Collegestof verzamelingenleer. Verzamelingenleer. Inhoud dit deel college. Verzamelingen. Universele en lege verzameling. Verzamelingen en elementen
|
|
- Merel Karolien de Wit
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Collegesto verzamelingenleer Verzamelingenleer Pro dr J-J Ch Meyer UU - ICS Gebaseerd op (aantal hoodstukken van) het boek: Set Theory and Related Topics by Seymour Lipschutz Schaum s Outlines, McGraw-Hill Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 2 Inhoud dit deel college Het begrip verzameling en basisoperaties op verzamelingen Relaties en uncties Grootte van verzamelingen, cardinaal getallen Verzamelingen asisbegrippen en basisoperaties Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 3 Verzamelingen en elementen Een verzamelingen is een (eindige o oneindige) welgedeinieerde collectie objecten, de zgn elementen van de verzameling Notatie (eindige) verzameling: = {a 1, a 2,, a n } a : a is een element van {a conditie(a)}: verzameling van alle elementen uit die voldoen aan conditie(a) Universele en lege verzameling Universele verzameling (Universum) Lege verzameling U Ø Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 5 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 6 1
2 Deelverzameling en gelijkheid Venn-diagram, deelverzameling is een deelverzameling van elk element van is een element van x U : x x Verz is gelijk aan verz = en hebben precies dezelde elementen x U : x x Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 7 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 8 Eigenschappen Voor elke verz : Ø U Voor elke verz : en C C = en Strikte deelverzameling is een strikte deelverzameling van is een deelverz van en is ongelijk en Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 9 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 10 Vereniging, doorsnede, complement Vereniging van en : = {x U x o x } Vereniging, doorsnede, complement, Doorsnede van en : = {x U x en x } Complement van : c = {x U x } Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 11 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 12 2
3 Vereniging Doorsnede Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 13 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 14 Complement c U Verschil en symmetrisch verschil Verschil van en \ = {x U x en x } \ = c Symm verschil van en = ( ) \ ( ) = ( \ ) ( \ ) Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 15 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 16 Verschil \ Symmetrisch verschil Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 17 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 18 3
4 Disjuncte verzamelingen De algebra van verzamelingen en heten disjunct als ze geen elementen gemeenschappelijk hebben Maw: = Ø = ( ) C = ( C) = ( C) = ( ) ( C) ( c ) c = U = U Ø = c = U U c = Ø ( ) c = c c = ( ) C = ( C) = ( C) = ( ) ( C) ( c ) c = U = Ø = Ø c = Ø Ø c = U ( ) c = c c Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 19 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 20 lgebra, # Dit is een oole se algebra net als de algebra van proposities!! Voor eindige verzameling S, geven we met #(S) het aantal elementen van S aan Klassen verzamelingen en de machtsverzameling Een klasse verzamelingen is een collectie die bestaat uit verzamelingen Gegeven een verzameling S, is de machtsverzameling van S de klasse van alle deelverzamelingen van S Notatie: P(S) o 2 S Feit: #(P(S)) = 2 #(S) voor eindige S Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 21 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 22 Voorbeeld Zij S = {1, 2, 3} Dan is P(S) = { Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3} } Partitie Zij S een verzameling Een deelklasse C P(S) heet een partitie als Ø C U, V C : U V U V = Ø ongelijke verzamelingen in C zijn disjunct a S U C : a U elk element van S behoort tot een verzameling in C Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 23 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 24 4
5 Partitie S Relaties en uncties a U V U,V C Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 25 Geordende paren, productverzameling, relatie (a, b) geordend paar (a, b) = (c, d) a = c en b = d Productverzameling (Cartesisch product) van en : = {(a, b) a en b } (inaire) relatie R van naar R Notatie: R(a, b) o arb voor (a, b) R Relatie, R a b Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 27 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 28 Universele, lege, gelijkheidsrelatie, inverse relatie Gegeven een verzameling, is de universele relatie Ø is de lege relatie = = {(a, a) a } is de gelijkheidsrelatie op Gegeven een relatie R van naar is: De inverse relatie R -1 gedeinieerd als R -1 = {(b, a) (a, b) R} Inverse relatie, R a -1 b Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 29 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 30 5
6 Compositie van relaties Zij R en S C, dan is de compositie R S van R en S is gede: R S = {(a, c) b : (a, b) R en (b, c) S} Dwz a(r S)c b : arb en bsc Compositie van relaties R S C Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 31 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 32 Compositie van relaties R S C Typen relaties Relexieve relatie op verz a : ara Symmetrische relatie op verz a, b : arb bra ntisymmetrische relatie op verz a, b : arb en bra a = b Transitieve relatie op verz a, b, c : arb en brc arc Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 33 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 34 Relexieve relatie Symmetrische relatie Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 35 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 36 6
7 Transitieve relatie Stelling Zij R een relatie op R relexie = R R symmetrisch R -1 R R transitie R R R Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 37 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 38 Equivalentierelatie Een relatie R op een verz is een equivalentierelatie als: R is relexie, R is symmetrisch, en R is transitie Notatie: vaak ~ o Voorbeeld: gelijkheid = op will verz Equivalentieklassen en quotiëntverzameling Zij R een equivalentierelatie op De equivalentieklasse van a onder R [a] R = {x (a, x) R} De quotiëntverzameling van onder R / R = {[a] R a } Stelling / R is een partitie van Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 39 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 40 Equivalentieklassen en quotiëntverzameling Partiële ordening a [a] R [a] R /R Een relatie R op verz is een partiële ordening op als: R is relexie, R is antisymmetrisch, en R is transitie Notatie: vaak Voorbeeld: deelverzamelingsrelatie Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 41 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 42 7
8 n-aire relaties n-aire relatie R op is een verzameling n-tuples (a 1,, a n ) Maw: n-aire relatie R op : R n = (n keer) Functies Een unctie (abeelding) van naar : Een relatie F van naar met de eigenschap dat, voor elke a, 1 b : (a, b) F 2 b,b : (a, b) F en (a, b ) F b = b Notatie: (a) = b voor (a, b) F N (a) verwijst naar uniek element in Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 43 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 44 Functie, Functie, a b a b Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 45 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 46 Functie, Functie, a b ok ok Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 47 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 48 8
9 Identiteitsunctie en unctiecompositie Gegeven een verz Identiteitsunctie 1 : 1 (a) = a voor elke a Gegeven : en g : C Compositie g is de unctie die hoort bij de relatie F G (Let op volgorde!) a : (g )(a) = g((a)) Speciale typen uncties Functie : is injectie (o 1-1 ) a, a : (a) = (a ) a = a Functie : is surjectie (o onto ) b a : (a) = b Functie : is bijectie als zowel injectie als surjectie is Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 49 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 50 Niet-injectieve unctie, Niet-surjectieve unctie, a b Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 51 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 52 Inverteerbare uncties Functie Gegeven unctie : (en geassocieerde relatie F ) Functie is inverteerbaar als de inverse relatie F -1 van de relatie F weer een unctie is Stelling: is inverteerbaar is bijectie Notatie: inverse unctie -1 :, a b Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 53 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 54 9
10 Inverse unctie, Geen inverse unctie, a -1 b Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 55 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 56 Geen inverse unctie, Geen inverse unctie, a b Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 57 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 58 Geen inverse unctie, a -1 b Eigenschappen inverse unctie Zij : bijectie (inverteerbaar) Dan geldt voor -1 : : -1 = 1 Dwz -1 ((a)) = a -1 = 1 Dwz ( -1 (b)) = b Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 59 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 60 10
11 Probleem van grootte van verzamelingen Grootte van verzamelingen Cardinaalgetallen Voor eindige verzamelingen geen probleem om vast te stellen hoe groot een verzameling is: we hebben de cardinaliteitsunctie # eerder gezien Maar hoe zit dit met oneindige verzamelingen? Zijn deze allemaal even groot? Intuitie: sommige verzamelingen zijn groter dan andere?!? Maar intuitie is gevaarlijk bij oneindige verzamelingen Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 62 Gelijkmachtige verzamelingen Verzamelingen en zijn gelijkmachtig ls er een bijectie : bestaat Stelling: is een equivalentierelatie Stelling: voor eindige verz en : #() = #() Voorbeelden {1, 2, 3} {4, 9, 13} Niet: {a, b, c, d} {1, 2, 3} Verrassend: E N (strikt!), maar toch: N = {0, 1, 2, 3, } bijectie! E = {0, 2, 4, 6, } Dus: N E Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 63 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 64 Oneindige verzamelingen Zijn alle oneindige verzamelingen gelijkmachtig? ntwoord: neen! telbaar vs overatelbaar Een verz is atelbaar oneindig als Er is een bijectie : N Een verz is atelbaar als is eindig o atelbaar oneindig Een verz heet overatelbaar als is niet atelbaar Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 65 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 66 11
12 Eigenschappen Propositie: atelbaar oneindig N Dus, per deinitie: ls overatelbaar, dan niet N telbare verzamelingen N is atelbaar: triviaal: N N E is atelbaar: E N Z is atelbaar: Z N Q is atelbaar: Q N Zijn er overatelbare verzamelingen? Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 67 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 68 Relatie op verzamelingen Om erachter te komen o er overatelbare verzamelingen bestaan, bekijken we eerst een relatie op verzamelingen: De relatie is gedeinieerd als: Er bestaat een injectieve unctie : Eigenschappen van Relexiviteit Transitiviteit en C C Stelling van Schroeder-ernstein: en Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 69 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 70 De strikte relatie De relatie is gedeinieerd als: asea en niet Wet van trichotomie o o Stelling van Cantor Voor elke verzameling geldt: P() Ihb N P(N) Dwz P(N) is overatelbaar! Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 71 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 72 12
13 Terzijde Zij 2 de verzameling uncties {0,1} Stelling: P() 2 ewijs: deinieer unctie :P() 2 als volgt Voor X P(): (X) = g : {0,1} zdd g(a) = 1 als a X g(a) = 0 als a X Er kan worden bewezen dat een bijectie is QED Verband met continuum Er geldt: R P(N) Dus: N R, en dus niet: R N Maw R is overatelbaar!! Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 73 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 74 Cardinaalgetallen Voor eindige verzamelingen deinieerden we simpelweg #() als het aantal elementen in Nu breiden we het begrip cardinaliteit uit en deinieren #(N) = ℵ 0 en #(R) = c en stipuleren dat voor # geldt: #() #() #() < #() Continuumhypothese Dus: er geldt: 0 < 1 < 2 < < ℵ 0 < c Vraag: is er β : ℵ 0 < β < c? Cantor s Continuumhypothese: neen! Cohen (1963): zowel de continuumhypothese als haar negatie kan consistent aan (standaard) verzamelingtheorie worden toegevoegd ( onahankelijkheid )!!! Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 75 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 76 Cardinale rekenkunde De kardinaalgetallen kunnen worden opgevat als superset van N Je kunt er ook mee rekenen De rekenkundige operaties worden gedeinieerd mbv verzamelingstheoretische operaties Cardinale rekenkunde Zij α = #() en β = #() α + β = #( ) α β = #( ) α β = #( ) waarbij is de verzameling van alle uncties Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 77 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 78 13
14 Wetten cardinale rekenkunde (α + β) + γ = α + (β + γ) α + β = β + α (α β) γ = α (β γ) α β = β α α (β + γ) = (α β) + (α γ) (α β) γ = α γ β γ α β α γ = α β+γ (α β ) γ = α β γ Speciale wetten mbt ℵ 0 en c n + ℵ 0 = ℵ 0 (n N) ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0 2 ℵ0 = c c + c = c c = c c ℵ0 = c c c = 2 c Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 79 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 80 Onbegrensdheid cardinaalgetallen ltijd een groter cardinaalgetal te vinden, nl volgens de stelling van Cantor geldt: 0 < 1 < 2 < < ℵ 0 < c < 2 c < 2 2c < 2 22c < Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 81 14
Relaties en Functies
Logica voor Informatica Relaties en Functies Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Geordende paren, productverzameling, relatie (a, b) geordend paar (a, b) = (c, d) a =
Nadere informatieOefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar?
Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.
Nadere informatieBewijzen en Redeneren voor Informatici
Bewijzen en Redeneren voor Informatici Reinoud Berkein 17 januari 2018 Samenvatting Een korte samenvatting van definities uit de cursus. Hoofdstuk 1 Doorsnede: De verzamerling die alle elementen bevat
Nadere informatieHoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Nadere informatieVerzamelingen deel 3. Derde college
1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dystra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 12 februari 2008 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 februari 2009 INLEIDING
Discrete Structuren Piter Dystra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen Elementaire
Nadere informatieBewijzen en Redeneren voor Informatici Samenvatting
Bewijzen en Redeneren voor Informatici Samenvatting Robin Kelchtermans 17 februari 2018 1 Voorwoord In deze samenvatting komen alle onderdelen van de cursus Bewijzen en Redeneren voor Informatici (academiejaar
Nadere informatieNotatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren
Overzicht TI1300: Redeneren en Logica College 10: Verzamelingenleer Tomas Klos Algoritmiek Groep Colleges 1 2: Bewijstechnieken Colleges 3 9: Propositielogica Vandaag en morgen: Verzamelingenleer Colleges
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieWiskunde. Verzamelingen, functies en relaties. College 6. Donderdag 7 Januari
Wiskunde Verzamelingen, functies en relaties College 6 Donderdag 7 Januari 1 / 14 Kardinaliteit Def. A is de kardinaliteit van A. A = B : er is een bijectie van A naar B. A B : er is een injectie van A
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 februari 2009 RELATIES & GRAFEN Discrete Structuren Week 2: Relaties en Grafen
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 17 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 17 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wat is een equivalentierelatie? Een
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 22 maart 2009 ONEINDIGHEID
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 maart 2009 ONEINDIGHEID. Paragraaf 13.3. De paradox van de oneindigheid ligt slechts
Nadere informatieOefening 2.3. Noteer de volgende verzamelingen d.m.v. (eenvoudig) voorschrift voor de eerste helft en d.m.v. opsomming voor de tweede helft.
Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.
Nadere informatie232 NAW 5/6 nr. 3 september 2005 Te Moeilijk? Welnee! Hans Finkelnberg
232 NAW 5/6 nr. 3 september 2005 Te Moeilijk? Welnee! Hans Finkelnberg illustratie: Rye Tajiri Hans Finkelnberg Te moeilijk? Welnee! NAW 5/6 nr. 3 september 2005 233 Hans Finkelnberg Mathematisch Instituut
Nadere informatieDossier 1 SYMBOLENTAAL
Dossier 1 SYMBOLENTAAL basis voor wiskundige communicatie Dr. Luc Gheysens Wiskundigen hebben een eigen symbolentaal waarmee ze onderling communiceren, redeneringen en bewijzen neerschrijven, mathematische
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 28 oktober 2014 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 3 1.1 Basisbegrippen....................................... 3 1.2 De
Nadere informatieGetallensystemen, verzamelingen en relaties
Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,
Nadere informatie1 Verzamelingen. en relaties. 1.1 De basisnotaties. Hoofdstuk
Inhoudsopgave Inhoudsopgave iii 1 Verzamelingen en relaties 1 1.1 De basisnotaties.......................... 1 1.2 Relaties.............................. 4 1.2.1 Basisdefinities.......................
Nadere informatieVerzamelingen deel 1. Eerste college
1 Verzamelingen deel 1 Eerste college Set = Verzameling 2 https://en.wikipedia.org/wiki/set_(deity) http://www.spelmagazijn.nl/nl/spelmag/set.html22 http://perkamentus.blogspot.nl/2016/12/de-complete-verzameling.html
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen 8 december 2015, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Nadere informatieEnkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieRuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010
RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010 Handout 1 Jan Terlouw maandag 8 februari 2010 1 Algemene gegevens over deze cursus DS. Docenten. Jan Terlouw (hoorcollege) en Piter Dykstra
Nadere informatieWiskunde. Verzamelingen, functies en relaties. College 2. Donderdag 3 November
Wiskunde Verzamelingen, functies en relaties College 2 Donderdag 3 November 1 / 17 Equivalentierelaties Def. Een relatie R heet reflexief als x xrx. R heet transitief als x y z (xry yrz xrz). R heet symmetrisch
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 10 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 10 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wat is een equivalentierelatie? Een equivalentie
Nadere informatieGetallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Nadere informatie(Isomorfie en) RELATIES
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 maart 2009 (Isomorfie en) RELATIES. Paragrafen 10.5,11.1,11.2,11.4,11.5 Discrete
Nadere informatieHarm de Vries. Partitiestellingen. Bachelor Thesis, Thesis advisor: Dr. K.P. Hart. Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden
Harm de Vries Partitiestellingen Bachelor Thesis, 2008 Thesis advisor: Dr. K.P. Hart Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Partitiestellingen Harm de Vries (hdv@math.leidenuniv.nl) Mathematisch Instituut
Nadere informatieVERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN
I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen
Nadere informatieInhoudsopgave. Relaties geordend paar, cartesisch product, binaire relatie, inverse, functie, domein, bereik, karakteristieke functies
Inhoudsopgave Verzamelingen element, Venn-diagram, singleton, lege verzameling, gelijkheid, deelverzameling, machtsverzameling, vereniging, doorsnede, verschilverzameling Relaties geordend paar, cartesisch
Nadere informatieOneindig in Wiskunde & Informatica. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff
Oneindig in Wiskunde & Informatica Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft Tom Verhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica http://www.win.tue.nl/~wstomv/
Nadere informatieDrie problemen voor de prijs van één
Drie problemen voor de prijs van één Of: één probleem voor de prijs van drie K. P. Hart Faculty EEMCS TU Delft Delft, 30 oktober, 2012: 10:15 10:45 Eenvoudig begin Opgave Bewijs dat voor m, n N het volgende
Nadere informatieVerzamelingen. Hoofdstuk 5
Hoofdstuk 5 Verzamelingen In de meest uiteenlopende omstandigheden kan het handig zijn om een stel objecten, elementen, of wat dan ook, samen een naam te geven. Het resultaat noemen we dan een verzameling.
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Aanbevolen opgaven. Wat is oneindigheid? College 5
Vorig college College 5 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Opsommers vs. Herkenners Church-Turing These Codering van problemen 23 april 2009 1 2 Aanbevolen opgaven Wat is oneindigheid? Sipser p. 163
Nadere informatieFundamenten. Lerarenprogramma Mastermath, versie 2015/12/02. Theo van den Bogaart Bas Edixhoven
Fundamenten Lerarenprogramma Mastermath, versie 2015/12/02 Theo van den Bogaart Bas Edixhoven i Inhoudsopgave I Verzamelingen en afbeeldingen............................................... 3 I.1 Notatie.........................................................................
Nadere informatieRAF belangrijk te onthouden
RAF belangrijk te onthouden Auteur: Daan Pape Hoofdstuk 1 symbool omschrijving lees als negatie (ontkenning) p niet p het is niet zo dat p conjunctie p q p en q disjunctie p q p of q implicatie p q als
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove. met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 1 juni 2015 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 6 1.1
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieAlgebra en Getaltheorie@Work: van cryptosysteem tot digitale handtekening
Algebra en Getaltheorie@Work: van cryptosysteem tot digitale handtekening Dr. Fabien Decruyenaere, St. Amandscollege, 8500 Kortrijk fabien.decruyenaere@skynet.be Prof. Dr. Paul Igodt, K.U.Leuven Campus
Nadere informatieLINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE. G. Van Steen
LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE G. Van Steen 13 november 2001 Inhoudsopgave 1 Verzamelingenleer 3 1.1 Bewerkingen met verzamelingen................. 4 1.2 Relaties.............................. 7 1.3 Functies..............................
Nadere informatieMulticriteria Optimization and Decision Making. Michael Emmerich and André Deutz
2 Relaties 1 Multicriteria Optimization and Decision Making Michael Emmerich and André Deutz 2 motivatie We bestuderen relaties: de terminologie, representaties (de manieren om relaties weer te geven)
Nadere informatieMartin s axioma en ccc-ruimten
WETENSCHAPPEN WISKUNDE Martin s axioma en ccc-ruimten Sandra Van Vooren Promotor : Eva Colebunders 22 maart 2010 Inhoudsopgave 1 Inleidende begrippen 4 1.1 De ZFC-axioma s...................................
Nadere informatieRelaties deel 2. Vierde college
2 Relaties deel 2 Vierde college 1 n-tupels & Cartesisch product A 1, A 2,, A n verzamelingen Een n-tupel is een geordend rijtje (ook wel: geordend n-tal) (a 1,a 2,...,a n ) met a 1 A 1, a 2 A 2,, a n
Nadere informatieequivalentie-relaties
vandaag equivalentie-relaties reflexief, symmetrisch, transitief 1 1. gelijkmachtigheid / aftelbaarheid 2. modulo rekenen 3. theorie Gelijkmachtigheid en aftelbaarheid 3.7 aleph 2 intuitie Amst Brux Roma
Nadere informatieWiskundige Structuren
wi1607 Wiskundige Structuren Cursus 2009/2010 Eva Coplakova en Bas Edixhoven i Inhoudsopgave I Verzamelingen en afbeeldingen..... 2 I.1 Notatie........3 I.2 Operaties op verzamelingen...7 I.3 Functies.......10
Nadere informatieFILOSOFIE VAN DE WISKUNDE. Filosofische stromingen in de wiskunde. De genetische methode. Voorbeeld van de gen. meth.
Filosofische stromingen in de wiskunde FILOSOFIE VAN DE WISKUNDE n logicisme (Frege, Russell) "wiskunde is een tak van de logica" n formalisme (Hilbert) "wiskunde is de wetenschap van formele systemen"
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieBEWIJZEN EN REDENEREN
BEWIJZEN EN REDENEREN voor Bachelor of Science in Fysica en Wiskunde Academiejaar 2012/2013 Arno KUIJLAARS Departement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 200 B, 3001 Heverlee Inhoudsopgave
Nadere informatieKardinaalgetallen en het gedrag van de 2-machtsfunctie (Engelse titel: Cardinal numbers and the behaviour of the powersetfunction)
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Kardinaalgetallen en het gedrag van de 2-machtsfunctie (Engelse titel: Cardinal numbers
Nadere informatieFuncties deel 1. Vijfde college
3 Functies deel 1 Vijfde college 1 Ch.3 Functions and Algorithms Hoofdstuk 3 uit Schaum gaat over functies en algoritmen. Het gedeelte over algoritmen ( 3.8 en 3.9) komt uitgebreid aan de orde bij toekomstige
Nadere informatieMasterproef Uniforme Random Generatie van Strings
2012 2013 FACULTEIT WETENSCHAPPEN master in de informatica: databases Masterproef Uniforme Random Generatie van Strings Promotor : Prof. dr. Frank NEVEN De transnationale Universiteit Limburg is een uniek
Nadere informatieLogisch redeneren. Historische figuren. Begrippen. Axioma s of grondbegrippen. Grondbegrippen
Logisch redeneren We vertrekken vanuit grondbegrippen en axioma s om de logica op te bouwen Historische figuren August De Morgan(19 de eeuw, Engeland): grondlegger van de formele logica. George Boole(
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieDefinitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:
Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a
Nadere informatieVerzamelingen deel 2. Tweede college
1 Verzamelingen deel 2 Tweede college herhaling Deelverzameling: AB wil zeggen dat elk element van A ook in B te vinden is: als x A dan x B Er geldt: A=B AB en BA De lege verzameling {} heeft geen elementen.
Nadere informatieBasiswiskunde. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam
Basiswiskunde P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam 22 augustus 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 2 Taal van de wiskunde 6 3 Afbeeldingen 11 4 Relaties 15 5 Inductie
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieKardinaalfuncties in de topologie
Kardinaalfuncties in de topologie Azer Aras 8 juli 2016 Bachelorscriptie Begeleiding: prof. dr. Jan van Mill Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Nadere informatieInhoudsopgave. I Theorie 1
Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................
Nadere informatieBijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieHoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Nadere informatieEerstebachelorstudenten moeten heel wat nieuwe kennis verwerven. Het pleidooi voor een abstracte aanpak sluit niet uit dat we meestal met concrete
Voorwoord Deze cursusnota s horen bij het opleidingsonderdeel Relaties en structuren uit de eerste Bachelor wiskunde. Alles wat aan bod zal komen tijdens de theorielessen, is bevat in deze nota s. De student
Nadere informatieVerzamelingenleer. Inhoud leereenheid 5. Introductie 9
Inhoud leereenheid 5 Introductie 9 1 Verzamelingen 10 2 Deelverzamelingen 15 3 Operaties op verzamelingen 20 3.1 Doorsnede en lege verzameling 20 3.2 Vereniging en verschil 24 3.3 Complement en universum
Nadere informatieSamenvatting. TI1306 Redeneren & Logica Review Guide 2014 Door: David Alderliesten. Disclaimer
Samenvatting TI1306 Redeneren & Logica Review Guide 2014 Door: David Alderliesten Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst mogelijke
Nadere informatieDeelgroepen en normaaldelers
Hoofdstuk 2 Deelgroepen en normaaldelers 2.1 Wat is een deelgroep? Definitie 2.1. Een deelverzameling H van een groep G, is een deelgroep van G als en slechts als H niet leeg is en H, zelf een groep is.
Nadere informatieEigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische
Nadere informatieTopologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006
Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006 Inhoudsopgave 1 Topologische ruimten 2 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 7 3 Convergentie en continuïteit 8 4 Separatie-eigenschappen
Nadere informatieM1 Wiskundig taalgebruik en notaties
M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =
Nadere informatieInleiding Logica. Jan Jaspars. CKI, eerste studiejaar, september/oktober 2005 Web: jaspars/inleidinglogica
Inleiding Logica Jan Jaspars CKI, eerste studiejaar, september/oktober 2005 Web: http://www.science.uva.nl/ jaspars/inleidinglogica 2 Dit diktaat, en de programmatuur op boven vernoemde website, is tot
Nadere informatieR.P. Thommassen. Whitehead Groepen. Bachelorscriptie, 10 Augustus Scriptiebegeleider: prof.dr. K.P. Hart
R.P. Thommassen Whitehead Groepen Bachelorscriptie, 10 Augustus 2014 Scriptiebegeleider: prof.dr. K.P. Hart Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Binnen ZFC 6 2.1 Eigenschappen
Nadere informatieIII.3 Supremum en infimum
III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk
Nadere informatieKeuze-Axioma en filosofische vragen over de Wiskunde
Keuze-Axioma en filosofische vragen over de Wiskunde Jaap van Oosten Department of Mathematics, Utrecht University Caleidsocoop 1, 3 april 2012 In de wiskunde bewijzen we stellingen (uitspraken). In het
Nadere informatieRuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010
RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010 Handout 5A Jan Terlouw maandag 8 maart 2010 1 Algemeen over DS in deze week Nadere belichting van stof van week 4 (mede i.v.m. toets). Bij het
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid
Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven 2016-2017 Les 3: 36-54 Myhill-Nerode relaties; regulier pompen Myhill-Nerode equivalentieklassen in Σ I 2/10 belangrijk te verstaan: een equivalentie-relatie
Nadere informatieDe vragen van vandaag. Hoeveel elementen? Hoeveel provincies? Hoeveel natuurlijke getallen? Non impeditus ab ulla scientia
De vragen van vandaag Hoeveel elementen? Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Hoeveel provincies heeft Nederland? Hoeveel natuurlijke getallen zijn er? Hoeveel reële getallen
Nadere informatieVerfijningen van de Borelhiërarchie in Intuïtionistische Beschrijvende Verzamelingenleer. Roy Loos
Verfijningen van de Borelhiërarchie in Intuïtionistische Beschrijvende Verzamelingenleer Roy Loos 2014 2 Proloog Deze scriptie is het resultaat van een onderzoek in de intuïtionistische wiskunde, specifieker
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieVerzamelingenleer. Onderdeel van het college Logica (2017) Klaas Landsman
Verzamelingenleer Onderdeel van het college Logica (2017) 1.1 Zermelo Fraenkel axioma s Klaas Landsman De moderne wiskunde berust op het volgende stelsel van axioma s, dat in de periode 1900 1925 werd
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Nadere informatie1 Verzamelingen en afbeeldingen
Samenvatting Wiskundige Structuren, 2010 Aad Offerman, www.offerman.com 1 1 Verzamelingen en afbeeldingen Notaties: A = {1,2,3},, x A, y / A, A = B A B en B A, N = {0,1,2,...}, Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,...},
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma Voorwoord Dit zijn aantekeningen voor het vak Discrete Wiskunde (2WC15), gegeven in het lentesemester van 2010. Dit vak bestaat uit twee delen: algoritmische
Nadere informatieMETRISCHE RUIMTEN EN CONTINUE AFBEELDINGEN aanvullend materiaal voor het college Analyse 1 Dr J. Hulshof (R.U.L.)
METRISCHE RUIMTEN EN CONTINUE AFBEELDINGEN aanvullend materiaal voor het college Analyse 1 Dr J. Hulshof (R.U.L.) 1. Inleiding. In deze syllabus behandelen we een aantal fundamentele onderwerpen uit de
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatiePropositielogica. Onderdeel van het college Logica (2017) Klaas Landsman
Propositielogica Onderdeel van het college Logica (2017) Klaas Landsman They who are acquainted with the present state of the theory of Symbolic Algebra, are aware of the validity of the processes of analysis
Nadere informatieHoeveel elementen? Non impeditus ab ulla scientia. K. P. Hart. Faculteit EWI TU Delft. Leiden, 18 november 2009: 13:15 14:15
Hoeveel elementen? Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Leiden, 18 november 2009: 13:15 14:15 De vragen van vandaag Hoeveel provincies heeft Nederland? Hoeveel natuurlijke getallen
Nadere informatieSemantiek 1 college 10. Jan Koster
Semantiek 1 college 10 Jan Koster 1 Vandaag Vorige keer: conceptuele structuur en semantische decompositie Vandaag: inleiding in de formele semantiek Gebruikt notaties uit formele logica plus de daar gehanteerde
Nadere informatieOneindig. Pieter Naaijkens Radboud Universiteit Nijmegen 7 januari 2009
Oneindig Pieter Naaijkens Radboud Universiteit Nijmegen 7 januari 2009 1 Introductie Deze lesbrief gaat over het begrip oneindig. Iedereen heeft wel een idee bij het begrip oneindig. Er zijn bijvoorbeeld
Nadere informatieWiskundige tovertaal. Hoofdstuk 2. 2.1 Symbolen
Hoofdstuk 2 Wiskundige tovertaal Bij het schrijven van dit hoofdstuk heb ik onder andere intensief gebruik gemaakt van het collegedictaat Inleiding tot de moderne wiskunde van Prof. N.G. de Bruijn (TH
Nadere informatieTentamen Topologie, Najaar 2011
Tentamen Topologie, Najaar 2011 27.01.2012, 08:30-11:30, LIN 8 (HG00.308) Toelichting: Je mag geen hulpmiddelen (zoals aantekeningen, rekenmachine, telefoon, etc.) gebruiken, behalve de boeken van Gamelin/Greene
Nadere informatieEindige topologische ruimten
R.A.C.H. Wols Eindige topologische ruimten Bachelorscriptie, 8 juni 2010 Scriptiebegeleider: dr. R.S. de Jong Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 2 Eindige ruimten
Nadere informatieAutomaten. Informatica, UvA. Yde Venema
Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 4 april 2008 Discrete Structuren Week 8: Samenvatting Redeneerpatronen
Nadere informatie