Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde

Transcriptie

1 Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van Master in de Wiskunde, afstudeerrichting Zuivere Wiskunde. Academiejaar

2

3 Voorwoord Zoals de titel zegt, gaat deze masterproef over eigenschappen en axioma s van de E 6 -meetkunde. In het vak Capita Selecta in de Meetkunde gaf Prof. Hendrik Van Maldeghem vorig jaar een constructie van de E 6 -meetkunde. We hebben toen ook een aantal verschillende definities van deze meetkunde gezien. Dat was de aanleiding voor deze masterproef, waarin we twee verschillende definities van de E 6 -meetkunde met elkaar vergelijken en onderzoeken wat een minimale axiomatische beschrijving voor de E 6 -meetkunde zou kunnen zijn. Het eerste hoofdstuk van deze masterproef herhaalt een aantal definities en eigenschappen uit de cursus polaire ruimten. Daarnaast gaan we ook dieper in op enkele andere eigenschappen van parapolaire ruimten en punt-residuen die we later nodig hebben om eigenschappen van de E 6 -meetkunde te bewijzen. In hoofdstuk 2 definiëren we de E 6 -meetkunde a.d.h.v. het Dynkin diagram E 6, zoals J. Tits deed in [8] en bespreken we een aantal eigenschappen van deze meetkunde. We definiëren de E 6 -meetkunde ook als sterke parapolaire ruimte met bepaalde mogelijkheden voor de onderlinge liggingen van punten en symplecta. Nadat we ook in deze meetkunde enkele eigenschappen hebben bestudeerd, bewijzen we in de laatste sectie van dit hoofdstuk dat deze 2 definities inderdaad equivalent zijn. Hoofdstuk 3 geeft een constructie van de E 6 -meetkunde vertrekkend van twee symplecta die snijden in een punt en de corresponderende collineariteitsrelatie. Hieruit tonen we ook aan dat de automorfismengroep van de E 6 -meetkunde transitief werkt op de koppels symplecta die snijden in een punt en op de niet-collineaire puntenparen. Dit hoofdstuk is een uitwerking van het artikel [8] van J. Tits, de bewijzen zijn hier in detail uitgewerkt. In hoofdstukken 4, 5, 6 en 7 bouwen we een theorie op om de laatste en belangrijkste stelling van deze thesis te bewijzen: Zij Γ een sterke parapolaire ruimte van rang 5 die geen polaire ruimte is, waarin alle singuliere deelruimten eindig dimensionaal zijn en waarin voor elk punt p dat niet in een symplecton S bevat is en collineair is met een 3-ruimte van S, geldt dat p ook met een 4-ruimte van S collineair moet zijn. Dan is Γ een E 6 -meetkunde. Dit is een kleiner axiomastelsel dan in de eerste definitie dit we gegeven hebben van de E 6 -meetkunde als parapolaire ruimte in hoofdstuk 2, maar het is er wel equivalent mee. Hoofdstukken 4, 5, 6 en 7 zijn gebaseerd op het boek Points and Lines van E. Shult [5], ook hier zijn de bewijzen in detail uitgewerkt. Ik zou mijn promotor Prof. Dr. Hendrik Van Maldeghem willen bedanken om mij dit interessante onderwerp aan te bieden en mij te begeleiden bij deze masterproef. i

4 De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de masterproef te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze masterproef. 31 mei 2015 ii

5 Inhoudsopgave Voorwoord i 1 Polaire en parapolaire ruimten Definities Eigenschappen Eigenschappen van het punt-residu De E 6 -meetkunde en de meetkunde E Definitie van de E 6 -meetkunde Eigenschappen van de E 6 -meetkunde Definitie en eigenschappen van de meetkunde E Equivalentie De E 6 -meetkunde voldoet aan de definitie van de meetkunde E De meetkunde E is een E 6 -meetkunde Constructie van de E 6 -meetkunde De collineariteitsrelatie tussen twee symplecta die in een punt snijden Constructie van de punten Het punt q is aan geen van de symplecta Σ en Σ naburig Het punt q is naburig aan juist één van de twee symplecta Σ of Σ Het punt q is naburig aan Σ en Σ, maar niet collineair met p Het punt q is collineair met p Constructie van de symplecta De automorfismengroep van de E 6 -meetkunde Oriflam polaire ruimten en de theorie van Cooperstein Oriflam polaire ruimten De theorie van Cooperstein over symplecta en parapolaire ruimten Meetkunden met twee families van deelruimten Globale partitie Gammaruimten die Grassmannruimten zijn iii

6 Inhoudsopgave 6 Een karakterisatie van parapolaire ruimten van rang 3 a.d.h.v. Grassmannruimten Cohen-Cooperstein hypothese Eigenschappen Een symplecton en een maximaal singuliere deelruimte die in een punt snijden De karakterisatie van Cohen Een karakterisatie van parapolaire ruimten van rang 4 en Inleiding Parapolaire ruimten van rang Parapolaire ruimten van rang Parapolaire ruimten van rang Besluit 81 A English summary 83 Bibliografie 85 iv

7 Hoofdstuk 1 Polaire en parapolaire ruimten 1.1 Definities Definitie Een gammaruimte is een punt-rechte meetkunde die voldoet aan de volgende axioma s: (G1) Elke rechte heeft minstens drie punten (G2) Geen enkel punt is collineair met alle andere punten (G3) Elke genestelde familie van singuliere deelruimten is eindig (G4) Voor elk punt p en elke rechte L niet door p geldt ofwel dat er geen enkel punt op L collineair is met p, ofwel juist 1 punt, ofwel alle punten. Definitie (Veldkamp-Tits) Een polaire ruimte = (X, Ω) van rang n, n 2 bestaat uit een verzameling X, waarvan de elementen punten worden genoemd, en een familie Ω van deelverzamelingen van X, die voldoet aan: (PR1) Elk element U van Ω vormt samen met alle elementen van Ω bevat in U een projectieve ruimte van dimensie ten hoogste n 1 (PR2) De verzameling Ω is gesloten onder het nemen van doorsneden (PR3) Als U een element is van Ω van dimensie n 1 en p is een punt uit de verzameling X, niet bevat in U, dan is de unie van alle elementen van Ω van dimensie 1 die p bevatten en een niet-lege doorsnede hebben met U, een element van Ω van dimensie n 1 dat U in een hypervlak snijdt (PR4) Er bestaan twee disjuncte elementen van Ω, beide van dimensie n 1. Equivalente definitie (Buekenhout-Shult): Een polaire ruimte is een punt-rechte meetkunde die voldoet aan: (BS1) Elke rechte heeft minstens drie punten 1

8 Hoofdstuk 1. Polaire en parapolaire ruimten (BS2) Geen enkel punt is collineair met alle andere punten (BS3) Elke genestelde familie van singuliere deelruimten is eindig (BS4) Voor elk punt p en elke rechte L niet door p geldt ofwel dat er juist 1 punt op L collineair is met p, ofwel dat alle punten op L collineair zijn met p. Een convexe ruimte isomorf aan een polaire ruimte zullen we een symplecton noemen. We zien ook dat er enkel in het laatste axioma van de Buekenhout-Shult definitie van een polaire ruimte een verschil is met de definitie van een gammaruimte. Notatie Als x een punt is, noteren we de verzameling van punten collineair aan x met x. Definitie Een parapolaire ruimte is een samenhangende gammaruimte waarin elke rechte in een symplecton bevat is en voor elk paar niet-collineaire punten x en y één van volgende mogelijkheden geldt: (1) Er zijn geen punten collineair met zowel x als y: x y = (2) Er is juist één punt collineair met x en y: x y = 1, dit wordt een speciaal paar genoemd (3) Als x en y op afstand 2 van elkaar liggen en er minstens 2 kortste paden tussen x en y zijn, dan is de convexe sluiting van x en y een symplecton. Het puntenpaar noemen we een polair paar. Een parapolaire ruimte waar geen speciale paren in voorkomen noemen we een sterke parapolaire ruimte. Een parapolaire ruimte Γ heeft symplectische rang r als elk symplecton in Γ exact r als polaire rang heeft. De ruimte Γ heeft symplectische rang minstens r als elk symplecton minstens polaire rang r heeft. In beide gevallen is r Eigenschappen Stelling Als p een punt is en Σ een symplecton in een gammaruimte Γ, zodat Σ het punt p niet bevat, dan is p collineair met een singuliere deelruimte in Σ. Bewijs Veronderstel dat p collineair is met twee verschillende niet-collineaire punten a en b in Σ. Het symplecton Σ is convex gesloten, dus moeten alle punten die collineair zijn met a en b ook tot Σ behoren, zodat p ook tot Σ zou moeten behoren. Dit is duidelijk een strijdigheid, zodat alle punten in Σ die collineair zijn met p ook onderling collineair moeten zijn. Omdat Γ een gammaruimte is, volgt onmiddellijk dat deze punten een singuliere deelruimte vormen. Stelling Als P een polaire ruimte is, die minstens rang 2 heeft, en S een convexe deelruimte in P, dan is S ofwel gelijk aan P, ofwel is S een singuliere deelruimte. 2

9 1.2. Eigenschappen Bewijs Veronderstel dat S een echte deelruimte is van P en geen singuliere deelruimte, dan vinden we een paar niet-collineaire punten x en y in S. De verzameling x y is een deelverzameling van S aangezien S convex is. Kies nu een punt z in P \ S, dan kan z niet met beide punten x en y collineair zijn, we kunnen veronderstellen dat z niet met y collineair is. Kies nu twee verschillende maximaal singuliere deelruimten U en V in P, die beide het punt x bevatten. Aangezien y collineair is met een hypervlak van U, kunnen we een punt u U kiezen dat collineair is met y. De punten u en y zijn allebei collineair met een hypervlak in V, deze twee hypervlakken zijn verschillend aangezien u collineair is met x maar y niet. We kunnen dus een punt v V kiezen dat collineair is met y, maar niet met u. De punten u en v vormen een paar niet-collineaire punten in x y. Het punt z moet collineair zijn met juist één punt a op de rechte uy en juist één punt b op de rechte vy, waarbij a en b beide verschillend zijn van y. De punten a en b kunnen niet collineair zijn, aangezien de rechten uy en vy dan een vlak zouden vormen, wat onmogelijk is aangezien u en v niet collineair zijn. Omdat a en b elk op een rechte liggen die deel uitmaakt van een kortste pad tussen x en y, behoren a en b tot S. Deze ruimte is convex, dus behoort ook a b tot S, zodat het punt z tot S behoort, een strijdigheid. Stelling De doorsnede van twee verschillende symplecta van een punt-rechte meetkunde Γ is een singuliere deelruimte. Bewijs Neem twee verschillende symplecta Σ en Σ in Γ. De ruimte Σ Σ is de doorsnede van twee convexe deelruimten van Γ. Als we twee verschillende punten in deze doorsnede bekijken, dan zijn alle kortste paden tussen deze twee punten zowel in Σ als in Σ bevat, zodat de kortste paden ook in de doorsnede bevat zijn en deze ruimte zelf ook convex is. Maar aangezien het een echte deelruimte is, volgt uit de vorige stelling dat Σ Σ een singuliere deelruimte is. Stelling Zij Σ en Σ twee verschillende symplecta in een gammaruimte, zodat Σ Σ minstens één punt bevat. Stel verder dat x een punt is in Σ dat niet met alle punten in Σ Σ collineair is. Dan geldt voor de punten in Σ die collineair zijn met x één van volgende mogelijkheden: 1. x Σ is een hypervlak van Σ Σ. 2. x Σ ligt niet in Σ Σ, maar bevat x (Σ Σ ) als hypervlak. Bewijs Het punt x is per definitie niet collineair met alle punten van Σ Σ, maar wel met een hypervlak H van deze ruimte, aangezien x en Σ Σ samen in het symplecton Σ bevat zijn. Als x Σ bevat is in Σ Σ, dan is x Σ = H dus een hypervlak van Σ Σ. Veronderstel dus dat er een punt z is in Σ dat collineair is met x en niet bevat is in Σ Σ. Kies ook een punt y in (Σ Σ ) \ H, dus y ligt in Σ Σ maar is niet collineair met x. Aangezien Σ convex is, liggen alle punten die collineair zijn met zowel x als y ook in Σ: x y Σ. 3

10 Hoofdstuk 1. Polaire en parapolaire ruimten Het hypervlak H ligt in Σ, is collineair met x en is ook collineair met y, aangezien H en y samen in de singuliere ruimte Σ Σ liggen, dus H y x Σ. Dit is dan weer een deelruimte van x Σ Σ = H, aangezien x y Σ. Er volgt dus dat H = x y Σ. Omdat Σ een polaire ruimte is die y bevat, kunnen we besluiten dat H een hypervlak is van x Σ. Stelling Als Γ een parapolaire ruimte van symplectische rang minstens 3 is, dan is elke singuliere deelruimte voortgebracht door een rechte en een punt bevat in een symplecton, zodat het een projectief vlak is. In dit geval is ook elke singuliere deelruimte van Γ een projectieve ruimte. Bewijs Zij π een singuliere ruimte in Γ voortgebracht door een rechte L en een punt x. Als π in een symplecton bevat is, dan is π een projectief vlak aangezien alle singuliere deelruimten van een polaire ruimte projectieve ruimten zijn. Stel nu dat π niet in een symplecton bevat is. Als er een punt y L bestaat dat niet collineair is met x, dan is de convexe sluiting van x en y een symplecton dat π bevat, een strijdigheid. Dus is x collineair met alle punten in L. Uit de definitie van een parapolaire ruimte weten we dat de rechte L in een symplecton Σ bevat is. Kies een paar niet-collineaire punten y en z in L Σ, dit bestaat aangezien we twee verschillende maximaal singuliere deelruimten Y en Z door L in Σ kunnen nemen en de punten van L die niet in de doorsnede L M bevat zijn, kunnen niet collineair zijn met alle punten van M. Aangezien het punt x collineair is met y en z, moet x ook in Σ bevat zijn. Elke singuliere deelruimte voortgebracht door een punt en een rechte is dus bevat in een symplecton en is bijgevolg een projectief vlak. In elke maximaal singuliere deelruimte zijn ook kleinere singuliere deelruimten bevat, dus zien we dat dit impliceert dat ook elke singuliere deelruimte een projectieve ruimte is. Definitie Voor een parapolaire ruimte Γ van symplectische rang minstens 3 en een punt p in Γ definiëren we het punt-residu Res Γ (p) = (L p, Π p ) als de meetkunde van alle rechten en projectieve vlakken van Γ die incident zijn met p. De rechten in Γ die door p gaan zijn dus de punten van Res Γ (p) en de vlakken van Γ door p zijn de rechten van Res Γ (p). Twee punten x en y van Res Γ (p) zijn collineair als en slechts als de overeenkomstige rechten L x en L y in Γ coplanair zijn, het vlak door L x en L y komt dan overeen met de rechte door de punten x en y in Res Γ (p). Stelling Als Γ een parapolaire ruimte van symplectische rang minstens k 3 is en p is een willekeurig punt in Γ, dan is elke samenhangende component van het punt-residu Res Γ (p) = (L p, Π p ) een sterke parapolaire ruimte van symplectische rang minstens k 1. In dat geval zijn er ook de volgende bijectieve correspondenties: 1. singuliere deelruimten van Γ die p bevatten singuliere deelruimten van Res Γ (p), 2. symplecta van Γ die p bevatten symplecta van Res Γ (p), 4

11 1.2. Eigenschappen beide correspondenties verlagen de projectieve of polaire rang van de deelruimten met 1. Bewijs Elke rechte in Γ ligt in minstens één symplecton en dit symplecton heeft minstens rang 3, zodat elke rechte in een projectief vlak bevat is. Bekijk nu een samenhangende component R van het punt-residu Res Γ (p). Elke rechte in R bevat minstens drie punten, aangezien er in elk vlak door p in Γ minstens drie rechten door p zijn. Bekijk nu de punten en rechten in Res Γ (p) die overeenkomen met de rechten en vlakken in Γ door p in een symplecton Σ. Merk op dat deze punten en rechten zeker in dezelfde samenhangende component van Res Γ (p) bevat zijn. Het is dus duidelijk dat er geen enkel punt in R is dat collineair is met alle andere punten van R, aangezien geen enkele rechte door p coplanair is met alle andere rechten door p die samen in een symplecton bevat zijn. In R kan er ook geen oneindige familie genestelde singuliere deelruimten zijn, aangezien dit ook een oneindige familie zou geven in Γ. Kies tenslotte in R een punt x en een rechte L die x niet bevat, deze zijn afkomstig van een rechte L x en een vlak π L in Γ, die juist het punt p gemeen hebben. Dan is L x ofwel met geen enkele rechte in π L door p coplanair, ofwel met juist één, ofwel met alle rechten in π L door p. Het is dus duidelijk dat R een gammaruimte is. Zij x en y nu twee punten van R op afstand 2 van elkaar en z een punt dat collineair is met x en y. In Γ zijn dit rechten L x en L y die niet coplanair zijn en een rechte L z die coplanair is met beide. Kies nu een punt x op L x en een punt y op L y, beide verschillend van p. Dan bevat x y de rechte L z, zodat de convexe sluiting van x en y een symplecton Σ is, het symplecton Σ bevat dus de drie rechten L x, L y en L z. Dit symplecton heeft minstens rang k 3, zodat er zeker een rechte L z L z is in Σ die coplanair is met L x en L y. Deze rechte correspondeert met een punt z in R dat ook met x en y collineair is, zodat x en y een polair paar vormen. De deelruimte Σ p van rechten en vlakken in Σ door p, is een symplecton van het puntresidu Res Γ (p) van polaire rang k 1. We hebben ook al aangetoond dat elk paar punten op afstand 2 van elkaar in R een polair paar is. Om te bewijzen dat R een sterke parapolaire ruimte van symplectische rang minstens k 1 is, moeten we dus enkel nog aantonen dat elke rechte van R in een symplecton bevat is. Kies dus een willekeurige rechte L in R en kies een punt x op L. Nu kunnen we een andere rechte M door x kiezen, die niet coplanair is met L. Zij a nu een punt op L en b een punt op M, beide verschillend van x. Dit zijn twee punten op afstand 2 van elkaar, dus is hun convexe sluiting een symplecton dat de rechte L bevat. Opmerking Als Γ constante symplectische rang k heeft en p een willekeurig punt is in Γ, dan hebben alle samenhangende componenten van Res Γ (p) constante symplectische rang k 1. Voor elk punt p in Γ is er dus een bijectie α p tussen de singuliere deelruimten en symplecta van Γ die p bevatten en de singuliere deelruimten en symplecta van Res Γ (p). Het is duidelijk dat deze bijectie de incidentie bewaart. 5

12 Hoofdstuk 1. Polaire en parapolaire ruimten Stelling Als Γ een parapolaire ruimte is van polaire rang minstens k, dan is elke singuliere deelruimte van dimensie kleiner dan k bevat in een symplecton. Bewijs We bewijzen dit via inductie op k, als k = 2, dan moeten we bewijzen dat alle punten en rechten in een symplecton bevat zijn. Voor de rechten geldt dit per definitie en elk punt ligt op minstens één rechte, zodat dit ook voor de punten klopt. Veronderstel nu dat dit bewezen is voor alle parapolaire ruimten van polaire rang minstens k 1 en dat Γ een parapolaire ruimte van polaire rang minstens k is. Zij R een willekeurige singuliere deelruimte in Γ van dimensie r < k en p een willekeurig punt. Dan wordt R door α p afgebeeld op een singuliere deelruimte R p van dimensie r 1 < k 1 in Res Γ (p). Uit de inductiehypothese weten we nu dat R p in een symplecton Σ p van Res Γ (p) bevat is. Dit symplecton is het beeld onder α p van een symplecton Σ in Γ dat het punt p bevat, aangezien α p de incidentie bewaart, is R in het symplecton Σ bevat. Gevolg In een parapolaire ruimte van polaire rang minstens k is elke singuliere deelruimte van dimensie kleiner dan k bevat in een singuliere deelruimte van dimensie k Eigenschappen van het punt-residu Definitie Een gammaruimte Γ is lokaal samenhangend als voor elk punt p in Γ het puntresidu Res Γ (p) samenhangend is. Stelling Als Γ een sterke parapolaire ruimte van symplectische rang minstens 3 is en p een willekeurig punt in Γ, dan is Res Γ (p) samenhangend en een sterke parapolaire ruimte van diameter 2. Bewijs Neem twee willekeurige punten x en y in Res Γ (p) die niet collineair zijn, zij L x en L y de overeenkomstige rechten in Γ, dan zijn L x en L y niet coplanair. Een punt x p op L x is dan niet collineair met een punt y p van L y, maar ze liggen wel samen in een symplecton aangezien ze op afstand twee van elkaar liggen en Γ een sterke parapolaire ruimte is. Dit symplecton in Γ correspondeert met een symplecton in Res Γ (p) dat x en y bevat. De punten x en y liggen dus op afstand 2 van elkaar en vormen een polair paar. Gevolg Elke sterke parapolaire ruimte van symplectische rang minstens 3 is lokaal samenhangend. Definitie Als X een deelruimte is van een punt-rechte meetkunde Γ, dan wordt een punt p in Γ een sterk punt van X genoemd of zeggen we dat X een sterk punt p heeft als en slechts als p X. Stelling Zij Γ een lokaal samenhangende parapolaire ruimte van symplectische rang minstens 3 en X een samenhangende convexe deelruimte van Γ. Als X een sterk punt heeft, dan is X = Γ. Als er een symplecton Σ is in Γ dat een sterk punt bevat, dan is Γ zelf een niet-ontaarde polaire ruimte van rang minstens 3. 6

13 1.3. Eigenschappen van het punt-residu Bewijs Zij S(X) de verzameling van sterke punten in X in de meetkunde Γ, we veronderstellen dat S(X) minstens één punt bevat. Als X S(X), dus als elk punt in X een sterk punt van X is, dan is X een samenhangende component van Γ, maar parapolaire ruimten zijn per definitie samenhangend, dus betekent dit dat X = Γ. Veronderstel nu dat X \ S(X) niet ledig is, we zullen aantonen dat X \ S(X) een samenhangende component is van X. Dit is voldoende om het bewijs te vervolledigen aangezien X samenhangend is en dit impliceert dat S(X) de ledige verzameling is, wat tegenstrijdig is met onze veronderstelling. Stel dus dat x een punt is in X \ S(X) en y een ander punt in X x. Zij L de rechte die de punten x en y bevat, deze rechte ligt in X. Zij N een rechte door x die niet in X bevat is, deze bestaat aangezien x / S(X). We willen nu aantonen dat y een element is van X dat niet in S(X) bevat is. Veronderstel hiervoor het tegenovergestelde, dat y een sterk punt is van X in Γ. Res Γ (x) is een samenhangende meetkunde omdat Γ lokaal samenhangend is. Er bestaat dus een kortste reeks (L = L 0, π 0, L 1, π 1, L 2,..., L n 1, π n 1, L n = N), van rechten en vlakken door x waarbij L i en L i+1 een vlak π i opspannen. We weten dat L X, aangezien y L een sterk punt is van X. Anderzijds is L n 1 X, aangezien L n 1 en L n = N coplanair zijn en N X. Er bestaat dus een kleinste geheel getal k 2 zodat L k 1 X en L k X. We kunnen dus een vlak π door L k kiezen dat niet in X bevat is, dit vlak is dan duidelijk ook niet in π k 1 bevat. Kies nu een rechte L L k door p in het vlak π en kies twee punten, p op de rechte L k 1 en p op de rechte L, beide verschillend van x. De punten p en p zijn allebei collineair met de rechte L k, zodat de convexe sluiting van p en p een symplecton Σ is. Dit symplecton bevat duidelijk de vlakken π en π k 1. Aangezien X en Σ beide convex zijn en de enige niet-singuliere convexe deelruimte van een symplecton het volledige symplecton is, volgt dat de doorsnede X Σ een singuliere deelruimte is. Omdat L k 1 een deelverzameling van X is, bevat X Σ de verzameling L k 1 Σ. Maar Σ is een polaire ruimte van rang minstens 3 en daarin kan de verzameling van punten collineair met een rechte geen singuliere deelruimte zijn. De doorsnede X Σ kan dus ook geen singuliere deelruimte zijn, zodat we een strijdigheid krijgen. Gevolg Zij Γ een lokaal samenhangende parapolaire ruimte van symplectische rang mintens 3. Stel dat voor een punt p in Γ geldt dat het punt-residu Res Γ (p) een polaire ruimte is, dan is Γ zelf ook een polaire ruimte van rang minstens 3. Bewijs Het punt-residu Res Γ (p) is een polaire ruimte van symplectische rang minstens 2, de convexe sluiting van p in Γ is dus een zeker symplecton Σ p. Voor dit symplecton weten we dat p Σ p, zodat p een sterk punt is van Σ p. Uit de vorige stelling volgt nu dat Γ = Σ p, zodat Γ een polaire ruimte is. Gevolg Als Γ een sterke parapolaire ruimte van symplectische rang minstens 3 is, die geen polaire ruimte is, dan is voor elk punt p in Γ het punt-residu Res Γ (p) ook geen polaire ruimte. 7

14 8

15 Hoofdstuk 2 De E 6 -meetkunde en de meetkunde E 2.1 Definitie van de E 6 -meetkunde We willen de E 6 -meetkunde definiëren aan de hand van het Dynkin diagram E 6,1 (figuur 2.2), we gaan eerst algemener te werk en definiëren een meetkunde a.d.h.v. een willekeurig enkelvoudig Dynkin diagram met bepaalde gemarkeerde toppen. Hiervoor definiëren we op voorhand dat het diagram A 2 een projectief vlak definieert. Eerst hebben we nog enkele defini- Figuur 2.1: Dynkin diagram A 2 ties nodig. Veronderstel dus dat we een diagram D hebben en Σ, Σ en Σ zijn verzamelingen van toppen in D. Definitie De verzameling Σ scheidt Σ van Σ als er geen samenhangend deel van D bestaat dat een top van Σ en Σ bevat en geen enkele top van Σ. Definitie De reductie van Σ mod Σ is de kleinste deelverzameling van Σ die Σ van Σ scheidt. We noemen Σ gereduceerd mod Σ als het zijn eigen reductie mod Σ is. Veronderstel dat we een diagram D hebben en dat we de verzameling gemarkeerde toppen in D noteren als M. We definiëren de samenhangende meetkunde A die bij het diagram D hoort nu aan de hand van zijn deelruimten, die corresponderen namelijk met de deelverzamelingen van toppen van het diagram die gereduceerd zijn mod M. De deelruimten die corresponderen met zo n deelverzameling toppen Σ zullen we Σ-vlakken noemen. De deelruimten die met de volledige verzameling toppen corresponderen zijn de punten, de enige deelruimte die met de ledige verzameling toppen correspondeert is de volledige ruimte. In de verzameling van deelruimten van A is een binaire symmetrische relatie gedefinieerd, de incidentie, met de inclusie als speciaal geval. De verzameling E van Σ-vlakken van de 9

16 Hoofdstuk 2. De E 6 -meetkunde en de meetkunde E meetkunde A die incident zijn met een gegeven Σ -vlak a is een meetkunde waarvan de deelruimten gegeven zijn door de deelverzamelingen gevormd door de Σ-vlakken die incident zijn met a en nog één of meerdere andere gegeven deelruimten van de meetkunde A. Het diagram dat bij E hoort is het diagram bij de meetkunde A waarbij de toppen die tot Σ behoren en de bogen die eraan grenzen, zijn weggelaten. De nodige en voldoende voorwaarde opdat er een Σ-vlak a en een Σ -vlak b bestaan zodat a b, is dat Σ Σ scheidt van M. Als aan deze voorwaarde voldaan is, valt de incidentie samen met de inclusie. In het bijzonder zijn twee Σ-vlakken incident als en slechts als ze gelijk zijn. Figuur 2.2: Dynkin diagram E 6,1 We definiëren de E 6 -meetkunde nu a.d.h.v. het diagram E 6,1, met de toppen gemarkeerd en benoemd zoals in afbeelding 2.2. Dan zijn er naast de punten en de volledige E 6 -meetkunde de volgende deelruimten: α 3 -vlakken (rechten), α 4 -vlakken (vlakken), {α 2, α 5 }-vlakken (3- ruimten), α 5 -vlakken (4 -ruimten), {α 2, α 6 }-vlakken (4 -ruimten), α 2 -vlakken (5-ruimten) en α 6 -vlakken (symplecta). Het Dynkin diagram dat bij deze laatste deelruimte hoort is het D 5 -diagram, de symplecta zijn dus dunne polaire ruimten van type D 5. Twee deelruimten zijn dus incident als ze in elkaar bevat zijn, behalve in de volgende gevallen. Een 4 -ruimte en een 4 -ruimte of een 4 -ruimte en een 5-ruimte zijn incident als en slechts als hun doorsnede een 3-ruimte is. Een 5-ruimte en een symplecton zijn incident als en slechts als hun doorsnede een 4 -ruimte is. Alle deelruimten, uitgezonderd de 5-ruimten, zijn bevat in een symplecton en elke deelruimte die geen 4 -ruimte of symplecton is, is bevat in een 5-ruimte. 2.2 Eigenschappen van de E 6 -meetkunde Eigenschap Twee symplecta Σ en Σ van de E 6 -meetkunde die een punt p gemeen hebben, snijden ofwel in dit punt, ofwel in een 4 -ruimte. Bewijs Bekijk het punt-residu van het punt p, uit het diagram volgt dat dit een polaire ruimte van het type D 5 is. De symplecta Σ en Σ in de E 6 -meetkunde zijn in deze D 5 - meetkunde punten s en s. Als s en s niet collineair zijn in dit punt-residu, dan betekent dit dat Σ en Σ geen rechte kunnen gemeen hebben, aangezien deze rechte in het punt-residu een 4-dimensionale ruimte zou geven die de punten s en s bevat. In dit geval snijden Σ en Σ dus juist in het punt p. Veronderstel nu dat s en s collineair zijn, dan is er een rechte L in het punt-residu die beide punten bevat. Deze rechte komt overeen met een 4 -ruimte in de E 6 -meetkunde, die 10

17 2.2. Eigenschappen van de E 6 -meetkunde incident is met Σ en Σ. Gevolg Elke 4 -ruimte is in juist één symplecton bevat. Eigenschap De duale meetkunde E6 van een E 6-meetkunde E 6 is isomorf aan E 6, elk punt van E6 correspondeert met een symplecton van E 6, elke rechte correspondeert met een 4 -ruimte, elk vlak met een vlak, elke 4 -ruimte met een rechte en elke 5-ruimte met een 5-ruimte. Deze correspondentie bewaart de incidentie. Deze eigenschap volgt onmiddellijk uit de symmetrie van het diagram E 6. Eigenschap Stel dat a een punt is en A een rechte (resp. vlak, 3-ruimte) niet door a, samen bevat in een symplecton, dan bepalen ze ofwel een vlak (resp. 3-ruimte, 4-dimensionale ruimte), ofwel bestaat er een unieke rechte (resp. vlak, 3-ruimte) A door a die A snijdt in een punt (resp. rechte, vlak). De doorsnede A A is de verzameling van punten in A die collineair zijn met a. 2. Een punt a en een 4 -ruimte (resp. 4 -ruimte) A, die samen bevat zijn in een symplecton, bepalen een 4 -ruimte (resp. 4 -ruimte) A, die incident is met a en A, de doorsnede A A is de verzameling van punten in A die collineair zijn met a. 3. Twee verschillende 4 -ruimten (resp. 4 -ruimten) die samen bevat zijn in een symplecton, snijden ofwel in een punt, ofwel in een vlak. Deze eigenschappen over doorsneden volgen allemaal rechtstreeks uit de eigenschappen van dunne polaire ruimten van type D 5. Gevolg Twee verschillende rechten die een punt gemeen hebben, bepalen een vlak of een symplecton waarin ze bevat zijn. Bewijs Dit is het duale van eigenschap 2.2.4(3) (met 4 -ruimten, niet 4 -ruimten). Eigenschap Twee willekeurige verschillende punten x en y op afstand maximaal 2 van elkaar, bepalen ofwel een rechte, ofwel een symplecton dat ze bevat. Bewijs De punten x en y liggen maximaal op afstand 2 van elkaar, er bestaat dus altijd een punt m dat collineair is met zowel x als y. Als de rechten xm en ym gelijk zijn, dan zijn x en y duidelijk collineair, zodat de punten een rechte bepalen. Als de rechten verschillend zijn, dan volgt uit gevolg dat deze rechten ofwel een vlak, ofwel een symplecton bepalen. Omdat een vlak steeds bevat is in een symplecton, bestaat er dus minstens één symplecton dat deze rechten en dus de punten x en y bevat. Als er meer dan één symplecton is dat deze punten bevat, dan behoren x en y ook tot de doorsnede van deze symplecta, wat een singuliere deelruimte is. In dit geval zijn x en y dus collineair en bepalen ze een rechte. Eigenschap Elke 3-ruimte in de E 6 -meetkunde is in juist één 4 -ruimte bevat. 11

18 Hoofdstuk 2. De E 6 -meetkunde en de meetkunde E Bewijs Veronderstel dat een 3-ruimte A in twee verschillende 4 -ruimten P en Q bevat is. Zij p een punt in P en q een punt in q, beide niet in A bevat. Dan zijn p en q niet collineair, aangezien een 4 -ruimte niet in een 5-ruimte bevat kan zijn. De punten p en q liggen dus op afstand twee van elkaar, zodat ze wegens stelling een symplecton bepalen. Dit symplecton moet nu P en Q bevatten, maar dat geeft een strijdigheid aangezien twee P en Q een even dimensionale doorsnede moeten hebben. Eigenschap Elke 4 -ruimte is in juist één 5-ruimte bevat. Bewijs Dit bewijs verloopt analoog aan het vorige bewijs, stel dat een 4 -ruimte A in twee verschillende 5-ruimten P en Q bevat is. Kies dan een punt p in P en een punt q in Q, beide niet bevat in A. Dan moeten p een q een symplecton bepalen dat A bevat, maar dan bevat dit symplecton de 5-ruimten P en Q, een strijdigheid. Eigenschap Elke 3-ruimte is in een unieke 5-ruimte bevat. Bewijs Bekijk een willekeurige 3-ruimte A en kies een symplecton Σ dat A bevat. Elke 5-ruimte B die A bevat heeft dus al minstens de 3-ruimte A gemeen met Σ. Maar uit het diagram E 6 volgt onmiddellijk dat een symplecton en een 5-ruimte die een 3-ruimte gemeen hebben, ook een 4 -ruimte gemeen hebben, namelijk de unieke 4 -ruimte A in Σ die A bevat. Aangezien er slechts één 5-ruimte is die A bevat, is dit ook de unieke 5-ruimte die A bevat. Eigenschap Als een punt p en een 4 -ruimte M (resp. 5-ruimte N) niet door p, incident zijn met eenzelfde symplecton, dan bepalen ze een 5-ruimte (resp. 4 -ruimte) die incident is aan beide. 2. Een rechte L en een symplecton Σ die niet incident zijn, maar wel een punt gemeen hebben, bepalen een 5-ruimte die incident is met L en Σ. 3. Twee verschillende 5-ruimten M en N die incident zijn met eenzelfde symplecton Σ snijden in een punt of in een vlak. Bewijs 1. In de vorige eigenschap zagen we dat p en M samen een 4 -ruimte A bepalen, die incident is met beide. De ruimte A is bevat in een unieke 5-ruimte, die ook incident is met p en M, en dus ook door p en M wordt bepaald. Als we een punt p een een 5-ruimte N hebben, dan is de doorsnede van N met het symplecton een 4 -ruimte B. De gezochte 4 -ruimte wordt nu opgespannen door de 3-ruimte in B die collineair is met p, en het punt p zelf. 2. Dit is het duale van de vorige eigenschap. 3. Aangezien elke 3-ruimte slechts in één 5-ruimte bevat is, kunnen de twee 5-ruimten maximaal in een vlak snijden. De 5-ruimten M en N snijden Σ elk in een 4 -ruimte, die 12

19 2.2. Eigenschappen van de E 6 -meetkunde we M en N zullen noemen. Uit eigenschap 2.2.4(3) weten we al dat M en N in een punt of in een vlak snijden. Als M en N in een vlak snijden, zien we onmiddellijk dat M en N ook in een vlak snijden. Als M en N in een punt snijden, dan moeten we nog bewijzen dat M en N niet in een rechte kunnen snijden, stel nu dat dit wel het geval is en noem deze rechte R. Uit de vorige eigenschap zien we dan dat de rechte R en het symplecton Σ, die niet incident zijn, maar wel een punt gemeen hebben, een 5-ruimte bepalen die incident is met R en Σ. Maar M en N zijn beide 5-ruimten die incident zijn met R en Σ, een strijdigheid. In dit geval kunnen M en N dus slechts in een punt snijden. Eigenschap Een symplecton Σ en een 5-ruimte M die een punt p gemeen hebben snijden in een rechte of in een 4 -ruimte. Bewijs De duale situatie geeft ons een punt Σ en een 5-ruimte M die beide incident zijn met een symplecton p. Nu zijn er twee mogelijkheden: Ofwel is het punt Σ incident met M, zodat in de oorspronkelijke situatie het symplecton Σ incident is met de 5-ruimte M, zodat ze snijden in een 4 -ruimte. Ofwel zijn Σ en M niet incident, dan volgt uit eigenschap (1) dat Σ en M een 4 -ruimte N bepalen die incident is met beide deelruimten. In de oorspronkelijke situatie betekent dit dat Σ en M snijden in een rechte N. Eigenschap Als een 4 -ruimte L en een symplecton Σ een punt gemeen heben, dan snijden ze in een vlak of dan bestaat er een symplecton dat L bevat en Σ snijdt in een 4 -ruimte. 2. Twee verschillende 5-ruimten M en N die een punt gemeen hebben, snijden in dat punt of in een vlak. Bewijs 1. Als L en Σ incident zijn, dan kiezen we een tweede symplecton Σ dat L bevat en verschillend is van Σ, dit symplecton snijdt Σ in L. Als L en Σ niet incident zijn, dan is dit de duale situatie van eigenschap 2.2.4(1), waarbij A een rechte is, zodat we in deze situatie ofwel een vlak vinden als doorsnede van L en Σ, ofwel een 4 -ruimte die bevat is in Σ en in een symplecton dat ook L bevat. 2. Als duale van deze situatie hebben we twee verschillende 5-ruimten M en N die incident zijn met eenzelfde symplecton, uit eigenschap (3) weten we nu dat deze 5-ruimten snijden in een punt of een vlak. In de oorspronkelijke situatie betekent dit dat M en N ofwel snijden in een vlak, ofwel beide incident zijn met een symplecton. Deze tweede mogelijkheid valt nu samen met eigenschap (3), zodat we weten dat de doorsnede van M en N ofwel een punt is, ofwel een vlak. Eigenschap De E 6 -meetkunde heeft diameter 2. Bewijs De E 6 -meetkunde is samenhangend, stel nu dat er punten zijn die op een afstand groter dan 2 van elkaar gelegen zijn, dan zijn er ook twee punten x en y die op afstand 3 van 13

20 Hoofdstuk 2. De E 6 -meetkunde en de meetkunde E elkaar liggen. Zij a en b de twee punten op een kortste pad van x naar y, dan zijn de rechten ab en by verschillend en liggen ze dus samen in een vlak of een symplecton (gevolg 2.2.5). Maar als ze samen in een vlak zouden liggen, dan zouden a en y collineair zijn, een strijdigheid, dus liggen ab en by in een symplecton Σ. Stel dat ook de rechte xa in het symplecton Σ ligt, dan is er een punt M op de rechte by dat collineair is met a, een strijdigheid. Dus bepalen de rechte xa en het symplecton Σ een 5-ruimte M die incident is met beide (eigenschap (2)). Hieruit volgt dat M het symplecton Σ in een 4 -ruimte N snijdt. Aangezien N en xa samen bevat zijn in een 5-ruimte, zijn alle punten van N collineair met x, het punt y is dus niet bevat in N, maar wel samen met N bevat in het symplecton Σ, waardoor er een 3-ruimte in N is die collineair is met y. Alle punten van deze 3-ruimte zijn dus collineair met zowel x als y, zodat de E 6 -meetkunde diameter 2 moet hebben. Stelling geldt dus voor elke twee verschillende punten, zodat elke twee verschillende punten ofwel samen op een rechte liggen, ofwel samen in een symplecton. Het duale van deze stelling geeft ons: Gevolg Twee verschillende symplecta snijden ofwel in een punt, ofwel in een 4 - ruimte. 2.3 Definitie en eigenschappen van de meetkunde E Definitie De meetkunde E is een sterke parapolaire ruimte van diameter 2, waarvan de symplecta hyperbolische kwadrieken Q + (9, K) zijn van het type D 5. In deze meetkunde zijn twee punten ofwel gelijk, ofwel collineair, ofwel bepalen ze een uniek symplecton. Een punt p kan in een symplecton Σ liggen, collineair zijn met juist een 4-ruimte van Σ of met geen enkel punt van Σ collineair zijn. Twee symplecta kunnen gelijk zijn, snijden in een punt of snijden in een 4-ruimte. Twee symplecta die snijden in een 4-dimensionale ruimte zullen we naburig noemen, een symplecton en een punt dat collineair is met een 4-dimensionale ruimte binnen dit symplecton worden ook naburig genoemd. Als twee symplecta in een punt snijden noemen we ze overstaand en een punt is overstaand aan een symplecton als het met geen enkel punt van dat symplecton collineair is. 14

21 2.3. Definitie en eigenschappen van de meetkunde E Stelling Als we in de definitie van de meetkunde E de voorwaarde op de mogelijke onderlinge liggingen van een punt en een symplecton weglaten, krijgen we nog steeds dezelfde meetkunde. Bewijs Bekijk de meetkunde E die gedefinieerd is zoals de meetkunde E, maar dan zonder de mogelijke onderlinge liggingen van een punt en een symplecton. We moeten aantonen dat als een punt p in E collineair is met een punt q van een symplecton Σ, het punt p collineair is met een 4 -ruimte in Σ. Bekijk een punt r in Σ, dat collineair is met q, maar niet met p. Dit betekent dat p en r samen een symplecton Σ bepalen dat het punt q bevat. De symplecta Σ en Σ hebben de rechte qr gemeen, dus is hun doorsnede een 4 -ruimte A. Het punt p is collineair met een 3-ruimte B in A, aangezien A en p samen in een symplecton bevat zijn. In Σ is er ook een 4 -ruimte C door B, bekijk nu een punt c in C dat niet in B bevat is. Als c niet collineair is met p, dan zouden c en p een symplecton bepalen dat de 4 -ruimte B gemeen heeft met Σ, een strijdigheid. Het punt p is dus collineair met de 4 -ruimte B. Eigenschap Zij Σ een symplecton en p een punt van de meetkunde E, zodat p met geen enkel punt van Σ collineair is. Dan is er op elke rechte door p juist één punt dat collineair is met een punt van Σ. Bewijs Kies een willekeurige rechte L door p, deze rechte is bevat in een symplecton Σ L dat Σ snijdt in een punt. Dit punt is collineair met juist één punt van L. Veronderstel nu dat er twee punten x en y op L zijn, zodat x collineair is met een punt a van Σ en y collineair is met een punt b van Σ. Stel eerst dat a en b collineair zijn, dan bevat het symplecton bepaald door x en b ook de punten a en y. Dit geeft een strijdigheid aangezien dit symplecton nu de hele rechte L moet bevatten, dus ook het punt p en een rechte van Σ bevat. De punten a en b kunnen dus niet collineair zijn. Bekijk nu de symplecta Σ a, bepaald door p en a, en Σ b, bepaald door p en b. Deze symplecta bevatten allebei de rechte L, dus snijden ze in een 4 -ruimte. De punten a en b zijn niet in deze 4 -ruimte gelegen, maar wel elk collineair met een 3-ruimte erin. Dit betekent dat deze 4 -ruimte punten bevat die collineair zijn met zowel a als b, en die dus in de convexe sluiting Σ van a en b moeten liggen. Aangezien p ook in deze 4 -ruimte ligt, geeft dit een 15

22 Hoofdstuk 2. De E 6 -meetkunde en de meetkunde E strijdigheid. Op elke rechte door p is er dus juist één punt dat collineair is met een punt van Σ. Eigenschap Veronderstel dat we in de meetkunde E een punt p hebben, een symplecton Σ dat p bevat en een symplecton Σ dat naburig is aan p. Zij P de 4 -ruimte in Σ die collineair is met p en P de 5-ruimte opgespannen door p en P. Dan is de doorsnede van Σ en Σ incident met P. Deze doorsnede is een 4 -ruimte als en slechts als Σ en P incident zijn. Bewijs Als Σ en Σ in een 4 -ruimte S snijden, dan is p collineair met een 3-ruimte S in S. Deze 3-ruimte is ook bevat in Σ, dus moet ze bevat zijn in P, dit betekent dat S en P incident zijn. Nu zijn p en S beide zowel in P als in Σ bevat, dus snijden P en Σ in een 4 -ruimte, zodat ze incident zijn. Omgekeerd, als P en Σ incident zijn, dan hebben P en Σ een 4 -ruimte A gemeen. Aangezien P het symplecton Σ in een 4 -ruimte snijdt, betekent dit dat A het symplecton Σ in een 3-ruimte snijdt. Dus bevat de doorsnede van Σ en Σ al minstens de 3-ruimte A en bijgevolg snijden Σ en Σ in een 4 -ruimte. Stel nu dat Σ en Σ in een punt s snijden en dat dit punt niet bevat is in P. Dan is s niet collineair met p, dus bepalen s en p samen het symplecton Σ. Maar dan is er een 3-ruimte in P die ook met s collineair is en dus in het symplecton bevat moet zijn. Dit geeft een strijdigheid, zodat s in P bevat moet zijn. Bekijk de meetkunde E en de duale ruimte E van E. Veronderstel dat we in E een punt p en een symplecton Σ hebben, zodat p en Σ overstaand zijn. Noteer met Σ het symplecton in E dat met het punt p overeenkomt en dus de verzameling symplecta in E door het punt p voorstelt. We onderzoeken nu de correspondentie tussen de deelruimten van Σ en Σ. Door elk punt van Σ in E gaat een symplecton dat het punt p bevat, dit symplecton komt in E overeen met een punt van Σ. Omgekeerd komt een punt van Σ overeen met een symplecton door het punt p, dit symplecton snijdt Σ in een uniek punt. Elk punt van Σ correspondeert dus met een uniek punt van Σ. Voor de andere deelruimten hebben we de volgende stelling: Eigenschap Met elke rechte, vlak, 3-ruimte, 4 -ruimte en 4 -ruimte in Σ correspondeert respectievelijk een rechte, vlak, 3-ruimte, 4 -ruimte en 4 -ruimte van Σ. 16

23 2.4. Equivalentie Bewijs Een 4 -ruimte A in Σ komt overeen met de verzameling symplecta van E die door een rechte A gaan die het punt p bevat. Stel dat B zo n symplecton is, met b het snijpunt van B en Σ, en zij c het punt van de rechte A dat collineair is met b. De verzameling punten in Σ die collineair is met c is een 4 -ruimte C. Elk symplecton dat het punt p bevat, snijdt Σ in een punt en uit eigenschap volgt dat de doorsnede van Σ met een symplecton dat c bevat, bevat is in C. Dus de doorsnede van Σ met een symplecton dat de rechte A bevat, is een punt dat bevat is in de 4 -ruimte C. Omgekeerd moeten we aantonen dat het symplecton bepaald door p en een willekeurig punt d van de 4 -ruimte C, de rechte A bevat. Het punt c is collineair met het punt d, aangezien c met alle punten van C collineair is. Het punt c ligt dus in het symplecton bepaald door p en d, zodat ook de rechte A in dit symplecton ligt. We hebben dus aangetoond dat met elke 4 -ruimte van Σ een 4 -ruimte van Σ correspondeert. Duaal volgt dus onmiddellijk dat met elke 4 -ruimte van Σ een 4 -ruimte van Σ correspondeert. Omdat de doorsnede van twee ruimten in Σ correspondeert met de doorsnede van de twee corresponderende ruimten in Σ, volgt nu ook rechtstreeks dat elke rechte, vlak en 3-ruimte in Σ corresponderen met respectievelijk een rechte, vlak en 3-ruimte in Σ. 2.4 Equivalentie We willen aantonen dat de definitie van de meetkunde E als parapolaire ruimte equivalent is aan de E 6 -meetkunde gedefinieerd aan de hand van het Dynkin diagram E De E 6 -meetkunde voldoet aan de definitie van de meetkunde E We tonen eerst aan dat de E 6 -meetkunde voldoet aan de definitie van de meetkunde E als parapolaire ruimte. We splitsen dit bewijs op in twee delen: Hulpstelling De E 6 -meetkunde is een gammaruimte Bewijs We gaan de axioma s van een gammaruimte na: (G1) Elke rechte heeft minstens drie punten: het aantal punten op een rechte wordt bepaald door het veld waarover we werken. 17

24 Hoofdstuk 2. De E 6 -meetkunde en de meetkunde E (G2) Geen enkel punt is collineair met alle andere punten: elk punt is bevat in een symplecton, dit zijn per definitie hyperbolische kwadrieken waarin geen enkel punt collineair is met alle andere punten. (G3) Elke genestelde familie van singuliere deelruimten is eindig: dit volgt rechtstreeks uit het diagram. (G4) Voor elk punt p en elke rechte L niet door p geldt ofwel dat er geen enkel punt op L collineair is met p, ofwel juist één punt, ofwel alle punten: Stel dat p met minstens één punt van L collineair is, de rechte L en de rechte door p die L snijdt, bepalen dan een vlak of een symplecton dat deze rechten bevat wegens gevolg Hieruit volgt dat het punt p ofwel collineair is met juist één punt van L, ofwel met alle punten van L. Hulpstelling De E 6 -meetkunde voldoet aan de definitie van de meetkunde E als parapolaire ruimte. Het is dus een sterke parapolaire ruimte van diameter 2 met als symplecta hyperbolische kwadrieken Q + (9, K) van het type D 5. Twee punten in de E 6 -meetkunde zijn ofwel gelijk, ofwel collineair, ofwel bepalen ze een symplecton. Twee symplecta in de E 6 - meetkunde zijn ofwel gelijk, ofwel snijden ze in een punt, ofwel snijden ze in een 4 -ruimte. Een punt p is ofwel bevat in een symplecton Σ, ofwel is p met geen enkel punt van van Σ collineair, ofwel is p met een 4 -ruimte van Σ collineair. Bewijs In eigenschap hebben we al bewezen dat de E 6 -meetkunde diameter 2 heeft en uit het diagram volgt ook al rechtstreeks dat elke rechte in een symplecton bevat is en de symplecta polaire ruimten van het type D 5 zijn. Hier moeten we dus enkel nog de mogelijke liggingen voor een paar niet-collineaire punten nagaan om aan te tonen dat de E 6 -meetkunde een sterke parapolaire ruimte van diameter 2 is. Uit eigenschap volgt onmiddellijk dat twee niet-collineaire punten een symplecton bepalen. De mogelijke onderlinge liggingen van twee symplecta zijn de duale mogelijkheden van twee punten, dus is dit deel ook onmiddellijk bewezen aangezien de E 6 -meetkunde zelfduaal is. De mogelijke onderlinge liggingen voor een punt en een symplecton volgen uit eigenschap (2): als een punt p niet incident is met een symplecton Σ, maar wel collineair is met een punt q in Σ, dan kunnen we deze eigenschap toepassen op de rechte pq en Σ, we vinden dan een 5-ruimte die incident is met p en Σ, dus een 4 -ruimte in Σ die collineair is met p. De eerste richting van de equivalentie is dus aangetoond De meetkunde E is een E 6 -meetkunde Nu volgt de andere richting van de equivalentie, we bewijzen dat de meetkunde E gedefinieerd als parapolaire ruimte voldoet aan het Dynkin diagram E 6. We zullen ook deze richting in verschillende stappen aantonen, het voornaamste werk is aantonen dat deze meetkunde twee soorten 4-dimensionale deelruimten heeft. 18

25 2.4. Equivalentie Hulpstelling Veronderstel dat we twee verschillende punten p en q hebben in de meetkunde E, die elk naburig zijn aan een gegeven symplecton Σ dat de punten p en q niet bevat. Zij P en Q de 4-dimensionale ruimten in Σ die collineair zijn met respectievelijk p en q. Dan is de doorsnede van P en Q een even dimensionale singuliere deelruimte. Bewijs Als de punten p en q niet collineair zijn, dan bepalen ze een symplecton Σ. Als ze wel collineair zijn, dan is de rechte door p en q bevat in minstens één symplecton, kies dan zo n symplecton en noem dit ook Σ. Het symplecton Σ snijdt Σ ofwel in een punt s, ofwel in een 4-dimensionale ruimte. Als Σ en Σ snijden in een 4-dimensionale ruimte S, dan zijn p en q elk collineair met een 3-ruimte in S, aangezien Σ een polaire ruimte is. Dit betekent dat P en Q de ruimte S elk in een 3-dimensionale ruimte moeten snijden. Uit de eigenschappen van de generatoren van een hyperbolische kwadriek volgt nu dat P en S (en Q en S) niet tot dezelfde equivalentieklasse van generatoren van Σ behoren. Dit betekent dat P en Q wel tot dezelfde equivalentieklasse behoren en in een even-dimensionale ruimte moeten snijden, dus ofwel in een punt, ofwel in een vlak, ofwel zijn P en Q gelijk. In de tweede mogelijke situatie snijden Σ en Σ in een punt, omdat de doorsnede van P en Q zeker tot de doorsnede van Σ en Σ behoort, kan de doorsnede van P en Q dus maximaal een punt bevatten. We moeten dus nog bewijzen dat het punt s altijd in de doorsnede van P en Q ligt. Veronderstel dat de doorsnede van P en Q leeg is, dan ligt het punt s op afstand 2 van minstens één van de twee punten p en q. Stel dus dat s op afstand 2 van p ligt, dan is s niet bevat in P, maar s en P liggen wel samen in de polaire ruimte Σ, dus is s collineair met een 3-ruimte in P. De punten in deze 3-ruimte liggen dus allemaal op een kortste pad tussen p en s, zodat ze in Σ bevat zouden moeten zijn, aangezien dit een convex gesloten ruimte is. Dit is een strijdigheid, dus is het punt s de doorsnede van P en Q. Hulpstelling Een 4-dimensionale deelruimte M in de meetkunde E die in twee verschillende symplecta Σ en Σ bevat is, kan niet bevat zijn in een 5-dimensionale ruimte. Bewijs Veronderstel dat er een punt p is dat collineair is met de 4-dimensionale ruimte M en bekijk een punt q in Σ dat niet in M ligt. Het punt q is collineair met juist een 3-ruimte in M en een 4-dimensionale ruimte Q in Σ, die M in deze 3-ruimte snijdt. Nu hebben we twee verschillende punten p en q, die beide niet bevat zijn in Σ, maar collineair zijn met 4-dimensionale ruimten M en Q in Σ die snijden in een 3-ruimte. Dit is in strijd met stelling 2.4.3, een 4-dimensionale ruimte die in meer dan één symplecton bevat is kan dus niet bevat zijn in een 5-ruimte. Hulpstelling Elke singuliere deelruimte in de meetkunde E, uitgezonderd de 5-ruimten, is bevat in een symplecton Σ. In het bijzonder is ook elke 4-dimensionale ruimte in een symplecton bevat. 19