Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A

Transcriptie

1 Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat de afbeelding Cont R Q, gegeven door f f Q (de restrictie van f tot Q), injectief is. b) Bewijs dat Cont = R (gebruik ook opgave 1.1!). Opgave 1.3. Bewijs dat voor elk drietal verzamelingen X, Y, Z: a) X Y +Z = X Y X Z b) (X Y ) Z = X Z Y Z Opgave 1.4. Stel X is een oneindige verzameling. Bewijs dat er een bijectie f : X X is met de eigenschap dat voor alle x X en alle n > 0, f n (x) x (Hint: beschouw de verzameling Z X). Opgave 1.5. Stel X is een oneindige verzameling. Herinner: een dichte ordening op X is een lineaire ordening waarvoor geldt: voor elke x < y is er een z met x < z < y. Bewijs: als er een lineaire ordening op X is, is er ook een dichte ordening op X (Hint: gebruik een lineaire ordening op X om een dichte ordening op X Q te definiëren). Voor een bewijs, dat er op elke X een lineaire ordening is, zie opgave 5.3. Opgave 1.6. Een getal r R heet algebraïsch als er een veelterm f(x) = X n + a 1 X n a n 1 X + a n bestaat met a 1,..., a n Q en f(r) = 0. Als r niet algebraïsch is, heet r transcendent. Schrijf A voor de verzameling algebraïsche reële getallen, en T voor de verzameling transcendente getallen. Bewijs: a) A is aftelbaar b) T = R 1

2 Opgave 1.7. We definiëren de volgende deelverzameling van R: A = {B R Q B en xy B(sin(xy) B)} Met andere woorden: A is de kleinste deelverzameling van R die Q bevat en die gesloten is onder de functie x, y sin(xy). a) Laat zien dat A ook geschreven kan worden als vereniging n A n, waarbij A 0 = Q, en A n+1 = A n {sin(xy) x, y A n } b) Bewijs, dat A aftelbaar is. Opgave 1.8. Bepaal van de volgende verzamelingen of ze aftelbaar of overaftelbaar zijn. Licht je antwoord kort toe. a) {x R sin x Q} b) {f {0, 1} N k n kf(n) = 0} c) {A N A is oneindig} Opgave 1.9. Stel A is een deelverzameling van de verzameling van functies N N die voldoet aan: voor elke f : N N is er een g A zodat n N m n (f(m) < g(m)). Bewijs, dat A overaftelbaar is. Opgave Stel S is een deelverzameling van P(N) waarvoor geldt: voor elke oneindige deelverzameling Y van N is er een X S zodat X Y en Y X beide oneindig zijn. Bewijs: S is overaftelbaar. Opgave Stel X is overaftelbaar, en Y X is een aftelbare deelverzameling. Bewijs: X Y = X. 2 Lemma van Zorn en Keuze-axioma Opgave 2.1. Een filter op N (of kortweg: filter) is een collectie F van deelverzamelingen van N met de eigenschappen: i) N F, F; ii) als A F en A B, dan B F; iii) als A F en B F, dan (A B) F. a) Laat A N, A. Bewijs dat de collectie een filter is. F A = {X N A X} b) Bewijs dat een filter is. F cof = {X N N X is eindig} 2

3 c) Een ultrafilter is een filter F dat maximaal is: er is geen filter G met F G. Bewijs m.b.v. het lemma van Zorn dat er voor ieder filter F een ultrafilter G is met F G. d) Stel F is een filter, en A N heeft de eigenschap dat voor elke X F geldt dat X A. Laat zien dat de collectie F A = {Y N X F(X A Y )} een filter is, dat F F A en dat A F A. e) Stel G is een ultrafilter. Bewijs dat voor elke deelverzameling A van N geldt: A G of (N A) G. Opgave 2.2. In deze opgave beschouwen we R als groep met optelling. a) Bewijs m.b.v. het lemma van Zorn dat er een ondergroep (deelgroep) G van R is die maximaal is m.b.t. de eigenschap dat 1 G. b) Stel G is als in a). Laat zien dat er een priemgetal p is zodat p G. c) Laat p zijn als in b). Bewijs dat er voor elke x R een n 0 is zodat p n x G. Opgave 2.3. Stel A en B zijn niet-lege verzamelingen. Bewijs m.b.v. het lemma van Zorn dat er hetzij een surjectie A B bestaat, hetzij een surjectie B A. Opgave 2.4. Een poset P voldoet aan ACC als er geen oneindig strict stijgend rijtje x 0 < x 1 < in P bestaat. Bewijs, dat P aan ACC voldoet, precies dan wanneer elke niet-lege deelverzameling van P een maximaal element heeft (Hint: gebrik het Keuze-axioma). Opgave 2.5. Bewijs de stelling, dat er op elke oneindige verzameling X een dichte lineaire ordening is, ook direct m.b.v. het lemma van Zorn (Hint: zij P de poset van dichte lineaire ordeningen op deelverzamelingen van X, met een geschikte ordening. Als (A, ) een maximaal element van P is, onderscheid dan de mogelijkheden: X A eindig, of X A oneindig). Opgave 2.6. Stel A R, met 0 A. We definiëren: Q = {x R x 2 Q} Q/A = { q a q Q {0}, a A} Bewijs, dat er een deelverzameling A R {0} is zo dat R te schrijven is als disjuncte vereniging A Q Q/A [Hint: pas het lemma van Zorn toe op de poset van die deelverzamelingen A van R waarvoor geldt: voor alle x, y A is xy Q]. 3

4 Opgave 2.7. Een keten in een poset is een lineair geordende deelverzameling. Een antiketen is een deelverzameling waarvan de elementen paarsgewijs onvergelijkbaar zijn in de ordening. Bewijs: elke oneindige poset bevat hetzij een oneindige keten, hetzij een oneindige antiketen. Opgave 2.8. Stel A is een deelverzameling van R. Een getal ξ R heet algebraïsch over A, als er een veelterm P (X) = a 0 + a 1 X + + a n X n is, P 0, met de coëfficiënten a 0,..., a n uit A, zodat P (ξ) = 0. Je mag in deze opgave als bekend feit gebruiken, dat het getal e niet algebraïsch is over Q. Bewijs, dat er een deelverzameling A van R is met de eigenschappen: i) e is niet algebraïsch over A; ii) elk reëel getal ξ kan geschreven worden als breuk P (e) Q(e), waar P (X) en Q(X) veeltermen zijn met coëfficiënten uit A. [Hint: pas het lemma van Zorn toe op de poset van die deelverzamelingen A R waarvoor geldt: 0 A, 1 A; als x A dan ook x A; en e is niet algebraïsch over A] Opgave 2.9. Laat (P, ) een poset zijn. We noemen een deelverzameling A P dwars als voor elk paar elementen x, y van A geldt: als x y dan x = y. Een deelverzameling B van P heet een doorsnede van P, als voor elke x P er een y B is, zodat x y of y x geldt. a) Bewijs met behulp van het Lemma van Zorn, dat er een maximale dwarse deelverzameling van P bestaat. b) Laat A P een maximale dwarse deelverzameling zijn. Bewijs, dat A een doorsnede van P is. c) Laat A P als in b). Laat zien, dat geen A 1 A een doorsnede van P is. Opgave Bewijs dat er een deelverzameling B R bestaat met de volgende eigenschappen: i) als x, y B en x y, dan x+y 2 B; ii) voor alle x R geldt: òf er is een y B zodat x+y 2 B, òf er zijn y, z B met y z, zodat x = y+z 2. [Hint: pas het lemma van Zorn toe op de poset van die deelverzamelingen van R die aan i) voldoen] 3 Ordeningen en welordeningen Opgave 3.1 Gegeven een poset (X ) definiëren we de relatie door: x y y x 4

5 a) Bewijs, dat (X, ) ook een poset is. b) Bewijs: als (X, ) een lineaire ordening is, is (X, ) het ook. c) Stel, dat (X, ) en (X, ) beide welordeningen zijn. Bewijs: X is eindig. Opgave 3.2 Herinner je de ordening M + N, voor posets M en N: de verzameling is {(0, x) x M} {(1, y) y N}, en voor α, β M + N geldt α β precies als: hetzij α = (0, x), β = (0, x ) en x x in M hetzij α = (1, y), β = (1, y ) en y y in N hetzij α = (0, x), β = (1, y) Stel L is een welordening. Bewijs dat er welordeningen M en N zijn zodat L isomorf is met M + N, M geen grootste element heeft en N eindig is. Opgave 3.3. Bewijs of weerleg: als L een poset is zodat voor elke x L de verzameling x = {y L y x} een welordening is, dan is L een welordening. Opgave 3.4. Laat L een lineaire ordening zijn. Als A L en a L heet a een stricte bovengrens voor A, als voor alle x A geldt dat x < a. Veronderstel nu, dat voor elke A L het volgende geldt: als A een stricte bovengrens heeft, dan heeft A een kleinste stricte bovengrens. a) Bewijs: als L, dan heeft L een kleinste element b) Bewijs, dat L een welordening is [Hint: gegeven X L, X, beschouw dan de verzameling A X = {x L y X(x < y)}] c) Laat zien dat b) niet waar hoeft te zijn als we stricte bovengrens door bovengrens hadden vervangen (d.w.z. in plaats van < in de definitie). Opgave 3.5. Gegeven een poset (P, ) noemen we een deelverzameling R P een beginsegment als voor alle x, y P geldt: als x y en y R, dan x R. Bewijs dat de volgende uitspraken equivalent zijn voor een poset (P, ): a) (P, ) is een welordening; b) (P, ) is een lineaire ordening met de eigenschap dat voor elke deelverzameling L van P er een beginsegment R van P is zodat (L, ) en (R, ) isomorf zijn. Opgave 3.6. Stel X is een verzameling, L een welordening, en f : L X een surjectieve functie. We definiëren op X de volgende relatie: x < y geldt precies dan, als voor elke l L met f(l) = y, er een k < l is met f(k) = x. Bewijs, dat deze relatie een welordening op X geeft. 5

6 4 Structuren en Waarheid Opgave 4.1. Zij L = {R}, met R een 2-plaatsig relatiesymbool. We beschouwen de volgende L-zinnen: F xr(x, x) G x y(x = y R(x, y) R(y, x)) H x y z((r(x, y) R(y, z)) R(x, z)) J x y(r(x, y) R(y, x)) Geef voor elk van de volgende L-zinnen een model: F G, G H, G H, F G J, G J, F J. Opgave 4.2. Beschouw voor L = {f}, waar f een 2-plaatsig functiesymbool is, de L-structuren (N, +), (Q, +) en (Q, ) (hier is de vermenigvuldiging op Q). Bepaal voor elk van de onderstaande L-zinnen, in welke van deze structuren hij waar is: φ 1 x y(f(y, y) = x) φ 2 x y(f(x, x) = y) φ 3 x y(f(x, x) = y) φ 4 x y z(f(x, z) = y) φ 5 x y z((f(x, z) = f(y, z) x = y) Opgave 4.3 Zij L de taal {f, g} waar f een 2-plaatsig functiesymbool is en g een 1-plaatsig functiesymbool. M is de L-structuur (R,, sin) ( geeft de vermenigvuldiging op R aan). Geef een L-formule met één vrije variabele x, zodat voor alle a R geldt: M = φ(a) er is n N zodat a = (2n )π Opgave 4.4. Laat met tegenvoorbeelden zien dat de volgende zinnen niet altijd geldig zijn: v(φ ψ) (φ vψ) (( xφ) ψ) x(φ ψ) Opgave 4.5. Laat f een 1-plaatsig functiesymbool zijn en P een 1-plaatsig relatiesymbool. Bewijs van de volgende zin dat hij geldig is, of geef een structuur waarin hij onwaar is: x(p (x) P (f(x))) (( yp (f(y))) ( z P (z))) Opgave 4.6. L pos = { } is zoals gebruikelijk de taal van posets. Laat L een welordening zijn, opgevat als L pos -structuur. Geef een L pos -formule φ(x) met één vrije variabele x, zodat voor elke a L geldt: L = φ(a) a is een limietelement Opgave 4.7. Laat zien dat er een L pos -theorie T is, zodat voor elke welordening L geldt: L is model van T L N 6

7 Opgave 4.8. Zij L de taal {f} met f een 1-plaatsig functiesymbool. Geef een L-zin φ zodat φ alleen maar waar kan zijn in oneindige L-structuren (Hint: een verzameling X is eindig precies als elke injectieve functie X X ook surjectief is) Opgave 4.9. In deze opgave beschouwen we de taal L pos van posets: er is één 2-plaatsig relatiesymbool. Voor elk natuurlijk getal n > 1 is M n de L pos -structuur die bestaat uit alle delers van n, met k l precies als k een deler is van l. a) Geef een L pos -zin die waar is in M 32 maar onwaar in M 18 ; b) Hetzelfde voor M 30 en M 24. Geef een uitleg in woorden van wat deze zinnen betekenen. 5 Compactheidsstelling Opgave 5.1. Voor een verzameling X schrijven we: X is deelbaar door 3, als hetzij X eindig is en het getal X is een veelvoud van 3, hetzij X oneindig is. Bewijs dat er in de lege taal geen zin φ is zodat voor elke verzameling X: X = φ X is deelbaar door 3 (Hint: stel er bestond zo n φ. Bekijk dan φ) Opgave 5.2. Zij L een willekeurige taal. een klasse M van L-structuren heet axiomatiseerbaar als er een L-theorie T is zodat M precies de klasse modellen van T is. Stel nu, dat zowel de klasse M als zijn complement beide axiomatiseerbaar zijn. bewijs: er is een L-zin φ zodat M precies de klasse is van die L-structuren waarin φ waar is. Opgave 5.3. In deze opgave bewijzen we m.b.v. de Compactheidsstelling dat er voor elke verzameling X een lineaire ordening op X is. a) Bewijs dit eerst voor eindige X, met inductie op de kardinaliteit van X. b) Stel nu X willekeurig. Laat L pos (X) de taal zijn met relatiesymbool en constanten c x, voor ieder x X. Zij T de L pos (X)-theorie bestaande uit de axioma s voor een lineaire ordening, samen met de verzameling Bewijs, dat T consistent is. (c x = c y ) x y} c) Laat M een model van T zijn. Laat zien dat M aanleiding geeft tot een lineaire ordening op X. 7

8 Opgave 5.4. We beschouwen de taal L pos van posets: één 2-plaatsig relatiesymbool. Stel, dat M een oneindige welordening is. Bewijs, dat er een poset M is met de eigenschappen: i) In M zijn precies dezelfde L pos -zinnen waar als in M ii) M is geen welordening. [Hint: laat L = L pos C, waar C = {c 0, c 1,...} een nieuwe verzameling constanten is. Definieer de L -theorie T als volgt: T = {φ M = φ} {c k+1 c k (c k+1 = c k ) k N} Bewijs met behulp van de Compactheidsstelling dat T een model heeft, en dat elk model van T aan i) en ii) voldoet.] 8