Fundamenten van de Informatica
|
|
- Sandra van Dongen
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Fundamenten van de Informatica Luc De Raedt Academiejaar naar de cursustekst van Karel Dekimpe en Bart Demoen A.1: Talen en Eindige Automaten 1
2 Deel 1: Inleiding 2
3 Motivatie Fundamenten van de Informatica formele basis van de informatica - abstract & wiskundig onveranderlijk informatica is ook iets anders dan programmeren! De rest van de informatica bouwt hierop verder 3
4 Overzicht Drie delen 1. Automaten en Complexiteit 2. Grafen 3. Vastepuntstheorie 4
5 Automaten en Complexiteit Automaat : een formeel, wiskundig model van een computer verschillende soorten, verschillen naar gelang wat ze kunnen berekenen Wij: eindige toestands-automaten en Turingmachines 5
6 Alan Turing ( ) Basis van de informatica a.d.h.v. zijn Turing Machines Wiskundig model Notie van berekenbaarheid Sterke invloed op Kunstmatige Intelligentie (o.a. Turing test) Turing-award 6
7 Complexiteit Wat kunnen we efficiënt berekenen? verschillende klassen van problemen de ultieme vraag P = NP? NP NPC P - we weten dat P NP - ook : als er één NP-compleet probleem is dat in P ligt, dan is P = NP - NP-compleet: de moeilijkste problemen in NP 7
8 Grafen Wat is een graaf? knopen + bogen Voorbeelden computer netwerken elektriciteitsnetwerken sociale netwerken 8
9 Vastepuntstheorie x is een vast punt van een functie f als en slechts als f(x) =x Verschillende eigenschappen Belangrijk voor semantiek (betekenis) van logica, gegevensbanken en programmeertalen convergentie van algoritme Wij: een aantal eigenschappen en stellingen (Tarski en Kleene) 9
10 Praktisch We volgen de cursus tekst Dekimpe, Demoen, Fundamenten van de Informatica. Online op Toledo. Alles komt online op Toledo Cursus-tekst +Oefeningen + Slides + Discussie-forum Oefenzittingen gegeven door Jon Sneyers & Siegfried Nijssen 10
11 Lessen Dinsdag Vrijdag Maar verschillende lessen vallen weg, o.a. di 20 februari vrij 9 maart di 17 en vrij 20 april di 1, di 15, vrij 18 mei Kijk naar aankondigingen op Toledo! 11
12 A: Inleiding tot Complexiteit 12
13 A1. Talen en Automaten 13
14 A1.1. Talen 14
15 Strings Definitie (1.1.1). Strings over een alfabet. Een alfabet is een niet-lege eindige verzameling Σ. De elementen van Σ worden symbolen genoemd. Een string over Σ is een eindige rij symbolen σ 1 σ 2 σ n, waarbij elke σ i Σ. De lengte van een string is het aantal (al dan niet verschillende) symbolen dat gebruikt wordt om de string op te bouwen. Er is bovendien één string van lengte 0, de lege string, die we met λ zullen aanduiden. De verzameling van alle strings over een alfabet Σ duiden we aan met Σ 15
16 Taal Definitie (1.1.2). Een taal. Een taal over een alfabet Σ is een deelverzameling L Σ. Neem Σ = {0, 1}. 16
17 Voorbeelden van Talen 1. L 1 = 2. L 2 = Σ = {λ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 100, 011, 101, 110, 111,...} 3. L 3 = {11, 101, 1001, 10001, ,...} 4. L 4 = {λ, 01, 0011, , , ,...} 5. L 5 = {10, , } 6. L 6 = {10, 11, 101, 111, 1011,...} 17
18 Algoritme Met een algoritme bedoelen we een oplossingsmethode bestaande uit een eindige opeenvolging van instructies, die elk op precies één wijze uit te voeren zijn, en die steeds eindigt. Voor welke talen L bestaat er een algoritme dat herkent of een string s Σ tot L behoort? 18
19 A1.2. Reguliere Expressies en Talen 19
20 Operaties op Strings Voor een alphabet Σ definieer op Σ volgende operaties: De concatenatie of samenstelling. Indien x = σ 1 σ 2 σ n Σ en y = µ 1 µ 2 µ m Σ dan is hun samenstelling xy = σ 1 σ 2 σ n µ 1 µ 2 µ m Σ Voorbeeld. Neem Σ = {a, b, c, d}, x = abba en y = abcd dan is xy = abbaabcd. Er geldt voor elke x Σ dat λx = xλ = x en λλ = λ. 20
21 Operaties op Strings Voor x Σ definiëren we x 0 = λ n N : x n+1 = xx n Voorbeeld. Indien x = abb is x 3 = abbabbabb. Met x bedoelen we geen of meer kopieën van x. Met andere woorden, een element uit {x n n N}. Met x + bedoelen we één of meer kopieën van x. Met andere woorden, een element uit {x n n N 0 }. 21
22 Operaties op Talen Zij A, B Σ, dan is AB = {ab a A, b B} A 0 = {λ} n N : A n+1 = AA n A = A 0 A A 2 A 3 = A n. n=0 A wordt de Kleenesluiting van A genoemd A + = A A 2 A 3 = n=1 A n 22
23 Reguliere Taal Definitie (1.2.1). Reguliere Taal. Indien Σ een alfabet is, dan wordt de klasse van alle reguliere talen R over Σ inductief als volgt gedefinieerd: 1. R, {λ} R en σ Σ : {σ} R. 2. Indien A, B R dan ook (A) R, AB R, A B R en A R Elke taal uit R wordt een reguliere taal genoemd. 23
24 Bindingsregels Is A (BC) = (A B)C? Volgorde evaluatie: 1. expressies binnen haakjes 2. Kleene-sluitingen 3. concatenaties 4. unies Dus: A BC = A (B(C ))! 24
25 Voorbeeld Is L = {0110, 01010, , , ,...} een reguliere taal? 1. {0} en {1} zijn reguliere talen 2. {0}{1} en {1}{0} zijn reguliere talen 3. {0}* is een reguliere taal 4. {0}{1}{0}* is een reguliere taal 5. {0}{1}{0}*{1}{0} is een reguliere taal = L 25
26 Reguliere expressies Reguliere expressies zijn analoog aan reguliere talen. Zij worden vaak gebruik bij het zoeken naar patronen in text of gegevens, bvb. grep en egrep in Unix, Linux, etc. Voorbeelden met Σ = ASCII 123 en Hallo! en Dag Jef. ab*c = {ac, abc, abbc, abbbc,...} b(ab)*c = {bc, babc, bababc, babababc,...} d(i a)t = {dit, dat} w((ie) (at)) = w(ie at) = {wie, wat} (Volgens voorrangsregels) d(a i)*t = {dt, dat, dit, dait, diat, daat, diit,... } 26
27 Verdere voorbeelden Voorbeeld. reguliere expressie ab c a(b c) (ab) c Verzameling van overeenkomstige strings {ab n n N} {c} = {a, ab, abb, abbb, abbbb,..., c} {ab n n N} {ac} = {a, ab, abb, abbb, abbbb,..., ac} {(ab) n n N} {c} = {λ, ab, abab, abab, ababab, abababab,..., c} 27
28 Reguliere Expressies Definitie (1.2.2). - Reguliere expressie Indien Σ een alfabet is, dan wordt een reguliere expressie over Σ op inductieve wijze als volgt gedefinieerd: 1. is een reguliere expressie 2. λ is een reguliere expressie 3. Voor elke σ Σ is σ een reguliere espressie 4. Indien A en B reguliere expressies zijn, dan zijn ook (A), A, A B en AB reguliere expressies. Elke reguliere expressie bepaalt een reguliere verzameling. 28
29 Expressies en Talen Stelling (1.2.3). Voor een gegeven alfabet Σ geldt dat de klasse van de reguliere talen op Σ precies samenvalt met de klasse van de reguliere verzamelingen. Voor elke reguliere taal is er een corresponderende reguliere expressie en vice versa. Bvb. {1}{0}*{1} <-> 10*1 Opmerking: niet alle talen zijn regulier! bvb. {0 n 1 n n N} 29
30 A1.3 Eindige Automaten 30
31 Eindige Automaten Automaat implementeert algoritme Beschouw en Start Voor elke string in Σ * eindigen we in of niet 31
32 Eindige Automaten Definitie (1.3.1). Een eindige automaat (FSA - Finite State Automaton) is een 5-tal A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) Q een eindige verzameling is. We noemen de elementen van Q de toestanden van de automaat A. F Q is de verzameling van de aanvaardbare eindtoestanden. (De letter F is de eerste letter van het engelse Final). q 0 Q, deze toestand wordt de begintoestand genoemd. Σ is een eindige verzameling, het alfabet van de automaat. δ is een afbeelding, de transitieafbeelding genoemd, δ : Q Σ Q. 32
33 Eindige Automaat Start in de begintoestand q 0 met invoerstring x = σ 1 σ 2... σ n Per tijdseenheid t := 1...n voer een instructie uit: q it := δ(q it 1, σ t ) (geeft nieuwe toestand). laatste stap is q in := δ(q in 1, σ n ) Twee mogelijkheden : Als q in een aanvaardbare eindtoestand (in F ) is, dan aanvaard x anders verwerp x 33
34 Voorbeeld Voorbeeld. We beschouwen een eindige automaat A = (Q, Σ, δ, q 0, F ), met 1. Q = {E, O}, met begintoestand q 0 = E. 2. F = {E} 3. Σ = {0, 1}. 4. De afbeelding δ wordt gegeven door volgende tabel δ 0 1 O O E E E O 34
35 Voorbeeld (2) De werking van de automaat op de string 1101 is als volgt: 1. Stap 1: de automaat berekent q i1 = δ(q 0, 1) = δ(e, 1) = O. 2. Stap 2: de automaat berekent q i2 = δ(q i1, 1) = δ(o, 1) = E. 3. Stap 3: de automaat berekent q i3 = δ(q i2, 0) = δ(e, 0) = E. 4. Stap 4: de automaat berekent q i4 = δ(q i3, 1) = δ(e, 1) = O F. De invoerstring 1101 wordt verworpen. 35
36 Grafisch Voor elke toestand uit Q tekenen we een cirkel. De toestanden die tot F behoren voorzien we van een dubbele rand. De begintoestand q o wordt gekenmerkt door een inkomende pijl. Indien δ(q, σ) = q tekenen we een pijl tekenen van de cirkel die toestand q voorstelt, naar de cirkel die toestand q voorstelt en we geven het label σ aan deze pijl. Evt. meer labels per pijl. 36
37 Grafisch 0 1 E O
38 Transities voor Strings Definieer een afbeelding δ op strings: De definitie is inductief: δ : Q Σ Q. 1. σ Σ, q Q : δ (q, σ) = δ(q, σ). 2. Indien x = σ 1 σ 2... σ n Σ een string is van lengte n 2, dan: δ (q, x) = δ (q, σ 1 σ 2... σ n ) = δ (δ(q, σ 1 ), σ 2... σ n ). 3. Voor de volledigheid nemen we δ (q, λ) = q 0. 38
39 Taal van Automaat Merk op: de automaat zal eindigen in toestand δ (q 0, x) voor een string x. Ook: de string x wordt aanvaard als en slechts als δ (q 0, x) F. Definitie (1.3.2). Taal bepaald door een eindige automaat Indien A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) een eindige automaat is, noemen we L(A) = {x Σ δ (q 0, x) F } de taal bepaald door de eindige automaat A. Indien voor een gegeven taal L Σ geldt dat L = L(A) zeggen we dat A de taal L herkent. 39
40 Voorbeeld 0 1 E O 0 1 L(A) = {x {0, 1} x bevat een even aantal 1-en} 40
41 Eindige Automaten en Reguliere Talen Stelling (1.3.3). De klasse van talen die herkend worden door een eindige automaat valt precies samen met de klasse van de reguliere talen. Zonder bewijs maar illustratie a.d.h.v. voorbeeld. Automaat voor de taal over Σ={a,b} waarvan elke string op bb eindigt. L={a,b} * {bb} 41
42 Voorbeeld L={a,b} * {bb} Hoe ontwerp ik een automaat? Welke toestanden moet ik voorzien? Toestanden ~ geheugen. Bvb. abbbabb a b b b a b b onthouden
43 Voorbeeld L={a,b} * {bb} a b b q0 q1 q2 a b a 43
44 Een niet reguliere taal Bewering: L = {0 n 1 n n N} is niet regulier. Argumentatie. Er bestaat geen eindige automaat die deze taal aanvaard. Stel dat er wel zo n automaat A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) zou bestaan (redenering uit het ongerijmde). Neem aan dat Q = {q 0, q 1,..., q n 1 } en beschouw de string x = 0 n 1 n L. Verloop van de machine: 44
45 gelezen symbool nieuwe toestand q 0 q i1 q i2... q ip... q ir... q in q in+1 q in+2... q i2n }{{} F Pigeonhole principle - Duiventil principe : p, r : 0 p < r n zodat q ip = q ir. Schrap nu de 0-en van p + 1 tot en met r: gelezen symbool nieuwe toestand q 0 q i1... q ip 1 q ip }{{} =q i r q ir+1... q in q in+1 q in+2... q i2n }{{} F Dan wordt een string aanvaard door de automaat die niet tot de taal behoort. 45
46 Een veralgemening Stelling. Het pumping lemma (behoort niet tot de examenstof) Als L een reguliere taal is, dan bestaat er een getal p (de pumping lengte) zodat als s L en lengte(s) p dan kan s geschreven worden als s = xyz waarbij x, y, z strings zijn die aan de volgend voorwaarden voldoen: i N : xy i z L lengte(y) > 0 (dus y λ) lengte(xy) p 46
47 Bewering: L = {0 n 1 n n N} is niet regulier. Argumentatie: Een bewijs uit het ongerijmde gebruik makende van het pumping lemma. Stel L is regulier en kies s = 0 p 1 p waarbij p de pumping lengte is. Dan kunnen we s schrijven als xyz zodat xy i z L voor i 0. Er zijn nu drie mogelijkheden voor y: y bestaat alleen uit 0-en. Maar dan heeft de string xyyz ook tot L behoren, maar er zijn meer 0-en dan 1-en. Dit is een contradictie volgens de definitie van L. y bestaat alleen uit 1-en. Analoge redenering. y bestaat uit zowel 0-en als 1-en. Maar dan moet de string xyyz ook tot L behoren, maar in deze string wordt de volgorde van 0 en 1 niet gerespecteerd. 47
48 A1.4 Niet Deterministische Automaten 48
49 Niet-deterministische Automaten Niet-determinisme: er bestaan verschillende mogelijkheden voor de volgende toestand Basis voor parallelle verwerking Wij: automaten + Turing-machines 49
50 Niet-deterministische Automaten Definitie (1.4.1). Een niet-deterministische eindige automaat Een niet deterministische eindige automaat is een 5-tal A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) waarbij Q een eindige verzameling van toestanden. F Q is de verzameling van aanvaardbare eindtoestanden. q 0 Q, de begintoestand van de automaat. Σ is een eindige verzameling, het alfabet. δ is een afbeelding δ : Q (Σ {λ}) P(Q). P(Q) = {X X Q}: is de verzameling van alle deelverzamelingen van Q. 50
51 Voorbeeld a, b b b q0 q1 q2 Merk op: niet noodzakelijk een transitie voor elk symbool vanuit een knoop meerdere transities voor één symbool vanuit een knoop mogelijk ook transities voor λ mogelijk String abb: 3 mogelijkheden. 51
52 Transities voor Strings Breidt δ voor symbolen uit naar δ voor strings naar analogie met de deterministische automaten. Voorbeeld. Voor de niet deterministische eindige automaat van daarnet is 1. δ (q 0, abb) = {q 0, q 1, q 2 } 2. δ (q 0, abab) = {q 0, q 1 } 3. δ (q 0, aaaaaaa) = {q 0 } a, b b b q0 q1 q2 52
53 Taal van de Automaat Definitie (1.4.2). Taal aanvaard door een niet deterministische automaat. Indien A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) een niet deterministische eindige automaat is, noemen we L(A) = {x Σ δ (q 0, x) F } de taal bepaald door de eindige automaat A. Indien voor een gegeven taal L Σ geldt dat L = L(A) zeggen we dat A de taal L herkent. Voorbeeld. Welke taal herkent onze automaat? L = {a, b} {bb} 53
54 Eigenschap Stelling (1.4.3). Elke taal die herkend wordt door een niet deterministische eindige automaat wordt eveneens herkend door een deterministische eindige automaat. 54
55 Voorbeeld Voorbeeld. We zoeken een niet deterministische eindige automaat die de taal L = {a} {b} {c} op het alfabet Σ = {a, b, c} herkent. 55
56 Eigenschap Voor elke reguliere taal L bestaat er een nietdeterministische automaat die L herkent. 56
57 Eigenschap Voor elke reguliere taal L bestaat er een nietdeterministische automaat die L herkent. Bewijs door inductie: L = L = {λ} L = {σ} 57
58 Reguliere Taal Definitie (1.2.1). Reguliere Taal. Indien Σ een alfabet is, dan wordt de klasse van alle reguliere talen R over Σ inductief als volgt gedefinieerd: 1. R, {λ} R en σ Σ : {σ} R. 2. Indien A, B R dan ook (A) R, AB R, A B R en A R Elke taal uit R wordt een reguliere taal genoemd. 58
59 Inductie Stap Een machine met taal A Een machine met taal AB 59
60 Inductie Stap Met taal A B Met taal A * 60
61 Besluit Reguliere talen, expressies en eindige automaten (zowel deterministisch als niet deterministisch) definiëren dezelfde soort van talen Automaten worden vaak gebruikt bij modellering Er bestaan ook probabilistische uitbreidingen (bvb. (Hidden) Markov Modellen), en uitbreidingen die een uitvoer produceren ( transducers ) Reg. expressies worden soms ook gebruikt als patroon voor het vinden van strings Deze talen zijn wel beperkt ({0 n 1 n n is een natuurlijke getal}) 61
Talen & Automaten. Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 mei 2008
Talen & Automaten Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.cs.rug.nl/~wim 9 mei 2008 Talen & automaten Week 1: Inleiding Dit college Talen Automaten Berekenbaarheid Weekoverzicht
Nadere informatieFundamenten voor de Informatica
Fundamenten voor de Informatica Bachelor Informatica Aanvullende Opleiding Informatica Academiejaar 25 26 K. Dekimpe K.U.Leuven Campus Kortrijk B. Demoen K.U.Leuven Dep. Computerwetenschappen Inhoudsopgave
Nadere informatieAutomaten & Complexiteit (X )
Automaten & Complexiteit (X 401049) Inleiding Jeroen Keiren j.j.a.keiren@vu.nl VU University Amsterdam Materiaal Peter Linz An Introduction to Formal Languages and Automata (5th edition) Jones and Bartlett
Nadere informatieAutomaten. Informatica, UvA. Yde Venema
Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................
Nadere informatie3 De stelling van Kleene
18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we
Nadere informatieopgaven formele structuren deterministische eindige automaten
opgaven formele structuren deterministische eindige automaten Opgave. De taal L over het alfabet {a, b} bestaat uit alle strings die beginnen met aa en eindigen met ab. Geef een reguliere expressie voor
Nadere informatieAutomaten & Complexiteit (X )
Automaten & Complexiteit (X 401049) Beschrijven van reguliere talen Jeroen Keiren j.j.a.keiren@gmail.com VU University Amsterdam 5 Februari 2015 Talen Vorig college: Talen als verzamelingen Eindige automaten:
Nadere informatiec, X/X a, c/λ a, X/aX b, X/X
ANTWOORDEN tentamen FUNDAMENTELE INFORMATICA 3 vrijdag 25 januari 2008, 10.00-13.00 uur Opgave 1 L = {x {a,b,c} n a (x) n b (x)} {x {a,b,c} n a (x) n c (x)}. a. Een stapelautomaat die L accepteert: Λ,
Nadere informatieReguliere Expressies
Reguliere Expressies Een reguliere expressie (regexp, regex, regxp) is een string (een woord) die, volgens bepaalde syntaxregels, een verzameling strings (een taal) beschrijft Reguliere expressies worden
Nadere informatieVerzamelingen deel 2. Tweede college
1 Verzamelingen deel 2 Tweede college herhaling Deelverzameling: AB wil zeggen dat elk element van A ook in B te vinden is: als x A dan x B Er geldt: A=B AB en BA De lege verzameling {} heeft geen elementen.
Nadere informatieInhoud eindtoets. Eindtoets. Introductie 2. Opgaven 3. Terugkoppeling 6
Inhoud eindtoets Eindtoets Introductie 2 Opgaven 3 Terugkoppeling 6 1 Formele talen en automaten Eindtoets I N T R O D U C T I E Deze eindtoets is bedoeld als voorbereiding op het tentamen van de cursus
Nadere informatieFormeel Denken. Herfst 2004
Formeel Denken Herman Geuvers Deels gebaseerd op het herfst 2002 dictaat van Henk Barendregt en Bas Spitters, met dank aan het Discrete Wiskunde dictaat van Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Talen 1 1.1
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid
Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven 2016-2017 Les 2: 20-35 reguliere expressies NFA DFA minimalisatie Van RE naar NFA I 2/11 structureel (als algebra s) zijn RegExp en de NFA s gelijk voor
Nadere informatieIn dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.
9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende
Nadere informatiestart -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c
Een Minimaal Formalisme om te Programmeren We hebben gezien dat Turing machines beschouwd kunnen worden als universele computers. D.w.z. dat iedere berekening met natuurlijke getallen die met een computer
Nadere informatieTENTAMEN Basismodellen in de Informatica VOORBEELDUITWERKING
TENTAMEN Basismodellen in de Informatica vakcode: 211180 datum: 2 juli 2009 tijd: 9:00 12:30 uur VOORBEELDUITWERKING Algemeen Bij dit tentamen mag gebruik worden gemaakt van het boek van Sudkamp, van de
Nadere informatieModule Limieten van de berekenbaarheid : antwoorden
Module Limieten van de berekenbaarheid : antwoorden Gilles Coremans 2018 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International license. Dit werk is gebaseerd
Nadere informatieGetallensystemen, verzamelingen en relaties
Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,
Nadere informatieOpdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010
Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 8 december 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4
Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4 28 oktober 2016 Vraag 1: Toon aan dat de klasse van context vrije talen gesloten is onder concatenatie en ster. Antwoord Meerdere manieren zijn mogelijk:
Nadere informatieHet omzetten van reguliere expressies naar eindige automaten, zie de vakken Fundamentele Informatica 1 en 2.
Datastructuren 2016 Programmeeropdracht 3: Patroonherkenning Deadlines. Woensdag 23 november 23:59, resp. vrijdag 9 december 23:59. Inleiding. Deze opdracht is gebaseerd op Hoofdstuk 13.1.7 in het boek
Nadere informatieNotatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren
Overzicht TI1300: Redeneren en Logica College 10: Verzamelingenleer Tomas Klos Algoritmiek Groep Colleges 1 2: Bewijstechnieken Colleges 3 9: Propositielogica Vandaag en morgen: Verzamelingenleer Colleges
Nadere informatieUitwerking Opgaven Formele talen, grammaticas en automaten Week 1
Uitwerking Opgaven Formele talen, grammaticas en automaten Week 1 Bas Westerbaan bas@westerbaan.name 24 april 2012 1 Opgave 1.1 Een goed en voldoende antwoord is: L 1 = L 2, want L 1 en L 2 zijn alle woorden
Nadere informatieRuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010
RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010 Handout 2B Jan Terlouw woensdag 17 februari 2010 Deze handout sluit aan op handout 2A van maandag 15 februari. De gepresenteerde stof valt grotendeels
Nadere informatieV = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.
WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,
Nadere informatieEen combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010
Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt
Nadere informatieOpdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010
Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 13 november 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]
Nadere informatieVERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN
I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen
Nadere informatieFormeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen (29/01/15) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Als het regent word ik
Nadere informatieSemantische eigenschappen van XML-schematalen
transnationale Universiteit Limburg School voor Informatietechnologie Universiteit Hasselt Semantische eigenschappen van XML-schematalen Thesis voorgedragen tot het behalen van de graad van licentiaat
Nadere informatieFormele talen. Elfde college
12 Formele talen Elfde college 1 verkeerslicht? 신호등을지킵시다 (Automatische) Vertaling van het Koreaans You should observe the traffic lights Is Koreaans een formele taal? Nee natuurlijk niet! Alleen, voor
Nadere informatieTentamen TI2310 Automaten en Talen. 19 april 2012, uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica TP Delft Tentamen TI2310 Automaten en Talen 19 april 2012, 14.00-17.00 uur Totaal aantal pagina's (exclusief dit titelblad):
Nadere informatieNegende college complexiteit. 9 april NP-volledigheid I: introductie
College 9 Negende college complexiteit 9 april 2019 NP-volledigheid I: introductie 1 Handelbaar/onhandelbaar -1- N 10 50 100 300 1000 log 2 N 3 5 6 8 9 5N 50 250 500 1500 5000 N log 2 N 33 282 665 2469
Nadere informatieDe klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Dit bewijzen we met behulp van een recursieve opsomming
Recursieve talen De klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Echter, het is niet zo dat L recursief opsombaar is voor alle recursief opsombare talen L. Dit bewijzen we met behulp van
Nadere informatieIN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4 2628 CD Delft IN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, 14.00-17.00 uur BELANGRIJK Beschikbare
Nadere informatieStelling. SAT is NP-compleet.
Het bewijs van de stelling van Cook Levin zoals gegeven in het boek van Sipser gebruikt niet-deterministische turing machines. Het is inderdaad mogelijk de klasse NP op een alternatieve wijze te definiëren
Nadere informatieElfde college complexiteit. 23 april NP-volledigheid III
college 11 Elfde college complexiteit 23 april 2019 NP-volledigheid III 1 TSP Als voorbeeld bekijken we het Travelling Salesman/person Problem, ofwel het Handelsreizigersprobleem TSP. Hiervoor geldt: TSP
Nadere informatieGödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3
Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3 Koen Rutten, Aris van Dijk 30 mei 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 1.1 Definitie................................ 2 1.2 Eigenschappen............................
Nadere informatieTwaalfde college complexiteit. 7 mei NP-volledigheid IV Cook-Levin Savitch 1
college 12 Twaalfde college complexiteit 7 mei 2019 NP-volledigheid IV Cook-Levin Savitch 1 Turing machine {0 n 1 n n 0} q Y 0/b, +1 b/b, 0 q N 0/0, +1 1/1, +1 b/b, 1 q 1 q 2 q 0 1/1, 0 b/b, +1 0/0, 0
Nadere informatieRuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010
RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010 Handout 6A, paragraaf 4 (vervolg): Eindige automaten, gezien als multi-grafen Jan Terlouw woensdag 17 / donderdag 18 maart 2010 Het frame van
Nadere informatieTentamen in2505-ii Berekenbaarheidstheorie
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen in2505-ii Berekenbaarheidstheorie 16 juni 2008, 14.00 17.00 uur Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen. Totaal
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatieVerzamelingen deel 3. Derde college
1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieIntroductie tot de cursus
Inhoud introductietalen en ontleders Introductie tot de cursus 1 Plaats en functie van de cursus 7 2 Inhoud van de cursus 7 2.1 Voorkennis 7 2.2 Leerdoelen 8 2.3 Opbouw van de cursus 8 3 Leermiddelen en
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieFormeel Denken 2013 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 201 Uitwerkingen Tentamen (29/01/1) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Het is koud, maar er ligt
Nadere informatieIN2505 II Berekenbaarheidstheorie. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Practicum: Inschrijven. Practicum
IN2505 II Berekenbaarheidstheorie College 1 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft 7 april 2009 Docent: Colleges/oefeningen: dinsdag 5 + 6 (EWI-A), vrijdag 1 + 2 (AULA-A) Boek: Michael Sipser, Introduction
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Turingmachines. Turingmachine en Taal. College 2
Vorig college College 2 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Welke problemen zijn (niet) algoritmisch oplosbaar? Wat is een probleem? Wat is een algoritme? 13 april 2009 1 2 Turingmachines Turingmachine
Nadere informatieGerichte Grafen Boolese Algebra s &. Logische Netwerken
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 10 maart 2009 Gerichte Grafen Boolese Algebra s &. Logische Netwerken. Paragrafen
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid
Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven 2016-2017 Les 3: 36-54 Myhill-Nerode relaties; regulier pompen Myhill-Nerode equivalentieklassen in Σ I 2/10 belangrijk te verstaan: een equivalentie-relatie
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in
Nadere informatieBerekenbaarheid 2013 Uitwerkingen Tentamen 23 januari 2014
erekenbaarheid 2013 Uitwerkingen Tentamen 23 januari 2014 1. Geef een standaard Turing-machine die de taal L 1 := {a n b n n N} = {λ, ab, aabb,... } herkent door stoppen. Je mag in je machine hulpsymbolen
Nadere informatieJongleren met Wiskunde
Jongleren met Wiskunde Karsten Naert UGent Vakgroep Wiskunde March 21, 2012 Wiskunde is: Abstractie maken van de werkelijkheid Redeneren met deze abstracte gegevens (Zie ook: http://www.wiskunde.ugent.be/kiezen/wat.php)
Nadere informatieOplossingen oefeningen logica en eindige automaten 12 december Het bestand oplnoef12dec.zip bevat de.sen en.fa bestanden met de oplossingen.
Oplossingen oefeningen logica en eindige automaten 12 december 2003 Het bestand oplnoef12dec.zip bevat de.sen en.fa bestanden met de oplossingen. Oefening 1 Deel 1: Logica Vertaal de volgende zinnen in
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2012 2013, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieFinite automata. Introductie 35. Leerkern 36. Zelftoets 44. Terugkoppeling 45
Finite automata Introductie 35 Leerkern 36 1 Deterministic finite accepters 36 2 Nondeterministic finite accepters 38 3 Equivalence of deterministic and nondeterministic finite accepters 41 Zelftoets 44
Nadere informatieinhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2
handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor
Nadere informatieBespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd)
Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bekijk ook de bespreking van het examen van de eerste zittijd (op Toledo). Het valt hier op dat de scores op sommige vragen wel heel slecht zijn.
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie College 4. Opsommers versus herkenners (Th. 3.21) Opsommers
Vorig college College 4 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Vervolg NDTM s Vergelijking rekenkracht TM s en NDTM s Voorbeelden NDTM s 20 april 2009 1 2 Opsommers Opsommers versus herkenners (Th. 3.21)
Nadere informatieParadox van zelfreproductie. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Zelfreproductie? Programma s en zelfreproductie. College 11.
Paradox van zelfreproductie College 11 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft 27 mei 2009 1 Levende wezens zijn machines. 2 Levende wezens kunnen zich reproduceren. 3 Machines kunnen zich niet reproduceren.
Nadere informatie1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieHet minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve
1 (a) In een B-boom van orde m bevat de wortel minimaal 1 sleutel en maximaal m 1 sleutels De andere knopen bevatten minimaal m 1 sleutels en maximaal m 1 sleutels (b) In een B-boom van orde 5 bevat elke
Nadere informatieBerekenbaarheid 2015 Uitwerkingen Tentamen 5 november 2015
erekenbaarheid 2015 Uitwerkingen Tentamen 5 november 2015 1. Definieer een standaard Turing-machine M 1 met input alfabet Σ = {a, b} die twee a s voor zijn input plakt, dus met M 1 (w) = aaw voor alle
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieAutomaten & Complexiteit (X )
Automten & Complexiteit (X 401049) Eigenschppen vn reguliere tlen Jeroen Keiren j.j..keiren@vu.nl VU University Amsterdm 9 Februri 2015 Reguliere tlen Vorig college: De volgende beweringen zijn equivlent:
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieVolledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.
Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als
Nadere informatieMeetkundige Ongelijkheden Groep 2
Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus
Nadere informatieFormele talen. Tiende college
12 Formele talen Tiende college 1 verkeerslicht? 신호등을지킵시다 (Automatische) Vertaling van het Koreaans You should observe the traffic lights Is Koreaans een formele taal? Nee natuurlijk niet! Alleen, voor
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 februari 2009 RELATIES & GRAFEN Discrete Structuren Week 2: Relaties en Grafen
Nadere informatieEr zijn alle soorten modificaties hoe je deze FST beter kan maken. Bijvoorbeeld, door - teen van thirteen - nineteen in het algemeen te lezen.
3. FST Het antwoord is: Er zijn alle soorten modificaties hoe je deze FST beter kan maken. Bijvoorbeeld, door - teen van thirteen - nineteen in het algemeen te lezen. Het idee is duidelijk hoop ik: voor
Nadere informatie1 Kettingbreuken van rationale getallen
Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen
Nadere informatieBijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieExamen G0U13 - Bewijzen en Redeneren,
Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, 2010-2011 bachelor in de Wisunde, bachelor in de Fysica, bachelor in de Economische Wetenschappen en bachelor in de Wijsbegeerte Vrijdag 4 februari 2011, 8u30 Naam:
Nadere informatieDe Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten
januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand
Nadere informatieRuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010
RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010 Handout 5A Jan Terlouw maandag 8 maart 2010 1 Algemeen over DS in deze week Nadere belichting van stof van week 4 (mede i.v.m. toets). Bij het
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatieUitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
Nadere informatieLab Webdesign: Javascript 3 maart 2008
H5: OPERATORS In dit hoofdstuk zullen we het hebben over de operators (of ook wel: operatoren) in JavaScript waarmee allerlei rekenkundige en logische bewerkingen kunnen worden uitgevoerd. Daarbij zullen
Nadere informatieInhoud. Introductie tot de cursus
Inhoud Introductie tot de cursus 1 Plaats en functie van de cursus 7 2 Inhoud van de cursus 7 2.1 Tekstboek 7 2.2 Voorkennis 8 2.3 Leerdoelen 8 2.4 Opbouw van de cursus 9 3 Leermiddelen en wijze van studeren
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieHoofdstuk 1. Getallen tellen. 1.1 Gehele getallen. 1.2 Recursieve definities. 1.3 Het induktieprincipe
Hoofdstuk 1 Getallen tellen 1.1 Gehele getallen 1.1.1 Inleiding 1.1.2 De optelling en de vermeningvuldiging 1.1.3 De ordening van de gehele getallen 1.1.4 Het axioma van de goede ordening 1.2 Recursieve
Nadere informatieHoofdstuk 4. In dit hoofdstuk wordt een aantal uiteenlopende eigenschappen van de propositielogica
Hoofdstuk 4 Stellingen over de Propositielogica In dit hoofdstuk wordt een aantal uiteenlopende eigenschappen van de propositielogica behandeld. In x4.1 wordt het begrip meta-stelling gentroduceerd en
Nadere informatieModulewijzer InfPbs00DT
Modulewijzer InfPbs00DT W. Oele 0 juli 008 Inhoudsopgave Inleiding 3 Waarom wiskunde? 3. Efficiëntie van computerprogramma s............... 3. 3D-engines en vectoranalyse................... 3.3 Bewijsvoering
Nadere informatieTentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica 21 Januari 2011, 8.30 11.30 uur LEES DEZE OPMERKINGEN AANDACHTIG DOOR
Nadere informatieWerkwinkel Permutatiepuzzels
Werkwinkel Permutatiepuzzels Karsten Naert UGent Vakgroep Wiskunde 6 november 2013 1 / 33 Over mij... Assistent en doctoraatsstudent Taken: Onderzoek Onderwijs Dienstverlening Karsten.Naert@UGent.be http:
Nadere informatieVerzamelingen. Hoofdstuk 5
Hoofdstuk 5 Verzamelingen In de meest uiteenlopende omstandigheden kan het handig zijn om een stel objecten, elementen, of wat dan ook, samen een naam te geven. Het resultaat noemen we dan een verzameling.
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2012 2013, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid
Automaten en Berekenbaarheid 3 Bachelor Informatica Diverse Minoren en Kennisdomeinen 15 december 2015 B. Demoen KU Leuven Departement Computerwetenschappen Inhoudsopgave 1 Voorwoord 1 2 Talen en Automaten
Nadere informatieAlgoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens
Algoritmes in ons dagelijks leven Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Wat is een algoritme? Een algoritme is een eindige reeks instructies die vanuit een gegeven begintoestand naar een beoogd
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatie