit volgt dat = k= ( ) k+ k + ( )k = k= = k= ( ) k k +. ( ) k k + = 4. Voorbeeld 6. Beschouw de functie f gedefinieerd door, x < f(x) =, x <. Dan geldt = en volgt : met en a n = + (a n + b n ) a = f(x) dx = n= f(x) dx = dx =, dx = n =, n =,, 3,... b n = f(x) dx = dx = n = [ n] = n n [ ( )n ], n =,, 3,.... De Fourierreeks voor f is dus f(x) = + ( ) n = n + n= k= (k + )x. k + Voor x = is de som van de reeks gelijk aan /, het gemiddelde van f(+) = en f( ) =. Voor x = / vinden we = f(/) = + k + (k + )x = + ( ) k ( ) k = k + k + = 4. k= k= k= Dit laatste resultaat kan ook verkregen worden door in de Taylorreeks van arctan x, arctan x = x 3 x3 + 5 x5 ( ) k x k+ 7 x =, x, k + x = te substitueren : k= = ( ) k k + = arctan = 4. k= 7