Drie problemen voor de prijs van één

Transcriptie

1 Drie problemen voor de prijs van één Of: één probleem voor de prijs van drie K. P. Hart Faculty EEMCS TU Delft Delft, 30 oktober, 2012: 10:15 10:45 Eenvoudig begin Opgave Bewijs dat voor m, n N het volgende geldt: als 2 m = 2 n dan m = n. Maar,..., ik wil het volgende bewezen zien: Stelling Als er een bijectie tussen P(m) en P(n) bestaat dan m = n. P(m) is de familie deelverzamelingen van {1, 2,..., n}.

2 Eenvoudig begin Waarom zo ingewikkeld? Het is niet ingewikkeld, het is de essentie van de vraag. Voor mij is 2 n per definitie het aantal elementen van P(n). Dit maakt van 2 n = }{{} n stuks een stelling. Oplossing Nadat 2 n = }{{} n stuks bewezen is, is de implicatie ook snel bewezen.

3 Iets lastiger Neem twee willekeurige verzamelingen X en Y. Vraag Als er een bijectie van P(X ) naar P(Y ) is, is er dan ook een bijectie van X naar Y? Kennelijk wel als X of Y eindig wordt verondersteld. Maar dat bewijs ging via een omweg. Antwoord Uit een bijectie tussen P(X ) en P(Y ) is niet noodzakelijk een bijectie tussen X en Y te distilleren. Huh? Inderdaad. Daarom is de verzamelingenleer zo leuk.

4 Andere context Stel Φ : l (X ) l (Y ) is een lineaire bijectie. Dan is er niet noodzakelijk een bijectie φ : X Y. De algebraïsche dimensie van l (X ) is gelijk aan de cardinaliteit van P(X ). Iets zwakker antwoord Stel F : P(X ) P(Y ) is een bijectie die doorsnede en vereniging bewaart. Dat wil zeggen: voor alle A en B geldt F (A B) = F (A) F (B) en F (A B) = F (A) F (B). Dan is er wel een bijectie f : X Y. Als x X dan bestaat F ({x}) uit één punt, dat wordt f (x).

5 Andere context Stel Φ : l (X ) l (Y ) is een lineaire bijectie die ook de (puntsgewijze) vermenigvuldiging bewaart. Dan is er een bijectie φ : Y X. Als y Y en f y : l (Y ) R is de puntevaluatie dan is f y Φ ook een puntevaluatie, in wat φ(y) wordt. Nog een andere context Stel h : βx βy is een homeomorfisme; dan bepaalt h een bijectie tussen X en Y. X en Y vormen de verzamelingen geïsoleerde punten van respectievelijk βx en βy (hun Čech-Stonecompactificaties).

6 Het is één resultaat βx is de structuurruimte van l (X ). P(X ) is de Boole-algebra van idempotenten van l (X ). Eindig is niets We beschouwen eindige verzamelingen als verwaarloosbaar. topologie beschouw βx \ X (laat de geïsoleerde punten weg) analytisch beschouw l (X )/c 0 (X ) algebraïsch beschouw P(X )/fin(x ) (Als X eindig is blijft er, in essentie, niets over.)

7 Het probleem uit Katowice Het probleem is, in eerste instantie, topologisch gesteld: Vraag Als βx \ X en βy \ Y homeomorf zijn, is er dan een bijectie tussen X en Y? Achtergrond: de ruimte βn \ N was, toentertijd, net gekarakteriseerd en men wilde weten wat er over andere verzamelingen te zeggen was. Het probleem uit Katowice, andere context Vraag Als l (X )/c 0 (X ) en l (Y )/c 0 (Y ) isomorf zijn, als Banach-algebra s, is er dan een bijectie tussen X en Y? βx \ X is de structuurruimte van l (X )/c 0 (X ).

8 Het probleem uit Katowice, derde context Vraag Als P(X )/fin(x ) en P(Y )/fin(y ) isomorf zijn, als Boole-algebra s, is er dan een bijectie tussen X en Y? P(X )/fin(x ) is de idempotentenalgebra van l (X )/c 0 (X ). is bijna altijd ja op elk der vragen is ja ; voor alle verzamelingen, op één paar na. Dat paar bestaat uit de kleinste twee oneindige verzamelingen: ω 0 en ω 1.

9 is bijna altijd ja Gezamenlijk werk van Balcar en Frankiewicz: Als er een tegenvoorbeeld is dan is het paar (ω 0, ω 1 ) ook een tegenvoorbeeld. het paar (ω 1, ω 2 ) is geen tegenvoorbeeld en dus blijft (ω 0, ω 1 ) als enig potentieel tegenvoorbeeld over. (Dat dus volgt via het bewijs van de eerste uitspraak.) is bijna altijd ja Dus: zijn βω 0 \ ω 0 en βω 1 \ ω 1 homeomorf? zijn l /c 0 en l (ω 1 )/c 0 (ω 1 ) isomorf? zijn P(ω 0 )/fin(ω 0 ) en P(ω 1 )/fin(ω 1 ) isomorf?

10 Partiële antwoorden Er zijn diverse gevolgen afgeleid van het isomorf zijn van P(ω 0 )/fin(ω 0 ) en P(ω 1 )/fin(ω 1 ). Dankzij die gevolgen weten we dat we in ieder geval niet kunnen bewijzen dat P(ω 0 )/fin(ω 0 ) en P(ω 1 )/fin(ω 1 ) isomorf zijn. De ContinuumHypothese (die van Cantor natuurlijk) impliceert dat P(ω 0 )/fin(ω 0 ) en P(ω 1 )/fin(ω 1 ) niet isomorf zijn. Wat nu? Twee mogelijkheden: De gelijkheid 0 = 1 behoort tot de gevolgen van het isomorf zijn van de algebra s. Iemand laat zien dat 0 = 1 niet tot de gevolgen van het isomorf zijn van de algebra s behoort. Ik hoop op het eerste (en wil dat graag bewijzen) maar ik vrees af en toe voor het tweede.