Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Transcriptie

1 Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 4 april 2008 Discrete Structuren Week 8: Samenvatting

2 Redeneerpatronen Verwijder ambiguïteit Abstraheer van speciale gevallen Gebruik specifieke voorbeelden Los speciale gevallen eerst op Verander hypothesen Gebruik geschikte notatie Tel een verzameling zonder alle elementen te produceren Tel een verzameling door een verzameling van een te grote verzameling af te trekken Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 1

3 Afleidingsregels P P Q Afzwak P Q P Simp P P Q Q M.P. Q P Q P M. Tollens P P Q Q Dis.Syl P Q Q R P R Hyp.Syl. P Q P Q Conj Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 2

4 Wetten Logische equivalenties 1 p p dubbele negatie 2 (p q) (q p). commutativiteit (idem, ) 3 (p q) r p (q r). associativiteit (idem ) 4 p (q r) (p q) (p r). distributiviteit plus duale variant... (Zie pg 62 R & W) Logische implicaties 16 p = (p q) afzwakking 17 (p q) = p. vereenvoudiging 18 (p = 0) = p. het ongerijmde 19 p (p q) = q. modus ponens... (Zie pg 63 R & W) Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 3

5 Eigenschappen Een relatierovers S is: Reflexief : (x,x) Rvoor alle x S Antireflexief : (x,x)/ Rvoor alle x S Symmetrisch : (x,y) R = (y,x) Rvoor alle x,y S Antisymmetrisch : (x,y) Ren (y,x) R = x =y Transitief : (x,y) Ren (y,z) R = (x,z) R Aan welke eigenschappen voldoen: congruentie-relatie en de gelijkheidsrelatie?,, <, de Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 4

6 Invarianten Voor de invariantp(k) volstaat het om te bewijzen dat: (B)p(m) is waar en (I)p(k +1) is waar indienp(k) waar is enm k<n. Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 5

7 Beperkte & volledige inductie (B) - basisstap (I) - inductiestap (H) - inductiehypothese Theorem 1. [Het principe van eindige (beperkte) inductie]. Alsp(m),p(m +1),...,p(n) een eindige reeks proposities is met (B)p(m) is waar en (I) Uit de waarheid van p(k) (H) enm k<n volgt p(k +1) is waar, dan zijn alle proposities waar. Theorem 2. [Het principe van volledige inductie]. p(m),p(m +1),... een on-eindige reeks proposities is met Als (B)p(m) is waar en (I) Uit de waarheid vanp(k) enm k volgtp(k +1) is waar, dan zijn alle proposities waar. Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 6

8 Def. Orde Om aan te geven dat een rij op de lange duur niet sneller groeit dan een andere rij gebruiken we de grote O-notatie Definition 1. [Grote O]. Alsseen rij is van reële getallen enaeen rij van positieve reële getallen, dan schrijven we: 1 s(n) =O(a(n)) = def C,k n >k ( s(n) C a(n)) 2x =O(x 2 ) 1 En we spreken uit: s(n) is in grote O vana(n) Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 7

9 Recursieve Definities Definition 2. [Recursieve Rij]. Een rij is recursief gedefinieerd als er: (B) Er een eindige verzameling (begin-)waarden is aangegeven. (R) De overige waarden van de rij worden gedefinieerd in termen van eraan voorafgaande. Zo n formule heet een recurrente betrekking. Voorbeeld: We definiëren de rij faculteit recursief. (B) FACT(0) = 1 (R) FACT(n +1) = (n +1) FACT(n) voorn >0 Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 8

10 Recurrentie relaties We willen proberen voor recurrente betrekkingen proberen formules te vinden die niet afhankelijk zijn van de oplossingen in een voorgaande stap. We kijken naar relaties van de vorm: s n =as n 1 +bs n 2 waarinaenbconstanten zijn. De gevallena =0 enb =0 zijn makkelijk. Alsb =0 dans n =a s n 1 voorn 1 s 1 =as 0,s 2 =as 1 =a 2 s 0, duss n =a n s 0 voor allen N Alsa =0 dans 2 =bs 0,s 4 =bs 1 =b 2 s 0, duss 2n =b n s 0 voor allen N Evenzo: s 3 =bs 1,s 5 =bs 3 =b 2 s 1, duss 2n+1 =b n s 1 voor allen N Maar alsa =0 enb =0 dan zouden we kunnen hopen op iets van de vorms n =c r n. Dat geeft: r n =ar n 1 +br n 2 Delen doorr n 2 geeft:r 2 =ar +b Ofwel de karakteristieke vergelijking: r 2 ar b =0 Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 9

11 Recurrentie relaties 2 Theorem 3. Beschouw: s n =as n 1 +bs n 2 met karakteristieke vergelijkingx 2 ax b =0 meta =0 en b =0 Als de karakteristieke functie twee wortels,r 1 enr 2 heeft, dan zijn er constantenc 1 enc 2 zodat: s n =c 1 r n 1 +c 2 r n 2 voorn N Alss 0 ens 1 gegeven zijn, kunnen daarmeec 1 enc 2 worden opgelost. Als de karakteristieke functie één wortel, r heeft, dan zijn er constantenc 1 enc 2 zodat: s n =c 1 r n +c 2 n r n voorn N Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 10

12 Bestaan Hamiltoniaans pad Theorem 4. Elke graaf G met n knopen, zonder loops of parallelle ribben en V(G) =n 3 en als voor elk paar knopen, v en w niet met een ribbe verbonden, geldt:deg(v) +deg(w) n dan is G Hamiltoniaans. Bewijs: StelGis een tegenvoorbeeld voor de stelling. D.w.z.: voorggeldt voor elk paar knopen,venwniet met een ribbe verbonden, geldt:deg(v) +deg(w) n maar nietgis Hamiltoniaans Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 11

13 Bipartite grafen Definition 3. [Bipartite graaf (tweeledig)]. Een graafgheet bipartite alsv(g) de vereniging is van twee disjuncte nietlege deelverzamelingenv 1 env 2 zodat elke ribbe vangeen knoop vanv 1 met een knoop vanv 2 verbindt. Definition 4. [Volledig bipartite graaf]. Een graaggis volledig bipartite als bovendien elke knoop van V 1 met elke knoop vanv 2 samenhangend is. Theorem 5. Stel G is een bipartite graaf is met partitie V(G) =V 1 V 2. AlsGeen Hamiltoniaanse cykel heeft, dan V 1 = V 2. AlsGeen Hamiltoniaans pad heeft, verschillen V 1 en V 2 ten hoogste 1. Voor volledige bipartite grafen geldt het omgekeerde ook. Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 12

14 Boolese Algebra s 3 Definition 5. Een Boolese algebra bestaat een verzameling V, met tenminste twee speciale elementen 0 en 1 en met op V twee binaire operaties, en gedefinieerd en een unaire operatie, zodanig dat aan de volgende voorwaarden wordt voldaan:. 1a x y =y x 1b x y =y x 2a (x y) z =x (y z) 2b (x y) z =x (y z) 3a x (y z) = (x y) (x z) 3b x (y z) = (x y) (x z) 4a x 0 =x 4b x 1 =x 5a x x =1 5b x x =0 commut. assoc. distrib. ident. compl. Boolese 0 1 join meet Algebra P(S) S c B 0 1 B n (0,...,0) (1,...,1) p. coord. p.coord. FUN(S, B) χ χ S p. elem. (χ A ) = χ A c Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 13

15 Proposition 1. [Dualiteitsprincipe]. Als in een Boolese formule en met elkaar worden verwisseld en ook 0 en 1, dan ontstaat een equivalente formule. Theorem 6. Meer eigenschappen voor Boolese algebra s: Bewijs 6a: 6a x x =x idempot. 6b x x =x 7a x 1 =1 ook ident. 7b x 0 =0 8a (x y) x =x absorptie. 8b (x y) x =x x x = (x x) 1 ident. = (x x) (x x ) compl. =x (x x ) distr. =x 0 compl. =x ident. Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 14

16 Equivalente Netwerken A = (x y ) ; B =x z; C = (A B) = ((x y ) (x z)) ; D =C y = ((x y ) (x z)) y = ((x y )x y ) y = (xx z y x z ) y =y x z y =y x z yx z y = (y y)x z y =x z y; E = (x z) =x z ; F =E y =x z y; Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 15

17 Isomorfie Definition 6. [Boolese algebra isomorfisme]. Een Boolese algebra isomorfisme is een bijectie tussen twee Boolese algebra sb 1 enb 2 zodanig dat: voor allex,y B 1. φ(x y) = φ(x) φ(y) (1) φ(x y) = φ(x) φ(y) (2) φ(x ) = φ(x) (3) Voorbeeld 1. StelS={1,2,3,...,n} en beschouw de Boolese algebra s: P(S), B n en FUN(S, B). Proposition 2. Deze algebra s zijn isomorf. Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 16

18 Volledige ordening op R is een relatie die aan de volgende eigenschappen (R) x x voor allex (AS) uitx y eny x volgtx =y voldoet: (T) uitx y eny z volgtx z (L) voor elkexenygeldt:x y ofy x en als beide gelden ook:x =y Definition 7. Een relatie met deze eigenschappen heet een volledige (total) of lineaire ordening-srelatie. Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 17

19 Partiële ordening Definition 8. StelRis een relatie ops. R is een partiële ordening desda R reflexief, antisymmetrisch en transitief is. we noteren:x y voor (x,y) R. (R) x x voor allex S (AS) uitx y eny x volgtx =y (T) uitx y eny z volgtx z Definition 9. (S, ) heet een partieel geordende verzameling (poset). Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 18

20 Tralie Definition 10. [Tralie(Lattice)]. Een tralie (L,,, ) is een partieel geordende verzameling (L, ), waarin voor elk tweetal elementenxenyde verzameling {x, y} zowel een supremum (= kleinste bovengrens / least upper bound)x y als een infimum (= grootste ondergrens / greatest lower bound) x y heeft. Uit de definitie volgt direct dat elke eindige (niet-lege) deelverzameling ook een supremum en een infimum heeft. Definition 11. Een tralie met zowel een grootste als een kleinste element, gewoonlijk aangeduid met respectievelijk 1 en 0, heet begrensd. Door aan een partieel geordende verzameling een grootste en een kleinste element toe te voegen ontstaat een begrensde tralie. Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 19

21 Tralie-eigenschappen Proposition 3. [Dualiteit]. Door omkering van de ordening ontstaat uit een tralie een andere tralie, waarin als het ware de begrippen groter en kleiner omgewisseld zijn. Is (L,,, ) een tralie, dan is ook (L,,, ) er één. Proposition 4. [Ordening]. De ordening en de begrippen supremum en infimum zijn erg met elkaar verbonden. In feite leggen supremum en infimum de ordening vast. Als namelijk (L,,, ) en (L,,, ) beide tralies zijn, is, d.w.z. beide tralies hebben dezelfde partile ordening. De ordening wordt immers bepaald door: of equivalent door x y x=x y x y y=x y Dus:. x y x=x y x y Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 20

22 Speciale ordeningen Definition 12. [Keten (chain)]. S heet een keten alsseen partiële ordening waarvan elk paar elementen vergelijkbaar is: s,t S:s t t s Definition 13. [Welgeordende keten]. Een ketensis welgeordend als elke deelverzameling vanseen kleinste element heeft Definition 14. [Product ordening]. Stel (S, s ) en (T, t ) zijn posets en voors,s S ent,t T geldt:s s s ent t t desda (s,t) (s,t ) dan is een product-ordening ops T. Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 21

23 Definition 15. [Filing ordening]. Als (S 1, 1 ),..., (S n, n ) posets zijn de relatie ops 1... S n gedefinieerd is als: (s 1,...,s n ) (t 1,...,t n ) indiens 1 t 1 of er is eenr {2..n} zo dat s 1 =t 1... s r 1 =t r 1 s r = r t r dan is een quasi-ordening die een partiële ordening, de filing ordening, ops 1... S n induceert. Theorem 7. Als (S 1, 1 ),..., (S n, n ) ketens zijn, dan is de filing ordening ops 1... S n ook een keten. Definition 16. [Lexicografische ordening]. Als Σ een alfabet is dan is L een lexicografische ordening op Σ als L een filing ordening is. Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 22

24 Afsluitingen Definition 17. [Afsluiting]. AlsReen relatie is dan is de kleinste relatie dierbevat en bovendien: 1. reflexief is, de reflexieve afsluiting vanr: r(r) 2. symmetrisch is, de symmetrische afsluiting vanr: s(r) 3. transitief is, de transitieve afsluiting vanr: t(r) Proposition 5.. AlsReen relatie is dan is: 1. R =r(r) desda R reflexief is. 2. R =s(r) desda R symmetrisch is. 3. R =t(r) desda R transitief is. Bovendien: r(r(r)) = r(r) s(s(r)) = s(r) t(t(r)) = t(r) Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 23

25 Theorem 8. Voor elke relatie R op S is tsr(r) de kleinste equivalentierelatie die R bevat. Bewijs: 1. ( ):r(r) is reflexief. idems(r) ent(r) ( ): Beschouw de equivalentiereatier, zodatr R r(r) r(r ) = R Dus: sr(r) s(r ) = R En dus: tsr(r) t(r ) = R Dustsr(R) is de kleinste equivalentierelatie dierbevat. Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 24

26 Aftelbaarheid & het Hilberthotel Definition 18. P is aftelbaar. Proposition 6. Twee verzamelingen A en B zijn even groot als er een bijectie bestaat vana naarb. Theorem 9. N is even groot als P, dus N is aftelbaar. f: P N gedefinieerd alsf(n) =n 1 is een bijectie. Discrete Structuren Week 8: Samenvatting 25