(Isomorfie en) RELATIES

Transcriptie

1 Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 15 maart 2009 (Isomorfie en) RELATIES. Paragrafen 10.5,11.1,11.2,11.4,11.5 Discrete Structuren Week 7: Relaties

2 Onderwerpen Terugkoppeling in netwerken en zelfreferentie Isomorfie Partiële en lineaire ordening Eigenschappen van relaties Eigenschappen van relaties en matrices Afsluitingen Discrete Structuren Week 7: Relaties 1

3 Netwerken met zelfreferentie E = x E x E E = x E x E 1?? 0 1 Hoe ziet de logica van de stabiele zelfreferente netwerken eruit? Discrete Structuren Week 7: Relaties 2

4 S-R-schuif f(s,r) = ( A ( f(s,r) ),B ( ) f(s,r) A ( f(s,r) ) = B ( f(s,r) ) = (S B ( f(s,r) )) ( A ( f(s,r) ) ) R Discrete Structuren Week 7: Relaties 3

5 S-R-schuif 2 f(s,r) = ( ( S B ( f(s,r) )) (, A ( f(s,r) ) ) ) R (S,R) f(s,r) (0,1) (1,0) (1,0) (0,1) (1,1) (1,0) (1,1) (0,1) Discrete Structuren Week 7: Relaties 4

6 Isomorfie Definition 1. [Boolese algebra isomorfisme]. Een Boolese algebra isomorfisme is een bijectie tussen twee Boolese algebra s B 1 en B 2 zodanig dat: voor alle x,y B 1. φ(x y) = φ(x) φ(y) (1) φ(x y) = φ(x) φ(y) (2) φ(x ) = φ(x) (3) Voorbeeld 1. Stel S = {1,2,3,...,n} en beschouw de Boolese algebra s: P(S), B n en FUN(S, B). Proposition 1. Deze algebra s zijn isomorf. Bewijs: De karakteristieke functie χ A van een verzameling A in P(S) zit ook in FUN(S, B). We definiëren: φ 1 : P(S) FUN(s, B) met: φ 1 (A) = χ A φ 1 is een bijectie van P(S) naar FUN(S, B). En bovendien: φ 1 (A B) = χ A B = χ A χ B = φ(a) φ(b)) Discrete Structuren Week 7: Relaties 5

7 Vervolg voorbeeld Er bestaat een φ 2 : FUN(S, B) B n. Voor een f in FUN(S, B) zit er een tupel ( f(1),...f(n) ) in B n. φ 2 (f) = ( f(1),...f(n) ) is een bijectie van FUN(S, B) naar B n. En bovendieen een Boolese algebra isomorfisme: φ 2 (f g) = ( (f g)(1),..., (f g)(n) ) def. φ 2 = ( f(1) g(1),..., (f(n) g(n) ) def. f g = ( (f(1),..., f(n) ) ( g(1),...,g(n) ) def. in B n = φ 2 (f) φ 2 (g) def. φ 2 En de compositie φ 2 φ 1 is een Boolese algebra isomorfisme van P(S) naar B n Theorem 1. [Boolese algebra isomorfisme]. Als A een verzameling van n atomen is, dan is er een isomorfisme van P(A) naar een Boolese algebra B met 2 n elementen. Corollary 1. Een eindige Boolese algebra heeft 2 n elementen (n P) en n atomen. Discrete Structuren Week 7: Relaties 6

8 Volledige ordening op R is een relatie die aan de volgende eigenschappen (R) x x voor alle x (AS) uit x y en y x volgt x = y voldoet: (T) uit x y en y z volgt x z (L) voor elke x en y geldt: x y of y x en als beide gelden ook: x = y Definition 2. Een relatie met deze eigenschappen heet een volledige (total) of lineaire ordening-srelatie. Discrete Structuren Week 7: Relaties 7

9 Partiële ordening Definition 3. Stel R is een relatie op S. R is een partiële ordening desda R reflexief, antisymmetrisch en transitief is. we noteren: x y voor (x,y) R. (R) (AS) (T) x x voor alle x S uit x y en y x volgt x = y uit x y en y z volgt x z Definition 4. (S, ) heet een partieel geordende verzameling (poset). Discrete Structuren Week 7: Relaties 8

10 Quasi ordening Gegeven een PO,, op een verzameling S, dan kunnen we definiëeren als: x y desda x y en x = y voldoet aan: (AR) (T) x x is onwaar voor alle x S uit x y en y z volgt x z Definition 5. [Quasi ordening]. Elke antireflexieve transitieve relatie heet een quasiordening. Definition 6. [Bedekking]. Gegeven een PO-relatie op S, dan bedekt een element t een element s indien s t er is geen u in S met s u t. Definition 7. [Hasse-diagram]. Een Hasse-diagram van een PO-set S, is een digraaf met S als de verzameling knopen en met ribbe (t,s) desda t bedekt s.. Discrete Structuren Week 7: Relaties 9

11 Een Hasse-diagram van de PO-set (S, ) met S = {1,2,3,4,5,6} Een Hasse-diagram van de PO-set (P{a,b,c}, ) Discrete Structuren Week 7: Relaties 10

12 Theorem 2. Elke eindige PO-set heeft een Hasse-diagram. Definition 8. [Minimaal/maximaal element]. Van een poset (P, ) is x P een minimaal/maximaal element als er geen y in P is zodat y x/x y Definition 9. [Subposet]. S is een subposet van (P, ) als S P. Merk op dat de beperking van tot S ook reflexief antisymmetrisch en transitief is. Definition 10. [Minimum/ maximum]. x is een minimum/maximum van een subposet S als y S : x y / y S : y x (notatie: x = min(s) / x = max(s)) Definition 11. [Beneden/bovengrens]. Als zo n minimum/maximum niet in S zit maar wel in P S dan heet zo n element een benedengrens /bovengrens. Discrete Structuren Week 7: Relaties 11

13 Definition 12. [Grootste beneden/kleinste bovengrens]. x is de grootste benedengrens van S als voor elke benedengrens y van S geldt: y x. (idem kleinste bovengrens) Discrete Structuren Week 7: Relaties 12

14 Tralie Definition 13. [Tralie(Lattice)]. Een tralie (L,,, ) is een partieel geordende verzameling (L, ), waarin voor elk tweetal elementen x enyde verzameling {x, y} zowel een supremum (= kleinste bovengrens / least upper bound) x y als een infimum (= grootste ondergrens / greatest lower bound) x y heeft. Uit de definitie volgt direct dat elke eindige (niet-lege) deelverzameling ook een supremum en een infimum heeft. Definition 14. Een tralie met zowel een grootste als een kleinste element, gewoonlijk aangeduid met respectievelijk 1 en 0, heet begrensd. Door aan een partieel geordende verzameling een grootste en een kleinste element toe te voegen ontstaat een begrensde tralie. Discrete Structuren Week 7: Relaties 13

15 Tralie-eigenschappen Proposition 2. [Dualiteit]. Door omkering van de ordening ontstaat uit een tralie een andere tralie, waarin als het ware de begrippen groter en kleiner omgewisseld zijn. Is (L,,, ) een tralie, dan is ook (L,,, ) er één. Proposition 3. [Ordening]. De ordening en de begrippen supremum en infimum zijn erg met elkaar verbonden. In feite leggen supremum en infimum de ordening vast. Als namelijk (L,,, ) en (L,,, ) beide tralies zijn, is, d.w.z. beide tralies hebben dezelfde partile ordening. De ordening wordt immers bepaald door: of wat equivalent is: x y x = x y x y y = x y Dus:. x y x = x y x y Discrete Structuren Week 7: Relaties 14

16 Speciale ordeningen Definition 15. [Keten (chain)]. S heet een keten als S een partiële ordening waarvan elk paar elementen vergelijkbaar is: s,t S : s t t s Definition 16. [Welgeordende keten]. Een keten S is welgeordend als elke deelverzameling van S een kleinste element heeft Definition 17. [Product ordening]. Stel (S, s ) en (T, t ) zijn posets en voor s,s S en t,t T geldt: s s s en t t t desda (s,t) (s,t ) dan is een product-ordening op S T. Discrete Structuren Week 7: Relaties 15

17 Definition 18. [Filing ordening]. Als (S 1, 1 ),..., (S n, n ) posets zijn de relatie ops 1... S n gedefinieerd is als: (s 1,...,s n ) (t 1,...,t n ) indien s 1 t 1 of er is een r {2..n} zo dat s 1 = t 1... s r 1 = t r 1 s r = r t r dan is een quasi-ordening die een partiële ordening, de filing ordening, op S 1... S n induceert. Theorem 3. Als (S 1, 1 ),..., (S n, n ) ketens zijn, dan is de filing ordening op S 1... S n ook een keten. Definition 19. [Lexicografische ordening]. Als Σ een alfabet is dan is L een lexicografische ordening op Σ als L een filing ordening is. Discrete Structuren Week 7: Relaties 16

18 Boolese Matrices a 11 a a 1n a i1 a i2.... a in a m1 a m2... a mn A b 11 b b 1k... b 1p b 21. b b 2k.... b 2p. b n1 b n2... b nk... b np B = c 11 c c 1p c 21 c c 2p.. c ik. c n1 c n2... c np AB Het scalair matrixproduct: c i,k = Het boolese matrixproduct: n j=1 a ij b jk c i,k = n a ij b jk j=1 Discrete Structuren Week 7: Relaties 17

19 Eigenschappen van relaties Functies als relaties. De functie f : S T is synomiem met: R f = {(s,t) S T : f(s) = t} Definition 20. [Functiecompositie]. Stel f : S T en f : T U, dan is de compositie van g op f: g f : S U synoniem met: R g f = {(s,u) S U : (g f)(s) = g(f(s)) = u} De compositie van R 1 : S T en R 2 : T U noteren we als: R 1 R 2 = R 1 R 2 : S U en is gedefinieerd door: R 2 R 1 = {(s,u) S U : t T ( (s,t) R 1 (t,u) R 2 ) Associativiteit van relaties. Als R 1 : S T, R 2 : T U en R 3 : U V dan (R 1 R 2 )R 3 = R 1 (R 2 R 3 ) Discrete Structuren Week 7: Relaties 18

20 Transitiviteit Theorem 4. Als R 1 een relatie is van S naar T en R 2 een relatie van T naar U, en A 1 en A 2 zijn de corresponderende matrices van R 1 en R 2, dan is A 1 A 2 de corresponderen de matrix van de compositie R 1 R 2. Theorem 5. Als R een realtie is op S, dan is R transitief desda R 2 R Discrete Structuren Week 7: Relaties 19

21 R A A = A = = R * R Discrete Structuren Week 7: Relaties 20

22 Afsluitingen Definition 21. [Afsluiting]. Als R een relatie is dan is de kleinste relatie die R bevat en bovendien: 1. reflexief is, de reflexieve afsluiting van R : r(r) 2. symmetrisch is, de symmetrische afsluiting van R : s(r) 3. transitief is, de transitieve afsluiting van R : t(r) Proposition 4.. Als R een relatie is dan is: 1. R = r(r) desda R reflexief is. 2. R = s(r) desda R symmetrisch is. 3. R = t(r) desda R transitief is. Bovendien: r(r(r)) = r(r) s(s(r)) = s(r) t(t(r)) = t(r) Discrete Structuren Week 7: Relaties 21

23 A = r(a) = Discrete Structuren Week 7: Relaties 22

24 s(a) = t(a) = Discrete Structuren Week 7: Relaties 23

25 Theorem 6. Als R een relatie is opsen E = {(x,x) : x S} dan: (r) r(r) = R E (s) s(r) = R R (t) t(r) = R k Lemma 1. k=1 1. Als R reflexief is dan ook s(r) en t(r). 2. Als R symmetrisch is dan ook r(r) en t(r). 3. Als R transitief is dan ook r(r) en s(r). Theorem 7. Voor elke relatie R op S is tsr(r) de kleinste equivalentierelatie die R bevat. Bewijs: a ( ): r(r) is reflexief. b ( ): Beschouw de equivalentiereatie R, zodat R R r(r) r(r ) = R Dus: sr(r) s(r ) = R En dus: tsr(r) t(r ) = R r(r) r(r ) = R Dus: sr(r) s(r ) = R En dus: tsr(r) t(r ) = R Dus tsr(r) is de kleinste equivalentierelatie die R bevat. Discrete Structuren Week 7: Relaties 24