Rekenen met letters deel 2

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Rekenen met letters deel 2"

Alexander Eilander
4 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Rekenen met letters deel 2 Sectie wiskunde RGO RGO-Middelharnis 1 1 c RGO-wiskunde 1

2 1 Herhaling 2 1 Herhaling 3a (a + 2b) 4b 3a ( 3a 3b) 3b 2a (a 2b) + 3a 2a + 3b ( 2a + 3b) a + (a 2b) 4b b (4a 2b) a 4b + (a + 2b) 2a a ( 4a 2b) b (4x + 3y) ( x + 2y) 7q + 12p (3p 5q) 4q 3p + 5q (2p + q) 5x ((4y 6x) + 4x 3y 6a 5b (2a 4b) 4a (4b 4a) 18 (4c + 7) ( 14 c) (5k 11) ( k) 3k 14.3k 2y.3x 11p. 6q 6k. 3m 108b 5z. 7 5x.9y 3 2 Som 4: 5 2 6c 7x. 5y. 2z 10x.5y. 7z 3p.8q. 4 4p.q. 3r 2 9.4b 7m. 8n d Som 5: Bereken: 17x + 24x + 11x + x 3p + 28p + 7p + 4p 6b + 4b + 9b + 2b 12q + 10q + 6q + 4q 14a + 7a + 11a + 2a x + 75x + 12x + 21x Som 6: Bereken:

3 1 Herhaling 3 7p + 4p + 3q 8x x + 12x + 5y 9a + 5a + 4b 13a + 5b + 5a 16p + 11q + 8p 4p + 12p p Som 7: 6a 4.3a 5 9c 2. 9c 4 7p 2.11p 4 15x. 7x 3 8x 5.4x 5 10m 4.5m 6 5q.8q 10 12p 3. 3p 12 Som 8: 24c 4. 4c 8 4k 4.4k 4.6k 6 m 5.3m 5.m 5 n. 6n 6. 11n 11 q 7. 2q 17.5q 27 a 2.2a 10.10a 2 3y 3.y.y b 12. 3b Som 9: (a 3 b 2 ) 4 (c 5 q 2 ) 2 (c 5 d 3 ) 2 ( a 5 p 3 ) 5 ( x 2 y 5 ) (b 3 x) 4 (c 5 q 2 ) 2 ( y 3 z 3 ) 3 Som 10: (a 4 b 2 ) 3 (a 2 b 5 ) 2 ( q 5 r 5 ) 5 ( q 2 r 3 ) 3 ( x 5 y 2 ) 4 (x 3 y) 3 (a 4 y 3 ) 4 ( a 2 y) 4 ( c 2 d 5 ) 2 ( cd 3 ) 2 (b 4 p 6 ) 4 ( b 2 p) 4 (p 5 x 3 ) 4 ( p 2 x 4 ) 3 (m 5 n 2 ) 4 ( mn 3 ) 2 Som 11: 22pq 40cd 33p 10c 17ad 25a 51d 75a 14m 21m 3p 6q 4a 15x 7b 30x

4 1 Herhaling 4 Som 12: 16b 56 32ab 8xy 10x 40x 28p 14qr 6pq 24pq 7ab 7ac 9a 3b 12x 24 Som 13: 4x.6y 12y 18xy 6c 3y 16pq 4p 2p 54p 6p 3q 9ab 18mn 35b 3.3n 6a 10ab 5b 30q 5q 2pq Som 14: 7a 4 7a 4 8x 5 4x 2 15m 2 25z 3m 4 2 5z 3 18y 7 3y 6 35p 5p 24c 6 8c 16q 5 4 Som 15: 14a 2 b 5 2ab 3 28m 5 n 3 14mn 3 18x 7 y 7 3x 4 y 6 24p 2 y 5 8p 2 y 5 30p 4 q 5 10b 10q 4 c 5b 3 15c 6 d 8 48a 3c 3 d 5 b 6 12ab 5

5 1 Herhaling 5 Som 16: a 2 + a 3 2a 2 + 5a 3 a 2 a 3 2a 2 5a 3 a 3 a ab ab 5 b 4 + c a 2 2 3a + 2a2 5a Som 17: a a b 4 + a b p q + 3 p b a + a b 5x 3y + x 2b 3 c + 3c 2b 4k 5 + 2m d 5 5e + 3e d Som 18: 5 a 1 5 5ab 7cd ce 10ab 3a 4b b 3 100p 30q 9q 5p 6ab bc abc 3pq 4p bcd 3pq 6p Som 19: 2 3q pt 6q 4qy 4yt 3a a 6x 2 y 2x 3x 9y 8p 2 2a 3a2 12x 4p 4 6p 3p3 2 4x 5 ab 2 3p p 2 12x a 2 b 4 2 6p 3p3 3 4x 4 3ab 2 4q Som 20: 2q2 9xz b 3 2 2z 4p 3pz

6 1 Herhaling 6 3a(a 3ab) a( 3a 4ac) 3a(ab a) 3a(5 a) 2a(3ab b) a(5a 3) 2a(2a + 2ab) 4a(3a 2ac) Som 21: a 2 (3a + 5) a 2 (3a 2 5ab) a(3a 2 5) a 2 (3ab 5a 2 b) a 2 (3a 2 5) 3a(a 3 2ab) a 2 (3a 2 5a) 3a 2 (a 2 2b) Som 22: 3pq(p 2 3p 2 q) 4ac(ac + 4z) 3p 2 (p 2 pq) 4ac(a 2 c + 4z) 3p 2 (p 2 3p 2 q) p(p 2 p) 4c(c 2 + 3c) 2p(p 2 p) Som 23: 3pq(p 2 p) 2x 2 (x 2 x) 3pq(p 2 q) 3x 2 (x 3 2y) 3q 2 (p 2 2q) 3xy(xy y 2 ) 2xy(x 2 x) 2x 2 (xy 2 2x 2 ) Som 24: (z + 4)(z + 3) (a + 3)(a + 9) (z + 2)(z + 8) (a + 10)(a + 11) (c + 2)(c + 7) (b + 1)(b + 3) (c + 1)(c + 6) (b + 4)(b + 10) Som 25: (a 2)(a 3) (x + 1)(x 2) (a 5)(a 7) (y + 6)(y 3) (a 4)(a 1) (t 6)(t 2) (x 1)(x 3) (x 4)(x 1) Som 26: (2x + 3)(x 5) (a 5)(2a 5) (2x 3)(x 5) (y 3)(3y 1) (2x 3)(x + 5) (2x 4)(x 4) (2x + 3)(x + 5) (6y + 2)(y + 2)

7 2 Het kwadraat van een som: (a + b) Het kwadraat van een som: (a + b) 2 Zoals a 2 = a a, zo is (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + 2ab + b 2 Dus:(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Met woorden erbij: (a + b) 2 = a 2 }{{} deeersteinhetkwadraat Net zo is: (a + 3) 2 = a 2 + 6a + 9 (a 4) 2 = a 2 8a + 16 (2a + 3b) 2 = 4a ab + 9b 2 + 2ab }{{} hetdubbeleprodukt + b 2 }{{} delaatsteinhetkwadraat 3 Opgaven (a + b) 2 ( 2a + 3b) 2 (a + 3b) 2 (3a + 3b) 2 (2a + 3b) 2 (5a 3b) 2 (2a 3b) 2 ( 1 2 a + 3b)2 (a + 1) 2 ( 2a + 3) 2 (a + 3) 2 (3a + 3) 2 (2a + 3) 2 (5 3b) 2 (2a 3) 2 ( b)2 (12a + 10b) 2 ( 25a + 35b) 2 (7a + 8b) 2 (31a + 32b) 2 (15a + 23b) 2 (25a 13b) 2 (32a 13b) 2 ( 1 2 a + 23b)2 4 (a + b)(a b) Haakjes wegwerken in de uitdrukking (a+b)(a b) levert het volgende resultaat: (a + b)(a b) = a 2 ab + ab b 2 = a 2 b 2 Dus(a + b)(a b) = a 2 b 2 we zeggen:(a + b)(a b) is het verschil van twee kwadraten n.l dat van a en dat van (a + b)(a b) = a 2 b 2 }{{} hetverschilvantweekwadraten Zo is: (2a + 3b)(2a 3b) = 4a 2 9b 2 (a b)(a + b) = a 2 b 2 (a 3)(a + 3) = a 2 9 (2a + 5)(2a 5) = 4a 2 25

8 5 Opgaven 8 5 Opgaven (a + 2b)(a 2b) ( 2a + 3b)(2a + 3b) (a + 3b)(a 3b) (3a + 3b)(3a 3b) (2a + 3b)(2a 3b) (5a 3b)(5a + 3b) (2a 3b)(2a + 3b) (a + 5)(a 5) (a + 2)(a 2) ( 12a + 13b)(12a + 13b) (a + 7)(a 7) (31a + 31b)(31a 31b) (2a + 3)(2a 3) (15a 13b)(15a + 13b) (2a 13)(2a + 13) (10a + 5)(10a 5) (12a + 21b)(12a 21b) ( 52a + 3b)(52a + 3b) (11a + 34b)(11a 34b) (33a + 33b)(33a 33b) (2a + 37b)(2a 37b) (15a 32b)(15a + 32b) (22a 23b)(22a + 23b) (7a + 5)(7a 5) 6 Ontbinden in factoren I We weten: a(b + c) = ab + bc Omgekeerd: ab + bc = a(b + c) We hebben de uitdrukking ab + bc in(twee) factoren ontbonden. Namelijk de factoren a en b + c Zo kunnen de volgende uitdrukkingen als volgt in factoren worden ontbonden: 3x + 6 = 3(x + 2) 3x + 12 = 3(x + 4) a 2 + ab = a(a + b) 3a + 3 = 3(a + 1) a 2 + a = a(a + 1) 7 Opgaven Ontbind in factoren: 3x a 20b 3x a 20 5x a 16 6a + 9b 24 8a Ontbind in factoren:

9 8 Ontbinden in factoren II 9 35x + 7y x 35x + 70y 11x 88y 40x + 32y 4a + 8b + 16c y 10x + 25y + 30z Ontbind in factoren: 4ab + 6a 8xz 4z 18b 16bc 16y + 8yz 7xy + 7yz 24xy + 32x 7xy 7pq 100a 30ab Som 4: Ontbind in factoren: 25cx 25xy 100x 20y 25cy 25xy 18pq + 32py 18pq 13px 3xyz 6xy 100xy 20x 3xy 6xyz Som 5: Ontbind in factoren: x 2 + 3x 8xz 4z x 2 6x 6x 2 3 3x 2 6x 4x 3 + 2x 2 3x 6x 2 5x 2 10x Som 6: Ontbind in factoren: 35x x 15x 2 12y 2 36x 2 54x 3 16x 3 y + 4x 2 15x 7 3x 6 16x 3 y + 4xy 80x 5 32x 3 7x 2 y 2 8xy 8 Ontbinden in factoren II (x + 2)(x + 3) = x 2 + 2x + 3x + 6 = x 2 + 5x + 6 Kijken we,omgekeerd, naar x 2 + }{{} 5 x + }{{} 6 dan kunnen we die uitdrukking in factoren ontbinden:x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) Ontbinden we x 2 + 6x + 8 dan moeten we zoeken naar twee getallen die 6 zijn als je die twee getallen bij elkaar optelt en 8 als je die twee getallen met elkaar vermenigvuldigt: Met proberen vind je: = 6 en 2 4 = 8 Dus x 2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4) of x 2 + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2) Zo is:

10 9 Opgaven 10 x 2 + 8x + 12 = (x + 2)(x + 6) want = 8 en 2 6 = 12 x 2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) want = 8 en 3 5 = 15 x 2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5) x 2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5) x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3) x 2 + 3x 10 = (x + 5)(x 2) 9 Opgaven Ontbind: a 2 + 5a + 6 x 2 + 9x + 8 x 2 + 5x + 6 x 2 + 8x + 12 x 2 + 7x + 6 x 2 + 7x + 12 x 2 + 6x + 8 x x + 12 Ontbind: x x + 20 x x + 36 x 2 + 9x + 20 x x + 36 x x + 36 x 2 + 3x + 2 x x + 36 x x + 69 Ontbind: x 2 5x + 6 a 2 6a + 5 x 2 7x + 6 a 2 5a + 6 x 2 10x + 9 x 2 7x + 10 x 2 6x + 9 x 2 11x + 10 Som 4: Ontbind: x 2 9x + 14 a 2 16a + 15 x 2 15x + 14 a 2 19a + 18 x 2 2x + 1 x 2 11x + 18 a 2 8a + 15 x 2 9x + 18 Som 5: Ontbind:

11 10 Verder ontbinden 11 x 2 7x 30 x 2 29x 30 x 2 + 7x 30 x x 30 x 2 13x 30 x 2 6x 16 x 2 x 30 x 2 + 2x 15 Som 6: Ontbind: x 2 4x 12 x 2 2x 15 x 2 5x 24 x 2 8x 20 x 2 + x 56 x 2 + 2x 48 x 2 4x 5 x 2 6x 27 Som 7: Ontbind: x 2 8x + 15 x x + 49 x x 25 x 2 3x + 54 x 2 8x + 15 x x + 60 x x + 35 x 2 2x Verder ontbinden Voorbeeld: 3x 2 24x + 45 = 3(x 2 8x + 15) = 3(x 3)(x 5) x 3 10x x = x(x 2 10x + 25) = x(x 5)(x 5) 11 Opgaven 2a 2 12a + 16 a 3 + a 2 2a 5a 2 50a a 3 3a 2 10a 9a a 189 a 4 + 9a a 2 a 2 b + 10ab + 16b 4a 3 16a a Ontbind: 4x 2 16x 48 4x 2 8x 60 x 2 + 5x x x x 4 + x 3 56x 2 ax 2 + 2ax 48a 3x x x x + 54

12 12 Verschil van twee kwadraten Verschil van twee kwadraten Zoals (a b)(a + b) = a 2 b 2 geldt: a 2 b 2 = (a b)(a + b) of a 2 b 2 = (a + b)(a b) (a + b) 2 9 = (a + b 3)(a + b + 3) Zo is: x 2 9 = (x 3)(x + 3) 9a 2 16b 2 = (3a + 4b)(3a 4b) Of in twee stappen: 5a 2 5b 2 = 5(a 2 b 2 ) = 5(a b)(a + b) a 4 b 4 = (a 2 + b 2 )(a 2 b 2 ) = (a 2 + b 2 )(a + b)(a b) 13 Opgaven Ontbind a 2 1 a 2 9b 2 b b x 2 25a 2 4b d a 2 5a 2 45b 2 ab a p 3 p ab 2 ab 7x xy 3 x 3 y p 6 4p 4 3a 12ab 2 2ab 2 8a 3 p 16 q 4 4x 2 y 2 4x 2 p 2 p 8 5a 2 + 5b 2 1 x 8 x 4 y 2 x 2 y 4 x 5 x Som 4: (a + b) 2 4 (2a 3) 2 4 (x + y) 2 z 2 (3p 2) 2 9 (a + 2b) 2 9c 2 (3p 2) 2 4 ((3x y) 2 1 a 2 (b + c) 2

13 14 Gemengde opgaven Gemengde opgaven a a p 2 64 a 2 p 2 4p 21 a 2 a 20 p 2 + pq a a p p 15 a 2 9a a 2 + 4a 96 a 2 9a + 8 a 3a 2 a 2 9a 22 5a 2 25a a 2 9 a x 2 4y 2 a a x 2 4x 12a 2 + a x 2 4x a x x 2 a 2 12a 28 Som 4: p 2 q + pq 2 x 2 y 2 81 p 2 p 2 x 2 24x 81 10p x 2 9x p p + 49 x 2 81x + 80 Som 5: a 4 36a 3 a 2 0, 09 a 4 36a 2 5a 3 20a 0, 16a 2 1 a 4 a 2 2a 3 8a 2 b + 6ab 2 p 2 q + 7pq 144q Som 6: a 2 + 8a x 2 4y 2 a 4 + 8a a 4 + a 3 56a 2 p 4 + 4p p 4 1 p 4 + 4p 2 5 x 25 x 9

14 15 Lastiger 14 Som 7: p 2 + 8p + 7 p 2 13p 48 p 2 8p + 16 p p p p 24 p 2 + p 110 p 2 10p + 24 p p Lastiger x 2 + 2xy + y 2 z 2 = (x + y) 2 z 2 = (x + y z)(x + y + z) 16 Opgaven 4x 2 + 4xy + y x + 9x 2 9y 2 9x xy + 16y 2 1 a 2 + b 2 + 2bc + c 2 x 2 4xy + 4y 2 z 2 x 2 + y 2 6y + 9 4x 2 4xy + y 2 9z 2 x 2 + y 2 2xy z 2 a 2 a b 2 + b (2a 1) 2 (a 2) 2 x 2 a 2 x a a 2 b 2 ac bc a 4 2a 2 b 2 + b 4 x 2 y 2 3x 3y a 4 + 5a 2 36 x 2 y 2 1 x 2 + y 2 16 (3a 2) 2 ax a 2 x + a 1 9y 2 + 9x 2 6x (2a b) 2 6ab + 3b 2 x 3 4x 2 x + 4 2x 3 y 6x 2 y 2 756xy 3 (x p) 2 4(x p) xy(a 2 + b 2 ) + ab(x 2 + y 2 ) 17 Korte herhaling Vereenvoudig:

15 18 Breuken 15 22pq 40cd 33p 10c 17ad 25a 51d 75a 14m 21m 3p 6q 4a 15x 7b 30x 18 Breuken Voorbeelden: Vereenvoudig: a 2 b 2 a 2 +ab = (a+b)(a b) a(a+b) = a b a x 2 xy x 2 +xy = x(x y) x(x+y) = x y x+y 19 Opgaven a 2 b 2 (a+b) 2 a a 2 a 4 1 ab a 2 ab b 2 x 2 1 x 1 x 2 1 x x 2 p 4 1 p 2 1 p 4 1 p 2 +1 p 4 1 p+1 a 2 4a+4 a 2 4 x 2 4x+3 x 2 2x+1 x 2 2xy+y 2 3x 3y x 2 10x+21 x 2 6x+9 x 2 +5x+4 x 2 +7x+12 x 2 5x+6 x x 2 4x 2 4x a 2 b 2 +a b a 2 b 2 a+b De volgende breuken zijn te vereenvoudigen. Bereken x a x 5 2x x a x 2a 2x 4 x a x 2 x x 2 a 2 2x 4 x 2 a 2 x 2 5x+4

16 19 Opgaven 16 x 2 9a 2 2x 4 x 2 a 2 3x 2 15x+12

Vergelijkbare documenten

Rekenen met letters- Uitwerkingen

Rekenen met letters- Uitwerkingen Onder voorbehoud van rekenfouten RGO-Middelharnis 1 1 c RGO-wiskunde 1 2 Inhoudsopgave 1 Korter schrijven............................ 3 2 Opgaven................................