ax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2

Transcriptie

1 Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering zo helder mogelijk.. (a) Bepaal de integraal (b) Bepaal of de oneigenlijke integralen dx con- x x + 3 vergent of divergent zijn. dx door middel van partieel breuksplitsen. x x + 3 dx en x x + 3 (c) Voor welke waarde(s) van a R is de oneigenlijke integraal ax + dx con- x x + 3 vergent?. Bepaal van de volgende reeksen het convergentiegedrag: n= ( ) n n n (n!) n, n=3 n ln(n) ln(ln(n)), n= ( ) n 3 n 3. De oplossing van x dy dx (x) + y(x) = ex, y() = is x e t x (a) y(x) = x t dt + (c) y(x) = e x e t +t dt + (b) y(x) = ex + e x (d) y(x) = e x e t +t dt + x. (a) Bepaal de lengte van de grafiek van de functie f(x) = cosh(x) voor x [, ]. (b) Bepaal de oppervlakte van het omwentelingslichaam rond de x-as van f(x) = x over het interval [, ]. 5. Beschouw de differentiaalvergelijking y (x) + y (x) + 5y(x) = f(x). (a) Los de homogene differentiaalvergelijking (d.w.z. met f(x) = ) op. (b) Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking in het geval f(x) = e x. Deze vraag is meerkeuze. U hoeft uw antwoord niet te motiveren.

2 Tentamen Calculus NWI-NPB 6. Beschouw de machtreeks ( ) n x n+ (n + )(n + ). (a) Bepaal de convergentiestraal R van de machtreeks. (b) Bepaal het convergentiegedrag van de machtreeks in de eindpunten x = R en x = R (onder de aanname dat de convergentiestraal eindig is). (c) Geef een expliciete uitdrukking voor de functie op het convergentieinterval ( R, R). (Hint. Differentieer de machtreeks tweemaal.) (d) Geef de waarde van de machtreeks in de punten R en R voorzover de machtreeks daar convergent is. 7. De separabele differentiaalvergelijking dp (t) = kp (t)(m P (t)) modelleert een populatie waarbij de geboorte(groei)factor k > is, maar waarbij de omgeving slechts een dt populatie van M (groot en positief) van voedsel en leefruimte kan voorzien. (a) Zijn er populaties mogelijk die constant zijn (in de tijd t)? (b) Los deze vergelijking op met de beginvoorwaarde P () = P. (c) Wat is lim t P (t)? 8. Bepaal de limiet lim x x sin(x) x cos(x) met behulp van Taylorreeksen. 9. Beschouw de differentiaalvergelijking x( x)y (x) + ( 3x)y (x) y(x) = (a) Stel y(x) = a nx n is een oplossing. Bepaal een recurrente betrekking voor de coëfficiënten a n. (b) Bepaal de convergentiestraal voor de oplossing die u bij (a) heeft gevonden. (c) Veronderstel dat b nx n+r, b, een andere oplossing is van de differentiaalvergelijking. Bepaal r. (d) Bepaal een recurrente betrekking voor de coëfficiënten b n voor r als in (c). (e) Wat is de convergentiestraal van de machtreeks b nx n? Normering Opgave Gratis Totaal Punten Het tentamencijfer T is de gebruikelijke afronding van het totaal aantal behaalde punten gedeeld door Voor deze opgave scoort u minimaal H 5/ punten, mits uw gemiddelde huiswerkcijfer H 6. is.

3 Tentamen Calculus NWI-NPB 3 Opgave. (a) Merk op dat x x + 3 = (x )(x 3), en dus kunnen we door partieel breuksplitsen integreren. Bepaal A en B in x x + 3 = A x + B x 3 door uit te vermenigvuldigen = A(x 3) + B(x ) = (A + B)x 3A B. Dus A + B = en 3A B =. Dat geeft A =, B =, en dus x x + 3 dx = x + x 3 dx = ( ) x 3 ln x + ln x 3 + C = ln + C x (b) Merk op dat de singulariteit bij is, en daar gedraagt de integrand zich als is deze integraal divergent. (Op een andere manier kun je dat zien door lim a a dx = ln x x + 3 en deze limiet bestaat niet.) Bekijk nu N lim N dx = lim x x + 3 ln N en dus is deze integraal convergent. ( ) 3 ln ( ) N 3 ln N ( ) a 3 a x, en dus ( ) = ln() + ln(3) = ln(3) 3 (c) Het geval a = hebben we boven gedaan. Voor a vinden we dat voor x de functie ax + x x + 3 a x en deze geeft een divergente oneigenlijke integraal op [, ). Dus de integraal is alleen convergent voor a =. Opgave. Pas het wortelkenmerk toe, en dan ( ) n n n n n n = = (n!) n n! n (n )! n

4 Tentamen Calculus NWI-NPB en dus is de reeks absoluut convergent. (Alternatief: het quotiëntenkenmerk kan ook worden gebruikt door (n+) n+ ( + )n + n n ( )n+ ((n+)!) n+ ( ) n n n (n!) n = = (n + ) n+ (n!) n = nn ((n + )!) n+ ( + n )n + n n! (n + ) n n n! (n + ) n+ want de teller gaat naar e en is dus begrensd, en de noemer gaat naar. NB Het is ook mogelijk deze reeks met een geschikte meetkundige reeks te vergelijken.) Pas het integraalkenmerk toe, zodat we (voor n voldoende groot, en dat is 3) moeten vergelijken met de convergentie van de integraal (en merk op dat f(x) = inderdaad x ln(x) ln(ln(x)) positief en monotoon dalend is op [3, )) 3 x ln(x) ln(ln(x)) dx = ln(3) u ln(u) du = ln ln(3) t dt (door successieve substitutie ln(x) = u en ln(u) = t) en deze integraal is divergent. Dus de reeks is divergent. Merk op dat ( ) n n= 3 n een alternerende reeks is. Stel a n = 3 n, dan is a n >, a n+ a n en lim n a n =. Volgens het kenmerk voor alternerende reeksen is deze reeks convergent. De reeks is niet absoluut convergent, want n= 3 n = n= n /3 is divergent ( of via het integraalkenmerk). Dus de reeks is voorwaardelijk convergent. 3 Opgave 3. Het juiste antwoord is y(x) = ex + e. x Immers, x dy (x) + y(x) = dx ex kun je schrijven als (xy(x)) = e x, ofwel de integrerende factor is triviaal, en dus en y() = geeft C = e. Opgave. xy(x) = e x + C = y(x) = ex + C x (a) Als f(x) = cosh(x), dan f (x) = sinh(x). De gevraagde lengte is dan L = + (f (x)) dx = + (sinh(x)) dx = sinh(x) = sinh() sinh() = e e. cosh (x) dx = cosh(x) dx =

5 Tentamen Calculus NWI-NPB 5 (b) Stel f(x) = x, dan f (x) = x, en het oppervlak is dan x Opp = π f(x) + (f (x)) dx = π x + x x dx = π x + x dx = π = π (Het al dan niet meenemen van de zijkanten wordt niet beoordeeld.) Opgave 5. (a) Bekijk de bijbehorende karakteristieke vergelijking; = r + r + 5 = (r + ) + = r = ± i zodat we de algemene oplossing krijgen y(x) = A e x cos(x) + A e x sin(x), A, A R. (b) Aangezien f(x) (als exponentiële functie) niet bevat is in de oplossing van de homogene vergelijking, proberen we als particuliere oplossing y(x) = Ae x, en dan y (x) = Ae x, y (x) = Ae x. Invullen geeft Ae x 8Ae x + 5Ae x = Ae x en dit moet gelijk zijn aan e x, dus neem A =. Dus de algemene oplossing is Opgave 6. y(x) = e x + A e x cos(x) + A e x sin(x), A, A R. (a) Gebruik het quotiëntenkenmerk ( ) n+ x n+3 (n+)(n+3) ( ) n x n+ (n+)(n+) = x (n + ) (n + 3) x, n dus als x < (ofwel x < ), dan convergeert de reeks absoluut, en de reeks divergeert voor x > (ofwel x > ). Dus R =. (Alternatief: het wortelkenmerk kan ook toegepast worden.) (b) Voor x = wordt de reeks ( ) n (n + )(n + ) en de reeks (n+)(n+) ( ) n, en deze is absoluut convergent. Immers, (n+)(n+) (n + ) = (n+) is convergent. Voor x = n en deze is absoluut convergent. wordt de reeks

6 Tentamen Calculus NWI-NPB 6 (c) Differentieer de reeks tweemaal termsgewijs, dan krijgen we ( ) n x n (n + )(n + ) (n + )(n + ) = ( x) n = + x door gebruik te maken van de meetkundige reeks. Door dan twee keer te integreren krijgen we dat de machtreeks overeen moet stemmen met + x dx = ln( + x) + C, = ln( + x) + C dx = ( + x) ln( + x) met C en D constantes. We vinden dus = ( + x) ln( + x) x + D + Cx ( + x) dx + Cx + x ( + x) ln( + x) x + D + Cx = ( ) n x n+ (n + )(n + ) Neem eerst x =, zodat D =. Neem vervolgens aan beide zijden de afgeleide, en neem x = om te vinden ( ln( + x) + ) x= + C =. Dus ook C = en we vinden (d) We vullen x = in; ( + x) ln( + x) x = ( ) n x n+ (n + )(n + ). ( ) n ( (n + )(n + ) = ( + x) ln( + x) ) x x= We vullen x = in; ( (n + )(n + ) = ( + x) ln( + x) ) x x= (door gebruik te maken van lim x x ln(x) =.) (Alternatief: Door gebruik te maken van (n + )(n + ) = n + n + = ln() = (ln() ) =

7 Tentamen Calculus NWI-NPB 7 zien we dat en N (n + )(n + ) = N ( ) n (n + )(n + ) = ( want ( ) n = ln(). (n+) Opgave 7. n + n + = ( N + ), ( ) n (n + ) + N ( ) n+ ) = (ln() + ln() ) (n + ) (a) Dit gebeurt als dp =, dus als P = of P = M. Dus de constante oplossingen zijn dt P (t) = (geen populatie) of P (t) = M voor alle t. (b) Gebruik dat de differentiaalvergelijking separabel is; dp (t) = k = P (t)(m P (t)) dt P (M P ) dp = k dt = M P + dp = kt + C = M P ( ln P ln M P ) = kt + C = M ( P ) ln = kmt + C = M P P (t) M P (t) = CekMt = P (t) = Ce kmt (M P (t)) = P (t) + Ce kmt P (t) = CMe kmt = P (t) = CMekMt + Ce kmt (hierin zijn de C s generieke, mogelijk verschillende constantes) en dan is P () = CM P ofwel C = P M P (en dit is goed gedefinieerd tenzij P = M, en dan is de oplossing P (t) = M voor alle t, zie (a)). Dus de oplossing is P (t) = en dit is ook gedefinieerd voor P = M. P Me kmt M P + P e kmt +C =

8 Tentamen Calculus NWI-NPB 8 (Alternatief: stel Q(t) = P (t), dan dq dt (t) = dp P (t) dt (t) = km k P (t)(m P (t)) = k P (t) P (t) = k km Q(t) en dit is een lineaire eerste orde differentiaalvergelijking. Zoek een integrerende factor Q (t) + kmq(t) = k = i(t) Q (t) + i(t) kmq(t) = ki(t) = dus nodig i(t) km = i (t) = i(t) = e kmt. Dan wordt de differentiaalvergelijking ( e kmt Q(t) ) = ke kmt Q(t) = M + Ce kmt = P (t) = en dit is dezelfde oplossing.) (c) Nu is voor P > P (t) = = e kmt Q(t) = M ekmt + C = P M (M P )e kmt + P P M P als t. Als P =, dan lim t P (t) = lim t =. Dit is ook te zien aan de schets van het richtingenveld. + = M M Ce kmt + CMe kmt = M Figuur : Richtingenveld, k =., M = voor opgave 7. (Dus uiteindelijk zal de populatie stabiel worden bij het maximale quotum tenzij er geen populatie is.)

9 Tentamen Calculus NWI-NPB 9 Opgave 8. Herschrijf met behulp van Taylorreeksen x sin(x) x cos(x) = x cos(x) x sin(x) x 3 sin(x) cos(x) x cos(x) sin(x) = x sin(x) x( x + x + ) (x 6 x3 + x5 + ) x ( x + 6 x + ( 6 )x3 + x (x 8 6 x3 + ) Teller en noemer delen door x 3 en dan limiet nemen voor x geeft Opgave 9. (a) Vul in y(x) = lim x x sin(x) x cos(x) = ) ( 6 a n x n, y (x) = dat geeft = n(n )a n x n = = n= n(n + )a n+ x n n= n(n + )a n+ x n = 3 na n x n, y (x) = n= n(n )a n x n + n= n(n )a n x n + n= n(n )a n x n + n= = = n(n )a n x n n= na n x n 3 na n x n n= a n x n = (n + )a n+ x n 3 na n x n n= (n + )a n+ x n 3 na n x n a n x n = a n x n door de sommaties te verschuiven, en dan de sommaties aan te passen (alle termen die daarmee overeenstemmen zijn toch ). Dit geeft de recurrente betrekking door de coëfficiënten van x n nul te stellen; = n(n + )a n+ n(n )a n + (n + )a n+ 3na n a n = n(n + )a n+ + (n + )a n+ = n(n )a n + 3na n + a n = (n + )(n + )a n+ = (n + n + )a n = (n + )(n + )a n+ = (n + ) a n = (n + )a n+ = (n + )a n = a n+ = (n + ) (n + )a n

10 Tentamen Calculus NWI-NPB voor elke n N. (b) Gebruik het quotiëntenkenmerk: a n+ x n+ = x a n+ (n + ) = x a n x n a n (n + ) x, n dus de convergentiestraal is. (c) Vul in y(x) = b n x n+r, y (x) = (n + r)b n x n+r, y (x) = dat geeft = (n + r)(n + r )b n x n+r = b r(r )x r + 3 (n + r)(n + r )b n x n+r (n + r)(n + r )b n x n+r + (n + r)b n x n+r b n x n+r = (n + + r)(n + r)b n+ x n+r (n + r)b n x n+r (n + r)(n + r )b n x n+r + b rx r + (n + + r)b n+ x n+r 3 (n + r)b n x n+r b n x n+r. Alle machten van x moeten coëfficiënten gelijk aan hebben. In het bijzonder die van x r ; = b r(r ) + b r = b r(r ) omdat b volgt r = (hetgeen leidt tot de machtreeksoplossing van (a)) of r =. Dus r =. (d) Met de keuze r = moeten ook de coëfficiënten van de machten van xn+ zijn aan, dat geeft (n N) gelijk = (n + 3 )(n + )b n+ (n + )(n )b n + (n + 3 )b n+ 3(n + )b n b n = (n + 3 )(n + )b n+ = ( (n + )(n ) + 3(n + ) + ) b n = (n + 3 )(n + )b n+ = ( n + 3 ) bn = (n + )b n+ = (n + 3 )b n

11 Tentamen Calculus NWI-NPB (e) Gebruik het quotiëntenkenmerk: b n+ x n+ b n x n dus de convergentiestraal is. = x b n+ (n + 3) = x b n (n + ) x, n (Conclusie: we hebben twee verschillende oplossingen van deze differentiaalvergelijking gevonden. )