De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden.

Transcriptie

1 . a) Een Fibonacci boom (niet te verwarren met een Fibonacci queue) van hoogte h is een AVL-boom van hoogte h met zo weinig mogelijk knopen. i. Geefvoorh =,,,,eenfibonacciboomvanhoogteh(eenboombestaande uit één knoop heeft hoogte h = ). Het gaat alleen om de vorm van de boom; het is niet nodig om waardes voor de sleutels te geven. ii. Beredeneer hoeveel niveaus met knopen volledig gevuld zijn in een Fibonacci boom van hoogte h (h willekeurig). iii. Hoeveel knopen bevinden zich op deze volledig gevulde niveaus samen? (Indien je bij onderdeel ii. geen antwoord hebt, gebruik dan als antwoord van dat onderdeel: f(h).) iv. Leid uit het vorige onderdeel een (grove) bovengrens af voor de hoogte h van een AVL-boom met n knopen. b) Beschouw de volgende AVL-boom B : B : 0 i. Wat is het resultaat na toevoeging van de sleutel aan B? ii. We beginnen opnieuw met de originele boom B. Wat is het resultaat na toevoeging van achtereenvolgens de sleutels 0 en aan B? Geef steeds duidelijk aan hoe je aan je antwoord komt. c) Beschouw de volgende AVL-boom B : B : 0 i. Wat is het resultaat na verwijdering van de sleutel uit B? ii. We beginnen opnieuw met de originele boom B. Wat is het resultaat na verwijdering van achtereenvolgens de sleutels en uit B? Geef steeds duidelijk aan hoe je aan je antwoord komt.

2 De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden.. a) Hoeveel sleutels bevat een knoop in een B-boom van orde m minimaal? En hoeveel maximaal? b) We beperken ons nu tot B-bomen van orde m =. Hoeveel sleutels bevat het h-de niveau van een B-boom van orde minimaal? En hoeveel maximaal? Licht uw antwoord toe. N.B.: het eerste niveau is het niveau waarop de wortel van de B-boom zich bevindt. c) Stel dat we een B-boom van orde hebben met sleutels. Uit hoeveel niveaus kan deze B-boom bestaan? Geef alle mogelijkheden. Licht uw antwoord toe. Beschouw de volgende B-boom B van orde : B: d) i. Voeg aan B de sleutel toe. ii. Voeg aan B (de originele boom dus) de sleutel toe. Zorg ervoor dat we bij het toevoegen een B-boom van orde behouden. Geef een korte toelichting en (zo nodig) tussenresultaten. e) i. Verwijder de sleutel uit B (de originele boom dus). ii. Verwijder de sleutel uit B (de originele boom dus). Zorg ervoor dat we bij het verwijderen een B-boom van orde behouden. Geef een korte toelichting en (zo nodig) tussenresultaten.

3 . a) Een rood-zwart boom (red-black tree) is een speciale binaire zoekboom. Wat is de definitie van de rood-zwart boom? Deze definitie mag niet in termen van B-bomen gegeven worden. b) Gegeven is de volgende rood-zwart boom R, waarbij de rode knopen een extra cirkel hebben gekregen Rood-zwart bomen en B-bomen zijn sterk gerelateerd. Geef deze rood-zwart boom als B-boom. c) De flag-flip operatie voor rood-zwart bomen is gerelateerd aan een operatie voor B-bomen. Welke operatie is dit? d) Naast de flag-flip operatie zijn ook de enkele rotatie en de dubbele rotatie operaties voor rood-zwart bomen. Laat zien dat na uitvoering van dergelijke operaties op een rood-zwart boom, de resulterde boom weer een binaire zoekboom is. e) Welke boom ontstaat als we achtereenvolgens aan R devolgende getallen toevoegen: 9,, 7. Geef duidelijk de tussenstappen weer.

4 . Een bi-boom ( binomial tree ) wordt als volgt gedefinieerd: Een bi-boom van graad 0 bestaat uit een enkele knoop; de bi-boom van graad k + onstaat uit twee bibomen van graad k door één als laatste kind aan de andere wortel toe te voegen. Een bi-boom van graad k heeft precies k knopen. 7 De representatie van de bi-boom gebeurt door middel van de eerste kind-rechter broer methode: de kinderen van een knoop hangen in een lineaire lijst. Elke knoop bevat expliciet zijn graad (aantal kinderen) en een pointer naar zijn vader. TYPE Wijzer = Knoop; Knoop = RECORD Info Graad Vader, Kind, Broer END; :EigenKeus; :Integer; :Wijzer a) Geef een procedure Join( var B, B : Wijzer ) die twee bi-bomen van dezelfde graad samenvoegt tot een bi-boom van een hogere graad. Na afloop wijst B naar het resultaat. Een bi-bos is een lineaire lijst van bi-bomen, waarvan de graden in oplopende volgorde geordend zijn; er zijn géén bomen van gelijke graad in het bi-bos. De lineaire lijststructuur van het bos wordt aangelegd via de Broer-velden van de wortels. b) Schrijf een procedure Merge( var B, B : Wijzer ) die twee bi-bossen samenvoegt tot een nieuw bi-bos: telkens wanneer er twee bi-bomen van dezelfde graad zijn, worden ze samengevoegd tot een bi-boom van hogere graad. nb. Bij het mergen van bi-bossen met bomen van graad 0++ (totaal knopen) resp. van graad 0++ (7 knopen) onstaat een bi-bos met graden + ( knopen) Vergelijk het optellen van binaire getallen: = 000. c) We kunnen de wortel van een boom in een bi-bos verwijderen, door de boom los te knippen, wortel te verwijderen, en het resterende bi-bos samen te voegen met het bi-bos bestaande uit de kinderen van de verwijderde wortel. Implementeer deze operatie.

5 . Wanneer volgens het algoritme van Prim een opspannende boom bepaald wordt, groeit deze boom vanuit de gekozen startknoop. Het algoritme van Kruskal dat hetzelfde probleem oplost laat geen boom groeien, maar kiest steeds een tak van minimaal gewicht die geen kring vormt met de reeds gekozen takken. gegeven graaf G=(V,E) 0 begin met lege boom T while T verbindt niet alle knopen do kies tak (u,v) uit E met minimaal gewicht verwijder (u,v) uit E if (u,v) geen kring vormt met takken uit T then voeg (u,v) aan T toe fi 7 od a) Voer het algoritme uit op de volgende graaf: Regels en van het algoritme zijn cruciaal. Er moet een representatie gebruikt worden om op efficiente wijze kringen te kunnen detecteren. De datastructuur union-find houdt binnen N objecten (zeg de getallen,...,n) een aantal disjuncte deelverzamelingen bij. De operatie union(i, j) voegt de deelverzamelingen waarin i en j zich bevinden samen; de operatie find(i) levert een unieke representant van de verzameling van i. Bij een mogelijke representatie worden bomen gebruikt, waarbij we letten op de hoogte van de bomen. Bij het samenvoegen van bomen wordt steeds de wortel van de laagste boom als kind aan de wortel van de hoogste boom gekoppeld. (Nogmaals: hierbij is de hoogte van de boom maatgevend, en niet de waarde opgeslagen in de knoop.) Hieronder tekenen we het resultaaat na union(,); union(,); union(7,); union(,7); union(7,); voor de getallen,..., toegepast op de beginsituatie waar elke deelverzameling één element heeft. 7 b) Werk bovenstaande representatie uit. Geef declaraties en implementeer de functies. (Dit hoeft niet als een volledig werkende klasse gepresenteerd te worden.) c) Voeg de juiste union-find instructies toe aan het gegeven algoritme van Kruskal.

6 . Het algoritme van Floyd kan toegepast worden op grafen met negatieve gewichten, zolang tenminste geen kringen aanwezig zijn waarvan het totale gewicht negatief is. - a) Pas Floyd toe op bovenstaande graaf. Let op: er zijn zowel gerichte als ongerichte takken. Geef ook de tussenresultaten. b) Wat is, volgens uw antwoord bij het vorige onderdeel, het kortste pad van knoop naar knoop? Leg uit hoe dit pad afgelezen kan worden uit de (tussen-)resultaten bij dat onderdeel. c) Laat zien dat het algoritme van Dijkstra niet toepasbaar is op grafen met negatieve gewichten, door het algoritme toe te passen op bovenstaande graaf. Kies een geschikte beginknoop. d) Waarom is Floyd niet toepasbaar op grafen met kringen met een negatief totaal gewicht?

7 7. a) Wat is een topologische ordening op de knopen in een gerichte graaf? b) Hieronder staat een recursieve functie voor depth-first search van grafen, aan te roepen zolang er knopen zijn die nog niet eerder bezocht werden. Geef aan hoe deze functie gebruikt kan worden bij het bepalen van een topologische ordening van een graaf, indien deze bestaat. void DFS (KnoopType x) { // aanname: knoop x niet bezocht Bezoek (x); Bezocht[x] = true; for elke knoop w aangrenzend aan x do if (not Bezocht[w]) then DFS (w); fi od // knoop x volledig afgehandeld } c) In onderstaande gerichte, acyclische graaf representeren de takken projecten. Een project (i,j) (corresponderend met de gerichte tak van knoop i naar knoop j) kan pas worden uitgevoerd als alle projecten eindigend in knoop i zijn afgelopen. De gewichten op de takken zijn de benodigde tijdsduren van de afzonderlijke projecten. Bereken op een systematische manier, met behulp van een topologische ordening van de graaf, het vroegste tijdstip waarop alle projecten afgerond kunnen zijn, ervanuitgaand dat we op tijdstip 0 met de eerste projecten kunnen beginnen. Laat duidelijk zien hoe je aan je (tussen-)resultaten komt. 7 7

8 . Beschouw hashen in een zgn. open hashtabel met twee hash-functies h en p, waarbij p de stap-functie is. Het i+-ste bezochte adres h(k,i) is zoals gewoonlijk h(k) i p(k) (modulo M). a) Neem M = 9. Geef een stapfunctie welke correspondeert met lineair hashen. Geef tevens een ontoelaatbare stapfunctie en geef aan waarom deze ontoelaatbaar is. b) Welke twee soorten clustering onderscheiden we bij hashen met open adressering? Geef een korte beschrijving. Bij welke hash-methode kunnen beide soorten clustering voorkomen worden? c) Neem nu een lege tabel T[M] met M =. De twee hash-functies zijn h(k) = K mod M en p(k) = (K mod ) +. Laat zien welke tabel ontstaat door achtereenvolgens devolgende getallen aan T toe te voegen:,, 7,, 0,, 9,, 0. Geef duidelijk de tussenstappen weer. d) Vergroot de zojuist geconstrueerde tabel tot M = elementen en herplaats de elementen uit deze tabel ter plekke. Geef duidelijk de tussenstappen weer.

9 9. De methode van Knuth-Morris-Pratt wordt gebruikt om een patroon P[..m] in een tekst T[..Lengte] te zoeken. Daartoe worden failure-links opgesteld. a) Stel de failure link bij positie i wijst naar positie k in P: Flink[i] = k. Wat geldt dan voor de woorden P[]...P[i] en P[]...P[k]? In het bijzonder, wanneer geldt Flink[i] = 0? b) Geef een efficient algoritme om de failure links op te stellen. c) Bepaal de failure-links voor het patroon P = ABCABABC. d) We zoeken naar P in de tekst T = ABCA BCAB AABC ABAB BABC (hier staan de spaties voor de leesbaarheid). Geef nauwkeurig aan hoe het zoeken volgens de KMPmethode gebeurt. Welke letters worden telkens met elkaar vergeleken? 9

10 Deze opgave gaat over ZLW (de-)codering van teksten over de karakters a, b, c en d. De codeerboom (een trie) die bij (de-)codering wordt opgebouwd, is dus -air (en niet -air zoals in de programmeeropdracht van dit jaar). Als eerste code (de code voor de string a) nemen we de code a) Codeer de tekst cdbcacacdaaabc met het ZLW algoritme. Bouw de codeerboom op en laat duidelijk zien welke substrings van de tekst met welke code worden gecodeerd. Geef toelichting bij de stappen die u achtereenvolgens maakt. Ga ervanuit dat er voldoende codes beschikbaar zijn, ofwel dat de codeerboom niet vol raakt. b) Veronderstel dat we bij codering van een tekst met het ZLW algoritme de volgende reeks codes hebben gekregen: Reconstrueer de originele tekst. Bouw ook nu (achteraf) de codeerboom op en laat zien welke substrings van de tekst met welke code zijn gecodeerd. Geef toelichting bij de stappen die u achtereenvolgens maakt. N.B.: dit onderdeel staat (in principe) volkomen los van het vorige onderdeel. c) Veronderstel dat we een bepaalde tekst (in zijn geheel) met het ZLW algoritme gecodeerd hebben en dat we daarbij de volgende codeerboom hebben opgebouwd: a b c d 0 a b a a a c 9 7 Hoe kan de tekst eruit gezien hebben? Als er meerdere mogelijkheden zijn, geef ze dan allemaal. Verklaar uw antwoord. Ga ervanuit dat de codeerboom nog niet vol is. d) Bij codering van een grote tekst kan het voorkomen dat alle beschikbare codes toegekend zijn, terwijl nog niet de gehele tekst gecodeerd is. Geef drie verschillende manieren waarop we het coderen van de tekst kunnen vervolgen. 0