2WO12: Optimalisering in Netwerken

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "2WO12: Optimalisering in Netwerken"

Transcriptie

1 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

2 Inhoud vak: Modelleren van praktijkproblemen m.b.v. grafen Efficiënte algoritmes voor graafproblemen Bewijzen van stellingen over grafen Analyse van algoritmes Classificeren van problemen als moeilijke en makkelijke problemen Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

3 Opzet vak: 8 lectures verdeeld over 16 hoorcolleges 8 instructies zelfstudie (opgaven) twee dictaten en twee hand-outs op website: Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

4 Dictaten en hand-outs Lecture 1-3: Grafen: kleuren en routeren (gkr.pdf) Lecture 4: Graafrepresentaties en complexiteit (compl.pdf) Lectures 5-7: A course in combinatorial optimization (co.pdf) Lecture 8: NP-completeness (np.pdf) Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

5 Definitie Een graaf (graph) is een paar G = (V, E) waarin V en E eindige verzamelingen zijn en elk element van E een verzameling van twee elementen van V is. V is een verzameling punten (vertices) E is een verzameling lijnen (edges) of kanten elke lijn verbindt twee punten grafen worden ook wel netwerken genoemd Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

6 Voorbeeld De onderstaande graaf G = (V, E) heeft: V = {a, b, c, d, e} E = {{a, b}, {a, c}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {d, e}} a b d e c Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

7 Waarschuwing: we kunnen dezelfde graaf op vele manieren tekenen, bijvoorbeeld: b a d e c = b d e c a Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

8 Terminologie Als e = {u, v} E, dan zeggen we: u en v zijn verbonden (adjacent) u is een buur (neighbour) van v (en v is een buur van u) u en v zijn eindpunten (endpoints) van e u en e zijn incident (en v en e zijn incident) v e u Definitie De graad (degree) van een punt v in een graaf G is het aantal buren dat v heeft in G. Notatie: d(v) Definitie Een graaf G is k-regulier als elk punt van G graad k heeft Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

9 Voorbeeld In de onderstaande graaf heeft a graad twee, b, c en d hebben graad drie en e heeft graad één. a b d e c Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

10 Voorbeeld Voorbeelden van reguliere grafen: 2-regulier (circuit) 3-regulier (kubus) 3-regulier (Petersen graaf) Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

11 Lemma (Handshaking Lemma) Voor elke graaf G = (V, E) is de som van de graden even, namelijk: d(v) = 2 E v V Voorbeeld A, B, C, D: personen Lijnen: handdrukken d(a): aantal handen dat persoon A schudt A C B D Gevolg Elke graaf heeft een even aantal punten van oneven graad. (Opgave 1.16) Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

12 Definitie Een volledige graaf (complete graph) heeft een lijn tussen elk paar punten. K n is de volledige graaf op n punten Opgave (1.22) Hoeveel lijnen heeft K 5? Opgave (1.23) Hoeveel lijnen heeft K n? Opgave (1.24) G is een graaf op n punten. Bewijs: G is volledig dan en slechts dan als G (n 1)-regulier is. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

13 Definitie Een graaf G = (V, E) heet bipartiet (bipartite) als V = V 1 V 2 (met V 1 V 2 = ) en E {{v 1, v 2 } v 1 V 1, v 2 V 2 } Vraag G is een volledig bipartiete graaf als K n,m is de volledig bipartiete graaf met V 1 = n en V 2 = m. Hoeveel lijnen heeft K n,m? Vraag Voor welke n en m is K n,m regulier? E = {{v 1, v 2 } v 1 V 1, v 2 V 2 } Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

14 Definitie Het complement van een graaf G = (V, E) is de graaf Ḡ = (V, Ē) met {u, v} Ē voor alle u, v V met {u, v} / E a b a b c d c d G G Vraag Wat is het complement van K 3,4? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

15 Definitie Twee grafen G = (V, E) en G = (V, E ) zijn isomorf (isomorphic) als er een bijectie f : V V bestaat zodanig dat voor alle u, v V : Definitie (u, v) E (f (u), f (v)) E. Een graaf G is zelf-complementair als G en Ḡ isomorf zijn. Voorbeeld Een circuit van lengte 5 is zelf-complementair. e a d G b c e a d G b c d a G b c e f (a) = a f (b) = c f (c) = e f (d) = b f (e) = d Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

16 Definitie De lijngraaf van een graaf G = (V, E) is de graaf H = (V, E ) met een punt v e V voor elke lijn e E en een lijn {v e1, v e2 } E voor elke twee lijnen e 1, e 2 E die incident zijn, d.w.z. met e 1 e 2 Vraag Hoe ziet de lijngraaf van K 2,2 er uit? En de lijngraaf van K 1,7? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

17 Definitie Een wandeling (walk) in een graaf G = (V, E) is een rij punten (v 0, v 1,..., v k ) zodanig dat v i 1 en v i verbonden zijn voor i = 1,..., k. Definitie De lengte van de wandeling is k. Een pad (path) is een wandeling waarvan alle punten verschillend zijn. Definitie Een graaf is samenhangend (connected) als tussen elk tweetal punten een pad bestaat. Stelling (Opgave 1.48) Voor elke samenhangende graaf G = (V, E) geldt E V 1 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

18 Stelling (Opgave 1.51) Voor elke onsamenhangende graaf G = (V, E) geldt E 1 ( V 1)( V 2) 2 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

19 Definitie G = (V, E ) is een deelgraaf (subgraph) van graaf G = (V, E) als G een graaf is en V V en E E. Voorbeeld In de onderstaande figuur is G een deelgraaf van G. a b a c d c d e f e f G G 0 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

20 Definitie Een (samenhangende) component G van een graaf G is een maximale samenhangende deelgraaf, d.w.z. G is een samenhangende deelgraaf van G en er is geen samenhangende deelgraaf G van G waarvoor geldt dat G een deelgraaf is van G en G G. Dus: G samenhangend G heeft precies één component. Voorbeeld Hoeveel componenten heeft de onderstaande graaf? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

21 Stelling (Opgave ) Als (V 1, E 1 ),..., (V k, E k ) de componenten van G zijn dan vormt {V 1,..., V k } een partitie van V en {E 1,..., E k } een partitie van E Opgave (1.64) Bewijs dat een graaf G = (V, E) tenminste V E componenten heeft. Opgave (1.65) Bewijs dat als een graaf precies twee punten van oneven graad heeft, dan loopt er een pad tussen deze twee punten. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

22 Bergbeklimmersprobleem Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

23 Bergbeklimmersprobleem Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

24 Bergbeklimmersprobleem Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

25 Andere soorten grafen Gerichte grafen (directed graphs) hebben pijlen i.p.v. lijnen. Multigrafen kunnen meerdere lijnen hebben tussen dezelfde twee punten. Grafen met lussen (loops). Een lus is een lijn (of pijl) die een punt met zichzelf verbindt. Gerichte multigrafen Gewone grafen worden soms ook simpele grafen genoemd. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

26 Definitie Een wandeling (v 0, v 1,..., v k ) in een graaf heet gesloten als v 0 = v k. Definitie Een circuit (cycle) is een gesloten wandeling (v 0, v 1,..., v k ) waarvoor v 1,..., v k verschillend zijn en k 3. Voorbeeld In de onderstaande graaf is (a, b, d, c, e, g, f, d, c, a) een gesloten wandeling, maar geen circuit. De gesloten wandeling (a, b, d, c, a) is wel een circuit. a b c d e f g Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

27 Definitie Een bos is een graaf zonder circuits. Een boom is een samenhangend bos. boom Stelling (Opaven 1.75,1.77,1.79) Als G een graaf op n punten is dan zijn de volgende uitspraken equivalent 1 G is een boom 2 G heeft n 1 lijnen en is samenhangend 3 G heeft n 1 lijnen en bevat geen circuits 4 tussen elk tweetal punten van G loopt precies één pad Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

28 Bruggen van Köningsberg Kun je elke brug precies één keer oversteken en bij je beginpunt uitkomen? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

29 Definitie Een Euler tour in een graaf G is een gesloten wandeling die elke lijn precies één keer doorloopt. Als er een Euler tour bestaat voor G, dan heet G een Euler graaf. Definitie Een Hamilton circuit in een graaf G is een circuit dat elke punt van G doorloopt. Als er een Hamilton circuit bestaat voor G, dan heet G een Hamilton graaf. Vraag Is K 4 een Hamilton graaf? En een Euler graaf? Vraag Is K 2,4 een Hamilton graaf? En een Euler graaf? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

30 Definitie Een Euler tour in een graaf G is een gesloten wandeling die elke lijn precies één keer doorloopt. Als er een Euler tour bestaat voor G, dan heet G een Euler graaf. Stelling (Euler) Laat G een graaf zijn zonder punten van graad 0. Dan geldt: G is een Euler graaf G is samenhangend en alle graden in G zijn even. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

31 Vraag Heeft de onderstaande graaf een Euler tour? a b c d e f g h i j k l m Opgave Vind een Euler tour. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

32 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

33 Chinese Postbodeprobleem Probleem Geven een graaf G = (V, E) met een lengtefunctie l : E R +, vind een zo kort mogelijke gesloten wandeling die elke lijn minstens één keer doorloopt. Observatie Als G een Euler graaf is dan is elke Euler tour een optimale oplossing van het Chinese Postbodeprobleem Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47 5

34 Chinese Postbodeprobleem Laat T de punten van G zijn met oneven graad. Dan is T even. Definitie Een T -join is een verzameling paden die de punten van T paarsgewijs met elkaar verbindt. Lemma In een T -join van minimale totale lengte zijn de paden lijn-disjunct. Oplossen van een Chinees Postbodeprobleem: vind een T -join van minimale totale lengte; verdubbel elke lijn in de T -join; vind een Euler tour. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

35 Opgave Los het Chinese Postbodeprobleem op in de onderstaande graaf Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

36 Definitie Een Hamilton circuit in een graaf G is een circuit dat elke punt van G doorloopt. Als er een Hamilton circuit bestaat voor G, dan heet G een Hamilton graaf. Stelling (Dirac) Als G een graaf is op n 3 punten waarin alle graden tenminste n 2 zijn, dan is G een Hamilton-graaf. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

37 Fylogenetische bomen Een blad is een punt van een boom met graad één. Definitie Gegeven een verzameling X, een fylogenetische boom B op X is een boom zonder punten van graad 2 en met een bijectie tussen de bladeren van B en de elementen van X. X kan bijvoorbeeld een verzameling biologische soorten voorstellen Een fylogenetische boom op X geeft dan aan hoe deze soorten aan elkaar verwand zijn rat muis mens kat tijger Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

38 Fylogenetische bomen Of X kan een verzameling talen voorstellen Een fylogenetische boom op X geeft dan weer hoe deze talen aan elkaar verwand zijn Frans Italiaans Engels Nederlands Duits Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

39 Fylogenetische boom voor talen Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

40 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

41 Vraag Een fylogenetische boom waarvan alle punten graad 1 of 3 hebben heet binair. Stel B is een binaire fylogenetische boom op X en X = n. Hoeveel punten heeft B, als functie van n (voor n 2)? Vraag Hoeveel lijnen heeft B, als functie van n (voor n 2)? Stelling Voor X = n 3, zijn er (2n 7) (2n 5) verschillende binaire fylogenetische bomen op X. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

42 De Bruijn rijen Definitie Een De Bruijn rij van orde n voor een alfabet A is een cyclische ordering van de letters van A zodanig dat elk mogelijke woord van lengte n bestaande uit letters van A precies één keer voorkomt. Voorbeeld A = {0, 1} en n = 2 Woorden van lengte n: 00, 01, 10 en 11 De Bruijn rij: (0, 0, 1, 1) Voorbeeld A = {0, 1} en n = 3 Woorden van lengte n: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 en 111 De Bruijn rij: (0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1) Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

43 Definitie De De Bruijn graaf van dimensie n voor een alfabet A is de gerichte graaf met: een punt voor elk woord van lengte n bestaande uit letters van A vanuit het punt voor woord w 1 is er een pijl naar elk punt voor een woord w 2 dat verkregen kan worden door de eerste letter van w 1 weg te laten en één letter aan het eind toe te voegen (deze letter is het label van de pijl). Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

44 De Bruijn graaf Voorbeeld voor A = {0, 1}, n = 3: Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

45 Een Hamilton circuit in een De Bruijn graaf van dimensie n geeft een De Bruijn rij van orde n. Een Euler tour in een De Bruijn graaf van dimensie n geeft een De Bruijn rij van orde n + 1. Je krijgt de De Bruijn rij door de labels van de pijlen in het circuit achter elkaar te zetten. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

46 Toepassing in de moleculaire biologie Bacteriën hebben cyclisch DNA, bijvoorbeeld: ATGGCGTGCAATGGCGT... Machines die DNA aflezen (sequencing) produceren fragmenten, bijvoorbeeld: ATGGCGT GGCGTGC CGTGCAA TGCAATG CAATGGC ATGGCGT Hoe kunnen we de hele DNA sequentie afleiden uit de fragmenten? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

47 Splits de fragmenten in stukjes van lengte 3 Maar een De Bruijn graaf met een pijl voor elk zo n stukje Vind een Euler tour in de graaf T AT G A CA AA A G TG C G GG C GT GC T CG G Zet de labels van de pijlen in de Euler tour achter elkaar: ATGGCGTGCA Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 3 en 6 februari / 47

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 4. Grafen. Introductie 45. Leerkern 47. Samenvatting 75 Zelftoets 76

Inhoud leereenheid 4. Grafen. Introductie 45. Leerkern 47. Samenvatting 75 Zelftoets 76 Inhoud leereenheid 4 Grafen Introductie 45 Leerkern 47 4.1 Enkele grafische structuren 47 4.2 Wat is een graaf? 49 4.3 De verbindingsmatrix en een algemener graafbegrip 54 4.4 Wandelen in een graaf 58

Nadere informatie

Grafen: Kleuren en Routeren

Grafen: Kleuren en Routeren Grafen: Kleuren en Routeren door Alexander Schrijver. Inleiding Grafen.. Wat zijn grafen?.. Graden en reguliere grafen 5.. Volledige grafen 8.. Volledig bipartiete grafen 8.5. Complement 9.6. De lijngraaf

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

definities recursieve datastructuren college 13 plaatjes soorten Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten

definities recursieve datastructuren college 13 plaatjes soorten Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten recursieve datastructuren college graphs definities Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten E edges, arcs, kanten, pijlen, lijnen verbinding tussen knopen Voorbeelden steden en verbindingswegen

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 20 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

De huwelijksstelling van Hall

De huwelijksstelling van Hall Thema Discrete wiskunde In de vorige twee afleveringen heb je al kennis kunnen maken met het begrip graaf en hoe grafen worden gebruikt door Google s zoekmachine en door de NS bij het maken van een optimale

Nadere informatie

Chinese postbodeprobleem

Chinese postbodeprobleem Chinese postbodeprobleem Dorthe Van Waarden 9 juli 2010 Eindverslag Bachelorproject Begeleiding: dr. Marcel van de Vel KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Nadere informatie

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten opgaven formele structuren deterministische eindige automaten Opgave. De taal L over het alfabet {a, b} bestaat uit alle strings die beginnen met aa en eindigen met ab. Geef een reguliere expressie voor

Nadere informatie

RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010

RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010 RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010 Handout 1 Jan Terlouw maandag 8 februari 2010 1 Algemene gegevens over deze cursus DS. Docenten. Jan Terlouw (hoorcollege) en Piter Dykstra

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

3 De stelling van Kleene

3 De stelling van Kleene 18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde Een miljoen dollar verdienen in de kerstvakantie? Het enige dat u hoeft te doen, is een polynomiaal algoritme te vinden om een sudoku mee op te lossen. Niels Oosterling schetst waar u dan rekening mee

Nadere informatie

Radboud Universiteit

Radboud Universiteit Radboud Universiteit Voorbereidend materiaal Winkunde - Geluk of Strategie? Zie voor meer informatie onze Facebookpagina Wiskundetoernooi Nijmegen, de website www.ru.nl/wiskundetoernooi en onze Wiskundetoernooi-app.

Nadere informatie

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces:

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces: Definitie Stochastisch Proces: INLEIDING Verzameling van stochastische variabelen die het gedrag in de tijd beschrijven van een systeem dat onderhevig is aan toeval. Tijdparameter: discreet: {X n, n 0};

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1 Oefeningen voor de oefeningenles Oefening 1 Gegeven een arbitraire binaire zoekboom T met n toppen en een (andere of gelijke) binaire zoekboom T die ook n sleutels bevat. Beschrijf een algoritme dat in

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Uitwerkingen Sum of Us

Uitwerkingen Sum of Us Instant Insanity Uitwerkingen Sum of Us Opgave A: - Opgave B: Voor elk van de vier kubussen kun je een graaf maken die correspondeert met de desbetreffende kubus. Elk van deze grafen bevat drie lijnen.

Nadere informatie

Polyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012

Polyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Enkele telproblemen 5 2.1 Probleem 1........................................ 5 2.2 Probleem 2........................................ 5 2.3 Probleem 3........................................

Nadere informatie

Fundamentele. Informatica 1. Rechenmaschine (1623) von Wilhelm Schickard (1592-1635), gebaut für seinen Freund Johannes Kepler

Fundamentele. Informatica 1. Rechenmaschine (1623) von Wilhelm Schickard (1592-1635), gebaut für seinen Freund Johannes Kepler Fundamentele 1 Informatica 1 Rechenmaschine (1623) von Wilhelm Schickard (1592-1635), gebaut für seinen Freund Johannes Kepler Fundamentele Informatica 1 Hendrik Jan Hoogeboom di. 9.00-10.45 college h.j.hoogeboom@liacs.leidenuniv

Nadere informatie

Naam. Nummer:. Klas. Datum.

Naam. Nummer:. Klas. Datum. ([FHOKHUKDOLQJVRHIHQLQJHQ Naam. Nummer:. Klas. Datum. 1 Vergelijk de vensters van Excel en Word Open Microsoft Word. Als het werkvenster leeg is, open je een nieuw document. Open Microsoft Excel. Als het

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 31 maart, 9.00 12.00 uur - Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open vragen. - Per meerkeuzevraag kunnen 0 tot 4 alternatieven juist

Nadere informatie

De Hamming-code. De wiskunde van het fouten verbeteren in digitale gegevens

De Hamming-code. De wiskunde van het fouten verbeteren in digitale gegevens De Hamming-code De wiskunde van het fouten verbeteren in digitale gegevens In het kader van: (Bij) de Faculteit Wiskunde en Informatica van de TU/e op bezoek voorjaar 2007 c Faculteit Wiskunde en Informatica,

Nadere informatie

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209.

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. 1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2009, probleem 1; Kangoeroewedstrijd

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

Algebra and discrete wiskunde

Algebra and discrete wiskunde Algebra and discrete wiskunde dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2015/2016 College 2WF50 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5 Onderwijs-

Nadere informatie

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn

Nadere informatie

Data Mining: Classificatie

Data Mining: Classificatie Data Mining: Classificatie docent: dr. Toon Calders Gebaseerd op slides van Tan, Steinbach, and Kumar. Introduction to Data Mining Overzicht Wat is classificatie? Leren van een beslissingsboom. Problemen

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

1. Vectoren in R n. y-as

1. Vectoren in R n. y-as 1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale

Nadere informatie

Inleiding tot de incidentiemeetkunde

Inleiding tot de incidentiemeetkunde HOOFDSTUK 3 Inleiding tot de incidentiemeetkunde Incidentiemeetkunde is een theoretisch kader waarin bijna elke vorm van meetkunde past. Wij zullen onder andere zien hoe affiene en projectieve meetkunde

Nadere informatie

Convexe Analyse en Optimalisering

Convexe Analyse en Optimalisering Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam and Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott.htm Overzicht Boek: Optimization: Insights and Applications,

Nadere informatie

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002 - 0 - WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2 maar en hoe nu verder? 29 november 2002 De Wiskunde B-dag wordt gesponsord door Texas Instruments - 1 - Inleiding Snel machtverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen.

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Combinatoriek. Introductie 23. Leerkern 24. Samenvatting 45. Zelftoets 46

Inhoud leereenheid 13. Combinatoriek. Introductie 23. Leerkern 24. Samenvatting 45. Zelftoets 46 Inhoud leereenheid 13 Combinatoriek Introductie 23 Leerkern 24 13.1 Tellen, maar wat? 24 13.2 De ene verzameling is de andere niet, of toch wel? 27 13.3 Waar alle tellen mee begint 28 13.4 Herhalingsrangschikkingen

Nadere informatie

Fundamenten van de Informatica

Fundamenten van de Informatica Fundamenten van de Informatica Luc De Raedt Academiejaar 2006-2007 naar de cursustekst van Karel Dekimpe en Bart Demoen A.1: Talen en Eindige Automaten 1 Deel 1: Inleiding 2 Motivatie Fundamenten van de

Nadere informatie

2 beslissen in netwerken. Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken. versie 4 vrijdag 16 november 2007

2 beslissen in netwerken. Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken. versie 4 vrijdag 16 november 2007 eslissen beslissen in netwerken Wiskunde Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken versie vrijdag november 00 Samenstelling Jan ssers ism Kerngroep Wiskunde indhoven ontys voorkennis: optimaliseren.

Nadere informatie

WISKUNDE B-DAG 2012. Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur. Eenvou(w)dig. De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door

WISKUNDE B-DAG 2012. Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur. Eenvou(w)dig. De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door WISKUNDE B-DAG 2012 Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur Eenvou(w)dig De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door Wiskunde B-dag 2012 1 Opgave 6 van de Kangoeroe wedstrijd wizprof 2010: De foto van

Nadere informatie

Datastructuren. Analyse van algoritmen. José Lagerberg. FNWI, UvA. José Lagerberg (FNWI, UvA) Datastructuren 1 / 46

Datastructuren. Analyse van algoritmen. José Lagerberg. FNWI, UvA. José Lagerberg (FNWI, UvA) Datastructuren 1 / 46 Datastructuren Analyse van algoritmen José Lagerberg FNWI, UvA José Lagerberg (FNWI, UvA) Datastructuren 1 / 46 Datastructuren en Algoritmen Datastructuren, 6 ECTS eerstejaars Bachelor INF Datastructuren,

Nadere informatie

Warehousing. Richard Both, Tom Slenders 22 oktober 2009

Warehousing. Richard Both, Tom Slenders 22 oktober 2009 Warehousing Richard Both, Tom Slenders 22 oktober 2009 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleemstelling 2 3 Aannames 2 4 Strategieën en hypotheses 3 4.1 Unity picking.......................................

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld

Nadere informatie

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in

Nadere informatie

Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken

Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken Joost J. Joosten 14 december 2005 Praag en bier Sinds enkele maanden werk ik als post-doc aan de Czech Academy of Sciences in Praag.

Nadere informatie

DNAQL Simulator. Presentatie Bachelorproef. Tom Desair. Universiteit Hasselt. Academiejaar 2010-2011

DNAQL Simulator. Presentatie Bachelorproef. Tom Desair. Universiteit Hasselt. Academiejaar 2010-2011 DNAQL Simulator Presentatie Bachelorproef Tom Desair Universiteit Hasselt Academiejaar 2010-2011 Tom Desair (Universiteit Hasselt) DNAQL Simulator Academiejaar 2010-2011 1 / 13 Inhoud Inleiding Inhoud

Nadere informatie

Voortbouwen op IMAGINARY

Voortbouwen op IMAGINARY Voortbouwen op IMAGINARY Philippe Cara Vrije Universiteit Brussel pcara@vub.ac.be IMAGINARY Kick-off event KULeuven, 3 juni 2015 Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 1 / 31 Componenten

Nadere informatie

MINIMODULES VOOR 3 HAVO

MINIMODULES VOOR 3 HAVO MINIMODULES VOOR 3 HAVO Bioethanol Complex rekenen Cryptografie Digitaal! Evolutie van het oog Forensisch onderzoek Fractals Grafentheorie Navigatie Zonne-energie Ontwikkeld voor Door Jeroen Borsboom Hans

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 5 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 5 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 5 Tips bij werkboekje A Sprinten of sjokken? Werkblad 1 Zijn er handige getallenparen? Bijvoorbeeld 1 en 10 samen. Neem dat dan 5 keer. Dobbelstenen Werkblad 2 Hoeveel sprongen? Werkblad

Nadere informatie

De comfortabele auto

De comfortabele auto De comfortabele auto 1e Matlab practicum Inleiding Wiskundige Systeemtheorie (156056) (inleveren tot en met vrijdag 13 Maart 2009, via Teletop). Dit is de eerste van twee verplichte Matlab/Simulink-practica

Nadere informatie

start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c

start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c Een Minimaal Formalisme om te Programmeren We hebben gezien dat Turing machines beschouwd kunnen worden als universele computers. D.w.z. dat iedere berekening met natuurlijke getallen die met een computer

Nadere informatie

Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde

Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde E. Jespers Departement of Mathematics Vrije Universiteit Brussel 2 Voorbeelden van algebra s van kleine dimensie Een theorie steunt steeds op het goed

Nadere informatie

Unieke factoren in het menselijk DNA. Jeroen F. J. Laros. Begeleiders: Peter Taschner Hendrik Jan Hoogeboom Walter Kosters

Unieke factoren in het menselijk DNA. Jeroen F. J. Laros. Begeleiders: Peter Taschner Hendrik Jan Hoogeboom Walter Kosters Unieke factoren in het menselijk DNA Jeroen F. J. Laros Begeleiders: Peter Taschner Hendrik Jan Hoogeboom Walter Kosters 1 DNA is opgebouwd uit 4 letters: A, T, C en G Er zijn ongeveer 3 10 9 van deze

Nadere informatie

Wiskunde achter het Spoorboekje

Wiskunde achter het Spoorboekje Wiskunde achter het Spoorboekje Lex Schrijver Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) en Universiteit van Amsterdam 1 Spoorboekje 2007 In december 2006 werd bij de Nederlandse Spoorwegen het Spoorboekje

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Sociale Dilemma s en Speltheorie

Sociale Dilemma s en Speltheorie Sociale Dilemma s en Speltheorie Krzysztof R. Apt CWI, Amsterdam Prisoner s Dilemma C D C 2, 2 0, 3 D 3, 0 1, 1 Elke speler heeft twee strategieën: C ( cooperate ) and D ( defect ). Interpretatie: C: Je

Nadere informatie

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

ruimte Handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek handleiding

ruimte Handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek handleiding Handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek 1 de grote lijn de zijlijn hoofdlijn Kennismaken met verschillende soorten

Nadere informatie

Conway s algoritme. Roelof Kuipers 7 juli 2015. Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Sonja Cox

Conway s algoritme. Roelof Kuipers 7 juli 2015. Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Sonja Cox Conway s algoritme Roelof Kuipers 7 juli 2015 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Sonja Cox Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit

Nadere informatie

Inhoud eindtoets. Eindtoets. Introductie 2. Opgaven 3. Terugkoppeling 6

Inhoud eindtoets. Eindtoets. Introductie 2. Opgaven 3. Terugkoppeling 6 Inhoud eindtoets Eindtoets Introductie 2 Opgaven 3 Terugkoppeling 6 1 Formele talen en automaten Eindtoets I N T R O D U C T I E Deze eindtoets is bedoeld als voorbereiding op het tentamen van de cursus

Nadere informatie

Dossier 3 PRIEMGETALLEN

Dossier 3 PRIEMGETALLEN Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,

Nadere informatie

Oriëntatie Kunstmatige Intelligentie. Inleidend College Niels Taatgen

Oriëntatie Kunstmatige Intelligentie. Inleidend College Niels Taatgen Oriëntatie Kunstmatige Intelligentie Inleidend College Niels Taatgen Inhoud vandaag! Wat is kunstmatige intelligentie?! Vakgebieden die bijdragen aan de AI! Kunnen computers denken?! Hoe denken mensen

Nadere informatie

iii Tristan Kuijpers Claudine Lybaert december 2013

iii Tristan Kuijpers Claudine Lybaert december 2013 Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

Elliptische krommen en hun topologische aspecten

Elliptische krommen en hun topologische aspecten Elliptische krommen en hun topologische aspecten René Pannekoek 25 januari 2011 Dit is een korte introductie tot elliptische krommen voor het bachelorseminarium van de Universiteit Leiden. De bespreking

Nadere informatie

Informatieavond Klas 3 Welkom

Informatieavond Klas 3 Welkom Informatieavond Klas 3 Welkom Programma opening het 3 vwo team uw kind op 3 vwo communicatie LOB: Profielkeuzeproces in 3 vwo Pauze (kopje koffie in het dolninarium) kennismaking met de mentor Leerlingen

Nadere informatie

Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 2009: Grafentheorie

Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 2009: Grafentheorie Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 9: rafentheorie it jaar is rafentheorie het thema van de middagwedstrijd Sum of Us van het Wiskundetoernooi. it boekje bevat het voorbereidend materiaal dat je

Nadere informatie

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve

Nadere informatie

Het duivenhokprincipe

Het duivenhokprincipe Tijdens de sneeuwstormen van 5 november j.l. hebben duizenden leerlingen zich gebogen over de opdracht in het kader van de wiskunde B-dag. Op het Jac P Thijsse College worden de werkstukken beoordeeld

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

naar sporen Forensisch expert worden

naar sporen Forensisch expert worden Speuren B naar sporen Forensisch expert worden 3. Vaststellen identiteit Deze les ga je je verdiepen in één specifiek forensisch onderzoeksgebied. Je wordt als het ware zelf een beetje forensisch expert.

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden.

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Uitleg Welkom bij de Beverwedstrijd 2006 Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Je krijgt 5 vragen van niveau A, 5 vragen van niveau B en 5 vragen van niveau C. Wij denken

Nadere informatie

WISKUNDE VMBO KB VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE VMBO KB VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE VMBO KB VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van

Nadere informatie

Grafentheorie voor bouwkundigen

Grafentheorie voor bouwkundigen Grafentheorie voor bouwkundigen Grafentheorie voor bouwkundigen A.J. van Zanten Delft University Press CIP-gegevens Koninklijke Bibliotheek, Den Haag Zanten, A.J. van Grafentheorie voor bouwkundigen /

Nadere informatie

Happy Easter. Happy Easter Ca. 28 x 35 cm. Ellie s Quiltplace

Happy Easter. Happy Easter Ca. 28 x 35 cm. Ellie s Quiltplace Happy Easter Ca. 28 x 35 cm Benodigdheden: - 27 x 22 cm witte stof1 voor de achtergrond - 12 x 27 cm witte stof2 voor de achtergrond - 10 x 110 cm roze voor de tussenbiezen en de afwerkbiezen - 20 x 15

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Modulewijzer InfPbs00DT

Modulewijzer InfPbs00DT Modulewijzer InfPbs00DT W. Oele 0 juli 008 Inhoudsopgave Inleiding 3 Waarom wiskunde? 3. Efficiëntie van computerprogramma s............... 3. 3D-engines en vectoranalyse................... 3.3 Bewijsvoering

Nadere informatie

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ... PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Afdeling Wiskunde. Onderwijs. Onderzoek

Afdeling Wiskunde. Onderwijs. Onderzoek Wiskunde nu Afdeling Wiskunde Onderwijs Onderzoek Afdeling Wiskunde In recente jaren aanzienlijk uitgebreid en verjongd Nu ± 25 vaste medewerkers en postdocs, ook aanzienlijk aantal deeltijd hoogleraren

Nadere informatie

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 Brugklas en klas 2 Vragen 1 t/m 10: voor elk goed antwoord +3 punten, voor elk fout antwoord ¾ punt. 1. In de spiegel zien we een klok. Hoe laat is het? A) 9.45

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

som 1 2 3 4 5 6 4. Het uiteindelijke wedstrijdverloop bij de damesfinale uit de vorige opgave was als volgt: Novotna won de eerste set.

som 1 2 3 4 5 6 4. Het uiteindelijke wedstrijdverloop bij de damesfinale uit de vorige opgave was als volgt: Novotna won de eerste set. 1. Op een grote scholengemeenschap volgen 500 leerlingen één of meer van de vakken biologie, scheikunde en natuurkunde gedurende het eerste semester. Het afdelingshoofd heeft de de gegevens in een diagram

Nadere informatie

Routeplanning middels stochastische koeling

Routeplanning middels stochastische koeling Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.

Nadere informatie

5 T-shirts. (niet de tweede)

5 T-shirts. (niet de tweede) G&R Havo A deel Handig tellen C. von Schwartzenberg /0 a b a b c Neem GR - practicum door. (zie aan het eind van deze uitwerkingen) Tellen (van de eindpunten) geeft keuzemogelijkheden. Berekening: =. Voordeel

Nadere informatie

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. Gelet op artikel 33, lid 1c, van de Wet op het voortgezet onderwijs;

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. Gelet op artikel 33, lid 1c, van de Wet op het voortgezet onderwijs; STAATSCOURANT Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. Nr. 32957 30 september 2015 Regeling van de Minister van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap van 21 september 2015, nr. HO&S/805204,

Nadere informatie

Studierichtingen met bijhorende lessentabellen aangeboden door het Atheneum De Vesten

Studierichtingen met bijhorende lessentabellen aangeboden door het Atheneum De Vesten Studierichtingen met bijhorende lessentabellen aangeboden door het Atheneum De Vesten Atheneum De Vesten Augustijnenlaan 32 2200 Herentals Tel. 014/21 11 44 Fax 014/21 61 06 Email: info@goherentals.be

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

Zoek nu even zelf hoe het verder gaat. Een schematische voorstelling kan hierbij zeker helpen.

Zoek nu even zelf hoe het verder gaat. Een schematische voorstelling kan hierbij zeker helpen. De rij van Fibonacci Leonardo di Pisa (/ ca. 1170, artiestennaam Fibonacci, invoerder van de Indische cijfers in Europa), zat in 1202 met het volgende zware wiskundige probleem: Stel: een boer koopt op

Nadere informatie