Verzamelingen deel 2. Tweede college

Transcriptie

1 1 Verzamelingen deel 2 Tweede college

2 herhaling Deelverzameling: AB wil zeggen dat elk element van A ook in B te vinden is: als x A dan x B Er geldt: A=B AB en BA De lege verzameling {} heeft geen elementen. Notatie:. Voor elke verzameling A geldt: A { } { } 2

3 sommetje 1. Geef alle deelverzamelingen van {1,2} 2. Geef alle deelverzamelingen van {1,2,3} 3. Hoeveel deelverzamelingen heeft de verzameling {1,2,,n}? Het antwoord hangt af van n. 3

4 herhaling A B A B A U vereniging A B doorsnede A B complement A c A B A B 4 verschil A-B A\B symmetrisch verschil AB = (A-B) (B-A)

5 A-B = A B c U = { 1, 2, 3, 4, 5 } A = { 2, 3 } B = { 1, 3, 5 } A voorbeeld 4 U B A-B = { 2 } B c = { 2, 4 } A B c = { 2 } (A B c ) c = { 1,3,4,5 } = A c B (ga na!) Algemeen bewijs (zie college): m.b.v. Venn diagrammen (arceren) 5

6 redeneren met Venn diagrammen Toon aan met behulp van Venn diagrammen: (i) A-B = A B c (ii) (A B) c = A c B c (iii) (A B c ) c = A c B 6

7 (A B c ) c = A c B A B = A c B A B = A B c 7

8 opmerking Op de vorige sheet zijn zowel A B c als A c B in één keer getekend. Het is beter (vooral bij het tentamen!!) om dit in twee etappes te doen. Voor A B c eerst A arceren/ kleuren en dan B c. De gevraagde verzameling is dan het dubbel gearceerde/ gekleurde gebied. Voor A c B eerst A c arceren/ kleuren en dan B. De gevraagde verzameling is dan het gebied dat één of meer keer gearceerd/ gekleurd is. Teken eventueel de gevonden gebieden voor de duidelijkheid apart over in twee nieuwe plaatjes, zoals op de sheet. Uit de Venn diagrammen is onmiddellijk te zien dat het complement van het blauwe gebied in het ene plaatje gelijk is aan het groene gebied in het andere plaatje. 8

9 eigenschap Zie (deels) ook college 1 Theorem 1.4 equivalent zijn: (i) A B (ii) A B = A (iii) A B = B maar ook: (iv) B c A c (v) A B c = (vi) A c B = U Zie Schaum, Problem 1.8 en

10 10 hoeveel kubusjes kun je zien?

11 hoeveel kubusjes kun je zien? 3x16-3x principe van inclusie en exclusie

12 inclusie en exclusie Als we de elementen in de vereniging van verzamelingen willen tellen moeten we de gemeenschappelijke elementen niet dubbel tellen. Dat leidt tot het principe van inclusie en exclusie. 12

13 1.6 tellen in eindige verzamelingen aantal elementen notaties: n(a) #(A) A card(a) Corollary 1.10 Voor eindige verzamelingen A, B en C geldt n(a B C) = n(a) + n(b) + n(c) - n(a B) - n(a C) - n(b C) + n(a B C). A B gevolg 13 C

14 principe van inclusie en exclusie Theorem 1.9 Voor eindige verzamelingen A en B geldt n(a B) = n(a) + n(b) - n(a B) A B Lemma 1.6: als A B =, dan n(a B) = n(a) + n(b) 14

15 stelling en gevolg Hiervoor staan de in/exclusie-resultaten Corollary 1.10 (voor drie verzamelingen A,B,C) en Theorem 1.9 (voor twee verzamelingen A,B). Als je n=3 weet kun je ook n=2 afleiden, want dan neem je C= en krijg je het gewenste resultaat. Toch is bij Schaum omgekeerd Cor.1.10 een gevolg van Thm.1.9. Dat komt omdat n=3 volgt uit n=2 door dat resultaat herhaald toe te passen. Zie de opgaven. 15 Het speciale geval dat A en B disjunct zijn en dus n(a B)=0 staat in Schaum nog apart.

16 tellen (voorbeeld) Newsweek Time Newsweek 20 Time 42 Newsweek Fortune Fortune Time 8 15?? Fortune 16 hoeveel mensen lezen géén blad?

17 tellen (oplossing met inclusie en exclusie) Newsweek Time Newsweek 20 Time 42 Fortune Newsweek Time 120 Fortune Fortune 17?? 8 aantal lezers: F+N+T F&N-F&T-N&T + F&T&N = = 100 leest geen blad = = 20

18 talen Het begrip formele taal is het onderwerp van hoofdstuk 12 van Schaum. Een string is een rijtje letters. Een taal is een verzameling strings, dus talen passen al in dit hoofdstuk. Hier introduceren we vooral wat begrippen met voorbeelden; later, bij de colleges over talen en automaten, gaan we verder op formele talen (hoofdstuk 12) in. 18

19 12 strings Een alfabet is een eindige, niet-lege verzameling letters. Σ = { a,b,c } B = { 0,1 } C = { а,б,в,г,д,е,ж,з,и,й,к,л,, э,ю,я } P = { if, else, while, do, } V = {, appel, koek, ei, } 19

20 12 strings Σ alfabet. Een string/woord (over Σ) is een eindig geordend rijtje letters uit Σ. ab, abca, abcbabcba 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, язык, приключения, астерикса de appel valt niet ver Voorbeelden van woorden Notaties: Σ *, lege string λ, lengte x abcbac = 6 λ = 0 a 6 b 3 = aaaaaabbb B * = { λ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 100, 101, } = alle woorden over het alfabet B 20

21 12 Een taal (over Σ) is een verzameling strings over Σ Σ * : alle strings/woorden over Σ taal PAL = { λ, aa, bb, abba, baab, abaaba, } BIN = { 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, } K = { a, aa, ba, aaa, aba, baa, bba, aaaa, aaba, } = { x{a,b} * x eindigt op een a } L = { λ, aa, ab, ba, bb, aaaa, aaab, aaba, aabb, } = { x{a,b} * x heeft even lengte } P(Σ * ) : alle talen over Σ Merk op: PAL {a,b} *, maar PAL P({a,b} * ) 21

22 taal in welk universum? {a,b} * P({a,b} * ) K aa L K {λ} L talen die de lege string bevatten K = { x{a,b} * x eindigt op een a } L = { x{a,b} * x heeft even lengte } 22 strings over Σ P(Σ * ) talen over Σ Σ *

23 12 taal: Boolese operaties Een taal (over Σ) is een verzameling strings over Σ Hier: Σ = { a,b } K = { a, aa, ba, aaa, aba, baa, bba, aaaa, aaba, } = { x{a,b} * x eindigt op een a } L = { λ, aa, ab, ba, bb, aaaa, aaab, aaba, aabb, } = { x{a,b}* x heeft even lengte } P(Σ * ) talen over Σ Talen zijn verzamelingen, dus: vereniging, doorsnede, complement (t.o.v. Σ * ) 23 K L = { aa, ba, aaaa, aaba, abaa, abba, baaa, } K-L = { a, aaa, aba, baa, bba, aaaaa, aaaba, } L-K = { λ, ab, bb, aaab, aabb, abab, abbb, baab, } {a,b} * -(K L) = { b, aab, abb, bab, bbb, aaaab, }

24 1.5 algebraische eigenschappen Rekenregels voor reële getallen: = = = 60 voor alle x,y in R geldt x+y = y+x en ook: xy = yx 24

25 1.5 algebraische eigenschappen We zullen rekenregels bekijken voor operaties in de verzamelingenleer, net als we rekenregels hebben bij de rekenkunde en de logica (volgend semester). We moeten ons bewust worden welke regels we gewend zijn om te gebruiken, en of dat altijd vanzelfsprekend is. We mogen misschien niet altijd de volgorde omdraaien, zoals we bij optellen van getallen wel mogen. De operaties optellen en vermenigvuldigen (in R) zijn commutatief (zie vorige sheet). Regels en benamingen komen ook aan de orde bij DiTe. 25

26 algebraische eigenschappen 398 = 3(100-2) = (-2) = = 294 voor alle x,y,z in R geldt x(y+z) = (xy)+(xz) Maar x+(yz) (x+y)(x+z) Bijvoorbeeld x=2 y=3 z=-4 x=2 y=3 z=4 26

27 3 + 8 = p q = q p A B = B A x / y = y / x Definitie (3ab) commutativiteit nee! De bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt x y = y x. Theorem 1.5 (3ab) Voor verzamelingen A en B geldt dat A B = B A en A B = B A. De bewerkingen doorsnede en vereniging zijn commutatief. 27

28 (3ab) commutativiteit De bewering x / y = y / x is niet waar (d.w.z. niet voor alle x en y). Hetzelfde geldt voor de bewering x / (y / z) = (x / y) / z op de volgende sheet. De operatie / is dus noch commutatief, noch associatief. Dus altijd alert blijven Het symbool (spreek uit bla ) geeft aan dat we een willekeurige bewerking bekijken. Meestal kiezen we een wat bescheidener symbool. Zoals. Als een operatieassociatief is, dan is x(yz) = (xy)z, dus is xyz ondubbelzinnig (haakjes zijn niet nodig). 28

29 (2ab) associativiteit 3 + (8 + 2) = (3 + 8) + 2 p (q r) = (p q) r A (B C) = (A B) C x / (y / z) = (x / y) / z nee x haakjes ~ bomen z Definitie De bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt x (y z) = (x y) z. Theorem 1.5 (2ab) De bewerkingen doorsnede en vereniging zijn associatief. y z x y 29

30 (2ab) associativiteit x (y z) = (x y) z meer algemeen (operator meer dan twee keer): (1((23)4))(56) = 1(2(3(4(56))))

31 (2ab) associativiteit x (y z) = (x y) z (1((23)4))(56) = 1(2(3(4(56)))) Zolang de argumenten (onderaan) in gelijke volgorde staan is de waarde van de twee expressies gelijk indien de operator associatief is. Dat is een gevolg van genoemde simpele associativiteit met twee operatoren, zie (2ab) in de titel van de slide. Namelijk herhaald toepassen van deze regel (2ab).

32 meer algemeen: (2ab) associativiteit x (y z) = (x y) z ( 1 ((23)4) ) (56) = 1 ( ((23)4) (56) ) =

33 haakjes! Binnen de informatica spelen diverse soorten expressies een belangrijke rol. We moeten ze leren lezen. De betekenis van een expressie hangt af van haakjes, of waar ze ontbreken van voorrangsregels, en de leesrichting (left \ right associative). Een programmeertaal als C++ kun je zonder deze kennis niet lezen. Is het effect van *p++ dat de waarde *p op de geheugenplek aangegeven door de pointer p met 1 opgehoogd wordt (dus (*p)++), of stelt *p++ de waarde van de volgende geheugenplek voor (dus *(p++))? Zie Programmeermethoden. 33

34 haakjes! priority operator description associativity 1 :: scope Left 2 () [ ] ->. sizeof Left increment/decrement Right ~ 1-complement (bitwise)! unary NOT & * (de)reference (pointers) (type) type casting + - unary less sign 4 * / % arithmetical operations Left arithmetical operations Left 6 << >> bit shifting (bitwise) Left 7 < <= > >= relational operators Left 8 ==!= relational operators Left 9 & ^ bitwise operators Left 10 && logic operators Left 11?: conditional Right 12 = += -= *= /= %= >>= <<= &= ^= = assignation Right 13, comma, separator Left 34

35 (werk)college College volgende week: Dinsdag 11 september, in zaal C1 (Gorlaeus) Aansluitend barbecue (Snellius)!! Werkcollege volgende week: Vrijdag 14 september, in zalen 401, 402, 405, 408, 412 (Snellius); indeling wordt ter plekke bekend gemaakt