Talen & Automaten. Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 mei 2008
|
|
- Maurits van der Horst
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Talen & Automaten Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 mei 2008 Talen & automaten Week 1: Inleiding
2 Dit college Talen Automaten Berekenbaarheid Weekoverzicht Recursieve definities en inductieve bewijzen Grafen en bomen Talen formeel Reguliere verzamelingen en expressies Talen & automaten Week 1: Inleiding 1
3 Talen 1. Regulier 2. Contextvrij Recursief opsombaar de Chomsky hierarchie Naom Chomsky Talen & automaten Week 1: Inleiding 2
4 N.b.: Automatensimulator De simulator voor de verschillende automaten vind je hier: burch/proj/autosim/ Talen & automaten Week 1: Inleiding 3
5 Automaten Geeft ie ook gewone koffie? Een protocol als een eindige automaat Talen & automaten Week 1: Inleiding 4
6 Stapelautomaat Talen & automaten Week 1: Inleiding 5
7 Turing machine Alan Turing nog een Turing machine Talen & automaten Week 1: Inleiding 6
8 Berekenbaarheid Proposition 1. [Church-Turing]. Alles wat we kunnen berekenen is formuleerbaar als een partieel recursieve functie. Talen & automaten Week 1: Inleiding 7
9 Het grote plaatje Talen & automaten Week 1: Inleiding 8
10 Weekoverzicht 1. Overzicht van de cursus, wiskundige notaties, basisbegrippen formele talen, reguliere talen. H 1 [6, 7, 8], H 2 [1, 2, 3]. 2. Contextvrije grammatica s en contextvrije talen. H 3 [1, 2, 3, 4]. 3. Normaalvormen van contextvrije grammatica s H 4 [1, 2, 3, 4, (5)]. 4. Eindige automaten en reguliere talen H 5 [1, 2, 3, 4, 5]. H 6 [1, 2, 3, 4, 5, 6] en Minimale automaten 5. Stapelautomaten en contextvrije talen H 7 [1, 2, 3]. Het contextvrije pomplemma en afsluitingseigenschappen van contextvrije talen H 7 [4, 5]. 6. Turing machines H 8 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]. Turing computable functies H Beslissingsproblemen en reductie daarvan H 11 [1, 2, 3, 4, 5]. Onbeslisbaarheid H 12 [1, 2, 3]. 8. Onbeperkte en contextgevoelige grammatica s en de Chomsky hierarchie H 10 [1, 2, 4]. Tentamen: maandag 30 juni, :00 uur, tennishal. Talen & automaten Week 1: Inleiding 9
11 Recursieve definities Definition 1. [Natuurlijke getallen]. De verzameling {0, s(0), s(s(0)),...} is recursief gedefinieerd door: 1. Basis: 0 N. 2. Recursieve stap: Als n LT dan ook: s(n). 3. Afsluiting: n LT alleen indien n in een eindig aantal recursieve stappen uit 0 verkregen kan worden. Definition 2. [LT-relatie]. De verzameling {[x,y] x,y N x < y} is recursief gedefinieerd door: 1. Basis: [0,1] LT (waarbij 1 = s(0)). 2. Recursieve stap: Als [m,n] LT dan ook: [m,s(n)] en [s(m),s(n)]. 3. Afsluiting: [m,n] LT alleen indien [m,n] in een eindig aantal recursieve stappen uit [0,1] verkregen kan worden. Talen & automaten Week 1: Inleiding 10
12 Inductieve bewijzen Definition 3. [Volledige inductie]. Stel X is een recursief gedefinieerde verzameling op basis van X 0 en X 1,X 2,... is de reeks verzamelingen waarbij X i de verzameling is, die wordt gevormd door de recursieve stap i keer toe te passen. Als voor een predikaat P geldt: 1. Basis: P geldt voor elk element van X 0, 2. Inductiestap: Indien P geldt voor elk element van X 0,X 1,...,X i (i 1) (Inductie hypothese) dan geldt P ook voor elk element van X i+1, dan geldt P voor alle elementen van X Talen & automaten Week 1: Inleiding 11
13 Voorbeeld 1. Stel E is een verzameling expressies, recursief gedefinieerd op het alfabet bestaande uit de symbolen {a, b}, de operatoren + en en haakjes, (, ): 1. Basis: a en b zijn in E. 2. Recursieve stap: Als u en v in E zitten, dan ook: (u +v), (u v) en ( u) 3. Afsluiting: Niets anders zit in E dan op grond van (1) en (2). Theorem 1. Voor alle expressies van E geldt dat het aantal haakjes twee keer zo groot is als het aantal operatoren; n p (a) = 2 n o (a) Bewijs: 1. Basis: a en b zijn de expressies van de basisstap. n p (a) = 0 = 2n o (a) en n p (b) = 0 = 2n o (b) 2. Inductie hypothese: Stel n p (u) = 2n o (u) voor alle expressies gegenereerd in n of minder recursieve stappen. 3. Inductie stap: Stel w is gegenereerd in n + 1 recursieve stappen. w = (u +v),w = (u v) of w = ( v) en u en v zijn gegenereerd in n of minder stappen, dus (ind. hyp.): n p (u) = 2n o (u) en n p (v) = 2n o (v) Talen & automaten Week 1: Inleiding 12
14 (a) Stel w = (u +v) of w = (u +v) (b) Stel w = ( v)... n p (w) = n p (u) +n p (v) +2 n o (w) = n o (u) +n o (v) +1 Dus: 2n o (w) = 2n o (u) +2n o (v) +2 = n p (u) +n p (v) +2 = n p (w) Talen & automaten Week 1: Inleiding 13
15 Gerichte grafen Definition 4. Een gerichte graaf is een structuur (V, A), waarin V een verzamelingend knopen is en A een binaire relatie op V, de buur-relatie. V = {a,b,c,d} A = {[a,b], [b,a], [b,c], [c,b], [c,d], [d,a], [d,d]} Definition 5. Een element van A heet een kant, boog, pijl of ribbe. Een pad is een reeks knopen en bogen x 0, [x 0,x 1 ],x 1, [x 1,x 2 ],... Talen & automaten Week 1: Inleiding 14
16 Bomen Definition 6. [Geordende boom]. Een geordende boom is een acyclische gerichte graaf met voor elke knoop een uniek pad van de wortel van de boom naar die knoop. Nog een paar begrippen: Kind, blad, minimale gemeenschappelijke voorouder, LEFTOF, grens. Talen & automaten Week 1: Inleiding 15
17 Strings en talen Definition 7. Een alfabet Σ, is een verzameling symbolen, a,b,c,d,e. Strings zijn rijen symbolen, p,q,u,v,w,x,y,z. λ is de lege string. Definition 8. [Sigma ster]. Stel Σ is een alfabet; de verzameling strings over Σ, Σ is recursief gedefinieerd: 1. Basis: λ Σ 2. Recursiestap: Als w Σ en a Σ, dan ook wa Σ 3. Afsluiting: λ Σ alleen als w in een eindig aantal recursiestappen uit λ kan worden verkregen. Voorbeeld 2. Stel Σ = {a,b,c}, dan bestaat Σ uit: lengte 0: λ lengte 1: a,b,c lengte 2: aa,ba,ca,ab,bb,cb,ac,bc,cc lengte 3: aaa, aab, aac, baa, bbb, Talen & automaten Week 1: Inleiding 16
18 Definition 9. [Taal]. Een taal over een alfabet Σ is een deelverzameling van Σ. Definition 10. [Concatenatie van strings]. Als u,v Σ dan is de concatenatie van u en v, notatie: uv een binaire operatie op Σ gedefinieerd door: 1. Basis: Als lengte(v) = 0 dan v = λ en uv = u. 2. Recursieve stap: Als v een string is met lengte(v) > 0 dan v = wa voor een string w met lengte(w) = lengte(v) 1 en a Σ en uv = (uw)a Voorbeeld 3. Stel u = aab,v = b en w = ccc dan uv = aabb vw = bccc (uv)w = aabbccc u(vw) = aabbccc Talen & automaten Week 1: Inleiding 17
19 Theorem 2. [Associativiteit van concatenatie]. Stel u,v,w Σ dan: (uv)w = u(vw) Bewijs: 1. Basis: Als lengte(w) = 0 dan w = λ en (uv)w = uv. En aan de andere kant: u(vw) = u(v) = uv. 2. Inductie hypothese: Stel (uv)w = u(vw) voor alle strings w met lengte(w) n. 3. Inductie stap: Te bewijzen (uv)w = u(vw) voor alle strings w met lengte(w) = n +1. Dan w = xa voor een string x met lengte(x) = n en a Σ. (uv)w = (uv)(xa) subst. w = xa = ((uv)x)a def. conc. = (u(vx))a ind. hyp. = u((vx)a) def. conc. = u(v(xa)) def. conc. = u(vw) subst xa = w Talen & automaten Week 1: Inleiding 18
20 Definition 11. [Het omgekeerde]. Als u een string in Σ is, dan is het omgekeerde van u, notatie: u R, aldus gedefinieerd: 1. Basis: Als lengte(u) = 0 dan v = λ en λ R = λ. 2. Recursieve stap: Als lengte(u) = n > 0 dan u = wa voor een string w met lengte(w) = n 1 en a Σ en u R = aw R. Opdracht 1. Bewijs de stelling: Als u,v Σ dan (uv) R = v R u R. Talen & automaten Week 1: Inleiding 19
21 Specificatie van talen Voorbeeld 4. De taal L met alfabet {a, b} waarvan alle strings met een a beginnen en even zijn: 1. Basis: aa,ab L. 2. Recursieve stap:als u L dan uaa,uab,uba,ubb L. 3. Afsluiting: Een string u zit alleen in L als u in een eindig aantal recursiestappen uit de basis kan worden verkregen. Opdracht 2. Geef een definitie van de taal over {a,b}, waarin elke b direct wordt voorafgegaan door een a. Opdracht 3. Geef een definitie van de taal over {a,b}, met evenveel a s als b s. 1 Definition 12. [Concatenatie van talen]. De concatenatie van de talen X en Y, notatie: XY is de taal: XY = {uv u X v Y} Notatie: X met zichzelf n keer: X n. X 0 = def {λ} Definition 13. X = X i en X + = i=0 1 Twee foutjes op pg 46 v.h. boek i=1 X i Talen & automaten Week 1: Inleiding 20
22 Voorbeeld 4. Van de taal L = {a,b} {bb}{a,b} met alfabet {a,b} beschikken alle strings over een substring bb Opdracht 5. Definieer een taal L over {a, b} waarvan alle strings beginnen met aa en eindigen op bb. Opdracht 6. Definieer een taal L over {a,b} met een even lengte. Vraag 1. Wat is de eigenschap van de strings van de taal L = {λ,aa,aaaa} over {a}? Kan dat ook eenvoudiger worden gedefinieerd? Talen & automaten Week 1: Inleiding 21
23 Reguliere verzamelingen Definition 14. Stel Σ is een alfabet. De reguliere verzamelingen over Σ zijn recursief als volgt gedefinieerd: 1. Basis:, {λ} en {a}, voor elke a Σ, zijn reguliere verzamelingen over Σ. 2. Recursieve stap: Als X en Y reguliere verzamelingen over Σ zijn, dan ook: X Y,XY en X. 3. Afsluiting: X is alleen een reguliere verzameling als X in een eindig aantal recursiestappen uit de basis kan worden verkregen. Een taal is regulier, als die gedefinieerd is als een regulier verzameling. Voorbeeld 7. De taal van voorbeeld 5, de verzameling strings die bb bevatten is regulier over {a,b}. aaaa 1. De basis {a} en {b} is regulier. aaaa 1.5 Dus {a, b} = {a} {b} regulier over {a, b}. aaaa 2. De vereniging en de Kleene-ster geven {a,b} is aaaa1.a regulier over {a,b}. aaaa 3. De concatenatie {b}{b} = {bb} is regulier. aaaa 4. Twee keer concatenatie geeft: {a,b} {bb}{a,b} Opdracht 6. Bewijs dat de verzameling strings over {a, b}, die beginnen en eindigen op een a en tenminste één b bevatten regulier is. Talen & automaten Week 1: Inleiding 22
24 Reguliere expressies Definition 15. Stel Σ is een alfabet. De reguliere expressies over Σ zijn recursief als volgt gedefinieerd: 1. Basis:, λ en a, voor elke a Σ, zijn reguliere expressies over Σ. 2. Recursieve stap: Als u en v reguliere expressies over Σ zijn, dan ook: (u v), (uv) en (u ) Afsluiting: X is alleen een reguliere expressie als X in een eindig aantal recursiestappen uit de basis kan worden verkregen. Voorbeeld 8. {a,b}. De expressie ba(a b) ab is regulier over verzameling expressie motivering 1.{a} a basis 2.{b} b basis 3.{a}{b} = {ab} ab 1, 2 concatenatie 4.{a} {b} = {a,b} a b 1,2 vereniging 5.{b}{a} = {ba} ba 2, 1 concatenatie 6.{a,b} (a b) 4 Kleene ster 7.{ba}{a,b} {ab} ba(a b) ab 5,6,3 concatenatie 2 Het aantal haakjes kan gereduceerd worden door: a: gebruik te maken van associativiteit van en concatenatie (u(vw) = (uv)w = uvw) b: een prioriteitsvolgorde af te spreken: 1 Kleene-ster, 2 concatenatie, 3 vereniging Talen & automaten Week 1: Inleiding 23
25 Equivalenties van reguliere expressies 1. u = u = 2. λu = uλ = u 3. = λ 4. λ = λ 5. u v = v u 6. u = u 7. u u = u 8. u = (u ) 9. u(v w) = uv uw 10. (u v)w = uw vw 11. (uv) u = u(vu) (u v) = (u v) = u (u v) = (u vu ) 12. = (u v ) = u (vu ) = (u v) u Talen & automaten Week 1: Inleiding 24
26 Toepassing van reguliere expressies Reguliere expressies in tekstverwerker Talen & automaten Week 1: Inleiding 25
Uitwerking Opgaven Formele talen, grammaticas en automaten Week 1
Uitwerking Opgaven Formele talen, grammaticas en automaten Week 1 Bas Westerbaan bas@westerbaan.name 24 april 2012 1 Opgave 1.1 Een goed en voldoende antwoord is: L 1 = L 2, want L 1 en L 2 zijn alle woorden
Nadere informatieTENTAMEN Basismodellen in de Informatica VOORBEELDUITWERKING
TENTAMEN Basismodellen in de Informatica vakcode: 211180 datum: 2 juli 2009 tijd: 9:00 12:30 uur VOORBEELDUITWERKING Algemeen Bij dit tentamen mag gebruik worden gemaakt van het boek van Sudkamp, van de
Nadere informatieVerzamelingen deel 2. Tweede college
1 Verzamelingen deel 2 Tweede college herhaling Deelverzameling: AB wil zeggen dat elk element van A ook in B te vinden is: als x A dan x B Er geldt: A=B AB en BA De lege verzameling {} heeft geen elementen.
Nadere informatieAutomaten & Complexiteit (X )
Automaten & Complexiteit (X 401049) Inleiding Jeroen Keiren j.j.a.keiren@vu.nl VU University Amsterdam Materiaal Peter Linz An Introduction to Formal Languages and Automata (5th edition) Jones and Bartlett
Nadere informatieAutomaten. Informatica, UvA. Yde Venema
Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................
Nadere informatieFormeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen (29/01/15) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Als het regent word ik
Nadere informatieFormele talen. Elfde college
12 Formele talen Elfde college 1 verkeerslicht? 신호등을지킵시다 (Automatische) Vertaling van het Koreaans You should observe the traffic lights Is Koreaans een formele taal? Nee natuurlijk niet! Alleen, voor
Nadere informatieFormeel Denken. Herfst 2004
Formeel Denken Herman Geuvers Deels gebaseerd op het herfst 2002 dictaat van Henk Barendregt en Bas Spitters, met dank aan het Discrete Wiskunde dictaat van Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Talen 1 1.1
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4
Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4 28 oktober 2016 Vraag 1: Toon aan dat de klasse van context vrije talen gesloten is onder concatenatie en ster. Antwoord Meerdere manieren zijn mogelijk:
Nadere informatieInhoud eindtoets. Eindtoets. Introductie 2. Opgaven 3. Terugkoppeling 6
Inhoud eindtoets Eindtoets Introductie 2 Opgaven 3 Terugkoppeling 6 1 Formele talen en automaten Eindtoets I N T R O D U C T I E Deze eindtoets is bedoeld als voorbereiding op het tentamen van de cursus
Nadere informatieDe klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Dit bewijzen we met behulp van een recursieve opsomming
Recursieve talen De klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Echter, het is niet zo dat L recursief opsombaar is voor alle recursief opsombare talen L. Dit bewijzen we met behulp van
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 februari 2009 RELATIES & GRAFEN Discrete Structuren Week 2: Relaties en Grafen
Nadere informatieReguliere Expressies
Reguliere Expressies Een reguliere expressie (regexp, regex, regxp) is een string (een woord) die, volgens bepaalde syntaxregels, een verzameling strings (een taal) beschrijft Reguliere expressies worden
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:
Nadere informatieGetallensystemen, verzamelingen en relaties
Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,
Nadere informatieGerichte Grafen Boolese Algebra s &. Logische Netwerken
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 10 maart 2009 Gerichte Grafen Boolese Algebra s &. Logische Netwerken. Paragrafen
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 februari 2009 INDUCTIE & RECURSIE Paragrafen 4.3-4.6 Discrete Structuren Week 3:
Nadere informatieFundamenten van de Informatica
Fundamenten van de Informatica Luc De Raedt Academiejaar 2006-2007 naar de cursustekst van Karel Dekimpe en Bart Demoen A.1: Talen en Eindige Automaten 1 Deel 1: Inleiding 2 Motivatie Fundamenten van de
Nadere informatieFormele talen. Tiende college
12 Formele talen Tiende college 1 verkeerslicht? 신호등을지킵시다 (Automatische) Vertaling van het Koreaans You should observe the traffic lights Is Koreaans een formele taal? Nee natuurlijk niet! Alleen, voor
Nadere informatieFormeel Denken 2013 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 201 Uitwerkingen Tentamen (29/01/1) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Het is koud, maar er ligt
Nadere informatieLogische Complexiteit Hoorcollege 4
Logische Complexiteit Hoorcollege 4 Jacob Vosmaer Bachelor CKI, Universiteit Utrecht 8 februari 2011 Contextvrije grammatica s Inleiding + voorbeeld Definities Meer voorbeelden Ambiguiteit Chomsky-normaalvormen
Nadere informatieIN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4 2628 CD Delft IN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, 14.00-17.00 uur BELANGRIJK Beschikbare
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 22 maart 2009 ONEINDIGHEID
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 maart 2009 ONEINDIGHEID. Paragraaf 13.3. De paradox van de oneindigheid ligt slechts
Nadere informatieopgaven formele structuren deterministische eindige automaten
opgaven formele structuren deterministische eindige automaten Opgave. De taal L over het alfabet {a, b} bestaat uit alle strings die beginnen met aa en eindigen met ab. Geef een reguliere expressie voor
Nadere informatieRuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010
RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010 Handout 2B Jan Terlouw woensdag 17 februari 2010 Deze handout sluit aan op handout 2A van maandag 15 februari. De gepresenteerde stof valt grotendeels
Nadere informatie3 De stelling van Kleene
18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we
Nadere informatieTentamen TI2310 Automaten en Talen. 19 april 2012, uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica TP Delft Tentamen TI2310 Automaten en Talen 19 april 2012, 14.00-17.00 uur Totaal aantal pagina's (exclusief dit titelblad):
Nadere informatieIN2505 II Berekenbaarheidstheorie. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Practicum: Inschrijven. Practicum
IN2505 II Berekenbaarheidstheorie College 1 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft 7 april 2009 Docent: Colleges/oefeningen: dinsdag 5 + 6 (EWI-A), vrijdag 1 + 2 (AULA-A) Boek: Michael Sipser, Introduction
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid
Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven 2016-2017 Les 8: 118-125 orakels en reducties met orakels Turing-berekenbare functies de bezige bever Orakelmachines I 2/14 we kennen al: een TM die een
Nadere informatie(Isomorfie en) RELATIES
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 maart 2009 (Isomorfie en) RELATIES. Paragrafen 10.5,11.1,11.2,11.4,11.5 Discrete
Nadere informatiec, X/X a, c/λ a, X/aX b, X/X
ANTWOORDEN tentamen FUNDAMENTELE INFORMATICA 3 vrijdag 25 januari 2008, 10.00-13.00 uur Opgave 1 L = {x {a,b,c} n a (x) n b (x)} {x {a,b,c} n a (x) n c (x)}. a. Een stapelautomaat die L accepteert: Λ,
Nadere informatieMededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Waarheidstafels. Waarheidsfunctionele Connectieven
Mededelingen TI1300: Redeneren en Logica College 4: Waarheidstafels, Redeneringen, Syntaxis van PROP Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor de Fibonacci getallen geldt f 0 = f 1 = 1 (niet 0) Practicum 1 Practicum
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dystra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 12 februari 2008 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen
Nadere informatieGödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3
Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3 Koen Rutten, Aris van Dijk 30 mei 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 1.1 Definitie................................ 2 1.2 Eigenschappen............................
Nadere informatieVerzamelingen deel 2. Tweede college
Verzamelingen deel 2 1 Tweede college herhaling A B A B A U vereniging A B doorsnede A B complement A c A B A B 2 verschil A-B A\B symmetrisch verschil A B = (A-B) (B-A) redeneren met Venn diagrammen Toon
Nadere informatieFP-theorie. 2IA50, Deel B. Inductieve definities 1/19. / department of mathematics and computer science
FP-theorie 2IA50, Deel B Inductieve definities 1/19 Inductieve definitie Definitie IL α, (Cons-)Lijsten over α Zij α een gegeven verzameling. De verzameling IL α van eindige (cons-)lijsten over α is de
Nadere informatieVolledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.
Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als
Nadere informatieAutomaten & Complexiteit (X )
Automaten & Complexiteit (X 401049) Beschrijven van reguliere talen Jeroen Keiren j.j.a.keiren@gmail.com VU University Amsterdam 5 Februari 2015 Talen Vorig college: Talen als verzamelingen Eindige automaten:
Nadere informatieHet omzetten van reguliere expressies naar eindige automaten, zie de vakken Fundamentele Informatica 1 en 2.
Datastructuren 2016 Programmeeropdracht 3: Patroonherkenning Deadlines. Woensdag 23 november 23:59, resp. vrijdag 9 december 23:59. Inleiding. Deze opdracht is gebaseerd op Hoofdstuk 13.1.7 in het boek
Nadere informatieFormele talen. uitgebreid
Formele talen 12 1 uitgebreid verkeerslicht? 신호등을지킵시다 (Automatische) Vertaling van het Koreaans You should observe the traffic lights is Koreaans een formele taal? nee natuurlijk niet! alleen, voor iemand
Nadere informatieOpgaven 1. Verwijzingen in deze opgaven betreffen het boek van Peter Linz.
Opgaven Verwijzingen in deze opgaven betreffen het boek van Peter Linz.. Toon de volgende eigenschappen uit de verzamelingenleer aan: Exercises, 3, 5, 6, 7, 0 blz. 2-3 (neem aan dat er een universele verzameling
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 februari 2009 INLEIDING
Discrete Structuren Piter Dystra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen Elementaire
Nadere informatieBerekenbaarheid 2013 Uitwerkingen Tentamen 23 januari 2014
erekenbaarheid 2013 Uitwerkingen Tentamen 23 januari 2014 1. Geef een standaard Turing-machine die de taal L 1 := {a n b n n N} = {λ, ab, aabb,... } herkent door stoppen. Je mag in je machine hulpsymbolen
Nadere informatieBerekenbaarheid 2016 Uitwerkingen Tentamen 26 januari 2017
erekenbaarheid 2016 Uitwerkingen Tentamen 26 januari 2017 1. Geef een standaard Turing-machine M 1 die de volgende taal herkent door eindtoestand: L 1 := {w {a, b, c} w a + w b = w c } Hierin is w a een
Nadere informatieRuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010
RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010 Handout 3A Jan Terlouw maandag 22 februari 2010 De eerste paragraaf van deze handout is inhoudelijk een afronding van handout 2B (versie als
Nadere informatieBerekenbaarheid 2015 Uitwerkingen Tentamen 5 november 2015
erekenbaarheid 2015 Uitwerkingen Tentamen 5 november 2015 1. Definieer een standaard Turing-machine M 1 met input alfabet Σ = {a, b} die twee a s voor zijn input plakt, dus met M 1 (w) = aaw voor alle
Nadere informatieKennisrepresentatie & Redeneren. Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie
Kennisrepresentatie & Redeneren Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 8 oktober 2007 GRAMMATICA S Kennisrepresentatie & Redeneren Week6: Grammatica
Nadere informatieTentamen in2505-ii Berekenbaarheidstheorie
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen in2505-ii Berekenbaarheidstheorie 16 juni 2008, 14.00 17.00 uur Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen. Totaal
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
Nadere informatieOpdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010
Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 8 december 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]
Nadere informatieVerzamelingen. Hoofdstuk 5
Hoofdstuk 5 Verzamelingen In de meest uiteenlopende omstandigheden kan het handig zijn om een stel objecten, elementen, of wat dan ook, samen een naam te geven. Het resultaat noemen we dan een verzameling.
Nadere informatieOpdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010
Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 13 november 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Week1 : Bewijzen Onderwerpen Puzzels
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid
Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven 2016-2017 Les 3: 36-54 Myhill-Nerode relaties; regulier pompen Myhill-Nerode equivalentieklassen in Σ I 2/10 belangrijk te verstaan: een equivalentie-relatie
Nadere informatieFormeel Denken. Herfst Contents. 1 Combinatoriek 1
Formeel Denken Herman Geuvers Deels gebaseerd op het herfst 00 dictaat van Henk Barendregt en Bas Spitters, met dank aan het Discrete Wiskunde dictaat van Wim Gielen Herfst 004 Contents 1 Combinatoriek
Nadere informatieModule Limieten van de berekenbaarheid : antwoorden
Module Limieten van de berekenbaarheid : antwoorden Gilles Coremans 2018 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International license. Dit werk is gebaseerd
Nadere informatie1 Inleiding in Functioneel Programmeren
1 Inleiding in Functioneel Programmeren door Elroy Jumpertz 1.1 Inleiding Aangezien Informatica een populaire minor is voor wiskundestudenten, leek het mij nuttig om een stukje te schrijven over een onderwerp
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 4 april 2008 Discrete Structuren Week 8: Samenvatting Redeneerpatronen
Nadere informatieTweede college algoritmiek. 12 februari Grafen en bomen
College 2 Tweede college algoritmiek 12 februari 2016 Grafen en bomen 1 Grafen (herhaling) Een graaf G wordt gedefinieerd als een paar (V,E), waarbij V een eindige verzameling is van knopen (vertices)
Nadere informatieLindenmayer-systemen en turingmachines
Universiteit Utrecht Bachelorscriptie van 7,5 ECTS voor de opleiding Kunstmatige Intelligentie indenmayer-systemen en turingmachines De equivalentie van turingmachines en 2-systemen Door: Mariëlle Rietdijk
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Aanbevolen opgaven. Wat is oneindigheid? College 5
Vorig college College 5 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Opsommers vs. Herkenners Church-Turing These Codering van problemen 23 april 2009 1 2 Aanbevolen opgaven Wat is oneindigheid? Sipser p. 163
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Nadere informatieBomen. 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen. deel 2. Tiende college
10 Bomen deel 2 Tiende college 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen 1 arboretum ongericht 8.8 tree graphs 9.4 rooted trees ch.10 binary trees 2 gericht geordend links/rechts bomen
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieV = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.
WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid
Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven 2016-2017 Les 2: 20-35 reguliere expressies NFA DFA minimalisatie Van RE naar NFA I 2/11 structureel (als algebra s) zijn RegExp en de NFA s gelijk voor
Nadere informatieBomen. 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen
10 Bomen 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen 1 Baarn Hilversum Soestdijk Den Dolder voorbeelden route boom beslisboom Amersfoort Soestduinen + 5 * + 5.1 5.2 5.3 5.4 2 3 * * 2 5.3.1
Nadere informatieKennisrepresentatie & Redeneren. Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie
Kennisrepresentatie & Redeneren Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 30 april 2007 INLEIDING Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie
Nadere informatiestart -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c
Een Minimaal Formalisme om te Programmeren We hebben gezien dat Turing machines beschouwd kunnen worden als universele computers. D.w.z. dat iedere berekening met natuurlijke getallen die met een computer
Nadere informatieMeetkundige Ongelijkheden Groep 2
Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus
Nadere informatieVerzamelingen deel 3. Derde college
1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieExamen G0U13 - Bewijzen en Redeneren,
Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, 2010-2011 bachelor in de Wisunde, bachelor in de Fysica, bachelor in de Economische Wetenschappen en bachelor in de Wijsbegeerte Vrijdag 4 februari 2011, 8u30 Naam:
Nadere informatieBomen. 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen. deel 1. Negende college
10 Bomen deel 1 Negende college 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen 1 typen bomen Er zijn drie verschillende typen bomen, die in Schaum over verschillende hoofdstukken verdeeld
Nadere informatieHet minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve
1 (a) In een B-boom van orde m bevat de wortel minimaal 1 sleutel en maximaal m 1 sleutels De andere knopen bevatten minimaal m 1 sleutels en maximaal m 1 sleutels (b) In een B-boom van orde 5 bevat elke
Nadere informatieIII.3 Supremum en infimum
III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatie8C080 deel BioModeling en bioinformatica
Vijf algemene opmerkingen Tentamen Algoritmen voor BIOMIM, 8C080, 22 april 2009,14.00-17.00u. Het tentamen bestaat uit 2 delen, een deel van BioModeling & bioinformatics en een deel van BioMedische Beeldanalyse.
Nadere informatieWeek 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.
Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten
Nadere informatie(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!
Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;
Nadere informatieDefinitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:
Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in
Nadere informatieHoofdstuk 2. Iteratie, Recursie en Inductie. 2.1 Fibonacci getallen
Hoofdstuk 2 Iteratie, Recursie en Inductie SCHAUM 1.8: Mathematical Induction, ook 11.3 SCHAUM 3.6: Recursively Defined Functions Er zijn slechts enkele passages in SCHAUM aan het belangrijke begrip recursie
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatieSupplement Verzamelingenleer. A.J.M. van Engelen en K. P. Hart
Supplement Verzamelingenleer A.J.M. van Engelen en K. P. Hart 1 Hoofdstuk 1 Het Keuzeaxioma Het fundament van de hedendaagse verzamelingenleer werd in de vorige eeuw gelegd door Georg Cantor. Cantor gebruikte
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2012 2013, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieRuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010
RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010 Handout 6A, paragraaf 4 (vervolg): Eindige automaten, gezien als multi-grafen Jan Terlouw woensdag 17 / donderdag 18 maart 2010 Het frame van
Nadere informatieParadox van zelfreproductie. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Zelfreproductie? Programma s en zelfreproductie. College 11.
Paradox van zelfreproductie College 11 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft 27 mei 2009 1 Levende wezens zijn machines. 2 Levende wezens kunnen zich reproduceren. 3 Machines kunnen zich niet reproduceren.
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieCombinatoriek groep 1 & 2: Recursie
Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie
Nadere informatieInhoud. Introductie tot de cursus
Inhoud Introductie tot de cursus 1 Plaats en functie van de cursus 7 2 Inhoud van de cursus 7 2.1 Tekstboek 7 2.2 Voorkennis 8 2.3 Leerdoelen 8 2.4 Opbouw van de cursus 9 3 Leermiddelen en wijze van studeren
Nadere informatierh276a 0 We breiden nu bovenstaand programmafragment uit door assignments toe te voegen aan een nieuwe variabele m, aldus:
rh276a 0 Een paar praktische stellinkjes 0 Standaardeindiging stelling (standaardeindiging 0) : Het volgende programmafragment eindigt, heeft als repetitie-invariant 0 n n N en als variante functie N n
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid
Automaten en Berekenbaarheid 3 Bachelor Informatica Diverse Minoren en Kennisdomeinen 15 december 2015 B. Demoen KU Leuven Departement Computerwetenschappen Inhoudsopgave 1 Voorwoord 1 2 Talen en Automaten
Nadere informatieAlgoritmiek. 15 februari Grafen en bomen
Algoritmiek 15 februari 2019 Grafen en bomen 1 Grafen (herhaling) Een graaf G wordt gedefinieerd als een paar (V,E), waarbij V een eindige verzameling is van knopen (vertices) en E een verzameling van
Nadere informatieMatrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatieCombinatoriek groep 2
Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een
Nadere informatie