Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
|
|
- Stijn van den Berg
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 22 februari 2009 INDUCTIE & RECURSIE Paragrafen Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie
2 Onderwerpen Loopinvarianten Mathematische inductie Ordes van grootte Recursieve definities Recurrente betrekkingen Volledige inductie Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 1
3 Lusinvariant Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 2
4 Lusinvariant Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 3
5 Inductie Is een veelvoud van 10? Is de volgende stelling waar? Theorem 1. n 5 n is deelbaar door 5 voor alle n N. Gedachtenexperiment: we testen de bewering n 5 n is deelbaar door 5 voor 1 n, met een computerprogramma. begin n:=1 ; while n < do if n 5 n is een veelvoud van 5 then n:=n+1 end Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 4
6 Stel n = n +1 Als I = n 5 n is deelbaar door 5 een invariant is, moet na iedere iteratie gelden waar I bij aanvang waar is, ook I aan het eind waar zijn, dus n 5 n is deelbaar door 5 (n +1) 5 (n +1) is deelbaar door 5 (n +1) 5 (n +1) = n 5 +5n 4 +10n 3 +10n 2 +5n +1 n 1 = (n 5 n) +5(n 4 +2n 3 +2n 2 +n) Als n 5 n is deelbaar door 5 dan ook (n +1) 5 (n +1), want 5(n 4 +2n 3 +2n 2 +n) is ook deelbaar door 5. Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 5
7 Voor willekeurig grote getallen kan het volgende programma uitkomst bieden: n:=1 ; while 1 n do if n 5 n is een veelvoud van 5 then n:=n+1 In het algemeen zouden we willekeurige beweringen p(k),m k < n kunnen bewijzen met het programma: begin k:=m ; {p(k) is waar} while m k <n do if p(k) is waar then n:=n+1 end Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 6
8 Voor de invariant p(k) volstaat het om te bewijzen dat: (B) p(m) is waar en (I) p(k +1) is waar indien p(k) waar is en m k < n. Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 7
9 Beperkte & volledige inductie (B) - basisstap (I) - inductiestap (H) - inductiehypothese Theorem 2. [Het principe van eindige (beperkte) inductie]. Als p(m),p(m + 1),...,p(n) een eindige rij proposities is met (B) p(m) is waar en (I) Uit de waarheid van p(k) (H) en m k < n volgt p(k +1) is waar, dan zijn alle proposities waar. Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 8
10 Theorem 3. [Het principe van volledige inductie]. Als p(m), p(m + 1),... een oneindige rij proposities is met (B) p(m) is waar en (I) Uit de waarheid van p(k) en m k volgt p(k +1) is waar, dan zijn alle proposities waar. Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 9
11 Voorbeeld 1 Theorem 4. Voor elk positief geheel getal n 4 geldt: n! > 2 n Het bewijs verloopt met inductie naar de grootte van n. (B) n = 4. Te bewijzen 4! > 2 4 check! (I) n > 4. Gegeven: (H) = k! > 2 k en 4 k Te bewijzen (k +1)! > 2 ( k +1) c (k +1)! = k! (k +1) > 2 k (k +1) [ inductie hypothese: k! > 2 k ] 2 k 2 [ omdat k +1 5 > 2] = 2 k+1 Dus p(k +1) is waar. Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 10
12 Voorbeeld Ordes Theorem 5. 2 n < n! < n n voor alle n 4 Bewijs: 1. Te bewijzen: 2 n < n! 1 Voor n = 4 krijgen we 16 < 24 < 256. Voor n > 4 geldt: n! = (4!) (n 1) n De eerste factor 4! is groter dan 2 4 en de overige n 4 factoren zijn groter dan 2. Dus: n! > n 4 = 2 n 2. Te bewijzen: n! < n n Alle factoren van n n, op één na, zijn groter dan die van n!. 1 2 n < n! is met theorema 5 bewezen (met volledige inductie). Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 11
13 Orde 2 Theorem 6. Voor alle natuurlijke getallen n geldt: 4 n 3 n n n n 2 n 3 n 4... Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 12
14 Theorem 7. Er is een ordening van rijen, zodat voor elke element van een rij geldt dat het kleiner of gelijk is dan het overeenkomstige element in alle rijen aan haar rechterzijde: 1, log 2 n, 4 n, 3 n, n,n,nlog 2 n,n n,n 2,n 3,n 4,...,2 n,n!,n n Om aan te geven dat een rij op de lange duur niet sneller groeit dan een andere rij gebruiken we de grote O-notatie Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 13
15 Definition 1. [Grote O]. Als s een rij is van reële getallen en a een rij van positieve reële getallen, dan schrijven we: 2 s(n) = O(a(n)) = def C,k n > k ( s(n) C a(n)) 2x = O(x 2 ) 2 En we spreken uit: s(n) is in grote O van a(n) Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 14
16 Polynomiale groei 6n 4 +20n = O(n 4 ) Want er zijn een C en k te vinden zodat 6n 4 +20n C n 4 voor alle n k Voor C = 7 en n = 8 geldt: k 8 = 6n 4 +20n n 4 Alleen de exponent van de dominante term bepaalt dus de orde. Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 15
17 Alleen de exponent van de dominante term bepaalt dus de orde. Theorem 8. [Polynomiale groei]. Beschouw het polynoom s(n) = a m n m +a m 1 n m a 0 in n en met de graad m (met a m = 0) Dan hebben we: En dus geldt: s(n) a m n m + a m 1 n m a 0 ( a m + a m a 0 ) n m s(n) = O(n m ) Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 16
18 Grote theta We willen uitdrukken dat s(n) en a(n) groeien met dezelfde orde. Definition 2. s(n) = Θ(a(n)) = def s(n) = O(a(n)) en a(n) = O(s(n)) Voorbeelden: 1. 3n 2 +15n = O(n 2 ), maar n 2 3n 2 3n 2 +15n Dus: n 2 = O(3n 2 +15n) En daarom ook: 3n 2 +15n = Θ(n 2 ) 2. Als s(n) = a m n m +a m 1 n m a 0 met a m = 0, dan s(n) = O(n m ) Maar ook n m = (1/a m ) a m n m (1/a m ) s(n). Dus: n m = O(s(n)) en daarom ook: s(n) = Θ(n m ) Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 17
19 Theorem 9. Als a(n) en b(n) rijen positieve getallen zijn en als: 1. s(n) = O(a(n)) en c is een constante dan c s(n) = O(a(n)) 2. s(n) = O(a(n)) en t(n) = O(a(n)) dan s(n) +t(n) = O(a(n)) 3. s(n) = O(a(n)) en t(n) = O(b(n)) dan s(n) +t(n) = O(max(a(n),b(n))) 4. s(n) = O(a(n)) en t(n) = O(b(n)) dan s(n) t(n) = O(a(n) b(n)) Idem voor Θ (bewijs in beide richtingen). Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 18
20 Recursieve Definities Definition 3. [Recursieve Rij]. Een rij is recursief gedefinieerd als er: (B) Er een eindige verzameling (begin-)waarden is aangegeven. (R) De overige waarden van de rij worden gedefinieerd in termen van eraan voorafgaande. Zo n formule heet een recurrente betrekking. Voorbeeld: We definiëren de rij faculteit recursief. (B) FACT(0) = 1 (R) FACT(n +1) = (n +1) FACT(n) voor n > 0 Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 19
21 Theorem 10. FACT(n) = n! voor n N Bewijs: (B) FACT(0) = 1 = 0! (H) FACT(m) = m! (hyp) (I) Te bewijzen: FACT(m +1) = (m +1)! FACT(m +1) = (m +1) FACT(m) [Stap (R) : m +1 1] = (m +1) m! [ind. hyp (H)] = (m +1)! Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 20
22 Voorbeeld Beschouw de rij SUM(n) = n 1 i! i=0 Een computerprogramma voor het berekenen van de rij kan gebaseerd zijn op de recursieve definitie: (B) SUM(0) = 1 (R) SUM(n +1) = 1 (n+1)! + SUM(n) voor n > 0 Maar dan wordt voor iedere n FACT(n) berekend. Het volgende programma combineert beide berekeningen. {Input:een integer n 0} {Output:SUM,de som k+1 i=0 1 i! } begin Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 21
23 i:=0 ; SUM:=0 ; FACT:=1 ; {FACT = i!} while i n do SUM:=SUM +1/FACT ; FACT:= (i +1). FACT ; i:=i+1 return SUM end Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 22
24 Voorbeelden De rij Fibonacci is als volgt gedefinieerd. (B) FIB(1) = FIB(2) = 1 (R) FIB(n) = FIB(n 1) + FIB(n 2) voor n 3 De rij kan zo worden gedefinieerd: 1,1,2,2,3,3,... (B) SEQ(0) = SEQ(1) = 0 (R) SEQ(n) = 1+ SEQ(n 2) voor n 2 Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 23
25 Recurrentie relaties We willen proberen voor recurrente betrekkingen proberen formules te vinden die niet afhankelijk zijn van de oplossingen in een voorgaande stap. We kijken naar relaties van de vorm: s n = as n 1 +bs n 2 waarin a en b constanten zijn. De gevallen a = 0 en b = 0 zijn makkelijk. Als b = 0 dan s n = a s n 1 voor n 1 s 1 = as 0, s 2 = as 1 = a 2 s 0, dus s n = a n s 0 voor alle n N Als a = 0 dan s 2 = bs 0, s 4 = bs 1 = b 2 s 0, dus s 2n = b n s 0 voor alle n N Evenzo: s 3 = bs 1, s 5 = bs 3 = b 2 s 1, dus s 2n+1 = b n s 1 voor alle n N Maar als a = 0 en b = 0 dan zouden we kunnen hopen op iets van de vorm s n = c r n. Dat geeft: r n = ar n 1 +br n 2 Delen door r n 2 geeft: r 2 = ar +b Ofwel de karakteristieke vergelijking: r 2 ar b = 0 Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 24
26 Recurrentie relaties 2 Theorem 11. Beschouw: s n = as n 1 +bs n 2 met karakteristieke vergelijking x 2 ax b = 0 met a = 0 en b = 0 Als de karakteristieke functie twee wortels, r 1 en r 2 heeft, dan zijn er constanten c 1 en c 2 zodat: s n = c 1 r1 n +c 2 r2 n voor n N Als s 0 en s 1 gegeven zijn, kunnen daarmee c 1 en c 2 worden opgelost. Als de karakteristieke functie één wortel, r heeft, dan zijn er constanten c 1 en c 2 zodat: s n = c 1 r n +c 2 n r n voor n N Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 25
27 Voorbeeld Fibonacci Stel s 0 = 0 en s n = FIB(n) voor n 1 Dan: s n = s n 1 +s n 2 voor n 1 Dus: a = b = 1 en we lossen x 2 x 1 = 0 op r 1 = en r 2 = Deel a van de stelling is van toepassing: s n = c 1 r n 1 +c 2 r n 2 = c 1 ( c 1 en c 2 zijn op te lossen door n = 0 en n = 1 te kiezen: ) n ( ) n 1 5 +c 2 voor n N 2 0 = c 1 +c 2 en 1 = c 1 r 1 +c 2 r 2 Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 26
28 0 = c 1 +c 2 en 1 = c 1 r 1 +c 2 r 2 We vervangen c 2 door c 1 in de rechter vergelijking en we krijgen: 1 = c 1 r 1 c 1 r 2 = c 1 (r 1 r 2 ) En dus: c 1 = 1 r 1 r 2 Omdat r 1 r 2 = 5, concluderen we dat c 1 = 1/ 5 en c 2 = 1/ 5 s(n) = c 1 r 1 c 1 r 2 = 1 5 r n r n 2 = 1 5 (r n 1 r n 2) voor n 1 [ (1 FIB(n) = 1 ) n ( ) n ] voor n 1 Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 27
29 Bewijs theorema 7 (a) Er zijn twee wortels r 1 en r 2. (B) Uit: s 0 = c 1 +c 2 en s 1 = c 1 r 1 +c 2 r 2 kunnen c 1 en c 2 worden opgelost. Voor r 1 geldt: als x = r 1 dan x 2 = ax +b, Dus hebben we: r1 n = arn 1 1 +br n 2 1 Evenzo r2 n (I) as n 1 +bs n 2 = a(c 1 r n 1 1 +c 2 r n 1 2 ) +b(c 1 r n 2 1 +c 2 r n 2 2 ) = c 1 (ar n 1 1 +br n 2 2 ) +c 2 (ar n 1 1 +br n 2 2 ) = c 1 r n 1 +c 2 r n 2 = s n Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 28
30 (b) Er is één wortel r met karakteristieke functie (x r) 2 = 0 Dus de vergelijkingen x 2 2rx +r 2 en x 2 ax b zijn dezelfde. We krijgen a = 2r en b = r 2. De recurrentierelatie wordt dan: s n = 2rs n 1 r 2 s n 2 (B) Invullen van n = 0 en n = 1 in: s n = c 1 r n +c 2 n r n geeft: s 0 = c 1 en s 1 = c 1 r +c 2 r Dus voor c 1 = s 0 en c 2 = s 0 +s 1 /r voldoet de stelling. Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 29
31 (I) Nog te bewijzen: s n = c 1 r n +c 2 n r n voor n > 1 s n = 2rs n 1 r 2 s n 2 = 2r(c 1 r n 1 +c 2 (n 1)r n 1 ) r 2 (c 1 r n 2 +c 2 (n 2)r n 2 ) = 2c 1 r n +2c 2 (n 1)r n c 1 r n c 2 (n 2)r n = c 1 r n +c 2 n r n = s n Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 30
32 Inductie revisited Definition 4. [Eerste principe van volledige inductie]. Stel m is een geheel getal en p(n) een rij proposities gedefinieerd op {n Z : n m}. Als: (B) p(m) is waar en (I) p(k) volgt uit de waarheid van p(k 1) voor k m, dan zijn alle proposities p(n) waar voor n m. Definition 5. [Tweede principe van volledige inductie]. Stel m is een geheel getal en p(n) een rij proposities gedefinieerd op {n Z : n m}. Als: (B) p(m) is waar en (I) p(k) volgt uit p(m),...,p(k 1) voor k m, dan zijn alle proposities p(n) waar voor n m. Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 31
33 driemaal is scheepsrecht Definition 6. [Tweede principe van volledige inductie]. Stel m is een geheel getal en p(n) een rij proposities gedefinieerd op {n Z : n m} en l is een niet negatief geheel getal. Als:, (B) p(m),...,p(m +l) zijn waar en (I) p(k) > m+l volgt uit de waarheid van p(m),...,p(k 1) voor k m dan zijn alle proposities p(n) waar voor n m. Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 32
34 Bewijs tweede principe van volledige inductie Stel: (B) p(m),...p(m +l) zijn allemaal waar (I) voor k > m +l als p(k) waar is als p(m),...p(k 1) maar p(n) is onwaar voor een n m Dan is de verzameling S = {n Z : n m en p(n) is onwaar} niet leeg. Volgens het welordeningsprincipe heeft S een kleinste element n 0. Vanwege (B) moet n 0 > m +l Omdat p(n) geldt voor m n n 0 moet volgens (I) ook p(n 0 ) waar zijn. Dat houdt in dat n 0 / S Tegenspraak. Dus als (B) en (I) waar zijn, is elke p(n) waar. Discrete Structuren Week 3: Inductie & Recursie 33
Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 4 april 2008 Discrete Structuren Week 8: Samenvatting Redeneerpatronen
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 22 maart 2009 ONEINDIGHEID
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 maart 2009 ONEINDIGHEID. Paragraaf 13.3. De paradox van de oneindigheid ligt slechts
Nadere informatieCombinatoriek groep 1 & 2: Recursie
Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie
Nadere informatieTweede college complexiteit. 12 februari Wiskundige achtergrond
College 2 Tweede college complexiteit 12 februari 2019 Wiskundige achtergrond 1 Agenda vanmiddag Floor, Ceiling Rekenregels logaritmen Tellen Formele definitie O, Ω, Θ met voorbeelden Stellingen over faculteiten
Nadere informatieDerde college complexiteit. 7 februari Zoeken
College 3 Derde college complexiteit 7 februari 2017 Recurrente Betrekkingen Zoeken 1 Recurrente betrekkingen -1- Rij van Fibonacci: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,... Vanaf het derde element: som van de voorgaande
Nadere informatieCombinatoriek groep 2
Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een
Nadere informatieVolledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.
Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als
Nadere informatieTalen & Automaten. Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 mei 2008
Talen & Automaten Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.cs.rug.nl/~wim 9 mei 2008 Talen & automaten Week 1: Inleiding Dit college Talen Automaten Berekenbaarheid Weekoverzicht
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieVierde college algoritmiek. 23/24 februari Complexiteit en Brute Force
Algoritmiek 2017/Complexiteit Vierde college algoritmiek 23/24 februari 2017 Complexiteit en Brute Force 1 Algoritmiek 2017/Complexiteit Tijdcomplexiteit Complexiteit (= tijdcomplexiteit) van een algoritme:
Nadere informatieGetallensystemen, verzamelingen en relaties
Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,
Nadere informatieRecursie en inductie i
Recursie en inductie i deel 2 Negende college inductiebewijzen 1 inductieprincipe Structurele inductie (inductie naar de opbouw) is de bewijstechniek die hoort bij inductief opgebouwde objecten zoals bomen
Nadere informatieEerste Toets Datastructuren 22 mei 2019, , Educ-β en Megaron.
Eerste Toets Datastructuren 22 mei 209, 3.30 5.30, Educ-β en Megaron. Motiveer je antwoorden kort! Stel geen vragen over deze toets; als je een vraag niet duidelijk vindt, schrijf dan op hoe je de vraag
Nadere informatie2 Recurrente betrekkingen
WIS2 1 2 Recurrente betrekkingen 2.1 Fibonacci De getallen van Fibonacci Fibonacci (= Leonardo van Pisa), 1202: Bereken het aantal paren konijnen na één jaar, als 1. er na 1 maand 1 paar pasgeboren konijnen
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Week1 : Bewijzen Onderwerpen Puzzels
Nadere informatieOpmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen
Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,
Nadere informatieEigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen
Nadere informatieBewijs door inductie
Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke
Nadere informatieMededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Waarheidstafels. Waarheidsfunctionele Connectieven
Mededelingen TI1300: Redeneren en Logica College 4: Waarheidstafels, Redeneringen, Syntaxis van PROP Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor de Fibonacci getallen geldt f 0 = f 1 = 1 (niet 0) Practicum 1 Practicum
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dystra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 12 februari 2008 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieGetaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)
Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen
Nadere informatieAchtste college algoritmiek. 8 april Dynamisch Programmeren
Achtste college algoritmiek 8 april 2016 Dynamisch Programmeren 1 Werkcollege-opgave Dutch Flag Problem Gegeven een array gevuld met R, W, en B. Reorganiseer dit array zo dat van links naar rechts eerst
Nadere informatieProgrammeermethoden. Recursie. week 11: november kosterswa/pm/
Programmeermethoden Recursie week 11: 21 25 november 2016 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/pm/ 1 Pointers Derde programmeeropgave 1 Het spel Gomoku programmeren we als volgt: week 1: pointerpracticum,
Nadere informatieWiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Nadere informatie1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
Nadere informatieFormeel Denken 2013 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 201 Uitwerkingen Tentamen (29/01/1) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Het is koud, maar er ligt
Nadere informatie(Isomorfie en) RELATIES
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 maart 2009 (Isomorfie en) RELATIES. Paragrafen 10.5,11.1,11.2,11.4,11.5 Discrete
Nadere informatieGerichte Grafen Boolese Algebra s &. Logische Netwerken
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 10 maart 2009 Gerichte Grafen Boolese Algebra s &. Logische Netwerken. Paragrafen
Nadere informatieKennisrepresentatie & Redeneren. Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie
Kennisrepresentatie & Redeneren Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 30 april 2007 INLEIDING Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie
Nadere informatieDivide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg. Algoritmiek
Divide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg Algoritmiek Algoritmische technieken Vorige keer: Divide and conquer techniek Aantal toepassingen van de techniek Analyse met Master theorem en substitutie Vandaag:
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Nadere informatie5 Afronden en afkappen
WIS5 1 5 Afronden en afkappen 5.1 Floor en ceiling Floor en ceiling Conversiefuncties van reële getallen naar gehele getallen. x = het grootste gehele getal et x x = het kleinste gehele getal et x Uitspraak:
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatieProgrammeermethoden. Recursie. Walter Kosters. week 11: november kosterswa/pm/
Programmeermethoden Recursie Walter Kosters week 11: 20 24 november 2017 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/pm/ 1 Vierde programmeeropgave 1 De Grote getallen programmeren we als volgt: week 1: pointerpracticum,
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 februari 2009 INLEIDING
Discrete Structuren Piter Dystra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen Elementaire
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieHoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Nadere informatieNATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN
II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN Iedereen ent getallen: de natuurlije getallen, N = {0,1,2,3,...}, gebruien we om te tellen, om getallen van elaar af te unnen treen hebben we de gehele getallen,
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Nadere informatie(On)Doenlijke problemen
Fundamentele Informatica In3 005 Deel 2 College 1 Cees Witteveen Parallelle en Gedistribueerde Systemen Faculteit Informatie Technologie en Systemen Overzicht Inleiding - Relatie Deel 1 en Deel 2 - Doenlijke
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatie1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatie7.1 Het aantal inverteerbare restklassen
Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo
Nadere informatieAanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige
Nadere informatieVierde college complexiteit. 14 februari Beslissingsbomen
College 4 Vierde college complexiteit 14 februari 2017 Restant zoeken Beslissingsbomen 1 Binair zoeken Links := 1; Rechts := n; while Links Rechts do Midden := Links + Rechts 2 ; if X = A[Midden] then
Nadere informatie1 Recurrente betrekkingen
WIS1 1 1 Recurrente betrekkingen 1.1 De torens van Hanoi De torens van Hanoi Edouard Lucas, 1884: Gegeven 3 pinnen en 64 schijven van verschillende grootte. Startsituatie: 64 op linkerpin, geordend naar
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatieUitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari
Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari 2007. (a) De buitenste for-lus kent N = 5 iteraties. Na iedere iteratie ziet de rij getallen er als volgt uit: i rij na i e iteratie 2 5 4 6 2 2 4
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsweek, juni 009 Stappenplan homogene lineaire recurrente betrekkingen Even herhalen: het stappenplan om een recurrente betrekking van orde op te lossen: Stap 1. Bepaal
Nadere informatieDe partitieformule van Euler
De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg
Nadere informatieGetaltheorie groep 3: Primitieve wortels
Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 2007
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 007 Opgave. a. Een beslissingsboom beschrijft de werking van het betreffende algoritme (gebaseerd op arrayvergelijkingen) op elke mogelijke invoer. In
Nadere informatieTweede Toets Datastructuren 29 juni 2016, , Educ-Γ.
Tweede Toets Datastructuren 29 juni 2016, 13.30 15.30, Educ-Γ. Motiveer je antwoorden kort! Zet je mobiel uit. Stel geen vragen over deze toets; als je een vraag niet duidelijk vindt, schrijf dan op hoe
Nadere informatie2.0 Voorkennis. Rekenregels machten: 5) a 0 = 1. p p q p q a p q q. p q pq p p p. Willem-Jan van der Zanden
2.0 Voorkennis Voorbeeld: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = (a +b)(a2 + 2ab + b2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b +2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Rekenregels machten: p p q pq a pq 1) a a
Nadere informatieDefinitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:
Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a
Nadere informatieTegenvoorbeeld. TI1300: Redeneren en Logica. De truc van Gauss. Carl Friedrich Gauss, 7 jaar oud (omstreeks 1785)
Tegenvoorbeeld TI1300: Redeneren en Logica College 3: Bewijstechnieken & Propositielogica Tomas Klos Definitie (Tegenvoorbeeld) Een situatie waarin alle premissen waar zijn, maar de conclusie niet Algoritmiek
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2017
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 017 Opgave 1. a. Een pad van de wortel naar een blad stelt de serie achtereenvolgende arrayvergelijkingen voor die het algoritme doet op zekere invoer.
Nadere informatieExamen G0U13 - Bewijzen en Redeneren,
Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, 2010-2011 bachelor in de Wisunde, bachelor in de Fysica, bachelor in de Economische Wetenschappen en bachelor in de Wijsbegeerte Vrijdag 4 februari 2011, 8u30 Naam:
Nadere informatieOpgaven Sommaties Datastructuren, 8 mei 2019, Werkgroep.
Opgaven Sommaties Datastructuren, 8 mei 019, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht opgaven.
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatieFOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE
FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE Tentamen Analyse 6 januari 203, duur 3 uur. Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening of de argumentatie toe. Als je een onderdeel
Nadere informatieOplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren
Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Goeroen Maaruf 20 augustus 202 Hoofdstuk 3: Relaties. Oefening 3..2 (a) Persoon p is grootouder van persoon q. (b) (p, q) O o O r P : [ (p, r) O (r, q) O ]
Nadere informatieZevende college algoritmiek. 23/24 maart Verdeel en Heers
Zevende college algoritmiek 23/24 maart 2017 Verdeel en Heers 1 Algoritmiek 2017/Backtracking Tweede Programmeeropdracht 0 1 2 3 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 Algoritmiek 2017/Backtracking Tweede Programmeeropdracht
Nadere informatieGeldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
Nadere informatieG Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie. K Geologie, Informatica, Schakelprogramma s
Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 3 november 06, :00-3:00
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatieZevende college Algoritmiek. 6 april Verdeel en Heers
Zevende college Algoritmiek 6 april 2018 Verdeel en Heers 1 Algoritmiek 2018/Backtracking Programmeeropdracht 2 Puzzel 2: D O N A L D G E R A L D + R O B E R T Elke letter stelt een cijfer voor (0,1,...,9)
Nadere informatieAchtste college algoritmiek. 12 april Verdeel en Heers. Dynamisch Programmeren
Achtste college algoritmiek 12 april 2019 Verdeel en Heers Dynamisch Programmeren 1 Uit college 7: Partitie Partitie Partitie(A[l r]) :: // partitioneert een (sub)array, met A[l] als spil (pivot) p :=
Nadere informatieFormeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen (29/01/15) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Als het regent word ik
Nadere informatieOneindige spelen. Dion Coumans. Begeleider: dr. W. Veldman
Oneindige spelen ion Coumans Begeleider: dr. W. Veldman Inhoudsopgave 1 Voorwoord 3 2 efinities 4 3 A is aftelbaar 6 4 Gale-Stewart-stelling 7 5 Stelling van Wolfe 11 2 1 Voorwoord Banach, Mazur en Ulam
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde
Discrete Wiskunde (WB011C) 22 januari 2016 Tentamen Discrete Wiskunde Schrijf op ieder ingeleverd blad duidelijk leesbaar je naam en studentnummer. De opgaven 1 t/m 6 tellen alle even zwaar. Je hoeft slechts
Nadere informatieTentamen IN1305-I Fundamentele Informatica 1, deel I: Logica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen IN1305-I Fundamentele Informatica 1, deel I: Logica 27 oktober 2008, 9.00 12.00 uur Dit tentamen bestaat uit 5
Nadere informatieWanneer zijn veelvouden van proniks proniks?
1 Uitwerking puzzel 92-1 Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? Harm Bakker noemde het: pro-niks voor-niks De puzzel was voor een groot deel afkomstig van Frits Göbel. Een pronik is een getal dat
Nadere informatieEen eenvoudig algoritme om permutaties te genereren
Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren Daniel von Asmuth Inleiding Er zijn in de vakliteratuur verschillende manieren beschreven om alle permutaties van een verzameling te generen. De methoden
Nadere informatieOpgaven Bewijzen en Inductie 1 mei 2019, Datastructuren, Werkcollege.
Opgaven Bewijzen en Inductie mei 09, Datastructuren, Wercollege. Gebrui deze opgaven, naast die uit het boe, om de stof te oefenen op het wercollege. Cijfer: Op een toets rijg je meestal zes tot acht opgaven..
Nadere informatieb) Niet geldig. Zij π(n)(p) = 1 als n is even, anders π(n)(p) = 0. Schrijf
opgave 2.1 a) Geldig. Zij n N en π een willekeurige valuatie. Schrijf T = (N, π). Stel, T, n p. Dan bestaat m > n zodat T, m p. Dus voor k > m geldt altijd T, k p. Nu geldt T, n p, want voor alle x > n
Nadere informatieDerde college algoritmiek. 23 februari Complexiteit Toestand-actie-ruimte
Algoritmiek 2018/Complexiteit Derde college algoritmiek 2 februari 2018 Complexiteit Toestand-actie-ruimte 1 Algoritmiek 2018/Complexiteit Tijdcomplexiteit Complexiteit (= tijdcomplexiteit) van een algoritme:
Nadere informatieKennisrepresentatie & Redeneren. Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie
Kennisrepresentatie & Redeneren Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 8 oktober 2007 GRAMMATICA S Kennisrepresentatie & Redeneren Week6: Grammatica
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieAutomaten. Informatica, UvA. Yde Venema
Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................
Nadere informatieAanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die
Nadere informatieVierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie
Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen
Nadere informatieOpgaven Recursie: Analyse en Master Theorem Datastructuren, 6 juni 2018, Werkgroep.
Opgaven Recursie: Analyse en Master Theorem Datastructuren, 6 juni 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je
Nadere informatieOpgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep.
Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht
Nadere informatieBijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Nadere informatie2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Nadere informatieInleiding logica Inleveropgave 3
Inleiding logica Inleveropgave 3 Lientje Maas 30 september 2013 Ik (Rijk) heb verbeteringen in rood vermeld. Deze verbeteringen meegenomen zijn dit correcte uitwerkingen van de derde inleveropgaven. 1
Nadere informatieZevende college algoritmiek. 24 maart Verdeel en Heers
Zevende college algoritmiek 24 maart 2016 Verdeel en Heers 1 Verdeel en heers 1 Divide and Conquer 1. Verdeel een instantie van het probleem in twee (of meer) kleinere instanties 2. Los de kleinere instanties
Nadere informatierh276a 0 We breiden nu bovenstaand programmafragment uit door assignments toe te voegen aan een nieuwe variabele m, aldus:
rh276a 0 Een paar praktische stellinkjes 0 Standaardeindiging stelling (standaardeindiging 0) : Het volgende programmafragment eindigt, heeft als repetitie-invariant 0 n n N en als variante functie N n
Nadere informatieRAF belangrijk te onthouden
RAF belangrijk te onthouden Auteur: Daan Pape Hoofdstuk 1 symbool omschrijving lees als negatie (ontkenning) p niet p het is niet zo dat p conjunctie p q p en q disjunctie p q p of q implicatie p q als
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatieAchtste college complexiteit. 2 april Polynoomevaluatie Matrixvermenigvuldiging Euler- en Hamiltonkringen
College 8 Achtste college complexiteit 2 april 2019 Polynoomevaluatie Matrixvermenigvuldiging Euler- en Hamiltonkringen 1 Polynoomevaluatie Zij p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 een polynoom
Nadere informatie