TW2020 Optimalisering

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "TW2020 Optimalisering"

Transcriptie

1 TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

2 Vandaag Integer Linear Programming (ILP) Modelleren met ILP Weglaten van geheeltalligheidsrestricties (LP-relaxatie) Vergelijken van ILP formuleringen (integrality gap) Wanneer kunnen we een ILP oplossen door de LP-relaxatie op te lossen? (totale unimodulariteit) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

3 Modelleren met ILP: virus uitbraak Voorbeeld Er is een uitbraak van een gevaarlijk virus op M locaties. Er zijn N teams die elk maximaal twee locaties kunnen onderzoeken. Team n heeft t nm tijd nodig om locatie m te onderzoeken. Als een team twee locaties m en p bezoekt dan is er een extra reistijd van r mp. Onderzoek alle locaties in zo min mogelijk tijd! Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

4 Eerste poging Beslissingsvariabelen: { 1 als team n locatie m onderzoekt x nm = 0 anders Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

5 Eerste poging Beslissingsvariabelen: { 1 als team n locatie m onderzoekt x nm = 0 anders Niet-lineaire formulering: N M min max n=1 m=1 M 1 t nm x nm + M m=1 p=m+1 r mp x nm x np o.d.v. N x nm = 1 n=1 M x nm 2 m=1 voor m = 1,..., M voor n = 1,..., N x nm {0, 1} voor n = 1,..., N en m = 1,..., M Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

6 Let op! De doelfunctie is niet lineair want: (i) de operatie max is niet lineair en (ii) het product x nm x np is niet lineair. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

7 Let op! De doelfunctie is niet lineair want: (i) de operatie max is niet lineair en (ii) het product x nm x np is niet lineair. Probleem (i) kunnen we als volgt oplossen: Voeg een extra beslissingsvariabele T R toe. Vervang de doelfunctie door min T Voeg de volgende restricties toe: T M m=1 M 1 t nm x nm + M m=1 p=m+1 r mp x nm x np voor n = 1,..., N Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

8 De nieuwe formulering. Nog steeds niet lineair. min T o.d.v. T M m=1 N x nm = 1 n=1 M x nm 2 m=1 M 1 t nm x nm + M m=1 p=m+1 r mp x nm x np voor n = 1,..., N voor m = 1,..., M voor n = 1,..., N x nm {0, 1} voor n = 1,..., N en m = 1,..., M T R Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

9 Probleem (ii) het product x nm x np is niet lineair. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

10 Probleem (ii) het product x nm x np is niet lineair. kunnen we als volgt oplossen: Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

11 Probleem (ii) het product x nm x np is niet lineair. kunnen we als volgt oplossen: Voeg extra beslissingsvariabelen y nmp {0, 1} toe (die aangeven of team n zowel locatie m als p bezoekt). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

12 Probleem (ii) het product x nm x np is niet lineair. kunnen we als volgt oplossen: Voeg extra beslissingsvariabelen y nmp {0, 1} toe (die aangeven of team n zowel locatie m als p bezoekt). Vervang x nm x np door y nmp in het model. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

13 Probleem (ii) het product x nm x np is niet lineair. kunnen we als volgt oplossen: Voeg extra beslissingsvariabelen y nmp {0, 1} toe (die aangeven of team n zowel locatie m als p bezoekt). Vervang x nm x np door y nmp in het model. Dwing af dat y nmp = x nm x np d.m.v. lineaire restricties: y nmp x nm y nmp x np y nmp x nm + x np 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

14 De uiteindelijke correcte ILP formulering. min o.d.v. T T M m=1 N x nm = 1 n=1 M x nm 2 m=1 y nmp x nm y nmp x np M 1 t nm x nm + y nmp x nm + x np 1 x nm, y nmp {0, 1} T R M m=1 p=m+1 r mp y nmp n m n n, m, p n, m, p n, m, p n, m, p Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

15 Modelleren met ILP: sterilisatie in ziekenhuizen Voorbeeld In ziekenhuizen worden instrumenten op netten geplaatst. Na elke operatie worden alle instrumenten op gebruikte netten gesteriliseerd. De ziekenhuizen willen de instrumenten zodanig over de netten verdelen dat de totale sterilisatiekosten minimaal zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

16 Een gedeeltelijk model (volledige model op werkcollege). Beslissingsvariabelen: x in is het aantal instrumenten van type i dat aan net n wordt toegewezen Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

17 Een gedeeltelijk model (volledige model op werkcollege). Beslissingsvariabelen: x in is het aantal instrumenten van type i dat aan net n wordt toegewezen { 1 als net n bij operatie o gebruikt wordt y no = 0 anders Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

18 Een gedeeltelijk model (volledige model op werkcollege). Beslissingsvariabelen: x in is het aantal instrumenten van type i dat aan net n wordt toegewezen { 1 als net n bij operatie o gebruikt wordt y no = 0 anders Stel er zijn b io instrumenten van type i nodig bij operatie o. Dan willen we zorgen dat: N x in y no b io n=1 i, o Probleem! Deze restrictie is niet lineair!. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

19 Oplossing! Introduceer nieuwe beslissingsvariabelen q ino Z die aangeven hoeveel instrumenten van type i op net n liggen en beschikbaar zijn bij operatie o. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

20 Oplossing! Introduceer nieuwe beslissingsvariabelen q ino Z die aangeven hoeveel instrumenten van type i op net n liggen en beschikbaar zijn bij operatie o. Dus q ino = x in y no. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

21 Oplossing! Introduceer nieuwe beslissingsvariabelen q ino Z die aangeven hoeveel instrumenten van type i op net n liggen en beschikbaar zijn bij operatie o. Dus q ino = x in y no. Dit kunnen we afdwingen d.m.v. de volgende lineaire restricties: q ino My no q ino x in q ino x in + M(y no 1) met M een groot genoeg getal. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

22 LP-relaxatie Een ILP probleem: De LP-relaxatie: min o.d.v. z IP = c T x Ax = b x 0 x Z n min o.d.v. z LP = c T x Ax = b x 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

23 LP-relaxatie Een ILP probleem: De LP-relaxatie: min o.d.v. z IP = c T x Ax = b x 0 x Z n min o.d.v. z LP = c T x Ax = b x 0 Observatie z LP z IP Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

24 LP-relaxatie Een ILP probleem: De LP-relaxatie: min o.d.v. z IP = c T x Ax = b x 0 x Z n min o.d.v. z LP = c T x Ax = b x 0 Observatie z LP z IP Hoe goed is de LP-relaxatie als ondergrens? Definitie De integrality gap van een ILP probleem is de worst-case waarde van zip zlp Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

25 Afronden Een mogelijke aanpak: Los de LP-relaxatie op. Rond de optimale oplossing af zodat die geheeltallig wordt. Problemen: Het kan zijn dat afronden geen toegelaten oplossing van het ILP geeft. Er is in het algemeen geen garantie voor hoe goed een afgeronde oplossing is. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

26 Probleem Handelsreizigersprobleem (TSP) in een graaf Gegeven: een graaf G = (V, E) en een kostenfunctie c : E R +. Gevraagd: een circuit in G dat elk punt precies één keer bevat en minimale kosten heeft. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

27 Probleem Handelsreizigersprobleem (TSP) in een graaf Gegeven: een graaf G = (V, E) en een kostenfunctie c : E R +. Gevraagd: een circuit in G dat elk punt precies één keer bevat en minimale kosten heeft. Beslissingsvariabelen: x e = { 1 als lijn e in het circuit zit 0 anders Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

28 ILP formulering van TSP in een graaf: min o.d.v. c e x e e E e δ(v) e δ(s) x e = 2 v V (a) x e 2 S V, S (b) x e {0, 1} e E (c) Met δ(v) de verzameling lijnen die incident zijn met punt v. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

29 Probleem Handelsreizigersprobleem (TSP) in een gerichte graaf Gegeven: een gerichte graaf D = (V, A) en een kostenfunctie c : A R +. Gevraagd: een gericht circuit in D dat elk punt precies één keer bevat en minimale kosten heeft. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

30 Probleem Handelsreizigersprobleem (TSP) in een gerichte graaf Gegeven: een gerichte graaf D = (V, A) en een kostenfunctie c : A R +. Gevraagd: een gericht circuit in D dat elk punt precies één keer bevat en minimale kosten heeft. Beslissingsvariabelen: { 1 als pijl (i, j) in het circuit zit x ij = 0 anders Met V = {1,..., n}. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

31 ILP formulering van TSP in een gerichte graaf: min o.d.v. n n c ij x ij i=1 j=1 n x ij = 1 j = 1,..., n (A) i=1 n x ij = 1 i = 1,..., n (B) j=1 i S, j V \S x ij 1 S V, S (C) x ij = 0 i, j (i, j) / A (D) x ij {0, 1} i, j (i, j) A (E) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

32 Let op: er zijn exponentiëel veel voorwaarden van type (C). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

33 Let op: er zijn exponentiëel veel voorwaarden van type (C). Dit is geen probleem in de praktijk. We gaan als volgt te werk: Los het probleem op zonder de voorwaarden van type (C). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

34 Let op: er zijn exponentiëel veel voorwaarden van type (C). Dit is geen probleem in de praktijk. We gaan als volgt te werk: Los het probleem op zonder de voorwaarden van type (C). Als de gevonden oplossing bestaat uit meer dan één circuit (subtours): Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

35 Let op: er zijn exponentiëel veel voorwaarden van type (C). Dit is geen probleem in de praktijk. We gaan als volgt te werk: Los het probleem op zonder de voorwaarden van type (C). Als de gevonden oplossing bestaat uit meer dan één circuit (subtours): Voeg voor elke subtour met punten S de bijbehorende voorwaarde van type (C) toe. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

36 Let op: er zijn exponentiëel veel voorwaarden van type (C). Dit is geen probleem in de praktijk. We gaan als volgt te werk: Los het probleem op zonder de voorwaarden van type (C). Als de gevonden oplossing bestaat uit meer dan één circuit (subtours): Voeg voor elke subtour met punten S de bijbehorende voorwaarde van type (C) toe. Los het nieuwe probleem op. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

37 Let op: er zijn exponentiëel veel voorwaarden van type (C). Dit is geen probleem in de praktijk. We gaan als volgt te werk: Los het probleem op zonder de voorwaarden van type (C). Als de gevonden oplossing bestaat uit meer dan één circuit (subtours): Voeg voor elke subtour met punten S de bijbehorende voorwaarde van type (C) toe. Los het nieuwe probleem op. Herhaal totdat er geen subtours meer zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

38 Let op: er zijn exponentiëel veel voorwaarden van type (C). Dit is geen probleem in de praktijk. We gaan als volgt te werk: Los het probleem op zonder de voorwaarden van type (C). Als de gevonden oplossing bestaat uit meer dan één circuit (subtours): Voeg voor elke subtour met punten S de bijbehorende voorwaarde van type (C) toe. Los het nieuwe probleem op. Herhaal totdat er geen subtours meer zijn. Dit werkt goed omdat we de subtours en bijbehorende voorwaarden in polynomiale tijd kunnen vinden. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

39 Let op: er zijn exponentiëel veel voorwaarden van type (C). Dit is geen probleem in de praktijk. We gaan als volgt te werk: Los het probleem op zonder de voorwaarden van type (C). Als de gevonden oplossing bestaat uit meer dan één circuit (subtours): Voeg voor elke subtour met punten S de bijbehorende voorwaarde van type (C) toe. Los het nieuwe probleem op. Herhaal totdat er geen subtours meer zijn. Dit werkt goed omdat we de subtours en bijbehorende voorwaarden in polynomiale tijd kunnen vinden. Deze formulering heeft een sterke LP relaxatie, want de integrality gap is klein. z IP z LP Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

40 Een alternatieve, polynomiale, ILP formulering: n n min c ij x ij i=1 j=0 o.d.v. n x ij = 1 j = 1,..., n (A) i=1 n x ij = 1 i = 1,..., n (B) j=1 u i u j + nx ij n 1 2 i, j n en i j (C ) x ij = 0 i, j (i, j) / A (D) x ij {0, 1} i, j (i, j) A (E) u i R i = 1,..., n (F ) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

41 Stelling 1 Voorwaarden (C ) sluiten subtours uit. 2 Voorwaarden (C ) sluiten geen TSP tours uit. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

42 Stelling 1 Voorwaarden (C ) sluiten subtours uit. 2 Voorwaarden (C ) sluiten geen TSP tours uit. Deze polynomiale formulering heeft een zwakke LP relaxatie, want de integrality gap z IP zlp is groot. Daarom werkt de exponentiële formulering beter in de praktijk. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

43 Unimodulariteit Welke ILP problemen kunnen we oplossen door de LP-relaxatie op te lossen? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

44 Unimodulariteit Welke ILP problemen kunnen we oplossen door de LP-relaxatie op te lossen? Definitie Een vierkante geheeltallige matrix B is unimodulair (UM) als det(b) = ±1. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

45 Unimodulariteit Welke ILP problemen kunnen we oplossen door de LP-relaxatie op te lossen? Definitie Een vierkante geheeltallige matrix B is unimodulair (UM) als det(b) = ±1. Definitie Een geheeltallige matrix A is totaal unimodulair (TUM) als elke vierkante niet-singuliere deelmatrix van A unimodulair is. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

46 Unimodulariteit Welke ILP problemen kunnen we oplossen door de LP-relaxatie op te lossen? Definitie Een vierkante geheeltallige matrix B is unimodulair (UM) als det(b) = ±1. Definitie Een geheeltallige matrix A is totaal unimodulair (TUM) als elke vierkante niet-singuliere deelmatrix van A unimodulair is. Dus een TUM matrix bevat alleen elementen uit {0, 1, 1}. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

47 Stelling (13.1) Als een n m matrix A totaal unimodulair is en b Z m, dan zijn alle hoekpunten van het polyheder geheeltallig. {x R n Ax = b, x 0} Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

48 Stelling (13.1) Als een n m matrix A totaal unimodulair is en b Z m, dan zijn alle hoekpunten van het polyheder geheeltallig. Stelling (13.2) {x R n Ax = b, x 0} Als een n m matrix A totaal unimodulair is en b Z m, dan zijn alle hoekpunten van het polyheder geheeltallig. {x R n Ax b, x 0} Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

49 Stelling (13.1) Als een n m matrix A totaal unimodulair is en b Z m, dan zijn alle hoekpunten van het polyheder geheeltallig. Stelling (13.2) {x R n Ax = b, x 0} Als een n m matrix A totaal unimodulair is en b Z m, dan zijn alle hoekpunten van het polyheder geheeltallig. {x R n Ax b, x 0} Dus, in een ILP formulering met een totaal unimodulaire matrix A en geheeltallige vector b, kunnen we de geheeltalligheidseisen weglaten en de Simplex methode gebruiken. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

50 De volgende voldoende voorwaarde voor TUM kunnen we gebruiken om te laten zien dat we het Kortste Pad en het Max Flow probleem kunnen oplossen met de Simplex methode. Stelling (13.3) Een geheeltallige matrix A met a ij {0, 1, 1} is TUM als elke kolom maximaal twee niet-nul elementen bevat en de rijen van A kunnen worden gepartitioneerd in twee verzamelingen I 1 en I 2 z.d.d.: 1 als een kolom twee elementen van hetzelfde teken heeft, dan behoren de bijbehorende rijen tot verschillende verzamelingen en 2 als een kolom twee elementen van verschillende tekens heeft, dan behoren de bijbehorende rijen tot dezelfde verzameling. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

51 De volgende voldoende voorwaarde voor TUM kunnen we gebruiken om te laten zien dat we het Kortste Pad en het Max Flow probleem kunnen oplossen met de Simplex methode. Stelling (13.3) Een geheeltallige matrix A met a ij {0, 1, 1} is TUM als elke kolom maximaal twee niet-nul elementen bevat en de rijen van A kunnen worden gepartitioneerd in twee verzamelingen I 1 en I 2 z.d.d.: 1 als een kolom twee elementen van hetzelfde teken heeft, dan behoren de bijbehorende rijen tot verschillende verzamelingen en 2 als een kolom twee elementen van verschillende tekens heeft, dan behoren de bijbehorende rijen tot dezelfde verzameling. Dus de node-arc incidence matrix van een gerichte graaf en de node-edge incidence matrix van een bipartiete graaf zijn TUM. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

52 In de ILP formuleringen van Kortste Pad en Max Flow is de matrix A de node-arc incidence matrix van een gerichte graaf. 1 als pijl e j uit punt i vertrekt a ij = 1 als pijl e j in punt i aankomt 0 anders. Uit Stelling 13.3 volgt dat deze matrix totaal unimodulair is. Dus kunnen we de geheeltalligheidseisen weglaten en deze problemen oplossen met de Simplex methode. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

53 Matchings Definitie Een matching in een graaf G = (V, E) is een M E zodat voor alle e, e M met e e geldt dat e e =. Dus een matching is een verzameling lijnen die elkaar niet raken. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

54 Voorbeeld Wat is het maximum aantal lijnen in een matching in de onderstaande grafen? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

55 Probleem Maximum Bipartiete Matching Gegeven: bipartiete graaf B = (U W, E). Bepaal: een matching in B van maximum cardinaliteit. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

56 Probleem Maximum Bipartiete Matching Gegeven: bipartiete graaf B = (U W, E). Bepaal: een matching in B van maximum cardinaliteit. Graaf B = (U W, E) is bipartiet betekent dat elke lijn in E één eindpunt in U en één eindpunt in W heeft. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

57 Probleem Maximum Bipartiete Matching Gegeven: bipartiete graaf B = (U W, E). Bepaal: een matching in B van maximum cardinaliteit. Graaf B = (U W, E) is bipartiet betekent dat elke lijn in E één eindpunt in U en één eindpunt in W heeft. Beslissingsvariabelen: { 1 als lijn e in de matching zit x e = 0 anders. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

58 ILP formulering: max o.d.v. e E x e e δ(v) x e 1 x e {0, 1} v V e E Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

59 ILP formulering: max o.d.v. e E x e e δ(v) x e 1 x e {0, 1} v V e E Oftewel: max o.d.v. 1 [ T x ] A x 1 I x 0 Waarin A de node-edge incidence matrix van de graaf is. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

60 ILP formulering: max o.d.v. e E x e e δ(v) x e 1 x e {0, 1} v V e E Oftewel: max o.d.v. 1 [ T x ] A x 1 I x 0 Waarin A de node-edge incidence matrix van de graaf is. Volgens Stelling 13.3 is A totaal unimodulair. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

61 ILP formulering: max o.d.v. e E x e e δ(v) x e 1 x e {0, 1} v V e E Oftewel: max o.d.v. 1 [ T x ] A x 1 I x 0 Waarin A de node-edge incidence matrix van de graaf is. Volgens Stelling 13.3 is A totaal unimodulair. [ ] A Dus is totaal unimodulair. I Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

62 ILP formulering: max o.d.v. e E x e e δ(v) x e 1 x e {0, 1} v V e E Oftewel: max o.d.v. 1 [ T x ] A x 1 I x 0 Waarin A de node-edge incidence matrix van de graaf is. Volgens Stelling 13.3 is A totaal unimodulair. [ ] A Dus is totaal unimodulair. I Dus zijn er geen geheeltalligheidseisen nodig en kunnen we de Simplex methode gebruiken. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november / 28

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug

Nadere informatie

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 14 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september 2016 1 / 30 Modelleren van LP en ILP problemen

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2

Nadere informatie

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur

Nadere informatie

Samenvatting college 1-12

Samenvatting college 1-12 Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 september 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 september 2015 1 / 23 Huiswerk Huiswerk 1 is beschikbaar op

Nadere informatie

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Tentamen: Operationele Research 1D (4016)

Tentamen: Operationele Research 1D (4016) UITWERKINGEN Tentamen: Operationele Research 1D (4016) Tentamendatum: 12-1-2010 Duur van het tentamen: 3 uur (maximaal) Opgave 1 (15 punten) Beschouw het volgende lineaire programmeringsprobleem P: max

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit

Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Vandaag: Hoe meten we de performance van algoritmen? Waar ligt de grens tussen een goed en een slecht algoritme? 22 oktober 2014 1 Vandaag: Hoe meten we de performance

Nadere informatie

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken). 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten

Nadere informatie

SPECIALE LINEAIRE MODELLEN

SPECIALE LINEAIRE MODELLEN Hoofdstuk 7 SPECIALE LINEAIRE MODELLEN 7.1 Unimodulariteit en totale unimodulariteit Vele combinatorische optimaliseringsproblemen kunnen worden beschreven als het maximaliseren van een lineaire functie

Nadere informatie

1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3.

1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3. 1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3. Een LP probleem heeft n>2 variabelen en n+2 constraints.

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur.

Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur. Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, 9.00-12.00 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Tussentoets: 26 november, tijdens de instructies Tentamenstof: LP; Simplex; dualiteit (= colleges 1 4) Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare)

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters

Nadere informatie

Geheeltallige programmering

Geheeltallige programmering Geheeltallige programmering In een LP probleem zijn alle variabelen reëel. In een geheeltallig probleem blijven doelfunctie en constraints lineair, maar zijn de variabelen geheeltallig. LP: IP: BIP: MIP:

Nadere informatie

Tie breaking in de simplex methode

Tie breaking in de simplex methode Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.

Nadere informatie

Programming a CNC-machine using ILP

Programming a CNC-machine using ILP Programming a CNC-machine using ILP Maarten Bos Discrete Mathematics and Mathematical Programming Department of Applied Mathematics University of Twente Date: 15-12-2011 Graduation committee: dr. W. Kern

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

Netwerkstroming. Algoritmiek

Netwerkstroming. Algoritmiek Netwerkstroming Vandaag Netwerkstroming: definitie en toepassing Het rest-netwerk Verbeterende paden Ford-Fulkerson algoritme Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp Toepassing: koppelingen

Nadere informatie

BESLISKUNDE 2 EN 3 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

BESLISKUNDE 2 EN 3 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN BESLISKUNDE 2 EN 3 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN VOORJAAR 2007 Voorwoord College Najaar 2004 Het derdejaarscolleges Besliskunde 2 en 3 zijn een vervolg op het tweedejaarscollege Besliskunde 1.

Nadere informatie

BESLISKUNDE 3 L.C.M. KALLENBERG

BESLISKUNDE 3 L.C.M. KALLENBERG BESLISKUNDE 3 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN versie november 2010 Voorwoord De voorkennis van dit vak is het tweedejaarscollege Besliskunde 1. Het derdejaarscollege Besliskunde 2 is niet noodzakelijk,

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

1 Complexiteit. of benadering en snel

1 Complexiteit. of benadering en snel 1 Complexiteit Het college van vandaag gaat over complexiteit van algoritmes. In het boek hoort hier hoofdstuk 8.1-8.5 bij. Bij complexiteitstheorie is de belangrijkste kernvraag: Hoe goed is een algoritme?

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur.

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur. Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, 13.30-16.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd

Nadere informatie

Netwerkstroming. Algoritmiek

Netwerkstroming. Algoritmiek Netwerkstroming Netwerkstroming Toepassingen in Logistiek Video-streaming Subroutine in algoritmen 2 Vandaag Netwerkstroming: wat was dat ook alweer? Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp

Nadere informatie

NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi

NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi NP-Volledigheid Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen Gezien: selectie [O(n)], DFS [O(n + m)], MaxFlow [O nm n + m ], MST [O(n + m)], etc De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is

Nadere informatie

(On)Doenlijke problemen

(On)Doenlijke problemen Fundamentele Informatica In3 005 Deel 2 College 1 Cees Witteveen Parallelle en Gedistribueerde Systemen Faculteit Informatie Technologie en Systemen Overzicht Inleiding - Relatie Deel 1 en Deel 2 - Doenlijke

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Lineaire programmering

Lineaire programmering Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum

Nadere informatie

Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek

Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek Enkele baimodellen uit operationeel onderzoek Roel Leu Roel.Leu@econ.kuleuven.be Studiedag Wikunde e graad ASO 6 mei Inleiding Operationeel onderzoek (O.O.) = het gebruik van wikundige technieken voor

Nadere informatie

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Tentamen IN3105. Complexiteitstheorie. 16 april 2012, uur

Tentamen IN3105. Complexiteitstheorie. 16 april 2012, uur Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Ti Delft Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 16 april 2012, 9.00-12.00 uur Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 10 Begrensde variabelen Han Hoogeveen, Utrecht University Begrensde variabelen (1) In veel toepassingen hebben variabelen zowel een ondergrens als een bovengrens:

Nadere informatie

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde Een miljoen dollar verdienen in de kerstvakantie? Het enige dat u hoeft te doen, is een polynomiaal algoritme te vinden om een sudoku mee op te lossen. Niels Oosterling schetst waar u dan rekening mee

Nadere informatie

5 Automatische partitionering van softwaresystemen

5 Automatische partitionering van softwaresystemen 26 Proceedings of the 52 nd European Study Group with Industry 5 Automatische partitionering van softwaresystemen Rob Bisseling, Jarosław Byrka, Selin Cerav-Erbas, Nebojša Gvozdenović, Mathias Lorenz,

Nadere informatie

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:

Nadere informatie

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en

Nadere informatie

1 Vervangingsstrategie auto

1 Vervangingsstrategie auto Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2002 1 Vervangingsstrategie auto Onderdeel a Zij V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, waarbij knoop i staat voor het einde

Nadere informatie

Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, uur

Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, uur Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, 14.00-17.00 uur Het tentamen bestaat uit 6 opgaven. Motiveer je antwoorden duidelijk. De normering van de opgaves staat steeds

Nadere informatie

1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d.

1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. 1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. een toewijzingsprobleem. 2. Het aantal toegelaten hoekpunten in een

Nadere informatie

Fundamentele Informatica

Fundamentele Informatica Fundamentele Informatica (IN3120 en IN3005 DOI nwe stijl) 20 augustus 2004, 9.00 11.00 uur Het tentamen IN3120 bestaat uit 10 meerkeuzevragen en 2 open vragen. Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal 65

Nadere informatie

Optimalisering WI 2608

Optimalisering WI 2608 Optimalisering WI 2608 Docent: Hans Melissen, EWI kamer 7.080 e-mail: j.b.m.melissen@ewi.tudelft.nl tel: 015-2782547 Studiemateriaal op : http://www.isa.ewi.tudelft.nl/~melissen (kijk bij onderwijs WI

Nadere informatie

Modellen en Simulatie Speltheorie

Modellen en Simulatie Speltheorie Utrecht, 20 juni 2012 Modellen en Simulatie Speltheorie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Program Optimaliseren Nul-som matrix spel Spel strategie Gemengde

Nadere informatie

Voorwaardelijke optimalisatie

Voorwaardelijke optimalisatie Voorwaardelijke optimalisatie We zoek naar maximale minimale waard van e kwadratische vorm Q(x op R n onder bepaalde voorwaard Zo n voorwaarde is bijvoorbeeld dat x R n e eheidsvector is, dat wil zegg

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0 Voorbeeldtentamen Deterministische Modellen in de OR (158075) Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief argumentatie! Gebruik van de rekenmachine is niet toegestaan.

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.

Nadere informatie

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Determinanten

Hoofdstuk 3 : Determinanten (A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld

Nadere informatie

Digitaal Proefstuderen Econometrie en Operationele Research Universiteit van Tilburg

Digitaal Proefstuderen Econometrie en Operationele Research Universiteit van Tilburg Digitaal Proefstuderen Econometrie en Operationele Research Universiteit van Tilburg 1 Voorwoord Welkom bij de cursus Digitaal Proefstuderen van de opleiding Econometrie en Operationele Research aan de

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 14. Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 14. Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 14 Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch Han Hoogeveen, Utrecht University Branch-and-bound voor algemene ILPs (1) Neem even aan dat je een minimaliseringsprobleem

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

Inhoudsopgave. 1 COMPLEXITEITSTHEORIE Inleiding De klassen P en N P Opgaven... 16

Inhoudsopgave. 1 COMPLEXITEITSTHEORIE Inleiding De klassen P en N P Opgaven... 16 Inhoudsopgave 1 COMPLEXITEITSTHEORIE 1 1.1 Inleiding.......................................... 1 1.2 De klassen P en N P................................... 8 1.3 Opgaven..........................................

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 20 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Lineaire functies? x 3x. (x 1, x 2 ) 5x 1 7x 2. x 6x 17. x ax. (a, x) ax??? 3x log x 2. substitueer x 1 = y 1, x 2 = exp(y 2 ) levert

Lineaire functies? x 3x. (x 1, x 2 ) 5x 1 7x 2. x 6x 17. x ax. (a, x) ax??? 3x log x 2. substitueer x 1 = y 1, x 2 = exp(y 2 ) levert Lineaire functies? x 3x (x 1, x 2 ) 5x 1 7x 2 x 6x 17 x ax (a, x) ax??? 3x 1 2 + 5log x 2 substitueer x 1 = y 1, x 2 = exp(y 2 ) levert 3y 1 + 5y 2 na substitutie lineair. Niet-lineaire functies kunnen

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag

Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag college 3 Lijnen, vlakken en in de collegejaar : 16-17 college : 3 build : 6 juni 2017 slides : 37 Vandaag 1 Lijnen 2 Vlakken 3 4 Toepassing: perspectivische.16-17[3] 1 vandaag Lijnen in het platte vlak

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

Modellen en Simulatie Simulated Annealing

Modellen en Simulatie Simulated Annealing Utrecht, 14 juni 2012 Modellen en Simulatie Simulated Annealing Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ In deze les een toepassing van Markov ketens: p n+1 =

Nadere informatie

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden.

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden. Antwoorden Doeboek 4 Grafen.. De middelste en de rechtergraaf.. Een onsamenhangende graaf met vijf punten en vijf lijnen: Teken een vierhoek met één diagonaal. Het vijfde punt is niet verbonden met een

Nadere informatie

De huwelijksstelling van Hall

De huwelijksstelling van Hall Thema Discrete wiskunde In de vorige twee afleveringen heb je al kennis kunnen maken met het begrip graaf en hoe grafen worden gebruikt door Google s zoekmachine en door de NS bij het maken van een optimale

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie