2WO12: Optimalisering in Netwerken

Transcriptie

1 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

2 Inhoud vak: Modelleren van praktijkproblemen m.b.v. grafen Efficiënte algoritmes voor graafproblemen Bewijzen van stellingen over grafen Analyse van algoritmes Classificeren van problemen als moeilijke en makkelijke problemen Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

3 Opzet vak: 8 lectures verdeeld over 16 hoorcolleges 8 instructies zelfstudie (opgaven) twee dictaten en twee hand-outs op website: Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

4 Dictaten en hand-outs Lecture 1-3: Grafen: kleuren en routeren (gkr.pdf) Lecture 4: Graafrepresentaties en complexiteit (compl.pdf) Lectures 5-7: A course in combinatorial optimization (co.pdf) Lecture 8: NP-completeness (np.pdf) Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

5 Definitie Een graaf (graph) is een paar G = (V, E) waarin V en E eindige verzamelingen zijn en elk element van E een verzameling van twee elementen van V is. V is een verzameling punten (vertices) E is een verzameling lijnen (edges) of kanten elke lijn verbindt twee punten grafen worden ook wel netwerken genoemd Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

6 Voorbeeld De onderstaande graaf G = (V, E) heeft: V = {a, b, c, d, e} E = {{a, b}, {a, c}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {d, e}} a b d e c Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

7 Waarschuwing: we kunnen dezelfde graaf op vele manieren tekenen, bijvoorbeeld: b a d e c = b d e c a Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

8 Terminologie Als e = {u, v} E, dan zeggen we: u en v zijn verbonden (adjacent) u is een buur (neighbour) van v (en v is een buur van u) u en v zijn eindpunten (endpoints) van e u en e zijn incident (en v en e zijn incident) v e u Definitie De graad (degree) van een punt v in een graaf G is het aantal buren dat v heeft in G. Notatie: d(v) Definitie Een graaf G is k-regulier als elk punt van G graad k heeft Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

9 Voorbeeld In de onderstaande graaf heeft a graad twee, b, c en d hebben graad drie en e heeft graad één. a b d e c Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

10 Voorbeeld Voorbeelden van reguliere grafen: 2-regulier (circuit) 3-regulier (kubus) 3-regulier (Petersen graaf) Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

11 Lemma (Handshaking Lemma) Voor elke graaf G = (V, E) is de som van de graden even, namelijk: d(v) = 2 E v V Voorbeeld A, B, C, D: personen Lijnen: handdrukken d(a): aantal handen dat persoon A schudt A C B D Gevolg Elke graaf heeft een even aantal punten van oneven graad. (Opgave 1.16) Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

12 Definitie Een volledige graaf (complete graph) heeft een lijn tussen elk paar punten. K n is de volledige graaf op n punten Opgave (1.22) Hoeveel lijnen heeft K 5? Opgave (1.23) Hoeveel lijnen heeft K n? Opgave (1.24) G is een graaf op n punten. Bewijs: G is volledig dan en slechts dan als G (n 1)-regulier is. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

13 Definitie Een graaf G = (V, E) heet bipartiet (bipartite) als V = V 1 V 2 (met V 1 V 2 = ) en E {{v 1, v 2 } v 1 V 1, v 2 V 2 } Vraag G is een volledig bipartiete graaf als K n,m is de volledig bipartiete graaf met V 1 = n en V 2 = m. Hoeveel lijnen heeft K n,m? Vraag Voor welke n en m is K n,m regulier? E = {{v 1, v 2 } v 1 V 1, v 2 V 2 } Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

14 Definitie Het complement van een graaf G = (V, E) is de graaf Ḡ = (V, Ē) met {u, v} Ē voor alle u, v V met {u, v} / E a b a b c d c d G G Vraag Wat is het complement van K 3,4? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

15 Definitie Twee grafen G = (V, E) en G = (V, E ) zijn isomorf (isomorphic) als er een bijectie f : V V bestaat zodanig dat voor alle u, v V : Definitie (u, v) E (f (u), f (v)) E. Een graaf G is zelf-complementair als G en Ḡ isomorf zijn. Voorbeeld Een circuit van lengte 5 is zelf-complementair. e a d G b c e a d G b c d a G b c e f (a) = a f (b) = c f (c) = e f (d) = b f (e) = d Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

16 Definitie De lijngraaf van een graaf G = (V, E) is de graaf H = (V, E ) met een punt v e V voor elke lijn e E en een lijn {v e1, v e2 } E voor elke twee lijnen e 1, e 2 E die incident zijn, d.w.z. met e 1 e 2 Vraag Hoe ziet de lijngraaf van K 2,2 er uit? En de lijngraaf van K 1,7? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

17 Definitie Een wandeling (walk) in een graaf G = (V, E) is een rij punten (v 0, v 1,..., v k ) zodanig dat v i 1 en v i verbonden zijn voor i = 1,..., k. Definitie De lengte van de wandeling is k. Een pad (path) is een wandeling waarvan alle punten verschillend zijn. Definitie Een graaf is samenhangend (connected) als tussen elk tweetal punten een pad bestaat. Stelling (Opgave 1.48) Voor elke samenhangende graaf G = (V, E) geldt E V 1 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

18 Stelling (Opgave 1.51) Voor elke onsamenhangende graaf G = (V, E) geldt E 1 ( V 1)( V 2) 2 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

19 Definitie G = (V, E ) is een deelgraaf (subgraph) van graaf G = (V, E) als G een graaf is en V V en E E. Voorbeeld In de onderstaande figuur is G een deelgraaf van G. a b a c d c d e f e f G G 0 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

20 Definitie Een (samenhangende) component G van een graaf G is een maximale samenhangende deelgraaf, d.w.z. G is een samenhangende deelgraaf van G en er is geen samenhangende deelgraaf G van G waarvoor geldt dat G een deelgraaf is van G en G G. Dus: G samenhangend G heeft precies één component. Voorbeeld Hoeveel componenten heeft de onderstaande graaf? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

21 Stelling (Opgave ) Als (V 1, E 1 ),..., (V k, E k ) de componenten van G zijn dan vormt {V 1,..., V k } een partitie van V en {E 1,..., E k } een partitie van E Opgave (1.64) Bewijs dat een graaf G = (V, E) tenminste V E componenten heeft. Opgave (1.65) Bewijs dat als een graaf precies twee punten van oneven graad heeft, dan loopt er een pad tussen deze twee punten. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

22 Bergbeklimmersprobleem Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

25 Andere soorten grafen Gerichte grafen (directed graphs) hebben pijlen i.p.v. lijnen. Multigrafen kunnen meerdere lijnen hebben tussen dezelfde twee punten. Grafen met lussen (loops). Een lus is een lijn (of pijl) die een punt met zichzelf verbindt. Gerichte multigrafen Gewone grafen worden soms ook simpele grafen genoemd. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

26 Definitie Een wandeling (v 0, v 1,..., v k ) in een graaf heet gesloten als v 0 = v k. Definitie Een circuit (cycle) is een gesloten wandeling (v 0, v 1,..., v k ) waarvoor v 1,..., v k verschillend zijn en k 3. Voorbeeld In de onderstaande graaf is (a, b, d, c, e, g, f, d, c, a) een gesloten wandeling, maar geen circuit. De gesloten wandeling (a, b, d, c, a) is wel een circuit. a b c d e f g Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

27 Definitie Een bos is een graaf zonder circuits. Een boom is een samenhangend bos. boom Stelling (Opaven 1.75,1.77,1.79) Als G een graaf op n punten is dan zijn de volgende uitspraken equivalent 1 G is een boom 2 G heeft n 1 lijnen en is samenhangend 3 G heeft n 1 lijnen en bevat geen circuits 4 tussen elk tweetal punten van G loopt precies één pad Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

28 Bruggen van Köningsberg Kun je elke brug precies één keer oversteken en bij je beginpunt uitkomen? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

29 Definitie Een Euler tour in een graaf G is een gesloten wandeling die elke lijn precies één keer doorloopt. Als er een Euler tour bestaat voor G, dan heet G een Euler graaf. Definitie Een Hamilton circuit in een graaf G is een circuit dat elke punt van G doorloopt. Als er een Hamilton circuit bestaat voor G, dan heet G een Hamilton graaf. Vraag Is K 4 een Hamilton graaf? En een Euler graaf? Vraag Is K 2,4 een Hamilton graaf? En een Euler graaf? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

30 Definitie Een Euler tour in een graaf G is een gesloten wandeling die elke lijn precies één keer doorloopt. Als er een Euler tour bestaat voor G, dan heet G een Euler graaf. Stelling (Euler) Laat G een graaf zijn zonder punten van graad 0. Dan geldt: G is een Euler graaf G is samenhangend en alle graden in G zijn even. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

31 Vraag Heeft de onderstaande graaf een Euler tour? a b c d e f g h i j k l m Opgave Vind een Euler tour. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

32 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

33 Chinese Postbodeprobleem Probleem Geven een graaf G = (V, E) met een lengtefunctie l : E R +, vind een zo kort mogelijke gesloten wandeling die elke lijn minstens één keer doorloopt. Observatie Als G een Euler graaf is dan is elke Euler tour een optimale oplossing van het Chinese Postbodeprobleem Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47 5

34 Chinese Postbodeprobleem Laat T de punten van G zijn met oneven graad. Dan is T even. Definitie Een T -join is een verzameling paden die de punten van T paarsgewijs met elkaar verbindt. Lemma In een T -join van minimale totale lengte zijn de paden lijn-disjunct. Oplossen van een Chinees Postbodeprobleem: vind een T -join van minimale totale lengte; verdubbel elke lijn in de T -join; vind een Euler tour. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

35 Opgave Los het Chinese Postbodeprobleem op in de onderstaande graaf Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

36 Definitie Een Hamilton circuit in een graaf G is een circuit dat elke punt van G doorloopt. Als er een Hamilton circuit bestaat voor G, dan heet G een Hamilton graaf. Stelling (Dirac) Als G een graaf is op n 3 punten waarin alle graden tenminste n 2 zijn, dan is G een Hamilton-graaf. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

37 Fylogenetische bomen Een blad is een punt van een boom met graad één. Definitie Gegeven een verzameling X, een fylogenetische boom B op X is een boom zonder punten van graad 2 en met een bijectie tussen de bladeren van B en de elementen van X. X kan bijvoorbeeld een verzameling biologische soorten voorstellen Een fylogenetische boom op X geeft dan aan hoe deze soorten aan elkaar verwand zijn rat muis mens kat tijger Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

38 Fylogenetische bomen Of X kan een verzameling talen voorstellen Een fylogenetische boom op X geeft dan weer hoe deze talen aan elkaar verwand zijn Frans Italiaans Engels Nederlands Duits Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

39 Fylogenetische boom voor talen Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

40 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

41 Vraag Een fylogenetische boom waarvan alle punten graad 1 of 3 hebben heet binair. Stel B is een binaire fylogenetische boom op X en X = n. Hoeveel punten heeft B, als functie van n (voor n 2)? Vraag Hoeveel lijnen heeft B, als functie van n (voor n 2)? Stelling Voor X = n 3, zijn er (2n 7) (2n 5) verschillende binaire fylogenetische bomen op X. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

42 De Bruijn rijen Definitie Een De Bruijn rij van orde n voor een alfabet A is een cyclische ordering van de letters van A zodanig dat elk mogelijke woord van lengte n bestaande uit letters van A precies één keer voorkomt. Voorbeeld A = {0, 1} en n = 2 Woorden van lengte n: 00, 01, 10 en 11 De Bruijn rij: (0, 0, 1, 1) Voorbeeld A = {0, 1} en n = 3 Woorden van lengte n: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 en 111 De Bruijn rij: (0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1) Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

43 Definitie De De Bruijn graaf van dimensie n voor een alfabet A is de gerichte graaf met: een punt voor elk woord van lengte n bestaande uit letters van A vanuit het punt voor woord w 1 is er een pijl naar elk punt voor een woord w 2 dat verkregen kan worden door de eerste letter van w 1 weg te laten en één letter aan het eind toe te voegen (deze letter is het label van de pijl). Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

44 De Bruijn graaf Voorbeeld voor A = {0, 1}, n = 3: Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

45 Een Hamilton circuit in een De Bruijn graaf van dimensie n geeft een De Bruijn rij van orde n. Een Euler tour in een De Bruijn graaf van dimensie n geeft een De Bruijn rij van orde n + 1. Je krijgt de De Bruijn rij door de labels van de pijlen in het circuit achter elkaar te zetten. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

46 Toepassing in de moleculaire biologie Bacteriën hebben cyclisch DNA, bijvoorbeeld: ATGGCGTGCAATGGCGT... Machines die DNA aflezen (sequencing) produceren fragmenten, bijvoorbeeld: ATGGCGT GGCGTGC CGTGCAA TGCAATG CAATGGC ATGGCGT Hoe kunnen we de hele DNA sequentie afleiden uit de fragmenten? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

47 Splits de fragmenten in stukjes van lengte 3 Maar een De Bruijn graaf met een pijl voor elk zo n stukje Vind een Euler tour in de graaf T AT G A CA AA A G TG C G GG C GT GC T CG G Zet de labels van de pijlen in de Euler tour achter elkaar: ATGGCGTGCA Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47