Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.

Transcriptie

1 Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen zullen noemen. De gebruikelijke notatie voor deze verzameling getallen is N. Het is mogelijk om deze verzameling op formele manier in te voeren met behulp van de zogenaamde axiomas van Peano. Ik wil hier echter niet te zwaar op de hand worden en kies daarom niet voor deze axiomatische opzet. In plaats daarvan vertrouw ik liever op het primitieve getalsbegrip dat iedereen hopelijk heeft meegekregen toen we leerden tellen. Ik memoreer hier wel een aantal feiten die in dit boek als uitgangspunt gebruikt zullen worden. Allereerst weten we dat we met tellen onbeperkt door kunnen gaan. Hebben we een getal benoemd, dan bestaat er altijd wel een volgende getal. Formeel zeggen we dat ieder getal een opvolger heeft. Een ander bekend feit is dat als we bij 1 beginnen te tellen, elk natuurlijk getal wel een keer aan bod zal komen. Een formele omschrijving hiervan staat bekend als het principe van volledige inductie. Hierop komen we aan het eind van dit hoofdstuk uitgebreid terug. Nog een belangrijke eigenschap van natuurlijke getallen is dat we ze op grootte kunnen ordenen. Van elk tweetal verschillende natuurlijke getallen is er altijd eentje groter dan de andere. De ordening van N heeft de volgende belangrijke eigenschap die we regelmatig zullen gebruiken. Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element. Bovenstaande eigenschappen betreffen alleen N als verzameling. Het wordt pas interessant als we ook gaan optellen en vermenigvuldigen. Ook nu is het weer mogelijk om deze bewerkingen op formele wijze in te voeren. Maar wederom vertrouwen we liever op de vaardigheid die mensen zich aangeleerd hebben bij 6

2 2.1. DE GEHELE GETALLEN 7 het rekenen. Wel breng ik hier een aantal elementaire eigenschappen van optelling en vermenigvuldiging in herinnering. Eigenschap Voor elk drietal a, b, c N geldt 1. a + b = b + a (commutativiteit van optelling) 2. (a + b) + c = a + (b + c) (associativiteit van optelling) 3. Uit a + b = a + c volgt b = c 4. ab = ba (commutativiteit van vermenigvuldiging) 5. (ab)c = a(bc) (associativiteit van vermenigvuldiging) 6. 1 a = a 7. Uit ab = ac volgt b = c 8. a(b + c) = ab + ac (distributiviteit) Bovendien respecteren optelling en vermenigvuldiging de ordening in N als volgt. Eigenschap Voor elk drietal a, b, c N geldt 1. Uit b c volgt a + b a + c 2. Uit b c volgt ab ac 3. Als a < b dan is er een unieke x N zo dat a + x = b Als a < b dan noemen we het getal x met de eigenschap dat a + x = b het verschil van b en a. Notatie: b a. Het is duidelijk dat het verschil b a alleen bestaat als natuurlijk getal indien b > a. Teneinde het verschil tussen twee willekeurige getallen te kunnen nemen heeft men de verzameling natuurlijke getallen uitgebreid met 0 en de negatieve getallen 1, 2, 3,.... Het systeem dat zo ontstaat is de verzameling van de gehele getallen die we noteren met Z. Vaak verstaat men onder de (elementaire) getaltheorie de wiskunde van Z. Welk van de bovenstaande eigenschappen voor Z gelden in plaats van N laten we graag aan de lezer over ter beoordeling. In verband met het speciale getal 0 vermelden we nog de volgende eigenschappen Eigenschap Voor elk tweetal a, b Z geldt, 1. 0 a = 0 2. Als ab = 0 dan geldt a = 0 of b = 0 of a = b = 0 3. Als a 0 dan geldt dat a 1.

3 8 HOOFDSTUK 2. DE REGELS VAN HET SPEL 2.2 Deelbaarheid Zoals bekend is het niet altijd mogelijk twee gehele getallen op elkaar te delen. Iets netter gezegd, als a, b Z en a 0 dan hoeft de vergelijking ax = b niet altijd oplosbaar te zijn in x Z. Bijvoorbeeld, er is geen enkele gehele x zo dat 4x = 5. Heeft ax = b wel een oplossing, dan zeggen we dat a een deler van b is en we geven de oplossing x aan met b/a. Het feit dat a een deler is van b noteren we meestal met a b. Als d een deler is van zowel a als b dan is d ook een deler van a + b. Dit is niet moeilijk in te zien. Er bestaan immers c, c Z zo dat a = dc, b = dc. Tel deze gelijkheden op, a + b = dc + dc = d(c + c ) en we zien dat d een deler van a + b is. Op soortgelijke manier tonen we de volgende eigenschappen aan. Stelling Voor elke a, b, c, d Z geldt, 1. d a, d b impliceert d (a + b) 2. d a impliceert d ab 3. d a impliceert db ab 4. d a en a b impliceert d b 5. Als a 0 en d a dan geldt d a Omdat de laatste eigenschap niet helemaal evident is laten we hem hier nog even zien. Stel namelijk dat a = bd. Omdat a 0 geldt b 0 en dus b 1 (Eigenschap 2.1.4(3)). Vermenigvuldig deze ongelijkheid aan beide zijden met d en we vinden, vanwege Eigenschap 2.1.3(2), dat bd d. Omdat a = bd volgt hiermee onze bewering. Deze eigenschap impliceert dat een getal a 0 slechts eindig veel delers heeft. Er zijn immers slechts eindig veel gehele getallen d zo dat d a. Zoals we weten kunnen we ervoor zorgen dat ieder tweetal getallen 0 op elkaar deelbaar zijn door het systeem van gehele getallen uit te breiden tot de rationale getallen of breuken. Notatie: Q. In dit boek zullen we deze stap niet maken. Getaltheorie blijft een zaak van gehele getallen, hoewel bij sommige onderwerpen ook Q of zelfs de verzameling reële getallen R betrokken wordt. Deling is in Z niet altijd mogelijk en we moeten ons tevreden stellen met een surrogaatdeling die bekend staat als deling met rest. Omdat dit een zeer fundamenteel begrip is maken we er een echte stelling van. Stelling (Deling met rest) Stel a, b Z en b > 0. Dan zijn er gehele getallen q, r zó dat a = bq + r, 0 r < b.

4 2.3. VOLLEDIGE INDUCTIE 9 We noemen q het quotient van de deling van a door b en r de rest. Om de stelling in te zien kiezen we voor q het grootste gehele getal zó dat qb a en voor r kiezen we r = a bq. Omdat q maximaal is moet (q + 1)b groter dan a zijn. Dus qb a < (q +1)b. Trekken we van alle drie termen qb af dan volgt 0 a bq < b. Dus 0 r < b. In deze en voorgaande paragraaf hebben we grofweg alle eigenschappen geformuleerd die we als basis zullen nemen voor het verdere boek. Alle andere eigenschappen van de gehele getallen zullen we, voor zover mogelijk, in de vorm van bewijzen van stellingen uit deze basiseigenschappen afleiden. Het begrip bewijzen is goeddeels uit het middelbare schoolonderwijs verdwenen en vervangen door aanschouwelijke bespiegelingen die het begrip moeten bijbrengen. Voor de lezers die niet zijn grootgebracht in de wiskundige cultuur om beweringen met bewijzen te staven zal het even wennen zijn dat we in dit boek graag deze cultuur nastreven. Hopelijk zal deze lezer op den duur gaan inzien dat een goed bewijs veelal het waarom van een stelling duidelijk naar voren brengt. Een stelling in de wiskunde is niet meer en niet minder dan een uitspraak die het opmerken waard is. Hoe onverwachter de uitspraak, des te mooier de stelling. Echter, een verzameling stellingen is nog geen wiskunde. Het is hooguit voldoende voor mensen die er voor toepassingen gebruik van willen maken. De echte wiskunde schuilt in de ideeën waarmee men tot deze stellingen komt. Daartoe moet men ook de bewijzen van stellingen bestuderen. Een goed bewijs verschaft het inzicht in de juistheid van een stelling. Vaak bestaat dit inzicht uit een onverwachte gedachtengang, door anderen ook wel truc genoemd, waar men misschien zelf nooit op gekomen zou zijn. Het is dit bouwwerk van achterliggende ideeën dat de wiskunde tot wiskunde maakt. Vaak blijkt dat goede ideeën ook in heel andere situaties bruikbaar zijn. Op de hoogte zijn van wiskundige ideeën en ze ook elders kunnen gebruiken is het kenmerk van een goed wiskundige. Na deze ontboezeming over bewijzen is het tijd iets te zeggen over priemgetallen en ontbinding van getallen in priemfactoren. De lezer is misschien gewend om het feit, dat elk getal op unieke manier in priemfactoren te ontbinden is, als fundamenteel te zien. Voorbeelden, 42 = en 54 = Dit feit werd vroeger, en misschien ook nu nog, op de basisschool onderwezen. Daardoor denkt men automatisch dat unieke priemontbinding een vanzelfsprekend feit is en dus ook in ons lijstje van uitgangspunten moet worden opgenomen. Dit is echter niet nodig. Het bestaan en éénduidigheid van priemontbinding is een eigenschap die afgeleid kan worden uit de fundamenten die we reeds in dit hoofdstuk gelegd hebben. Deze afleiding zal in Hoofdstuk 3 gebeuren. 2.3 Volledige inductie Een deel van de bewijzen die we in dit boek uitvoeren gaan via volledige inductie. Dit is een bewijsprincipe dat vaak gebruikt wordt als we een uitspraak willen

5 10 HOOFDSTUK 2. DE REGELS VAN HET SPEL bewijzen die geldig is voor alle natuurlijke getallen. We lichten dit toe aan de hand van een voorbeeld. Gegeven een getal x 1. We willen laten zien dat voor elk natuurlijk getal n de gelijkheid 1 + x + x 2 + x x n = n+1 geldt. We kunnen dit als volgt bewijzen. Om te beginnen geldt (2.1) 1 + x = 2. Dus voor n = 1 geldt onze uitspraak. Nu we dit weten kunnen we ook 1 + x + x 2 uitrekenen, waarbij we het voorgaande resultaat gebruiken. Namelijk, 1 + x + x 2 = 2 + x2 = 2 + x 2 () = 3 Dus voor n = 2 geldt de stelling ook. In de stap naar n = 3 maken we gebruik van het zojuist gevonden resultaat, 1 + x + x 2 + x 3 = 3 + x3 = 3 + x 3 () = 4 Het zojuist gevonden resultaat kunnen we weer gebruiken in de volgende stap, 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 = 4 + x4 = 4 + x 4 () = 5. We zien dat we zo doorgaand ons resultaat voor elk natuurlijk getal n tevoorschijn krijgen. Het is echter alleen vermoeiend om steeds dezelfde soort berekening uit te moeten voeren om van één natuurlijk getal naar het volgende natuurlijke getal te komen. Daarom voeren we deze stap één keer uit, in de vorm van een modelstap. Stel namelijk k 1 en stel dat we weten dat 1 + x + x x k = 1 xk+1. 1 x Anders gezegd, we nemen aan dat de Stelling waar is voor n = k. Dit noemen we de inductiehypothese. Dan volgt daaruit dat 1+x+x 2 + +x k +x k+1 = k+1 +xk+1 = k+1 + x k+1 () = k+2 We zien dat de Stelling nu ook waar is voor n = k+1. Deze stap hebben hierboven expliciet voor k = 1, 2, 3 uitgevoerd. We noemen deze stap de inductiestap. Door deze modelstap te gebruiken voor k = 4, 5,... concluderen we dat onze stelling waar is voor 1 + x + + x 5, 1 + x + + x 6,.... Met andere woorden de stelling is waar voor iedere som 1 + x + + x n. Ter verduidelijking geven we nog een voorbeeld. In het voorwoord hebben we het gehad over de identiteit ( n) 2 = n 3 (2.2)

6 2.3. VOLLEDIGE INDUCTIE 11 die voor alle natuurlijke n geldt. Voor we aan het bewijs beginnen merken we eerst op dat n = n(n + 1) 2 Een bekend verhaal dat aan deze formule vastzit is dat van Gauss toen hij nog schooljongen was. De klas waarin hij zat kreeg bij wijze van strafexercitie de opdracht om alle getallen van 1 tot en met 100 bij elkaar op te tellen. De meeste leerlingen begonnen slaafs met het optelwerk door 2 bij 1 op te tellen, daar weer 3 bij, enzovoort. Alleen Gauss niet. Hij merkte op dat je eerst kunt nemen, daarbij optellen, daarbij , enzovoort. Elk paar heeft som 101. Aangezien je 50 van zulke paren optelt is het antwoord = 5050, hetgeen door de jonge Gauss na korte tijd aan zijn verbaasde leerkracht werd voorgelegd. Natuurlijk werkt het argument van Gauss ook voor de som n. We kunnen het alleen nog iets anders opschrijven. Stel X = n. Merk nu op dat X = (n 2) + (n 1) + n X = n + (n 1) + (n 2) Tellen we deze gelijkheden op, dan vinden we dat 2X som is van de paren (1, n), (2, n 1),..., (n, 1). Elk van deze paren heeft som n + 1 en aangezien er n zulke paren zijn betekent dat dat 2X = n(n + 1). Delen we aan beide zijden door 2 dan krijgen we de formule X = n(n + 1)/2. Om onze gelijkheid ((2.2) aan te tonen moeten we nu laten zien dat n 3 gelijk is aan n 2 (n + 1) 2 /4. Dit gaat niet zo makkelijk als de som van de getallen van 1 tot en met n. We zullen in dit geval volledige inductie naar n gebruiken. Allereerst de initialisatie. Er geldt (1) 2 = 1 3. Onze gelijkheid klopt dus voor het geval n = 1. Nu de inductiehypothese. Stel nu k 1 en neem aan dat onze bewering bewezen is voor het geval dat n = k. Dus k 3 = k 2 (k + 1) 2 /4 Tel nu aan beide zijden (k + 1) 3 op. Links krijgen we de som k 3 + (k + 1) 3 en rechts, k 2 (k + 1) 2 /4 + (k + 1) 3. Om deze laatste som uit te werken merken we op dat beide termen een factor (k + 1) 2 bevatten. Haal deze buiten haakjes, (k+1) 2 (k 2 /4+k+1) De tweede factor tussen haakjes is precies gelijk aan k 2 /4 + k + 1 = (k + 2) 2 /4. We krijgen aan de rechterkant dus (k + 1) 2 (k + 2) 2 /4 en we concluderen dat k 3 + (k + 1) 3 = (k + 1) 2 (k + 2) 2 /4.

7 22 HOOFDSTUK 2. DE REGELS VAN HET SPEL met andere woorden, onze bewering is ook waar voor n = k + 1. Hiermee is onze inductiestap gezet en de formule ((2.2) voor alle n bewezen. Tussen haakjes, nu we bovenstaande formules gezien hebben kan men zich afvragen of er ook formules bestaan voor n 2 of, nog algemener, 1 r + 2 r + + n r met r N willekeurig. Het antwoord is dat voor elke r zo n formule bestaat. Als middelbare scholier heb ik zelf, en ik vermoed ook vele anderen, genoeglijke uurtjes besteed aan het vinden van dergelijke formules. Voor de lezer die het ook eens wil proberen verklap ik al vast dat n 2 = n(n + 1)(2n + 1)/6.