4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a a n = k=1

Transcriptie

1 Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-0 Reesen en Machtreesen Inhoud. Rijen 2. Reesen Definities en enmeren Reesen met niet-negatieve termen Reesen met positieve en negatieve termen 3. Machtreesen 4. Rijen Herhaling: Rij (a n ) convergeert naar L indien ε > 0 : n 0 : n n 0 : a n L < ε. Frequent vooromende rijen: a, a + v, a + 2v,..., a + (n )v,... is een reenundige rij met verschil v. a 0, a 0 r, a 0 r 2,..., a 0 r n,... is een meetundige rij met rede r., 2, 3,..., n,... is de harmonische rij., 2 p, 3 p,..., n p,... is de hyperharmonische rij. Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-2 Reesen Zij ( ) een rij van reële (of complexe) getallen. Dan is een oneindige rees of ortweg rees. Sommatie-index an oo bij 0 beginnen, of bij eender wel geheel getal. De som s n = a + a a n = van de eerste n getallen van de rij ( ) is de n-de partieelsom van de rees. De partieelsommen s, s 2, s 3,..., s n,... vormen een rij (s n ). Convergentie van een rees Als de rij (s n ) convergeert met iet s, dan is de rees convergent en = n Anders is de rees divergent. = s. Convergentie van een rij, toegepast op de rij van partieelsommen (s n ): ε > 0 : n 0 N : n n 0 : s < ε Equivalent: ε > 0 : n 0 N : n n 0 : =n+ < ε

2 Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-4 Reenregels voor convergente reesen c = c ( + ) = ( ) = + ( + ) is de som van de twee reesen en. Product van convergente reesen Er is geen reenregel voor het product van twee convergente reesen = n (a + + a n )(b + + b n ) is NIET GELIJK aan = n (a b + a 2 b a n b n ) Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-6 Nodige voorwaarde voor convergentie Indien de rees convergent is, dan n a n = 0, maar het omgeeerde geldt niet. Als de rees convergent is, dan convergeert de rij (s n ) van partieelsommen. De rij (s n ) convergeert oo met dezelfde iet. Omdat a n = s n s n geldt vanwege reenregels voor ieten van rijen n a n = n s n n s n = 0. Harmonische rees is de harmonische rees. De termen van de rees vormen een rij die naar 0 convergeert, maar... de harmonische rees is divergent. De partieelsommen worden willeeurig groot: } {{ 4} } {{ 8} > 2 > 2 Dus s n > de harmonische rees } {{ } > 2 is divergent! +

3 Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-8 Meetundige rees De meetundige rees z convergeert als z < =0 en divergeert als z. De termen van de rees zijn z. Er geldt z = 0 als en slechts als z <. Als z dan gaan de termen van de rees niet naar nul, en dan zal de rees divergeren. Meetundige rees voor z < Wat gebeurt er als z <? De termen van de rees gaan dan naar nul, maar daaruit mogen we NIET concluderen dat de rees convergent is. Bereen de partieelsom s n = + z+ z z n zs n = z+ z z n +z n+ s n zs n = z n+ = z n+ Dus s n ( z) = z n+ oftewel s n = zn+ z als z. Als n en z <, dan z n+ 0, zodat n s n = z. Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-0 Meetundige rees (conclusie) De meetundige rees z =0 Partieelsommen zijn exact uit te reenen s n = =0 z = zn+ z als z. Meetundige rees is convergent als z < en de som van de rees is =0 z = z als z <. Meetundige rees is divergent als z. Geldig voor reële z maar oo voor complexe z. Reesen met niet-negatieve termen Als alle reëel en 0 zijn, dan vormen de par- tieelsommen s n = n een stijgende rij. Dan zijn er twee mogelijheden De rij (s n ) is niet naar boven begrensd. Dan n s n = + en de rees divergeert naar oneindig. De rij (s n ) is naar boven begrensd. Dan bestaat n s n = s R en de rees is convergent. Indien de rij ( ) bestaat uit niet-negatieve reële getallen dan convergeert de rees als en slechts als de rij van de partieelsommen naar boven begrensd is.

4 Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-2 n s Grafische voorstelling van de partieelsommen van een convergerende rees met enel niet-negatieve termen n Vergelijingstest STELLING 4.4 Neem aan dat ( ) en ( ) twee nietnegatieve rijen zijn waarvoor geldt Indien = O( ) als. convergent is, dan is convergent. Herinner u: = O( ) eveneens beteent dat er een M 0 en een 0 N is met M voor alle 0. Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-4 Bewijs: Er geldt M als 0. Dus als n 0, 0 s n = = M = 0 = 0 M + M is een vast reëel getal en alle partieelsommen s n blijven onder dit getal. Omdat de termen van de rees niet-negatief zijn, volgt hieruit dat de rees convergeert. Is 2 convergent? Beij eerst (+). Mer op s n = = (+) = ( ) + ( ) ( = n + Duidelij is Bijgevolg is n s n =. +. Dus partieelsom ) ( + + n ) ( + n n ) n + (telescoopsom) (+) convergent.

5 Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-6 Is 2 convergent? Vergelij met (+). Stel = 2 en = (+). Er geldt = O( ) als. Omdat convergeert, convergeert oo. =0 =0 Limiet-vergelijingstest Neem aan dat de iet a b bestaat. Dan is de rij ( ) zeer naar boven begrensd, zeg M voor ele. Dan volgt M en dus = O( ). STELLING Neem aan dat ( ) en ( ) twee niet-negatieve rijen zijn waarvoor geldt Indien convergent. = L <. convergent is, dan is eveneens Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-8 Vergelijingstest STELLING 4.5 Neem aan dat ( ) en ( ) twee nietnegatieve rijen zijn waarvoor geldt Als = O( ) als. divergent is, dan is oo divergent. Bewijs: Dit is in feite dezelfde stelling als de voorgaande. Het bewijs volgt eenvoudig uit het ongerijmde. Als de rees convergent zou zijn, dan onden we de vorige stelling toepassen, en dan zou er volgen dat de rees convergent is. Limiet-vergelijingstest Indien ( ) en ( ) twee rijen van niet-negatieve getallen zijn waarvoor geldt dat + = L bestaat en 0 < L < +, dan is is convergent Uit (*) volgt namelij zowel ( ) = O( ) als = O( ). is convergent.

6 Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-20 De rees is divergent Vergelij met harmonische rees. Neem = Dan Er geldt en =. = = a = Omdat de harmonische rees divergent is, volgt dat de rees oo divergeert. Verhoudingstest (test van D Alembert) STELLING 4.6 Neem aan dat > 0. Indien 0 N en r < bestaan met dan is de rees 0 : + r ( ) Indien 0 N bestaat met convergent. 0 : + ( ) dan is de rees divergent. Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-22 Bewijs van tweede deel Neem aan 0 : + ( ) Het tweede gedeelte van de stelling is eenvoudig. Als ( ) geldt, dan is de rij ( ) stijgend vanaf index = 0 en ze zal dan zeer niet naar 0 convergeren. Omdat de termen van de rees niet naar 0 gaan, is de rees divergent. Bewijs van eerst deel Neem aan dat voor 0 geldt + r < ( ) De ongelijheid ( ) unnen we oo schrijven als + r + r. De rij ( r ) is bijgevolg dalend vanaf = 0 en daarom zeer naar boven begrensd. Dit beteent dat = O(r ) voor. Meetundige rees r convergeert want r <. Uit de vergelijingstest volgt dat oo convergent is.

7 Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-24 Gevolg Als > 0 en de iet + = L ( ) bestaat, dan geldt voor de rees L < = de rees is convergent, L > = de rees is divergent, L = = geen uitspraa. Bewijs voor L < Als > 0 en de iet bestaat, dan geldt + = L ( ) L < = de rees is convergent, Als L < dan nemen we r ]L, [. Uit ( ) volgt dat voor groot genoeg zeer geldt dat + r. Uit de verhoudingstest volgt dat de rees convergeert. Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-24 Bewijs voor L > Als > 0 en de iet bestaat, dan geldt + = L ( ) L > = de rees is divergent, L = Als > 0 en de iet bestaat, dan geldt L = = geen uitspraa. + = L ( ) Als L > dan volgt uit ( ) dat voor groot genoeg zeer geldt dat +. Uit de verhoudingstest volgt dan dat de rees divergent is. Twee voorbeelden De rees aan ( ) met L =. De rees ( ) met L =. 2 is convergent en = 2 voldoet is divergent en = voldoet aan

8 Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-25 Voorbeeld: Als = 3 Bijgevolg is De rees dan geldt Omdat < is de rees 3 3 is convergent: + = = + 3 a + = = 3 3 is convergent Wortelenmer (test van Cauchy) STELLING 4.8 Neem aan dat 0 en L = sup a. L < = de rees L > = de rees convergeert L = = geen uitspraa Geval L > Neem aan L = sup divergeert a >. Omdat L > geldt dat > voor oneindig veel. Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-27 Dus > voor oneindig veel en dan an de rij ( ) niet naar nul convergeren. De rees is dan divergent. Geval L < Neem aan Kies r ]L, [. L = sup a <. Omdat L = sup < r is er een 0 zodanig dat voor ele 0 geldt a < r. Geval L = Beden zelf twee voorbeelden. Geef een voorbeeld van een convergente rees met sup =. Geef oo een voorbeeld van een divergente rees met sup =. U mag gebruien dat =. Dit beteent < r als 0, zodat = O(r ) als. Uit de vergelijingstest volgt dat de rees convergeert.

9 Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-29 Reesen met positieve en negatieve termen De rees rees convergent is. is absoluut convergent indien de ( ) De rees ( ) is een rees met niet-negatieve termen. We unnen convergentie van ( ) bestuderen met voorgaande stellingen. De getallen mogen oo complex zijn. STELLING 4.9: Een absoluut convergente rees is convergent. Neem aan dat reëel zijn. convergeert en dat alle Verbind met ele term twee getallen: a + = max(, 0) en a = min(, 0) Dan a + 0, a 0 en = a + a. Tevens geldt 0 a + en 0 a. Omdat convergent is, convergeren daarom a + en Dan is oo a oo. = (vanwege vergelijingstest) a + a convergent. Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-3 Absoluut convergente rees is convergent Stelling is bewezen als de termen reëel zijn. Voor complexe geldt Re en Im. convergeert, dan zijn (vanwege de Als nu vergelijingstest) Re en Im absoluut convergent, en dus convergent. Dan convergeert oo = Re + Im Relatieve convergentie convergent = convergent. De omering geldt niet. Er zijn convergente reesen die niet absoluut convergent. Zule reesen noemen we relatief convergent. Voorbeeld?

10 Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-33 Alternerende reesen Een rij ( ) met reële termen is alternerend als de elementen afwisselend positief en negatief zijn. Een rees is een alternerende rees of wis- selrees als de rij ( ) alternerend is. Kenmer van Leibniz Neem aan ( ) is een alternerende rij. + voor alle. = 0. Dan is de alternerende rees convergent. Bewijs slaan we over... Reesen en Machtreesen 4-35 De alternerende harmonische rees ( ) is de alternerende harmonische rees. Er geldt = ( ). ( ) is duidelij een alternerende rij en de rij van absolute waarden daalt naar nul. Volgens het enmer van Leibniz convergeert de rees. Maar... de rees is niet absoluut convergent. De alternerende harmonische rees is convergent, maar niet absoluut convergent.