Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 1) Inleverdatum: 28 februari 2002

Transcriptie

1 Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 1) Inleverdatum: 28 februari We vatten {0, 1} op als het lichaam F 2. Een schuifregisterrij is een rij {s n } n=0 in F 2 gegeven door r startwaarden s 0,..., s r 1 F 2 en door een recurrentie s n = f(s n 1,..., s n r ) (n r) waarbij f een functie van F r 2 naar F 2 is. Schuifregisterrijen worden gebruikt als bouwsteen van conventionele cryptosystemen. a) Definieer de afbeelding T : F r 2 F r 2 door T (x 1, x 2,..., x r ) = (x 2, x 3,..., x r, f(x r, x r 1,..., x 1 )). Beschouw de vectoren s n = (s n, s n+1,..., s n+r 1 ) F r 2 (n 0). Laat zien dat s n+1 = T s n voor alle n 0. Bewijs hiermee dat de rij {s n } (n 0) uiteindelijk periodiek is met periode 2 r, d.w.z. er zijn getallen n 0 en p met n 0 0 en 1 p 2 r zodat s n+p = s n voor alle n n 0. (Aanwijzing: er zijn i, j met 0 i < j 2 r en s i = s j ; pas nu T toe.) Laat dan zien dat de rij {s n } ook uiteindelijk periodiek is met periode 2 r. b) Veronderstel dat f(x 1,..., x r ) = x 1 + g(x 2,..., x r ) voor zekere functie g : F r 1 2 F 2, waarbij + de optelling in F 2 is. Bewijs dat de bovengenoemde afbeelding T inverteerbaar is. Laat zien dat de rij {s n } periodiek is met periode 2 r, d.w.z. er is een getal p met 1 p 2 r zodat s n+p = s n voor alle n 0. Laat dan zien dat de rij {s n } ook periodiek is met periode 2 r. 2. Een lineaire schuifregisterrij is een rij {s n } n=0 in F 2 gegeven door r startwaarden s 0,..., s r 1 F 2, niet alle gelijk aan 0, en door een lineaire recurrentie s n = c 1 s n 1 + c 2 s n c r s n r (n r) waarbij c 1, c 2,..., c r F 2, c r 0, en waarbij de optelling en vermenigvuldiging die van F 2 zijn. We definiëren het karakteristieke polynoom van deze rij door f(x) = X r + c 1 X r c t. 1

2 a) Beschouw de vectoren s n = (s n, s n+1,..., s n+r 1 ) (n 0). Bewijs met inductie naar n dat s n 0 voor alle n 0 (gebruik de aannamen s 0 0 en c r 0). Leid hieruit af dat de rij {s n } periodiek is met periode 2 r 1. b) We nemen nu aan dat het karakteristieke polynoom f primitief is. Bewijs dat in dat geval de rij {s n } periodiek is met periode gelijk aan 2 r 1, m.a.w. het kleinste getal p zodat s n+p = s n voor alle n 0 is p = 2 r 1. Aanwijzingen: De aanname dat f primitief is impliceert dat we het eindige lichaam F 2 r kunnen representeren als F 2 r ={x 0 + x 1 α + x 2 α x r 1 α r 1 : x 0,..., x r 1 F 2 } met f(α) = 0 (1) en dat α een voortbrenger is van F 2r. Met andere woorden, F 2 r = {1, α, α2,..., α 2r 2 }, α 2r 1 = 1 (2) en voor elke vector x = (x 0,..., x r 1 ) F r 2 met x 0 is er een t met 0 t 2 r 2 zodat x 0 + x 1 α + + x r 1 α r 1 = α t. (3) Een functie ϕ : F 2 r F 2 heet lineair als ϕ(λx + µy) = λϕ(x) + µϕ(y) voor λ, µ F 2, x, y F 2 r. Bewijs nu het volgende: b1) Definieer de functie ϕ : F 2 r F 2 door ϕ(x 0 + x 1 α + + x r 1 α r 1 ) =s 0 x 0 + s 1 x s r 1 x r 1 (x 0,..., x r 1 F 2 ). Laat zien dat ϕ lineair is en bewijs met inductie naar n dat ϕ(α n ) = s n voor alle n 0. b2) Zij 1 p < 2 r 1. Bewijs dat er een t met 0 t < 2 r 1 bestaat zo dat s n+p s n = s n+t voor alle n 0. Gebruik b1), (2) en de lineariteit van ϕ. b3) Bewijs dat de rij {s n } n=0 periodiek is met periode 2 r 1. 2

3 3. Zij {s n } een lineaire schuifregisterrij als in Opgave 2 waarbij het karakteristieke polynoom f primitief is. De bedoeling is aan te tonen dat zulke rijen enkele mooie statistische eigenschappen hebben. a) Beschouw de vectoren s n = (s n, s n+1,..., s n+r 1 ). Bewijs dat alle vectoren s n (n = 0, 1,..., 2 r 2) verschillend zijn en dat {s 0,..., s 2r 2} = F r 2\{0}. b) Bewijs dat onder de termen s n (n = 0, 1, 2,..., 2 r 2) 2 r 1 1 keer een 0 voorkomt en 2 r keer een 1. (Aanwijzing: laat zien dat er onder de vectoren in F r 2\{0} precies 2 r 1 1 zijn waarvan de eerste coördinaat gelijk is aan 0. Deze vectoren corresponderen met 2 r 1 1 indices n.) c) Bewijs dat onder de paren (s n, s n+1 ) (n = 0, 1, 2,..., 2 r 2) het patroon (0, 0) 2 r 2 1 keer voorkomt, en elk van de patronen (0, 1), (1, 0), (1, 1) 2 r 2 keer. Bewijs een generalisatie voor drietallen (s n, s n+1, s n+2 ) (n = 0, 1,..., 2 r 2), viertallen (s n, s n+1, s n+2, s n+3 ),..., r-tallen? (Aanwijzing voor paren: bekijk van alle vectoren in F r 2\{0} de eerste twee coordinaten.) 4. Zijn V, W vectorruimten over F 2. Een afbeelding ψ : V W heet lineair als ψ(λx + µy) = λψ(x + µψ(y) voor alle λ, µ F 2, x, y V. Een afbeelding ϕ : V W heet affien als er een lineaire afbeelding ψ : V W en een vector b W bestaan zodat ϕ(x) = ψ(x) + b voor x V. a) Bewijs dat de samenstelling van twee affiene afbeeldingen weer affien is. b) Zij ϕ : V V een affiene afbeelding, gegeven door ϕ(x) = ψ(x) + b waarbij ψ : V V lineair is. Bewijs dat ϕ inverteerbaar is dan en slechts dan als ψ inverteerbaar is. c) Zij ϕ : V W een affiene afbeelding. Laat zien dat ϕ(x+y)+ϕ(0) = ϕ(x)+ϕ(y) voor x, y V. 5.a) Laat zien dat het polynoom F = X 8 + X 4 + X 3 + X + 1 F 2 [X] dat in Rijndael gebruikt wordt irreducibel is. b) Zij f de functie van F 2 8 F 2 8 gedefinieerd door f(0) = 0, f(x) = x 1 voor x 0. Bewijs: als x, y F 2 8, f(x + y) + f(0) = f(x) + f(y), x y, xy 0 dan is x 2 + xy + y 2 = 0. 3

4 c) Bepaal het aantal paren (x, y) F 2 8 F 2 8 waarvoor f(x + y) + f(0) = f(x) + f(y). Concludeer hieruit dat f niet affien is. Laat dan zien dat de afbeelding S : F 2 8 F 2 8 gedefinieerd op blz van het dictaat (in de beschrijving van BS) niet affien is. Aanwijzing: neem x, y F 2 8 met f(x + y) + f(0) = f(x) + f(y), x y, xy 0 en laat β = x/y. Zij F het kleinste deellichaam van F 2 8 dat β bevat. Hoeveel elementen heeft dit lichaam? d) Om de implementatie te vereenvoudigen is het blokcijfer Rijndael zo geconstrueerd dat ontcijferen op bijna dezelfde manier gaat als vercijferen. De klare-tekstruimte, cijfertekstruimte en sleutelruimte zijn alle gelijk aan V, waarbij V de vectorruimte is bestaande uit alle 4 4-matrices met elementen uit F 2 8. Voor gegeven klare tekst M V en sleutel K V wordt de Rijndael-cijfertekst C = E K (M) als volgt berekend: (de operatie + geeft de optelling in V aan): 1) bereken K 0, K 1,..., K 10 uit K m.b.v. KE. 2) bereken achtereenvolgens M 1, M 2,..., M 10 door Definieer nu M 1 = MC SR BS(M + K 0 ), M i = MC SR BS(M i 1 + K i 1 ) voor i = 2,..., 9, M 10 = SR BS(M 9 + K 9 ), C = E K (M) = M 10 + K 10. K 0 = K 10, K 1 = MC 1 (K 9 ), K 2 = MC 1 (K 8 ),..., K 9 = MC 1 (K 1 ), K 10 = K 0, M 1 = MC 1 (M 9 + K 9 ), M 2 = MC 1 (M 8 + K 8 ),..., M 9 = MC 1 (M 1 + K 1 ), M 10 = M + K 0. 4

5 Bewijs dat M 1 = MC 1 SR 1 BS 1 (C + K 0), M i = MC 1 SR 1 BS 1 (M i 1 + K i 1) voor i = 2,..., 9, M 10 = SR 1 BS 1 (M 9 + K 9), M = D K (C) = M 10 + K 10 (dus ontcijferen gaat op precies dezelfde manier als vercijferen, met dien verstande dat BS, SR, MC moeten worden vervangen door hun inversen BS 1, SR 1, MC 1 ). Aanwijzing: laat eerst zien dat SR BS = BS SR en dat MC lineair is. 5