Gerichte Grafen Boolese Algebra s &. Logische Netwerken

Transcriptie

1 Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 10 maart 2009 Gerichte Grafen Boolese Algebra s &. Logische Netwerken. Paragrafen 8.1,8.2, ,10.5 Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken

2 Onderwerpen Toets Kruskal s en Prim s algoritme Gerichte Grafen Boolese Algebra s Logische Netwerken Isomorfie Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 1

3 Kruskal s Algoritme 1. kleur alle knopen geel 2. doorloop alle ribben in de volgorde van oplopend gewicht: als de betrokken ribbe samengevoegd met de rode boom, de boom acyclisch houdt: aaaaa kleur de ribbe rood en de kno(o)p(en) zwart Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 2

4 Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 3

5 Kruskal s Algoritme 2 {Input: een eindige gewogen graaf G met ribben gesorteerd in oplopende volgorde} {Output: een verzameling ribben E van een minimale opgespannen boom} E ; for j = 1 to E (G) do if E {e j }is acyclisch then E E {e j } return E Theorem 1. Kruskal s algoritme levert een minimale opgespannen boom. Bewijs: E is bevat in een opgespannen boom van de graaf is een invariant van de for-lus. Na afloop is E een opgespannen boom. E is minimaal Theorem 2. Kruskal s algoritme heeft een executietijd van O(n log 2 n) met (n = E(G) ) Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 4

6 Prim s Algoritme 1. kleur alle knopen geel 2. kleur een willekeurig punt zwart 3. zolang er nog gele knopen zijn: (a) zij e een ribbe van minimaal gewicht die een zwart punt met een wit punt verbindt (b) kleur e rood en zijn gele eindknoop zwart {Input: een eindige gewogen graaf G met ribben willekeurige volgorde} {Output: een verzameling ribben E van een minimale opgespannen boom} E ; kies w V (G) ; V {w} ; while V = V (G) do kies een ribbe{u,v} E (G) met laagste gewicht zodat u V en v V (G) \V return E Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 5

7 Theorem 3. Prim s algoritme heeft een executietijd van O(n 2 ), met (n = V(G) ) Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 6

8 Gerichte Grafen Theorem 4. Als u en v verschillende knopen zijn in een gerichte graaf G en er is een pad van u naar v, dan is er een acyclisch pad van u naar v. Corollary 1. Als er een gesloten pad van u naar v is dan is er een cykel van u naar v. Corollary 2. Een pad is acyclisch als alle knopen verschillend zijn. Theorem 5. Elke eindige gerichte acyclische graaf heeft tenminste één bron (source) en tenminste één afvoer (sink). {Input: een eindige acyclische gerichte graaf G} {Output:een afvoer S van G} kies een knoop v in V (G) ; S v ; while SUCC (v) = do kies een u SUCC (v) ; S u ; v u return S Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 7

9 Gelabelde knopen Theorem 6. Elke eindige gerichte acyclische graaf heeft een gesorteerde labeling. {Input: een eindige DAG G met n knopen} {Output:een labeling voor V (G)} V V (G) ; E E (G) ; while V = do H wordt de DAG met knopen V en ribben E ; pas Sink op H toe ; label Sink (H) met n V +1 ; verwijder Sink (H) uit V en alle ribben verbonden met Sink (H) uit E return E Theorem 7. [De stelling van Euler]. Als G een eindige samengangende gerichte graaf is, dan is er een gericht gesloten pad in G over alle ribben desda indeg(v) = outdeg(v) Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 8

10 de Bruijn-rij Theorem 8. [De Bruijn]. Voor elke n N geldt dat er een circulaire schikking C met lengte 2 n is, zodat alle strings, waarin slechts de symbolen 0 en 1 voorkomen en met lengte n, een substring vormen van C. Voor alle strings met lengte 4 voldoet de volgende rij: e 2,e 5,e 8,e 11,e 14,e 16,e 15,e 12,e 9,e 6,e 4,e 7,e 13,e 10,e 3,e 1 Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 9

11 Scheduling netwerken Definition 1. [Gewicht] In een gewogen graaf is met elke ribbe e = (u,v) een getal geassocieerd: het gewicht W(e) (of ook W(u,v)). Het gewicht van een pad e 1 e 2...e m tussen u en v: W(u,v) = m W(e i ) i=1 Definition 2. [Minimaal/Maximaal pad]. W (u,v)/m(u,v) is van alle paden van u naar v het pad waarvan het gewicht het kleinst/grootst is. M(s, f) heet het kritieke pad. Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 10

12 Bamboescheuten met rijst en aardappelen 1. Snij de bamboescheuten - ± 10 min.. 2. Fruit een ui - ± 2 min.. 3. Schil en een halve kilo aardappelen - ± 5 min.. 4. Marineer bamboescheuten uien en kruiden - ± 30 min.. 5. Bak de aardappelen - ± 21 min.. Rooster komijnzaden - ± 4 min.. 6. Braad het gebakken mengsel - ± 60 min.. 7. Kook de rijst - ± 20 min.. Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 11

13 Definition 3. [(Vroegste)Aankomsttijd]. A(v) is de kortste tijd nodig om van de bron in v aan te komen: A(v) = def M(s,v). M(s, f) is de minimale tijd waarin het hele proces kan worden afgerond. Definition 4. [Laatste aankomsttijd]. L(v) is het laatste tijdstip waarop je uit v nog kunt vertrekken om de finish fnog steeds in de kortste tijd te bereiken: L(v) = def M(s, f) M(v, f) Definition 5. [Slack-tijd]. S(v) is de tijd die de taken voor v nog uitgesteld kunnen worden, waarbij de gehele taak nog in de kortste tijd uitgevoerd kan worden, als alle andere taken efficient worden uitgevoerd. S(v) = def L(v) A(v) = M(s, f) M(v, f) M(s,v) Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 12

14 s t u v w x y z f A L S Definition 6. [Float-tijd]. F(u,v) is tijd die de taak tussen u en v nog kan worden uitgesteld, zonder de minimale tijd voor de gehele taak te overschrijden. F(u,v) = def L(v) A(u) W(u,v) F(s,v) = = 8 F(v,w) = = 9 F(s,y) = = 5 F(y,v) = = 5 Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 13

15 Theorem 9. Voor elk scheduling netwerk geldt: 1. De floattijd F(u, v) = 0 desda (u, v) is een kritisch pad. 2. F(u,v) max[s(u),s(v)] voor alle ribben van het netwerk. Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 14

16 Boolese Algebra s 1 Voorbeeld 1: Verzamelingenalgebra Beschouw een niet-lege verzameling S. De machtsverzameling P(S) met operaties en c op de elementen van P(S) A c = S \ A S en hebben bepaalde eigenschappen: A S = A en A = Voorbeeld 2: Boolese algebra Stel B = {0,1} met operaties en en gedefinieerd als: a b = min{a,b} en a b = max{a,b} 0 = 1 en 1 = 0 Voorbeeld 3: Algebra op B n Stel B n = B... B (n keer) van n-tupels nullen en enen. we definiëren: (a 1,...,a n ) (b 1,...,b n ) = (a 1 b 1,...,a n b n ) (a 1,...,a n ) (b 1,...,b n ) = (a 1 b 1,...,a n b n ) (a 1,...,a n ) = (a 1,...,a n) Bijvoorbeeld: (1,0,0,1) (1,1,0,0) = (1,1,0,1) (1,0,0,1) (1,1,0,0) = (1,0,0,0) (1,0,0,1) = (0,1,1,0) Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 15

17 Boolese Algebra s 2 Voorbeeld 4: Algebra van functies van S naar B Stel S is een niet-lege verzameling. FUN(S, B) is de verzameling van alle functies van S naar B. We definiëren, en door de regels: (f g)(x) = f(x) g(x) voor alle x S (f g)(x) = f(x) g(x) voor alle x S f (x) = f(x) voor alle x S Stel S = {a,b,c,d} x f(x) g(x) (f g)(x) (f g)(x) f (x) a b c d Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 16

18 Boolese Algebra s 3 Definition 7. Een Boolese algebra bestaat een verzameling V, met tenminste twee speciale elementen 0 en 1 en met op V twee binaire operaties, en gedefinieerd en een unaire operatie, zodanig dat aan de volgende voorwaarden wordt voldaan:. 1a x y = y x 1b x y = y x 2a (x y) z = x (y z) 2b (x y) z = x (y z) 3a x (y z) = (x y) (x z) 3b x (y z) = (x y) (x z) 4a x 0 = x 4b x 1 = x 5a x x = 1 5b x x = 0 commut. assoc. distrib. ident. compl. Boolese 0 1 join meet Algebra P(S) S c B 0 1 B n (0,...,0) (1,...,1) p. coord. p.coord. FUN(S, B) χ χ S p. elem. (χ A ) = χ A c Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 17

19 Proposition 1. [Dualiteitsprincipe]. Als in een Boolese formule en met elkaar worden verwisseld en ook 0 en 1, dan ontstaat een equivalente formule. Theorem 10. Meer eigenschappen voor Boolese algebra s: Bewijs 6a: 6a x x = x idempot. 6b x x = x 7a x 1 = 1 ook ident. 7b x 0 = 0 8a (x y) x = x absorptie. 8b (x y) x = x x x = (x x) 1 ident. = (x x) (x x ) compl. = x (x x ) distr. = x 0 compl. = x ident. Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 18

20 Lemma 1. Als in een Boolese algebra geldt: w z = 1 en w z = 0 dan: z = w Bewijs 6b: z = z 0 ident. = z (w w ) compl. = (z w) (z w ) compl. = (w z) (w z) comm.2 = 1 (w z) hypothese 1 = (w w ) (w z) compl. = (w w) (w z) commut. = w (w z) distrib. = w 0 hypothese. 2 = w ident. Corollary 3. In een Boolese algebra geldt: (z ) = z voor alle z. Theorem 11. Elke boolse algebra voldoet aan de wetten van De Morgan: 9a (x y) = x y 9b (x y) = x y Bewijs: Met lemma 1 volstaat het te bewijzen dat: (x y) (x y ) = 1 en (x y) (x y ) = 0 Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 19

21 De relaties, = en < Lemma 2. In een Boolese algebra geldt: x y = y desda x y = x Lemma 3. In een Boolese algebra geldt: 1. Als x y en y z dan: x z; 2. Als x y en y x dan: x = y; 3. Als x < y en y < z dan: x < z; Bewijs (1): Als x y en y z dan: Dus: x z. z = y z vanwege y z = (x y) z vanwege x y = x (y z) assoc. = x z vanwege y z Lemma 4. In een Boolese algebra geldt: 1. x y x x y voor alle x en y x 1 voor alle x. Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 20

22 Atomen Definition 8. a is een atoom van een Boolese algebra als a = en a kan niet geschreven worden als de join van twee elementen, beide verschillend van a:. Dus niet: a = v c met a = b en a = c. Proposition 2. Een niet-nul element a van een Boolese algebra is een atoom desda er geen element x is met0 < x < a. Corollary 4. Als a en b atomen zijn van een Boolese algebra en a b = 0 dan a = b. Dus als a = b dan a b = 0 Theorem 12. Stel B is een eindige Boolese algebra met atomen A = {a 1,...,a n }. Elk nietnul element x van B kan (uniek) geschreven worden als de join van verschillende atomen: x = a i1... a ik Corollary 5. In elke eindige Boolese algebra B is 1 de join van alle atomen van B. Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 21

23 Boolese expressies Definition 9. [Boolese expressie in n variabelen]. Als E een Boolese expressie in n variabelen is dan definieert E een (Boolese) functie van B n naar B. Twee Boolese expressies zijn equivalent, als hun corresponderende Boolese functies equivalent zijn. Een literal is een Boolese expressie bestaande uit alleen een variabele of zijn complement. Een minterm in n variabelen is de meet van precies n literals met allemaal verschillende variabelen. Een Boolese expressie E staat in minterm kanonieke vorm als het de join is van een aantal mintermen (Vgl disjunctieve normaalvorm DNF). Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 22

24 Als E de join van meets van literals is, dan is E optimaal als er geen equivalente join met minder meets is, en voor het geval er evenveel meets zijn, is er geen equivalente formule waarbij de meets uit minder literals bestaan. Voorbeeld: Is E = x z x y xy xz optimaal? E = x yz x y z x yz x yz xy z xy z xyz xy z = x yz x y z x yz xy z xy z xyz Omdat: x yz x y z = x (y y )z = x z hebben we: E = x z yz xy Een andere groepering geeft: met: E = x y y z xz Beide zijn optimaal. x yz xyz = yz xy z xy z = xy x yz x yz = x y x y z xy z = y z xy z xyz = xz Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 23

25 Netwerksymbolen Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 24

26 Equivalente Netwerken A = (x y ) ; B = x z; C = (A B) = ((x y ) (x z)) ; D = C y = ((x y ) (x z)) y = ((x y )x y ) y = (xx z y x z ) y = y x z y = y x z yx z y = (y y)x z y = x z y; E = (x z) = x z ; F = E y = x z y; Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 25

27 NAND Functioneel Volledig Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 26

28 Adder Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 27

29 Cyclisch Netwerk Een netwerk met terugkoppeling Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 28

30 S-R-schuif (Flipflop) A B x y A B Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 29

31 S-R-schuif 2 De SR-schuif als eindige automaat Discrete Structuren Week 5: Gerichte Grafen, Boolese Algebra s & Logische Netwerken 30