Getallensystemen, verzamelingen en relaties
|
|
- Lucas Visser
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,...}. Z = {0, 1, 2, 3, 4,...} Z + = {0, 1, 2, 3, 4,...} = N Z + 0 = {1, 2, 3, 4,...} = N 0 Z 0 = { 1, 2, 3, 4,...}. 1
2 1.1.3 De rationale getallen Q = {a/b : a Z en b Z \ {0}} Q = {1/2, 1/2, 1/3, 1/3, 2/3, 2/3,...} - voorstelling van een rationaal getal is niet uniek: 5/10 = 1/2 - unieke voorstelling a/b als geëist wordt dat b > 0 en dat a en b geen factoren gemeen hebben De reële getallen - verzameling R van de reële getallen = verzameling alle decimale getallen zoals R bestaat uit de rationale en irrationale getallen - Voorbeeld van een irrationaal getal is x = 2 als oplossing van de vergelijking X 2 = De ordening van de gehele getallen (A1) a Z : a a. (reflexief). (A2) a, b Z : ((a b) (b a)) = a = b. (antisymmetrisch). (A3) a, b, c Z : ((a b) (b c)) = a c. (transitief). (A4) a, b, c Z : a b = a + c b + c. (A5) a, b Z c N : a b = ac bc. 2
3 1.2 Wiskundige inductie (1) 0 = kleinste van alle natuurlijke getallen. Elk natuurlijk getal n kan bekomen worden door precies n keer één op te tellen bij nul. (2) methode van de wiskundige inductie (n + 1 = opvolger van n). Als een eigenschap geldt voor het natuurlijk getal nul, en als elke opvolger van een natuurlijk getal dat die eigenschap bezit, ook de eigenschap bezit, dan is de eigenschap geldig voor alle natuurlijke getallen Voorbeeld Bewijs door inductie dat n = n(n + 1). 2 Bewijs: (1) Formule geldig voor n = 0? Als n = 0, dan 0 = 0. (2) Inductiestap. Als formule geldig voor n, dan ook geldig voor opvolger n + 1? 3
4 Dus Is nu n = n+(n+1) = n(n + 1). (1.1) 2 (n + 1)(n )? (1.2) 2 Vul (1.1) in het linkerlid van (1.2), dan linkerlid van (1.2) is n(n + 1)/2 + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)/2, en dit is wat gevraagd werd te controleren. Formule geldt dus ook voor n + 1. Uit bewijs door inductie: formule geldig voor alle n Torens van Hanoi Figuur 1.1: De torens van Hanoi - Verplaats n schijfjes van A naar B - slechts één schijfje per keer verplaatsen 4
5 - nooit kleine schijf onder grotere schijf - a n = aantal verplaatsingen bij n schijfjes (Recursief) algoritme: - verplaats n 1 bovenste schijfjes van A naar C (in a n 1 stappen) - verplaats onderste schijf van A naar B - verplaats n 1 schijfjes van C naar B (in a n 1 stappen) Besluit: a n = 2 a n Met bewijs door inductie a n = 2 n 1 5
6 1.3 Algoritmes, programma s en correctheid van programma s Algoritmes algoritme = routine of mechanische procedure die een zekere verzameling inputs aanvaardt, waarvoor die routine of mechanische procedure dan een output geeft na een eindig aantal stappen. (1) eindige verzameling instructies. (2) algoritme altijd eindigt na een eindig aantal stappen Programma s (computer)programma = uitdrukking of eindige reeks uitdrukkingen in zekere programmeertaal. programma = concrete realisatie van een algoritme Correctheid van programma s Hoe kunnen we zeker zijn dat een algoritme, of zijn implementatie in een programma, de taak waarvoor het opgesteld is, op correcte wijze uitvoert? Voorbeeld: eerste lancering Ariane-5 raket (4 juni 1996) 6
7 - wiskundig bewijs: recursieve programma s via de methode van wiskundige inductie. - benadering of voorlopige versie van het algoritme - een feilloze methode? Er bestaat geen feilloze methode om de correctheid van alle computerprogramma s te verifiëren. - onvolledigheidsstellingen van Gödel - programma s die de correctheid van andere programma s verifiëren ingewikkelder Recursieve programma s - recursief programma = programma dat zichzelf oproept. PROCEDURE Hanoi(n, x, y, z); ALS n = 1 DAN verplaats de schijf van staafje x naar staafje y; ANDERS Hanoi(n 1, x, z, y) Hanoi(1, x, y, z) Hanoi(n 1, z, y, x) EINDE ALS EINDE PROCEDURE 7
8 1.4 Verzamelingen - verzameling A bestaat uit elementen a, b, c,...,x, y, z,...,x 1, x 2,..., - ledige verzameling =. - kardinaliteit A van A = aantal elementen van A Klassieke bewerkingen op verzamelingen (1) (deelverzameling) X Y (2) (doorsnede) X Y (3) (unie) X Y (4) (verschil) X \ Y (5) (machtsverzameling) De machtsverzameling P(X) van X is de verzameling van alle deelverzamelingen van X Voorbeeld X = {a, b, c}, dan P({a, b, c}) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. - verzameling met n elementen heeft precies 2 n deelverzamelingen. 8
9 1.5 Relaties Geordende paren en reeksen - geordend paar (x, y). - geordende drietallen, viertallen,..., n-tallen - n-tal = reeks of lijst - element meerdere keren in lijst mag voorkomen; - in verzameling komt element één keer voor Relaties - cartesiaans product A B van A en B = verzameling alle geordende paren (a, b), met a A en b B - binaire relatie = verzameling R van geordende paren. - binaire relatie op een verzameling A = deelverzameling van A A = A Voorbeeld - A = {2, 6, 12}, A 2 = {(2, 2), (2, 6), (2, 12), (6, 2), (6, 6), (6, 12), (12, 2), (12, 6), (12, 12)}. R = {(2, 2), (2, 6), (2, 12), (6, 6), (6, 12), (12, 12)}; R stelt voor op A Domein en codomein - domein van een relatie R = domr - codomein van een relatie R - inverse relatie R 1 = R 1 = {(y, x) : (x, y) R} 9
10 1.5.5 Opmerkingen (1) n-aire relatie op A = een deelverzameling van A n (2) cartesiaans product A 1 A n = verzameling alle geordende n-tallen (a 1,...,a n ), met a 1 A 1,...,a n A n Voorbeelden (1) (a, b, c) R als en slechts als a en b de ouders zijn van c. (2) op de verzameling natuurlijke getallen: (a, b, c) R als en slechts als a b c of c b a Samenstelling van twee relaties - S R van R en S (S na R) - R eerst toegepast, pas daarna S. x R S y z Figuur
11 1.6 Ordeningen Definities Een relatie R op een verzameling X is (1) reflexief als (x, x) R voor alle x in X; (2) anti-symmetrisch als er geldt dat als (x, y) R en (y, x) R, dan noodzakelijk x = y; (3) transitief als er geldt dat als (x, y) R en (y, z) R, dan ook (x, z) R. (4) totaal als er geldt dat (x, y) R of (y, x) R voor alle x en y in X. - (X, ) = partieel geordende verzameling als reflexief, anti-symmetrisch en transitief is. - ordening totaal, dan (X, ) = totaal geordende verzameling; Voorbeelden (1) (N, ), (Z, ), (Q, ) en (R, ) = totaal geordende verzamelingen. (2) Beschouw een verzameling X en zijn bijhorende machtsverzameling P(X). De machtsverzameling P(X) van een verzameling X, tesamen met de inclusie als orderelatie is een voorbeeld van een partieel geordende verzameling. Beschouw de verzameling X = {, {a}, {b}, {a, c}, {a, b}, {b, c}}. 11
12 Figuur Definities - x X maximaal als er geldt dat als x y, dan y = x - element x is het grootste element als y x voor alle y X. - x X is minimaal als er geldt dat als y x, dan y = x - element x is het kleinste element als x y voor alle y X Opmerking - grootste element van (X, ) groter dan of gelijk is aan elk element van X. - maximaal element groter dan of gelijk aan elk element van X waarmee het vergeleken kan worden binnen de ordening Definitie van strict partiële ordeningen - relatie R op een verzameling X asymmetrisch als (x, y) R en (y, x) R niet beide kunnen geldig zijn binnen de 12
13 relatie R. - strict partiële ordening = transitieve, asymmetrische relatie Kleinste bovengrens en grootste ondergrens - x en y van X. (1) Als er een element z X bestaat waarvoor 1. z x en z y; 2. voor elk element t X, als t x en t y, dan is t z, dan z de grootste ondergrens van x en y. (2) Als er een element z X bestaat waarvoor 1. x z en y z; 2. voor elk element t X, als x t en y t, dan is z t, dan z de kleinste bovengrens van x en y. Als de grootste ondergrens, kleinste bovengrens bestaat, dan uniek. - grootste ondergrens van x en y = x y - kleinste bovengrens van x en y = x y Voorbeeld Beschouw een verzameling X en haar machtsverzameling P(X). Beschouw P(X) en de partiële ordening bepaald door de inclusie. 13
14 Dan hebben elke twee elementen A en B van P(X) een grootste ondergrens: en een kleinste bovengrens A B = A B A B = A B 14
15 1.7 Functies Definitie van een functie - functie f: is een relatie en als x domf, dan is er een unieke y waarvoor (x, y) f, Opmerking - notatie: y = f(x) - f functie en deelverzameling van X Y, f : X Y f : X Y : x f(x). - Bijvoorbeeld f : N N : x x functies 1-1 functie f: verschillende elementen uit domein afgebeeld op verschillende elementen uit codomein Opmerking - inverse van een functie. f 1 = {(f(x), x) x domf}. - f 1 een functie is als en slechts als f een 1-1 functie is. 15
16 1.8 Opmerking - computerprogramma = een functie van de input naar de output. - welke functies berekenbaar: via een eindig algoritme geïmplementeerd op een computer? 16
17 1.9 Relationele databanken: een toepassing van relaties en functies relationele databank = gebaseerd op wiskunde van relaties en functies Voorbeeld naam adres telefoon bedrag datum A. Janssen Krijgslaan / juni Gent A. Janssen Krijgslaan / mei Gent A. Janssen Krijgslaan / juli Gent S. Vandamme Ganzendries 15 02/ mei Brussel S. Vandamme Ganzendries 15 02/ oktober Brussel Tabel 1.1: Een databank - kolom = een attribuut A i - gegeven = een rij - verband met relaties? - Stel gegeven bepaald door n attributen A 1,...,A n. - Stel X i = verzameling die correspondeert met het attribuut A i. - gegeven = n-tal (x 1,...,x n ) met x i X i. - Bijgevolg R X 1 X n. 17
18 1.9.2 Raadplegen van een relationele databank Selectie - selectie = alle gegevens halen aan gegeven eigenschappen voldoen. We zoeken de n-tallen {(x 1,...,x n ) R : x i = a i }. {(x 1,...,x n ) R : x i = a i, x j = a j en x k = a k } naam adres telefoon bedrag datum A. Janssen Krijgslaan / juni Gent A. Janssen Krijgslaan / mei Gent A. Janssen Krijgslaan / juli Gent Tabel 1.2 Projectie - projectie = aantal kolommen uit de databank halen Bijvoorbeeld, projectie op de attributen (naam, bedrag) geeft 18
19 naam bedrag A. Janssen A. Janssen 5000 A. Janssen 6000 S. Vandamme 3000 S. Vandamme 8000 Tabel 1.3 Wiskundig komt projectie neer op de volgende bewerking. S = {(x 1, x 4 ) : (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) R}. p : X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 1 X 4 : p(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (x 1, x 4 ), dan S = p(r), het beeld van R onder de projectie p. Opmerking gedetailleerder studie: zie cursus databanktechnologie. - functionele afhankelijkheid 19
20 1.10 Partiële functies - computerprogramma = functie van de input naar de output. Gegeven de input, dan wordt de input door het computerprogramma omgezet naar de output. - nodige voorzichtigheid - domein van een computerprogramma = verzameling inputs waar het programma in een eindig aantal stappen de output geeft - domein soms te ingewikkeld - halting (stop) probleem Partiële functies - partiële functie van X naar Y als domf X en codomeinf Y. - f : X Y is totaal als dom(f) = X. - f een partiële functie is van X naar Y en x X \ domf, dan f(x) niet gedefinieerd 20
21 Voorbeelden (1) read(n); while n > 1 do begin end; write(n); if n is even then n := n/2 else n := 2n als n = 0 f(n) = 1 als n een macht van 2 is niet gedefinieerd in de andere gevallen (2) read(n); while n > 1 do begin end; write(n); if n is even then n := n/2 else n := 3n
22 1.11 Equivalentierelaties - Equivalentierelaties = relaties die het meest gelijkheid tussen elementen benaderen; - Equivalentierelaties: steeds gedefinieerd op de elementen van één verzameling Definities Relatie R op een verzameling X. (1) reflexief: (x, x) R voor alle x X; (2) symmetrisch: als (x, y) R, dan ook (y, x) R; (3) transitief: als (x, y) R en (y, z) R, dan (x, z) R. - equivalentierelatie op X = reflexief, symmetrisch en transitief x y als (x, y) R. x y, dan gelijken x en y op elkaar volgens de relatie R Voorbeelden (1) De relatie = : een equivalentierelatie. 22
23 (2) op Z: a b als en slechts als a b even is. (3) Verzameling X van alle computerprogramma s Twee computerprogramma s P en Q. P Q als voor alle inputs I: (a) het programma P output geeft na een eindig aantal stappen als en slechts als het programma Q output geeft na een eindig aantal stappen, (b) als dit zo is, dan beide outputs gelijk is een equivalentierelatie op X Equivalentieklassen Equivalentierelatie R op X verdeelt de verzameling X in equivalentieklassen. Equivalentieklassen zijn: (1) niet-ledig; (2) twee verschillende equivalentieklassen: geen elementen gemeen; (3) unie alle equivalentieklassen = verzameling X. - elementen uit een equivalentieklasse op elkaar gelijken 23
24 voor deze equivalentierelatie Voorbeelden (1) op Z: a b als en slechts als a b even is verdeelt Z in twee equivalentieklassen Voorbeeld (3) Figuur 1.4 Voor deze computer zijn de programma s P en Q gelijk 24
25 1.12 Aftelbare en niet-aftelbare verzamelingen Oneindige kardinaalgetallen - twee eindige verzamelingen: wanneer dezelfde kardinaliteit? - tellen van het aantal elementen - oneindige verzamelingen? Hebben N = {0, 1, 2,...} en N \ {0} = {1, 2, 3, 4,...} hetzelfde aantal elementen? - twee eindige verzamelingen X en Y : X = Y als en slechts als er een 1-1 functie f is tussen X en Y. Uitbreiding tot twee oneindige verzamelingen X en Y. X = Y als en slechts als er een 1-1 functie f is tussen X en Y Voorbeelden (1) N en N \ {0} hebben evenveel elementen. Definieer (2) N en E = {0, 2, 4, 6,...} f : N N \ {0} : n n
26 f : N E : n 2n is een 1-1 functie tussen beide verzamelingen. (3) N, Z en Q dezelfde kardinaliteit Aftelbare verzamelingen Beschouw een oneindige verzameling X. - X een aftelbare verzameling als er een 1-1 functie is tussen N en X, - X een niet-aftelbare verzameling: geen dergelijke 1-1 functie Opmerking - eindige verzamelingen: eveneens aftelbare verzamelingen R is een niet-aftelbare verzameling Het interval [0, 1] van R is zelf al een niet-aftelbare verzameling Stel een 1-1 functie f van N naar het interval [0, 1], f(0) = 0, a 0 b 0 c 0 d 0... f(1) = 0, a 1 b 1 c 1 d
27 f(2) = 0, a 2 b 2 c 2 d 2... f(3) = 0, a 3 b 3 c 3 d a i, b i,... {0,...,9} Constructie van reëel getal x tussen 0 en 1 dat niet in de lijst kan voorkomen. waarbij x = 0, x 1 x 2 x 3 x 4... x 1 = x 2 = x 3 =. { a0 + 1 als a 0 7 { a 0 1 als a 0 8 b1 + 1 als b 1 7 { b 1 1 als b 1 8 c2 + 1 als c 2 7 c 2 1 als c 2 8. f(0) = 0, f(1) = 0, f(2) = 0, f(3) = 0, f(4) = 0, f(5) = 0, Voor n = 0, 1, 2,...: x verschilt met f(n) op de (n + 1)-ste plaats na de komma. Bijgevolg [0, 1] niet-aftelbaar. 27
28 Kardinaalgetallen N = ℵ 0 N = N 0 {0}, ℵ 0 = ℵ
29 1.13 Toepassing in de informatica - computerprogramma: input = één natuurlijk getal en output = één natuurlijk getal. - computerprogramma = functie van N naar N - Kan elke functie van N naar N geïmplementeerd worden in een eindig aantal instructies? - telling van aantal functies van N naar N en van het aantal programma s in een zekere programmeertaal Woorden over een alfabet - alfabet = eindige verzameling symbolen - alfabet = a,...,z - woord = een eindige reeks letters Stelling 1.1 Het aantal woorden over het alfabet {a,...,z} is aftelbaar Bewijs. - een 1-1 functie tussen N en de verzameling woorden - aan elk woord een nummer geven 29
30 - Rangschik de woorden alfabetisch en volgens stijgende lengte a, b, c,..., z aa, ab, ac,...,..., zz aaa, aab, aac,...,......, zzz.,,,,,, Elk woord heeft een nummer Zinnen over een alfabet - woorden over a,...,z - zin = eindige opeenvolging van woorden. Stelling 1.2 Het aantal zinnen over het alfabet {a,...,z} is aftelbaar Bewijs. zie oefeningenlessen Functies van N naar N - functie f van N naar N. 0 f(0) 1 f(1) 2 f(2)... 30
31 Stelling 1.3 De verzameling van alle functies van N naar N is niet-aftelbaar. Bewijs. zie oefeningenlessen Toepassing voor computerprogramma s - Programmeertaal gebruikt a,...,z, 0, 1,...,9, enkele andere symbolen zoals :, ;,, +, ( en ). - programma s met eindige lengte om functies van N naar N te programmeren. Stelling 1.4 Het aantal computerprogramma s dat kan geschreven worden in een programmeertaal met een eindig aantal symbolen is aftelbaar. Bewijs. zie oefeningenlessen. Gevolg 1 In een programmeertaal met een eindig alfabet kunnen niet alle functies van N naar N geprogrammeerd worden. Bewijs. - aftelbaar aantal computerprogramma s - niet-aftelbaar aantal functies Opmerkingen (1) - berekenbare functies = effectief berekend kunnen worden in een computerprogramma 31
32 - niet-berekenbare functies (2) Turing machines 32
Bewijzen en Redeneren voor Informatici
Bewijzen en Redeneren voor Informatici Reinoud Berkein 17 januari 2018 Samenvatting Een korte samenvatting van definities uit de cursus. Hoofdstuk 1 Doorsnede: De verzamerling die alle elementen bevat
Nadere informatieOefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar?
Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 22 maart 2009 ONEINDIGHEID
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 maart 2009 ONEINDIGHEID. Paragraaf 13.3. De paradox van de oneindigheid ligt slechts
Nadere informatieSupplement Verzamelingenleer. A.J.M. van Engelen en K. P. Hart
Supplement Verzamelingenleer A.J.M. van Engelen en K. P. Hart 1 Hoofdstuk 1 Het Keuzeaxioma Het fundament van de hedendaagse verzamelingenleer werd in de vorige eeuw gelegd door Georg Cantor. Cantor gebruikte
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 februari 2009 RELATIES & GRAFEN Discrete Structuren Week 2: Relaties en Grafen
Nadere informatieHoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Nadere informatieRelaties en Functies
Logica voor Informatica Relaties en Functies Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Geordende paren, productverzameling, relatie (a, b) geordend paar (a, b) = (c, d) a =
Nadere informatieOplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren
Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Goeroen Maaruf 20 augustus 202 Hoofdstuk 3: Relaties. Oefening 3..2 (a) Persoon p is grootouder van persoon q. (b) (p, q) O o O r P : [ (p, r) O (r, q) O ]
Nadere informatieRAF belangrijk te onthouden
RAF belangrijk te onthouden Auteur: Daan Pape Hoofdstuk 1 symbool omschrijving lees als negatie (ontkenning) p niet p het is niet zo dat p conjunctie p q p en q disjunctie p q p of q implicatie p q als
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieGödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3
Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3 Koen Rutten, Aris van Dijk 30 mei 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 1.1 Definitie................................ 2 1.2 Eigenschappen............................
Nadere informatieDossier 1 SYMBOLENTAAL
Dossier 1 SYMBOLENTAAL basis voor wiskundige communicatie Dr. Luc Gheysens Wiskundigen hebben een eigen symbolentaal waarmee ze onderling communiceren, redeneringen en bewijzen neerschrijven, mathematische
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 17 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 17 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wat is een equivalentierelatie? Een
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen 8 december 2015, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Nadere informatie1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Nadere informatieEnkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 10 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 10 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wat is een equivalentierelatie? Een equivalentie
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieGetallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Nadere informatieOneindig in Wiskunde & Informatica. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff
Oneindig in Wiskunde & Informatica Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft Tom Verhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica http://www.win.tue.nl/~wstomv/
Nadere informatieTalen & Automaten. Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 mei 2008
Talen & Automaten Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.cs.rug.nl/~wim 9 mei 2008 Talen & automaten Week 1: Inleiding Dit college Talen Automaten Berekenbaarheid Weekoverzicht
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatieVolledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.
Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 februari 2009 INDUCTIE & RECURSIE Paragrafen 4.3-4.6 Discrete Structuren Week 3:
Nadere informatieOefening 2.3. Noteer de volgende verzamelingen d.m.v. (eenvoudig) voorschrift voor de eerste helft en d.m.v. opsomming voor de tweede helft.
Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dystra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 12 februari 2008 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen
Nadere informatie2. Ga voor volgende relaties na of het al dan niet functies, afbeeldingen, bijecties, injecties, surjecties zijn :
HOOFDSTUK. VERZAMELINGEN, RELATIES EN FUNCTIES Opgaven verzamelingen, relaties en functies. Toon aan : a) (A B) C = A (B C) b) A (B C) = (A B) (A C) c) (A B) c = A c B c d) A B B c A c. Ga voor volgende
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieAutomaten. Informatica, UvA. Yde Venema
Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................
Nadere informatieIII.3 Supremum en infimum
III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 28 oktober 2014 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 3 1.1 Basisbegrippen....................................... 3 1.2 De
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 februari 2009 INLEIDING
Discrete Structuren Piter Dystra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen Elementaire
Nadere informatieInhoudsopgave. Relaties geordend paar, cartesisch product, binaire relatie, inverse, functie, domein, bereik, karakteristieke functies
Inhoudsopgave Verzamelingen element, Venn-diagram, singleton, lege verzameling, gelijkheid, deelverzameling, machtsverzameling, vereniging, doorsnede, verschilverzameling Relaties geordend paar, cartesisch
Nadere informatieWiskunde. Verzamelingen, functies en relaties. College 2. Donderdag 3 November
Wiskunde Verzamelingen, functies en relaties College 2 Donderdag 3 November 1 / 17 Equivalentierelaties Def. Een relatie R heet reflexief als x xrx. R heet transitief als x y z (xry yrz xrz). R heet symmetrisch
Nadere informatieBewijzen en Redeneren voor Informatici Samenvatting
Bewijzen en Redeneren voor Informatici Samenvatting Robin Kelchtermans 17 februari 2018 1 Voorwoord In deze samenvatting komen alle onderdelen van de cursus Bewijzen en Redeneren voor Informatici (academiejaar
Nadere informatie1.1 Rekenen met letters [1]
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatieExamen G0U13 - Bewijzen en Redeneren,
Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, 2010-2011 bachelor in de Wisunde, bachelor in de Fysica, bachelor in de Economische Wetenschappen en bachelor in de Wijsbegeerte Vrijdag 4 februari 2011, 8u30 Naam:
Nadere informatieequivalentie-relaties
vandaag equivalentie-relaties reflexief, symmetrisch, transitief 1 1. gelijkmachtigheid / aftelbaarheid 2. modulo rekenen 3. theorie Gelijkmachtigheid en aftelbaarheid 3.7 aleph 2 intuitie Amst Brux Roma
Nadere informatieUniversiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
Nadere informatieHoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Nadere informatieBEWIJZEN EN REDENEREN
BEWIJZEN EN REDENEREN voor Bachelor of Science in Fysica en Wiskunde Academiejaar 2012/2013 Arno KUIJLAARS Departement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 200 B, 3001 Heverlee Inhoudsopgave
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatie1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
Nadere informatieDefinitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:
Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatie(Isomorfie en) RELATIES
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 maart 2009 (Isomorfie en) RELATIES. Paragrafen 10.5,11.1,11.2,11.4,11.5 Discrete
Nadere informatie6 Ringen, lichamen, velden
6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oefening 6.2. Ontbind x 5 + x 4 + x 3 + x in irreducibele
Nadere informatieBijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove. met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 1 juni 2015 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 6 1.1
Nadere informatieHoofdstuk 1. Getallen tellen. 1.1 Gehele getallen. 1.2 Recursieve definities. 1.3 Het induktieprincipe
Hoofdstuk 1 Getallen tellen 1.1 Gehele getallen 1.1.1 Inleiding 1.1.2 De optelling en de vermeningvuldiging 1.1.3 De ordening van de gehele getallen 1.1.4 Het axioma van de goede ordening 1.2 Recursieve
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Wat is Wiskunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00
Uitweringen Tentamen Wat is Wisunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00 Docenten: Barbara van den Berg & Carel Faber & Arjen Baarsma & Ralph Klaasse & Vitor Blåsjö & Guido Terra-Bleeer Opgave
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid
Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven 2016-2017 Les 8: 118-125 orakels en reducties met orakels Turing-berekenbare functies de bezige bever Orakelmachines I 2/14 we kennen al: een TM die een
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Nadere informatieStelling. SAT is NP-compleet.
Het bewijs van de stelling van Cook Levin zoals gegeven in het boek van Sipser gebruikt niet-deterministische turing machines. Het is inderdaad mogelijk de klasse NP op een alternatieve wijze te definiëren
Nadere informatieEquivalentierelaties. Partities. College WisCKI. Albert Visser. Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 3 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wat is een equivalentierelatie? 1 De notie equivalentierelatie
Nadere informatieHints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17
Hints en uitwerkingen huiswerk 013 Analyse 1 H17 Rocco van Vreumingen augustus 014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 Hints 4 3 Hints 3 4 4 Hints 4 5 5 Hints 5 5 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Hints 8 6 9 Hints 9
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieMulticriteria Optimization and Decision Making. Michael Emmerich and André Deutz
2 Relaties 1 Multicriteria Optimization and Decision Making Michael Emmerich and André Deutz 2 motivatie We bestuderen relaties: de terminologie, representaties (de manieren om relaties weer te geven)
Nadere informatieVERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN
I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen
Nadere informatie1 Verzamelingen. en relaties. 1.1 De basisnotaties. Hoofdstuk
Inhoudsopgave Inhoudsopgave iii 1 Verzamelingen en relaties 1 1.1 De basisnotaties.......................... 1 1.2 Relaties.............................. 4 1.2.1 Basisdefinities.......................
Nadere informatieKeuze-Axioma en filosofische vragen over de Wiskunde
Keuze-Axioma en filosofische vragen over de Wiskunde Jaap van Oosten Department of Mathematics, Utrecht University Caleidsocoop 1, 3 april 2012 In de wiskunde bewijzen we stellingen (uitspraken). In het
Nadere informatieKettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Nadere informatieb) Niet geldig. Zij π(n)(p) = 1 als n is even, anders π(n)(p) = 0. Schrijf
opgave 2.1 a) Geldig. Zij n N en π een willekeurige valuatie. Schrijf T = (N, π). Stel, T, n p. Dan bestaat m > n zodat T, m p. Dus voor k > m geldt altijd T, k p. Nu geldt T, n p, want voor alle x > n
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieINLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE
INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE DEEL : Analyse van functies van één veranderlijke Arno KUIJLAARS Stefaan POEDTS Departement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 200 B, 300 Heverlee
Nadere informatieProgrammeermethoden. Recursie. week 11: november kosterswa/pm/
Programmeermethoden Recursie week 11: 21 25 november 2016 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/pm/ 1 Pointers Derde programmeeropgave 1 Het spel Gomoku programmeren we als volgt: week 1: pointerpracticum,
Nadere informatieOefeningen Cursus Discrete Wiskunde. 26 mei 2003
Oefeningen Cursus Discrete Wiskunde 26 mei 2003 1 Hoofdstuk 1 Getallen tellen 1.1 Gehele getallen 1.1.1 Inleiding 1.1.2 De optelling en de vermeningvuldiging Oefening 1.1.1 Zoals gebruikelijk noteren wij
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatieWiskunde. Verzamelingen, functies en relaties. College 6. Donderdag 7 Januari
Wiskunde Verzamelingen, functies en relaties College 6 Donderdag 7 Januari 1 / 14 Kardinaliteit Def. A is de kardinaliteit van A. A = B : er is een bijectie van A naar B. A B : er is een injectie van A
Nadere informatieCollegestof verzamelingenleer. Verzamelingenleer. Inhoud dit deel college. Verzamelingen. Universele en lege verzameling. Verzamelingen en elementen
Collegesto verzamelingenleer Verzamelingenleer Pro dr J-J Ch Meyer UU - ICS Gebaseerd op (aantal hoodstukken van) het boek: Set Theory and Related Topics by Seymour Lipschutz Schaum s Outlines, McGraw-Hill
Nadere informatie2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Nadere informatieRecursie: definitie. De som van de kwadraten van de getallen tussen m en n kan als volgt gedefinieerd worden:
Recursie: definitie Een object wordt recursief genoemd wanneer het partieel bestaat uit of partieel gedefinieerd is in termen van zichzelf. Recursie wordt gebruikt bij wiskundige definities, bijvoorbeeld:
Nadere informatieVerzamelingen deel 3. Derde college
1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt
Nadere informatieWiskundige Structuren
wi1607 Wiskundige Structuren Cursus 2009/2010 Eva Coplakova en Bas Edixhoven i Inhoudsopgave I Verzamelingen en afbeeldingen..... 2 I.1 Notatie........3 I.2 Operaties op verzamelingen...7 I.3 Functies.......10
Nadere informatieBasiswiskunde. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam
Basiswiskunde P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam 22 augustus 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 2 Taal van de wiskunde 6 3 Afbeeldingen 11 4 Relaties 15 5 Inductie
Nadere informatieAlgoritmen abstract bezien
Algoritmen abstract bezien Jaap van Oosten Department Wiskunde, Universiteit Utrecht Gastcollege bij Programmeren in de Wiskunde, 6 april 2017 Een algoritme is een rekenvoorschrift dat op elk moment van
Nadere informatieOplossingen oefeningen logica en eindige automaten 12 december Het bestand oplnoef12dec.zip bevat de.sen en.fa bestanden met de oplossingen.
Oplossingen oefeningen logica en eindige automaten 12 december 2003 Het bestand oplnoef12dec.zip bevat de.sen en.fa bestanden met de oplossingen. Oefening 1 Deel 1: Logica Vertaal de volgende zinnen in
Nadere informatieHelden van de wiskunde: L.E.J. Brouwer Brouwers visie vanuit een logica-informatica perspectief
Helden van de wiskunde: L.E.J. Brouwer Brouwers visie vanuit een logica-informatica perspectief Herman Geuvers Radboud Universiteit Nijmegen Technische Universiteit Eindhoven 1 Helden van de wiskunde:
Nadere informatieHet benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 2012
Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 202 Cor Kraaikamp August 24, 202 Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Aanbevolen opgaven. Wat is oneindigheid? College 5
Vorig college College 5 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Opsommers vs. Herkenners Church-Turing These Codering van problemen 23 april 2009 1 2 Aanbevolen opgaven Wat is oneindigheid? Sipser p. 163
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieLights Out. 1 Inleiding
Lights Out 1 Inleiding Het spel Lights Out is een elektronisch spel dat gelanceerd werd in 1995 door Tiger Electronics. Het originele spel heeft een bord met 25 lampjes in een rooster van 5 rijen en 5
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatieNiet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieVerzamelingen. Hoofdstuk 5
Hoofdstuk 5 Verzamelingen In de meest uiteenlopende omstandigheden kan het handig zijn om een stel objecten, elementen, of wat dan ook, samen een naam te geven. Het resultaat noemen we dan een verzameling.
Nadere informatieFunctievergelijkingen
Functievergelijkingen Trainingsweek juni 2008 Basistechnieken Je mag alle getallen in het domein invullen in je functievergelijking. Wat er precies handig is, hangt af van het domein en van de functievergelijking.
Nadere informatieDe wiskunde van computerberekeningen. Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam.
De wiskunde van computerberekeningen Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam 04 november 2015 Pluto en Charon New Horizons, launch date 19 January, 2006, speed
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatie1 Verzamelingen en afbeeldingen
Samenvatting Wiskundige Structuren, 2010 Aad Offerman, www.offerman.com 1 1 Verzamelingen en afbeeldingen Notaties: A = {1,2,3},, x A, y / A, A = B A B en B A, N = {0,1,2,...}, Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,...},
Nadere informatieCombinatoriek. Oefeningen op hoofdstuk 3. 3.1 Het duivenhokprincipe. 3.2 Dubbele telling
Oefeningen op hoofdstuk 3 Combinatoriek 3.1 Het duivenhokprincipe Oefening 3.1. Geraldine heeft twaalf roze kousen, zes appelblauwzeegroene en tien gele allemaal door elkaar in haar lade. Het is pikdonker
Nadere informatie1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling
Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil
Nadere informatieAlle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave.
WAT IS WISKUNDE (English version on the other side) Maandag 5 november 2012, 13.30 1.30 uur Gebruik voor iedere opgave een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer op elk vel. Alle opgaven tellen even
Nadere informatieGroepen, ringen en velden
Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:
Nadere informatierecursie Hoofdstuk 5 Studeeraanwijzingen De studielast van deze leereenheid bedraagt circa 6 uur. Terminologie
Hoofdstuk 5 Recursion I N T R O D U C T I E Veel methoden die we op een datastructuur aan kunnen roepen, zullen op een recursieve wijze geïmplementeerd worden. Recursie is een techniek waarbij een vraagstuk
Nadere informatie