College WisCKI. Albert Visser. 10 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties.

Transcriptie

1 College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 10 oktober,

2 Overview 2

3 Overview 2

4 Overview 2

5 Overview 3

6 Wat is een equivalentierelatie? Een equivalentie relatie E op een domein X is een relatie die: reflexief is op X: x E x, voor alle x in X. symmetrisch is (op X): als x E y, dan y E x, voor alle x en y in X. transitief is (op X): als x E y en y E z, dan x E z, voor alle x, y en z in X. 4

7 Breuken en Rationale Getallen 1 Een breuk is een paar natuurlijke getallen m n, waar n 0. Hier is m n een voor deze toepassing grafisch aantrekkelijke manier om m, n te schrijven. We definiëren m n k l desda m l = k n. We verifiëren dat een equivalentierelatie is. 5

8 Overview 6

9 Wat is een Partitie? Een partitie is een andere verschijningsvorm van een equivalentierelatie. Zij gegeven een verzameling D. Een partitie X van D is een verzameling deelverzamelingen van D (m.a.w. X D) met de volgende eigenschappen. Stel X en Y zijn verschillende elementen van X, dan X Y =. Voor elke d D is er een X X met d X, m.a.w. X = D. 7

10 Heen en Weer Zij X een partitie van D. d E X e desda er is een X X zodanig dat d X en e X. Claim: E X is een equivalentierelatie. For d D definiëren we [d] E := {e D e E d}. [d] E is de (E-)equivalentieklasse van d. X E := {[d] E d D}. Claim: X E is een partitie. Claim: X EX = X en E XE = E. 8

11 Overview 9

12 Hoe wekken we equivalentieklassen tot leven? Figure: tot leven wekken 10

13 Hoe wekken we equivalentieklassen tot leven? Het lijkt erop dat er nog iets ontbreekt aan onze constructie van nieuwe objecten met gebruik van equivalentieklassen. We hebben alleen maar een totaliteit van objecten gemaakt. We hebben geen uitleg waarom bijvoorbeeld de door ons geconstrueerde rationale getallen anders zijn dan de natuurlijke getallen. Het zijn allebei aftelbaar oneindige totaliteiten. Wat ontbreekt zijn operaties op de gedefinieerde totaliteit. De hele constructie heeft geen raison de être als we zulke relaties niet definiëren met behulp van de onderliggende elementen waarop de de equivalentierelatie gegeven hebben. In ons voorbeeld: de breuken. In het algemeen zijn we zelden geïnteresseerd in een verzameling an und für sich. We willen structuren met operaties en relaties. 11

14 Optellen van Rationale Getallen 1 We definiëren eerst het optellen van breuken. m n + k l := m l + k n. n l Dit is wat jullie op de lagere school geleerd hebben: eerst gelijknamig maken en dan optellen. Eerste poging om optellen van rationale getallen te definiëren. We schrijven [ m n ] voor [ m n ]. [ m n ] + [k l l + k n ] := [m ]. n l Deze definitie gebruikt specifieke elementen van de equivalentieklasse om de som op de rationale getallen te definiëren. Maar wat als we andere elementen gebruiken. Hadden we dan niet een ander antwoord kunnen krijgen? 12

15 Optellen van Rationale Getallen 2 Een goede definite zou de vorm moeten hebben α + β =... α... β... zonder af te hangen van een willekeurige keuze van representanten. Bezie bijvoorbeeld de functie op de breuken die de teller uitleest. Zeg τ( m n ) := m 1. Merk op dat dit een prima operatie is op breuken. We spreken voortdurend over de tellen en de noemer van een breuk. Definiëer nu: Er volgt nu omdat [ 1 2 ] = [ 2 4 ]: τ([ m n ]) := [τ(m n )]. [ 1 1 ] = τ([1 2 ]) = τ([2 4 ]) = [2 1 ]. Maar [ 1 1 ] [ 2 1 ] omdat omdat 1 1 = 1 2 =

16 Optellen van Rationale Getallen 3 τ is dus wel een goede operatie op breuken maar hij is niet geschikt om te liften naar een operatie op rationale getallen. Bezie de equivalentie relatie op de breuken gegeven door m n k l iff m = k. We schrijven ( m n ) := [ m n ]. Definiëer: We hebben: ( m n ) + (k l l + k n ) := (m ). n l Maar ( 2 1 ) ( 5 6 ) omdat 2 6. ( 2 1 ) = (1 1 ) + (1 1 ) = (1 2 ) + (1 3 ) = (5 6 ). 14

17 Optellen van Rationale Getallen 4 We willen α + β definiëren waar α en β rationale getallen zijn. Het idee is als volgt. Eerst kiezen we willekeurige representanten in α en β. Dan doen we onze operatie op de representanten. Daarna nemen we de equivalentieklasse van het resultaat. Wat me moeten inzien is dat de resulterende equivalentie klasse onafhankelijk is van de specifieke keuze van de representanten. Wat hiervoor nodig is, is dat de equivalentierelatie een congruentie is voor de gegeven operatie. m n + k m l+k n l = n l m n + k l = m l +k n n l M.a.w. als m n m n en k l k l, dan is m l+k n n l m l +k n n l. 15

18 Optellen van Rationale Getallen 4 Zij E een equivalentierelatie of X. De relatie E is een congruentierelatie voor de functie f : X X desda: als xey, dan f (x) E f (y). Analoog voor meerplaatsige functies. De relatie E is een congruentierelatie voor het een predicaat P op X / de deelverzameling P van X desda: als xey, dan P(x) desda P(y). Analoog voor meerplaatsige predicaten / relaties. 16