Opgaven Bewijzen en Inductie 1 mei 2019, Datastructuren, Werkcollege.

Transcriptie

1 Opgaven Bewijzen en Inductie mei 09, Datastructuren, Wercollege. Gebrui deze opgaven, naast die uit het boe, om de stof te oefenen op het wercollege. Cijfer: Op een toets rijg je meestal zes tot acht opgaven.. Oneven getallen: Formuleer met en bewijs met inductie: De eerste n oneven getallen zijn samen n. Oplossing: Het eerste oneven getal is, het tweede, enzovoorts, in formule: het i de oneven getal is i. De stelling luidt dus: n : n i (i n. Bewijs: Met inductie naar n. n 0: De LHS is een som over 0 getallen dus uitomst 0. De RHS is 0 dus oo 0, er geldt dus gelijheid. n+: De IH is n i (i n en Tb is n+ i (i (n+. Leid af: n+ i (i (n + + n i (i + (n + + n (n +. Eerste stap: afslitsen term n +. Tweede stap: IH toepassen op som. Derde stap: Omschrijven.. Som van wadraten: Bewijs dat n i i(i (n n(n +. Oplossing: Gebrui inductie naar n. Voor n 0 zijn LHS en RHS gelij aan 0. Voor n +, stel (IH dat n i i(i (n n(n + geldt, dan n+ i i(i (n + n + n i i(i Afsplitsen van term (n + n + (n n(n + Gebrui IH ((n + n + (n n(n + Maa factor gelij (n + n(n + Combineer termen n(n + (n + Factor naar achteren (n + (n + (n + + Herschrijf Waarom Maa factor gelij? Na het gebrui IH heb i twee termen, die beide de gemeenschappelije factor (n + n bevatten. De tweede heeft oo nog (n ervoor staan. Door de eerste met te vermenigvuldigen, zorg i dat ze oo de gemeen hebben, waarna i de van de eerste term bij de n van de tweede an treen (reenregeltje Distributie AC + BC (A + BC. In de inductiestap ben i meteen begonnen met bewijzen, zonder expliciet op te schrijven wat i moet bewijzen. Wordt het daar veel duidelijer van?

2 . Harmonische sommatie: Bewijs dat voor alle n geldt n (+ n. n+ Oplossing: Gebrui inductie naar n. Voor n zijn LHS en RHS beide /, dus zeer gelij aan elaar. Voor n + geldt dan n+ n (+ + (+ (n+(n+ n + n+ (n+(n+ n(n+ + (n+(n+ (n+(n+ n(n++ (n+(n+ Afsplitsen IH Noemers gelij maen Tellers optellen (n+(n+ (n+(n+ n+ n+ Herschrijven, uitdelen 4. Som van Faculteiten: Bewijs dat voor ele n:! +! n (n! (n +!. Oplossing: Dit is te bewijzen met inductie naar n. Voor n 0 is de LHS een lege som, dus uitomst 0. En de RHS is! is oo 0, dus er geldt gelijheid. Gebrui nu!+!+...+n (n! (n+! als InductieHypothese om de stelling voor n+ te bewijzen. Wat je moet bewijzen is dan:!+!+...+n (n!+(n+(n+! (n +!. Begin met de eerste n termen van de LHS te herschrijven met de IH:!+!+...+n (n!+(n+(n+! (n+! +(n+(n+! (n+(n+!, het laatste door de twee veelvouden van (n +! samen te voegen. Je unt natuurlij oo als IH de bewering P (n opstellen en van daaruit P (n bewijzen. Wijs erop dat het verstandig is, in dat geval de IH uit te schrijven! En dus niet beginnen met Stel dat het geldt voor n.

3 5. Even getallen: Beden een formule voor de som van de eerste n positieve even getallen en bewijs de juistheid met inductie. Oplossing: Het de positieve even getal is dus wat je hier in feite moet oplossen is n. Voor n gelij aan,,, 4 en 5 vind i, 6,, 0 en 0. Hee, da s toevallig, ele uitomst is het product van twee opeenvolgende getallen, namelij n(n +. I vermoed meteen de formule n n(n +. Deze formule is inderdaad juist, wat we unnen bewijzen met inductie. Voor n 0 zijn de LHS en RHS beide 0 dus geldt gelijheid. Neem voor n + als IH aan n n(n + om te gaan bewijzen dat n+ (n + (n +. Dan n+ n + (n + Afsplitsen laatste term n(n + + (n + Ind. Hyp. (n + (n + Samenvoegen Het samenvoegen gebruit het Distributieprincipe AC + BC (A + BC voor de C is (n +. Je rijgt dan als (A + B de factor (n + die i er oo achter mag schrijven wegens Commutativiteit van Vermenigvuldiging. Hoe om je aan het Te bewijzen deel in je inductiestap? In de stelling vervang je n door n + overal waar die vooromt. 6. Drievoud: Bewijs met inductie naar n dat voor ele positieve n, n + n een drievoud is. Oplossing: Omdat alleen over positieve n gesproen wordt mag je de inductie met n beginnen, maar voor n 0 geldt t oo al. Voor n is n + n gelij aan, wat inderdaad een drievoud is. Voor n+ nemen we aan dat n +n een drievoud is en gaan bewijzen dat (n+ +(n+ een drievoud is. Herschrijf (n + + (n + (n + n + n + + (n + (n + n + (n + n +, dus: n + n plus drie eer iets. Volgens de IH is n + n een drievoud, daar driemaal iets bijtellen geeft weer een drievoud. Je unt dit nog iets mooier maen door de eigenschap drievoud expliciet te maen met een wantor: drievoud(n : : n. Voor n + leid je dan na Exists-eliminatie een + (n + n + af, waarna je met exists-introductie weer op de drievoud-expressie uitomt.

4 ( n 7. Driehoe van Pascal: De binomiaalcoëfficient ( n de ncr-nop, is gedefinieerd als n!.!(n! Bewijs dat voor 0 < < n geldt dat ( n ( n, op je reenmachine te vinden met + ( n Oplossing: Hier is geen inductie nodig. Het best begin je aan die ant van de formule die er het ingewieldst uitziet, dus hier de RHS. ( n + ( n (n! + (n!!(n! (!(n (! (n! + (n!!(n! (!(n! (n!(n +!(n!(n (n!(n!(n! + (n!!(n! (n!(n +(n!!(n! (n!n n! (!(n!!(n! n (n! (!(n!. Def x toepassen Vereenvoudig Noemers gelijmaen Factor binnen! treen Tellers optellen Vereenvoudig Definitie Hoe maa i die noemers zo mooi gelij? Basisidee voor optellen van breuen is dat je de noemers gelij maat door ele breu boven en onder te vermenigvuldigen met de noemer van de andere (Reenregel A + C AD + CB AD+CB. Maar hier an het een tieltje B D BD BD BD simpeler omdat de noemers al veel gemeenschappelije factoren bevatten. De linernoemer heeft! en de rechternoemer heeft (!, wat i aan elaar gelij maa door alleen de rechterbreu boven en onder met te vermenigvuldigen: in de noemer rijgt (! de extra dus wordt!, en in de teller zie je de erbij staan op de volgende regel. Tegelij vermenigvuldig i de linerbreu boven en onder met (n om daar de (n! in de noemer om te toveren naar een (n!. Op de derde regel zijn de noemers al gelij maar staan die factoren nog apart genoemd, op de vierde regel heb i ze binnen de! getroen zodat de noemers er oo hetzelfde uitzien.

5 8. Paren: Bewijs met inductie naar n dat een verzameling met n elementen, precies n(n deelverzamelingen van grootte heeft. Oplossing: Noem een deelverzameling van grootte een paar. Gebrui inductie naar n (zoals gevraagd en begin met n. Een verzameling met elementen heeft deelverzameling van grootte (namelij zichzelf. Er geldt inderdaad dat (. Stel dat (IndHyp een verzameling met n elementen, precies n(n paren bevat. We moeten hieruit bewijzen dat een verzameling met n + elementen precies (n + (n paren bevat. Stel A heeft n + elementen; wijs een willeeurig element x aan en schrijf A A +x, waar A een verzameling van n elementen is. Beden dat A paren bevat zonder x en paren met x. Het aantal paren zonder x is gewoon het aantal paren in A en omdat A omvang n heeft, weten we (Ind.Hyp. dat dit precies n(n paren zijn. Een paar met x bevat x en een element uit A, en dit an natuurlij op precies n manieren. Het aantal paren in A is dus precies n(n (paren zonder x plus n (paren met x, dus (n + (n. 9. Kennisclip Inductie: Beij op de ennisclip van Tomas over Inductie. Bewijs n 5 : n > n. Oplossing:

6 0. Celebrity: Een bezoeer van een feestje is een celebrity als hij niemand dan zichzelf ent en door alle anderen geend wordt. (a Heeft een feestje met bezoeer een celebrity? (b Heeft el feestje zeer een celebrity? (c Kan een feest meer dan celebrity hebben? (d Laat zien hoe je, op een feestje met n bezoeers, met hoogstens (n vragen van het soort Kent A B?, de celebrity unt identificeren, of uitsluiten dat die er is. Oplossing: (a Als A de enige bezoeer is, dan ent hij inderdaad geen van de andere bezoeers (omdat die er niet zijn, maar alle andere bezoeers ennen A (omdat die er niet zijn. Dus de enige bezoeer van een soloparty is een celebrity. (b Er hoeft geen celebrity te zijn, den bv aan een party met twee personen die elaar ennen. (c Nee. Als A en B (verschillend en beide celebrity zijn, ent A B niet omdat A celebrity is, en ent A B wel omdat B celebrity is. Dit is uiteraard een tegenspraa, dus is er hoogstens celebrity. (c Je moet even inzien dat een celebrity, een celebrity blijft als er een (andere persoon weggaat. En dat een celebrity an ophouden celebrity te zijn wanneer er een persoon bij omt (want hij an die nieuwe ennen, of die an de celeb niet ennen. Als de party omvang heeft, output de enige deelnemer, no questions ased dus inderdaad (n. Als er meerdere deelnemers zijn, pa willeeurig X en Y en vraag of X Y ent. Zoja, dan is X zeer geen celebrity, smijt hem buiten. Zonee, dan is Y zeer geen celebrity, sluit haar buiten. Er zijn nog n gasten over, identificeer hierin een eventuele celeb; volgens de IH an dit in (n vragen! Chec dat deze de buitengeworpene niet ent, maar de buitengeworpene hem wel. Totaal stel je drie vragen, plus wat nodig is voor de identificatie van de celeb op een party met n gasten.

7 . Cosinusregel: Gebrui de productregel cos A cos B (cos(a + B + cos(a B om te bewijzen dat cos A cos B cos C (cos(a+b +C+cos(A+B C+cos(A B +C+cos(A B C. 4 Oplossing: cos A cos B cos C { Zet haajes } (cos A cos B cos C { Gebrui productregel } (cos(a + B + cos(a B cos C { Gebrui distributie } (cos(a + B cos C + cos(a B cos C { Gebrui productregel tweemaal } ( (cos(a + B + C + cos(a + B C + (cos(a B + C + cos(a B C { Haal factor / naar buiten } (cos(a + B + C + cos(a + B C + cos(a B + C + cos(a B C 4 H Zet een Hint bij ele stap. R Je Redeneert van stelling naar gegevens, moet andersom. U Dit is een U-bewijs.. Keer Drie: De rij getallen b voldoet aan b 0 en b n+ b n. (De eerste waarden van de rij zijn dus b 0, b, b 5 en b 4. Bewijs met inductie dat voor alle natuurlije getallen n geldt b n (n +. Oplossing: We gebruien inductie naar n. Als n 0 is de LHS b 0, volgens het gegeven gelij aan. De RHS is (0 +, dus oo, en er geldt gelijheid. Gebrui nu als IH de bewering b n (n + om te bewijzen b n+ (n+ + : b n+ b n Gegeven (n + IH (n+ + Breng naar binnen (n+ + Breng naar binnen (n+ + min is Tot pt voor een goed bewijs. A Niet Aannemen wat je moet bewijzen! B Basisstap ontbreet, aftre pt. L Laatste stap is onjuist. S Schrijft IH en Tb niet uit; geen aftre als dit niet tot fouten heeft geleid. U Past IH als Universeel gewantificeerd toe, fout!

8 . Stelling : De stelling n : n n > n 4 an worden bewezen met inductie. (a Bewijs de inductiebasis (het startgeval. (b Formuleer wat je moet bewijzen in de inductiestap en wat je hierbij als gegeven mag gebruien. (c Geef het bewijs van de inductiestap. Oplossing: (a Omdat de stelling gaat over n vanaf, chec je hier deze bewering voor waarde n. De RHS is 4 is 08. De LHS is is 0. De ongelijheid LHS > RHS geldt inderdaad. (b Volgens het inductieprincipe gebrui je P (n om te bewijzen P (n +, in dit geval is je gegeven, de inductie-hypothese: n n > n 4, en daaruit bewijs je (n + (n + > (n + 4. Het moet loppen voor n, wat je oo als gegeven in je subbewijs mag gebruien. (c Een lineair bewijs van LHS naar RHS, waarin LHS van het bewijsdoel wordt uitgeschreven, en laargemaat voor toepassing van IH: (n + (n + n + n + (n + Uitschrijven wadraat (n n + n Termen verplaatsen > (n 4 + n IH op eerste term (n 4 + Want n ((n Verplaats > ((n verdwijnt Per deelvraag een punt. Beoordelingscodes: A Je moet hetgeen te bewijzen is Afleiden, niet er vanuit gaan. De te bewijzen uitspraa omt aan het eind van je afleiding, niet aan het begin. G Als je de Grens n niet als gegeven bij (b vermeldt, maar hiermee verder niet in problemen omt, ost het geen punt. U Je moet de bewijsverplichting wel echt Uitweren, dus Je moet het bewijzen voor n + is niet voldoende.