TW2020 Optimalisering
|
|
|
- Jonas Moens
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
2 Vandaag Integer Linear Programming (ILP) Modelleren met ILP Weglaten van geheeltalligheidsrestricties (LP-relaxatie) Vergelijken van ILP formuleringen (integrality gap) Wanneer kunnen we een ILP oplossen door de LP-relaxatie op te lossen? (totale unimodulariteit) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
3 Modelleren met ILP: virus uitbraak Voorbeeld Er is een uitbraak van een gevaarlijk virus op M locaties. Er zijn N teams die elk maximaal twee locaties kunnen onderzoeken. Team n heeft t nm tijd nodig om locatie m te onderzoeken. Als een team twee locaties m en p bezoekt dan is er een extra reistijd van r mp. Onderzoek alle locaties in zo min mogelijk tijd! Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
4 Eerste poging Beslissingsvariabelen: { 1 als team n locatie m onderzoekt x nm = 0 anders Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
5 Eerste poging Beslissingsvariabelen: { 1 als team n locatie m onderzoekt x nm = 0 anders Niet-lineaire formulering: N M min max n=1 m=1 M 1 t nm x nm + M m=1 p=m+1 r mp x nm x np o.d.v. N x nm = 1 n=1 M x nm 2 m=1 voor m = 1,..., M voor n = 1,..., N x nm {0, 1} voor n = 1,..., N en m = 1,..., M Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
6 Let op! De doelfunctie is niet lineair want: (i) de operatie max is niet lineair en (ii) het product x nm x np is niet lineair. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
7 Let op! De doelfunctie is niet lineair want: (i) de operatie max is niet lineair en (ii) het product x nm x np is niet lineair. Probleem (i) kunnen we als volgt oplossen: Voeg een extra beslissingsvariabele T R toe. Vervang de doelfunctie door min T Voeg de volgende restricties toe: T M m=1 M 1 t nm x nm + M m=1 p=m+1 r mp x nm x np voor n = 1,..., N Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
8 De nieuwe formulering. Nog steeds niet lineair. min T o.d.v. T M m=1 N x nm = 1 n=1 M x nm 2 m=1 M 1 t nm x nm + M m=1 p=m+1 r mp x nm x np voor n = 1,..., N voor m = 1,..., M voor n = 1,..., N x nm {0, 1} voor n = 1,..., N en m = 1,..., M T R Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
9 Probleem (ii) het product x nm x np is niet lineair. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
10 Probleem (ii) het product x nm x np is niet lineair. kunnen we als volgt oplossen: Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
11 Probleem (ii) het product x nm x np is niet lineair. kunnen we als volgt oplossen: Voeg extra beslissingsvariabelen y nmp {0, 1} toe (die aangeven of team n zowel locatie m als p bezoekt). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
12 Probleem (ii) het product x nm x np is niet lineair. kunnen we als volgt oplossen: Voeg extra beslissingsvariabelen y nmp {0, 1} toe (die aangeven of team n zowel locatie m als p bezoekt). Vervang x nm x np door y nmp in het model. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
13 Probleem (ii) het product x nm x np is niet lineair. kunnen we als volgt oplossen: Voeg extra beslissingsvariabelen y nmp {0, 1} toe (die aangeven of team n zowel locatie m als p bezoekt). Vervang x nm x np door y nmp in het model. Dwing af dat y nmp = x nm x np d.m.v. lineaire restricties: y nmp x nm y nmp x np y nmp x nm + x np 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
14 De uiteindelijke correcte ILP formulering. min o.d.v. T T M m=1 N x nm = 1 n=1 M x nm 2 m=1 y nmp x nm y nmp x np M 1 t nm x nm + y nmp x nm + x np 1 x nm, y nmp {0, 1} T R M m=1 p=m+1 r mp y nmp n m n n, m, p n, m, p n, m, p n, m, p Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
15 Modelleren met ILP: sterilisatie in ziekenhuizen Voorbeeld In ziekenhuizen worden instrumenten op netten geplaatst. Na elke operatie worden alle instrumenten op gebruikte netten gesteriliseerd. De ziekenhuizen willen de instrumenten zodanig over de netten verdelen dat de totale sterilisatiekosten minimaal zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
16 Een gedeeltelijk model (volledige model op werkcollege). Beslissingsvariabelen: x in is het aantal instrumenten van type i dat aan net n wordt toegewezen Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
17 Een gedeeltelijk model (volledige model op werkcollege). Beslissingsvariabelen: x in is het aantal instrumenten van type i dat aan net n wordt toegewezen { 1 als net n bij operatie o gebruikt wordt y no = 0 anders Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
18 Een gedeeltelijk model (volledige model op werkcollege). Beslissingsvariabelen: x in is het aantal instrumenten van type i dat aan net n wordt toegewezen { 1 als net n bij operatie o gebruikt wordt y no = 0 anders Stel er zijn b io instrumenten van type i nodig bij operatie o. Dan willen we zorgen dat: N x in y no b io n=1 i, o Probleem! Deze restrictie is niet lineair!. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
19 Oplossing! Introduceer nieuwe beslissingsvariabelen q ino Z die aangeven hoeveel instrumenten van type i op net n liggen en beschikbaar zijn bij operatie o. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
20 Oplossing! Introduceer nieuwe beslissingsvariabelen q ino Z die aangeven hoeveel instrumenten van type i op net n liggen en beschikbaar zijn bij operatie o. Dus q ino = x in y no. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
21 Oplossing! Introduceer nieuwe beslissingsvariabelen q ino Z die aangeven hoeveel instrumenten van type i op net n liggen en beschikbaar zijn bij operatie o. Dus q ino = x in y no. Dit kunnen we afdwingen d.m.v. de volgende lineaire restricties: q ino My no q ino x in q ino x in + M(y no 1) met M een groot genoeg getal. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
22 LP-relaxatie Een ILP probleem: De LP-relaxatie: min o.d.v. z IP = c T x Ax = b x 0 x Z n min o.d.v. z LP = c T x Ax = b x 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
23 LP-relaxatie Een ILP probleem: De LP-relaxatie: min o.d.v. z IP = c T x Ax = b x 0 x Z n min o.d.v. z LP = c T x Ax = b x 0 Observatie z LP z IP Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
24 LP-relaxatie Een ILP probleem: De LP-relaxatie: min o.d.v. z IP = c T x Ax = b x 0 x Z n min o.d.v. z LP = c T x Ax = b x 0 Observatie z LP z IP Hoe goed is de LP-relaxatie als ondergrens? Definitie De integrality gap van een ILP probleem is de worst-case waarde van zip zlp Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
25 Afronden Een mogelijke aanpak: Los de LP-relaxatie op. Rond de optimale oplossing af zodat die geheeltallig wordt. Problemen: Het kan zijn dat afronden geen toegelaten oplossing van het ILP geeft. Er is in het algemeen geen garantie voor hoe goed een afgeronde oplossing is. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
26 Probleem Handelsreizigersprobleem (TSP) in een graaf Gegeven: een graaf G = (V, E) en een kostenfunctie c : E R +. Gevraagd: een circuit in G dat elk punt precies één keer bevat en minimale kosten heeft. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
27 Probleem Handelsreizigersprobleem (TSP) in een graaf Gegeven: een graaf G = (V, E) en een kostenfunctie c : E R +. Gevraagd: een circuit in G dat elk punt precies één keer bevat en minimale kosten heeft. Beslissingsvariabelen: x e = { 1 als lijn e in het circuit zit 0 anders Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
28 ILP formulering van TSP in een graaf: min o.d.v. c e x e e E e δ(v) e δ(s) x e = 2 v V (a) x e 2 S V, S (b) x e {0, 1} e E (c) Met δ(v) de verzameling lijnen die incident zijn met punt v. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
29 Probleem Handelsreizigersprobleem (TSP) in een gerichte graaf Gegeven: een gerichte graaf D = (V, A) en een kostenfunctie c : A R +. Gevraagd: een gericht circuit in D dat elk punt precies één keer bevat en minimale kosten heeft. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
30 Probleem Handelsreizigersprobleem (TSP) in een gerichte graaf Gegeven: een gerichte graaf D = (V, A) en een kostenfunctie c : A R +. Gevraagd: een gericht circuit in D dat elk punt precies één keer bevat en minimale kosten heeft. Beslissingsvariabelen: { 1 als pijl (i, j) in het circuit zit x ij = 0 anders Met V = {1,..., n}. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
31 ILP formulering van TSP in een gerichte graaf: min o.d.v. n n c ij x ij i=1 j=1 n x ij = 1 j = 1,..., n (A) i=1 n x ij = 1 i = 1,..., n (B) j=1 i S, j V \S x ij 1 S V, S (C) x ij = 0 i, j (i, j) / A (D) x ij {0, 1} i, j (i, j) A (E) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
32 Let op: er zijn exponentiëel veel voorwaarden van type (C). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
33 Let op: er zijn exponentiëel veel voorwaarden van type (C). Dit is geen probleem in de praktijk. We gaan als volgt te werk: Los het probleem op zonder de voorwaarden van type (C). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
34 Let op: er zijn exponentiëel veel voorwaarden van type (C). Dit is geen probleem in de praktijk. We gaan als volgt te werk: Los het probleem op zonder de voorwaarden van type (C). Als de gevonden oplossing bestaat uit meer dan één circuit (subtours): Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
35 Let op: er zijn exponentiëel veel voorwaarden van type (C). Dit is geen probleem in de praktijk. We gaan als volgt te werk: Los het probleem op zonder de voorwaarden van type (C). Als de gevonden oplossing bestaat uit meer dan één circuit (subtours): Voeg voor elke subtour met punten S de bijbehorende voorwaarde van type (C) toe. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
36 Let op: er zijn exponentiëel veel voorwaarden van type (C). Dit is geen probleem in de praktijk. We gaan als volgt te werk: Los het probleem op zonder de voorwaarden van type (C). Als de gevonden oplossing bestaat uit meer dan één circuit (subtours): Voeg voor elke subtour met punten S de bijbehorende voorwaarde van type (C) toe. Los het nieuwe probleem op. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
37 Let op: er zijn exponentiëel veel voorwaarden van type (C). Dit is geen probleem in de praktijk. We gaan als volgt te werk: Los het probleem op zonder de voorwaarden van type (C). Als de gevonden oplossing bestaat uit meer dan één circuit (subtours): Voeg voor elke subtour met punten S de bijbehorende voorwaarde van type (C) toe. Los het nieuwe probleem op. Herhaal totdat er geen subtours meer zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
38 Let op: er zijn exponentiëel veel voorwaarden van type (C). Dit is geen probleem in de praktijk. We gaan als volgt te werk: Los het probleem op zonder de voorwaarden van type (C). Als de gevonden oplossing bestaat uit meer dan één circuit (subtours): Voeg voor elke subtour met punten S de bijbehorende voorwaarde van type (C) toe. Los het nieuwe probleem op. Herhaal totdat er geen subtours meer zijn. Dit werkt goed omdat we de subtours en bijbehorende voorwaarden in polynomiale tijd kunnen vinden. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
39 Let op: er zijn exponentiëel veel voorwaarden van type (C). Dit is geen probleem in de praktijk. We gaan als volgt te werk: Los het probleem op zonder de voorwaarden van type (C). Als de gevonden oplossing bestaat uit meer dan één circuit (subtours): Voeg voor elke subtour met punten S de bijbehorende voorwaarde van type (C) toe. Los het nieuwe probleem op. Herhaal totdat er geen subtours meer zijn. Dit werkt goed omdat we de subtours en bijbehorende voorwaarden in polynomiale tijd kunnen vinden. Deze formulering heeft een sterke LP relaxatie, want de integrality gap is klein. z IP z LP Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
40 Een alternatieve, polynomiale, ILP formulering: n n min c ij x ij i=1 j=0 o.d.v. n x ij = 1 j = 1,..., n (A) i=1 n x ij = 1 i = 1,..., n (B) j=1 u i u j + nx ij n 1 2 i, j n en i j (C ) x ij = 0 i, j (i, j) / A (D) x ij {0, 1} i, j (i, j) A (E) u i R i = 1,..., n (F ) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
41 Stelling 1 Voorwaarden (C ) sluiten subtours uit. 2 Voorwaarden (C ) sluiten geen TSP tours uit. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
42 Stelling 1 Voorwaarden (C ) sluiten subtours uit. 2 Voorwaarden (C ) sluiten geen TSP tours uit. Deze polynomiale formulering heeft een zwakke LP relaxatie, want de integrality gap z IP zlp is groot. Daarom werkt de exponentiële formulering beter in de praktijk. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
43 Unimodulariteit Welke ILP problemen kunnen we oplossen door de LP-relaxatie op te lossen? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
44 Unimodulariteit Welke ILP problemen kunnen we oplossen door de LP-relaxatie op te lossen? Definitie Een vierkante geheeltallige matrix B is unimodulair (UM) als det(b) = ±1. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
45 Unimodulariteit Welke ILP problemen kunnen we oplossen door de LP-relaxatie op te lossen? Definitie Een vierkante geheeltallige matrix B is unimodulair (UM) als det(b) = ±1. Definitie Een geheeltallige matrix A is totaal unimodulair (TUM) als elke vierkante niet-singuliere deelmatrix van A unimodulair is. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
46 Unimodulariteit Welke ILP problemen kunnen we oplossen door de LP-relaxatie op te lossen? Definitie Een vierkante geheeltallige matrix B is unimodulair (UM) als det(b) = ±1. Definitie Een geheeltallige matrix A is totaal unimodulair (TUM) als elke vierkante niet-singuliere deelmatrix van A unimodulair is. Dus een TUM matrix bevat alleen elementen uit {0, 1, 1}. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
47 Stelling (13.1) Als een n m matrix A totaal unimodulair is en b Z m, dan zijn alle hoekpunten van het polyheder geheeltallig. {x R n Ax = b, x 0} Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
48 Stelling (13.1) Als een n m matrix A totaal unimodulair is en b Z m, dan zijn alle hoekpunten van het polyheder geheeltallig. Stelling (13.2) {x R n Ax = b, x 0} Als een n m matrix A totaal unimodulair is en b Z m, dan zijn alle hoekpunten van het polyheder geheeltallig. {x R n Ax b, x 0} Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
49 Stelling (13.1) Als een n m matrix A totaal unimodulair is en b Z m, dan zijn alle hoekpunten van het polyheder geheeltallig. Stelling (13.2) {x R n Ax = b, x 0} Als een n m matrix A totaal unimodulair is en b Z m, dan zijn alle hoekpunten van het polyheder geheeltallig. {x R n Ax b, x 0} Dus, in een ILP formulering met een totaal unimodulaire matrix A en geheeltallige vector b, kunnen we de geheeltalligheidseisen weglaten en de Simplex methode gebruiken. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
50 De volgende voldoende voorwaarde voor TUM kunnen we gebruiken om te laten zien dat we het Kortste Pad en het Max Flow probleem kunnen oplossen met de Simplex methode. Stelling (13.3) Een geheeltallige matrix A met a ij {0, 1, 1} is TUM als elke kolom maximaal twee niet-nul elementen bevat en de rijen van A kunnen worden gepartitioneerd in twee verzamelingen I 1 en I 2 z.d.d.: 1 als een kolom twee elementen van hetzelfde teken heeft, dan behoren de bijbehorende rijen tot verschillende verzamelingen en 2 als een kolom twee elementen van verschillende tekens heeft, dan behoren de bijbehorende rijen tot dezelfde verzameling. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
51 De volgende voldoende voorwaarde voor TUM kunnen we gebruiken om te laten zien dat we het Kortste Pad en het Max Flow probleem kunnen oplossen met de Simplex methode. Stelling (13.3) Een geheeltallige matrix A met a ij {0, 1, 1} is TUM als elke kolom maximaal twee niet-nul elementen bevat en de rijen van A kunnen worden gepartitioneerd in twee verzamelingen I 1 en I 2 z.d.d.: 1 als een kolom twee elementen van hetzelfde teken heeft, dan behoren de bijbehorende rijen tot verschillende verzamelingen en 2 als een kolom twee elementen van verschillende tekens heeft, dan behoren de bijbehorende rijen tot dezelfde verzameling. Dus de node-arc incidence matrix van een gerichte graaf en de node-edge incidence matrix van een bipartiete graaf zijn TUM. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
52 In de ILP formuleringen van Kortste Pad en Max Flow is de matrix A de node-arc incidence matrix van een gerichte graaf. 1 als pijl e j uit punt i vertrekt a ij = 1 als pijl e j in punt i aankomt 0 anders. Uit Stelling 13.3 volgt dat deze matrix totaal unimodulair is. Dus kunnen we de geheeltalligheidseisen weglaten en deze problemen oplossen met de Simplex methode. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
53 Matchings Definitie Een matching in een graaf G = (V, E) is een M E zodat voor alle e, e M met e e geldt dat e e =. Dus een matching is een verzameling lijnen die elkaar niet raken. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
54 Voorbeeld Wat is het maximum aantal lijnen in een matching in de onderstaande grafen? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
55 Probleem Maximum Bipartiete Matching Gegeven: bipartiete graaf B = (U W, E). Bepaal: een matching in B van maximum cardinaliteit. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
56 Probleem Maximum Bipartiete Matching Gegeven: bipartiete graaf B = (U W, E). Bepaal: een matching in B van maximum cardinaliteit. Graaf B = (U W, E) is bipartiet betekent dat elke lijn in E één eindpunt in U en één eindpunt in W heeft. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
57 Probleem Maximum Bipartiete Matching Gegeven: bipartiete graaf B = (U W, E). Bepaal: een matching in B van maximum cardinaliteit. Graaf B = (U W, E) is bipartiet betekent dat elke lijn in E één eindpunt in U en één eindpunt in W heeft. Beslissingsvariabelen: { 1 als lijn e in de matching zit x e = 0 anders. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
58 ILP formulering: max o.d.v. e E x e e δ(v) x e 1 x e {0, 1} v V e E Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
59 ILP formulering: max o.d.v. e E x e e δ(v) x e 1 x e {0, 1} v V e E Oftewel: max o.d.v. 1 [ T x ] A x 1 I x 0 Waarin A de node-edge incidence matrix van de graaf is. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
60 ILP formulering: max o.d.v. e E x e e δ(v) x e 1 x e {0, 1} v V e E Oftewel: max o.d.v. 1 [ T x ] A x 1 I x 0 Waarin A de node-edge incidence matrix van de graaf is. Volgens Stelling 13.3 is A totaal unimodulair. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
61 ILP formulering: max o.d.v. e E x e e δ(v) x e 1 x e {0, 1} v V e E Oftewel: max o.d.v. 1 [ T x ] A x 1 I x 0 Waarin A de node-edge incidence matrix van de graaf is. Volgens Stelling 13.3 is A totaal unimodulair. [ ] A Dus is totaal unimodulair. I Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
62 ILP formulering: max o.d.v. e E x e e δ(v) x e 1 x e {0, 1} v V e E Oftewel: max o.d.v. 1 [ T x ] A x 1 I x 0 Waarin A de node-edge incidence matrix van de graaf is. Volgens Stelling 13.3 is A totaal unimodulair. [ ] A Dus is totaal unimodulair. I Dus zijn er geen geheeltalligheidseisen nodig en kunnen we de Simplex methode gebruiken. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug
Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren
Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 12 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober 2016 1 / 31 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft
l e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 14 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september 2016 1 / 30 Modelleren van LP en ILP problemen
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe
Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.
Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur
Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 6 september, 2012
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 6 september, 2012 Algemene informatie College: donderdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft vragenuur Delft Vier verplichte huiswerkopgaven
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 september 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 september 2015 1 / 23 Huiswerk Huiswerk 1 is beschikbaar op
Samenvatting college 1-12
Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van
Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden
Branch-and-Bound en Cutting Planes
Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 6 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 19 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 19 oktober 2016 1 / 20 Deze week Primal-Dual algoritmes voor:
2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende
l e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013
Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen
Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend
Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk
Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten
Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend
Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search
Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2003 1 Docenten Onderdeel a Er zijn 6 vakken V 1, V 2,..., V 6. Vak V j heeft een vraag b j = 1, voor j = 1, 2,...,
Universiteit Utrecht Departement Informatica
Universiteit Utrecht Departement Informatica Uitwerking Tussentoets Optimalisering 20 december 206 Opgave. Beschouw het volgende lineair programmeringsprobleem: (P) Minimaliseer z = x 2x 2 + x 3 2x 4 o.v.
2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Tentamen: Operationele Research 1D (4016)
UITWERKINGEN Tentamen: Operationele Research 1D (4016) Tentamendatum: 12-1-2010 Duur van het tentamen: 3 uur (maximaal) Opgave 1 (15 punten) Beschouw het volgende lineaire programmeringsprobleem P: max
Benaderingsalgoritmen
Benaderingsalgoritmen Eerste hulp bij NP-moeilijkheid 1 Herhaling NP-volledigheid (1) NP: er is een polynomiaal certificaat voor jainstanties dat in polynomiale tijd te controleren is Een probleem A is
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger
Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit
Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Vandaag: Hoe meten we de performance van algoritmen? Waar ligt de grens tussen een goed en een slecht algoritme? 22 oktober 2014 1 Vandaag: Hoe meten we de performance
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).
64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten
Toewijzingsprobleem Bachelorscriptie
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Toewijzingsprobleem Bachelorscriptie Auteur: Veronique Rademaekers (s4155718) Begeleiders: Dr. W. Bosma en dr. H.
Optimalisering en Complexiteit, College 11. Complementaire speling; duale Simplex methode. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 11 Complementaire speling; duale Simplex methode Han Hoogeveen, Utrecht University Duale probleem (P) (D) min c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 max w 1 b 1 + w 2 b 2 +
SPECIALE LINEAIRE MODELLEN
Hoofdstuk 7 SPECIALE LINEAIRE MODELLEN 7.1 Unimodulariteit en totale unimodulariteit Vele combinatorische optimaliseringsproblemen kunnen worden beschreven als het maximaliseren van een lineaire functie
Geheeltallige programmering
Geheeltallige programmering In een LP probleem zijn alle variabelen reëel. In een geheeltallig probleem blijven doelfunctie en constraints lineair, maar zijn de variabelen geheeltallig. LP: IP: BIP: MIP:
1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3.
1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3. Een LP probleem heeft n>2 variabelen en n+2 constraints.
Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur.
Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, 9.00-12.00 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf
TU/e 2DD50: Wiskunde 2
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
TU/e 2DD50: Wiskunde 2
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Tussentoets: 26 november, tijdens de instructies Tentamenstof: LP; Simplex; dualiteit (= colleges 1 4) Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare)
Tie breaking in de simplex methode
Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150
Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten
BESLISKUNDE 2 EN 3 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN
BESLISKUNDE 2 EN 3 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN VOORJAAR 2007 Voorwoord College Najaar 2004 Het derdejaarscolleges Besliskunde 2 en 3 zijn een vervolg op het tweedejaarscollege Besliskunde 1.
1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).
Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist
Netwerkstroming. Algoritmiek
Netwerkstroming Vandaag Netwerkstroming: definitie en toepassing Het rest-netwerk Verbeterende paden Ford-Fulkerson algoritme Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp Toepassing: koppelingen
Programming a CNC-machine using ILP
Programming a CNC-machine using ILP Maarten Bos Discrete Mathematics and Mathematical Programming Department of Applied Mathematics University of Twente Date: 15-12-2011 Graduation committee: dr. W. Kern
Basiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Tentamen combinatorische optimalisatie Tijd:
Tentamen combinatorische optimalisatie 26-05-2014. Tijd: 9.00-11.30 Tentamen is met gesloten boek. Beschrijf bij elke opgave steeds het belangrijkste idee. Notatie en exacte formulering is van minder belang.
BESLISKUNDE 3 L.C.M. KALLENBERG
BESLISKUNDE 3 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN versie november 2010 Voorwoord De voorkennis van dit vak is het tweedejaarscollege Besliskunde 1. Het derdejaarscollege Besliskunde 2 is niet noodzakelijk,
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper
Lineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
1 Complexiteit. of benadering en snel
1 Complexiteit Het college van vandaag gaat over complexiteit van algoritmes. In het boek hoort hier hoofdstuk 8.1-8.5 bij. Bij complexiteitstheorie is de belangrijkste kernvraag: Hoe goed is een algoritme?
Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur.
Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, 13.30-16.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd
Lineaire programmering
Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum
NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi
NP-Volledigheid Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen Gezien: selectie [O(n)], DFS [O(n + m)], MaxFlow [O nm n + m ], MST [O(n + m)], etc De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is
Netwerkstroming. Algoritmiek
Netwerkstroming Netwerkstroming Toepassingen in Logistiek Video-streaming Subroutine in algoritmen 2 Vandaag Netwerkstroming: wat was dat ook alweer? Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp
2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
(On)Doenlijke problemen
Fundamentele Informatica In3 005 Deel 2 College 1 Cees Witteveen Parallelle en Gedistribueerde Systemen Faculteit Informatie Technologie en Systemen Overzicht Inleiding - Relatie Deel 1 en Deel 2 - Doenlijke
Universiteit Utrecht Departement Informatica. Examen Optimalisering op dinsdag 29 januari 2019, uur.
Universiteit Utrecht Departement Informatica Examen Optimalisering op dinsdag 29 januari 2019, 17.00-20.00 uur. ˆ Mobieltjes UIT en diep weggestopt in je tas. Wanneer je naar de WC wil, dan moet je je
Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek
Enkele baimodellen uit operationeel onderzoek Roel Leu Roel.Leu@econ.kuleuven.be Studiedag Wikunde e graad ASO 6 mei Inleiding Operationeel onderzoek (O.O.) = het gebruik van wikundige technieken voor
Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen
Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch
Matrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
Tentamen IN3105. Complexiteitstheorie. 16 april 2012, uur
Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Ti Delft Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 16 april 2012, 9.00-12.00 uur Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open
Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 10 Begrensde variabelen Han Hoogeveen, Utrecht University Begrensde variabelen (1) In veel toepassingen hebben variabelen zowel een ondergrens als een bovengrens:
Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.
Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee
5 Automatische partitionering van softwaresystemen
26 Proceedings of the 52 nd European Study Group with Industry 5 Automatische partitionering van softwaresystemen Rob Bisseling, Jarosław Byrka, Selin Cerav-Erbas, Nebojša Gvozdenović, Mathias Lorenz,
Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde
Een miljoen dollar verdienen in de kerstvakantie? Het enige dat u hoeft te doen, is een polynomiaal algoritme te vinden om een sudoku mee op te lossen. Niels Oosterling schetst waar u dan rekening mee
Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Medewerkers : Ivor van
Determinanten. Definities en eigenschappen
Determinanten Definities en eigenschappen Definities (korte herhaling) Determinant van een 2x2-matrix: a b ad bc c d S. Mettepenningen Determinanten 2 Definities (korte herhaling) Determinant van een 3x3-matrix:
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:
BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN
BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en
Divide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg. Algoritmiek
Divide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg Algoritmiek Algoritmische technieken Vorige keer: Divide and conquer techniek Aantal toepassingen van de techniek Analyse met Master theorem en substitutie Vandaag:
Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, uur
Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, 14.00-17.00 uur Het tentamen bestaat uit 6 opgaven. Motiveer je antwoorden duidelijk. De normering van de opgaves staat steeds
Lineaire vergelijkingen II: Pivotering
1/25 Lineaire vergelijkingen II: Pivotering VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 15 april 2013 2/25 Overzicht Pivotering: Methodes Norm en conditionering
1 Vervangingsstrategie auto
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2002 1 Vervangingsstrategie auto Onderdeel a Zij V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, waarbij knoop i staat voor het einde
1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d.
1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. een toewijzingsprobleem. 2. Het aantal toegelaten hoekpunten in een
Fundamentele Informatica
Fundamentele Informatica (IN3120 en IN3005 DOI nwe stijl) 20 augustus 2004, 9.00 11.00 uur Het tentamen IN3120 bestaat uit 10 meerkeuzevragen en 2 open vragen. Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal 65
Hoofdstuk 3 : Determinanten
(A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld
Tentamen Deterministische Modellen in de OR Dinsdag 17 augustus 2004, uur vakcode
Kenmerk: EWI04/T-DWMP//dh Tentamen Deterministische Modellen in de OR Dinsdag 7 augustus 004, 9.00.00 uur vakcode 58075 Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief
Optimalisering WI 2608
Optimalisering WI 2608 Docent: Hans Melissen, EWI kamer 7.080 e-mail: j.b.m.melissen@ewi.tudelft.nl tel: 015-2782547 Studiemateriaal op : http://www.isa.ewi.tudelft.nl/~melissen (kijk bij onderwijs WI
Voorwaardelijke optimalisatie
Voorwaardelijke optimalisatie We zoek naar maximale minimale waard van e kwadratische vorm Q(x op R n onder bepaalde voorwaard Zo n voorwaarde is bijvoorbeeld dat x R n e eheidsvector is, dat wil zegg
Elfde college complexiteit. 23 april NP-volledigheid III
college 11 Elfde college complexiteit 23 april 2019 NP-volledigheid III 1 TSP Als voorbeeld bekijken we het Travelling Salesman/person Problem, ofwel het Handelsreizigersprobleem TSP. Hiervoor geldt: TSP
Modellen en Simulatie Speltheorie
Utrecht, 20 juni 2012 Modellen en Simulatie Speltheorie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Program Optimaliseren Nul-som matrix spel Spel strategie Gemengde
Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme
Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)