Topologische eigenschappen in selectieve universa

Transcriptie

1 Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Topologische eigenschappen in selectieve universa Charlotte DECONINCK Promotor: Prof. dr. H. Vernaeve Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van master in de wiskunde, afstudeerrichting zuivere wiskunde. Academiejaar

2

3 Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Topologische eigenschappen in selectieve universa Charlotte DECONINCK Promotor: Prof. dr. H. Vernaeve Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van master in de wiskunde, afstudeerrichting zuivere wiskunde. Academiejaar

4 Voorwoord In mijn vijf jaar durende wiskundeopleiding aan de Universiteit Gent sprak geen enkel vak meer tot mijn verbeelding dan het vak Infinitesimale Analyse. Het gevoel dat je vat krijgt op een (bijna) niet te vatten begrip als oneindigheid is tegelijk bevreemdend en fenomenaal. Het vak had me zoveel plezier geschonken dat ik heel graag mijn masterproef in dit domein van de wiskunde wilde schrijven. Ik wil dan ook uitdrukkelijk mijn promotor professor Hans Vernaeve bedanken om dit onderwerp aan te bieden en mij te willen begeleiden, om mee te denken over problemen waar ik niet aan uit raakte en om nieuwe richtingen te suggereren die ik met mijn masterproef kon uitgaan. Graag wil ik ook mijn ouders enorm bedanken voor de onvoorwaardelijke steun gedurende mijn opleiding en voor alle kansen die ze mij gaven, zoals een fantastische Erasmuservaring in Oslo. Daar ontwikkelde ik mij niet alleen als wiskundige maar zeker ook als mens. Tot slot wil ik mijn zus Catharina, mijn grootouders, familie en vrienden hartelijk bedanken omdat ze altijd bleven geloven in mij en omdat ze geïnteresseerd waren (of toch heel goed deden alsof) in mijn masterproef. Aan allen: een welgemeende dankjewel! De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de masterproef te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze masterproef. Charlotte Deconinck 31 mei

5 Inhoudsopgave Inleiding 4 Notaties 6 1 Inleiding tot nietstandaard analyse Geschiedenis Nietstandaard modellen De taal L Overdrachtsprincipe Ultrafiltermodellen Definitie Interne verzamelingen en functies Eigenschappen Choquetspelen en -ruimtes Definities Eigenschappen Selectieve ultrafilters Definitie Bestaan Eigenschappen Ramsey-eigenschap U-bomen Rudin-Keislerordening Separatieve ultrafilters Selectieve universa Minimale modellen Topologieën op X Q-topologie open verzamelingen S-topologie Dichtheidseigenschappen in selectieve universa Dichtheidsstelling Gevolgen

6 INHOUDSOPGAVE 6 Nietstandaard principe van de gelijkmatige begrensdheid Verband met standaard principe van de gelijkmatige begrensdheid Universa geconstrueerd via Fréchetfilter Selectieve universa Verzadigde universa Andere nietstandaard bewijzen van standaard stellingen Externe verzamelingen Π 0 1-verzamelingen: dichtheidsstelling Gevolg Algemeen besluit 59 Beschrijving gebruikte literatuur 60 A Engelstalige samenvatting 62 B Standaard topologie 64 B.1 Topologie B.2 Bairecategorie Bibliografie

7 Inleiding In de standaard analyse luidt het principe van de gelijkmatige begrensdheid, afgekort als U.B.P. (komende van Uniform Boundedness Principle), als volgt: Zij X een Banachruimte en Y een genormeerde ruimte. Zij (φ i ) i I een familie van continue lineaire afbeeldingen X Y die puntsgewijs begrensd is op X. Dan is {φ i : i I} begrensd in de ruimte L(X, Y ). Het belang van deze stelling is enorm, daar ze in bepaalde gevallen een vervangmiddel voor het gebruik van compactheid biedt (bv. voor het omwisselen van kwantoren). In nietstandaard analyse modulo de Fréchetfilter, kunnen we een nietstandaard versie van het U.B.P. formuleren en op een heel eenvoudige manier bewijzen (steunend op het standaard U.B.P.). De Fréchetfilter geeft ons echter geen volwaardig model voor nietstandaard analyse, zo geldt overdracht er bijvoorbeeld slechts voor een beperkte klasse van formules. Daarom bestaat de primaire doelstelling van deze masterproef erin om de nietstandaard versie van het U.B.P. te bewijzen in een nietstandaard universum dat gedefinieerd is a.d.h.v. een ultrafilter (in zo n universum kan wel steeds overdracht toegepast worden). Het liefst zouden we een bewijs vinden dat analoog (of even eenvoudig) verloopt als het bewijs voor de Fréchetfilter. Daartoe werken we met ultrafilters die dicht bij de Fréchetfilter staan, namelijk selectieve ultrafilters. Hiervoor hebben we ons voornamelijk gebaseerd op het tweede hoofdstuk van de doctoraatsthesis van Michael Benedikt ([2]), waarin topologische eigenschappen van selectieve universa onderzocht worden en het nietstandaard U.B.P. bewezen wordt. De opbouw van de masterproef ziet er als volgt uit: Het eerste hoofdstuk is een korte inleiding in nietstandaard analyse, om de lezer die hier weinig ervaring mee heeft wegwijs te maken in de basisbegrippen en methodes die verder gebruikt zullen worden. In het tweede hoofdstuk worden Choquetruimtes gedefinieerd en een aantal van hun eigenschappen aangetoond, omdat zij heel vaak zullen voorkomen in de masterproef. Het echte werk begint in hoofdstuk 3, waar we selectieve ultrafilters introduceren en enkele bijzondere eigenschappen aan bod laten komen. Ook wordt er even ingegaan op separatieve ultrafilters. In hoofdstuk 4 tonen we aan dat selectieve universa weinig verzadigd zijn en bespreken we twee mogelijke topologieën op een nietstandaard model van een topologische ruimte. Een belangrijke dichtheidsstelling en enkele gevolgen worden bewezen in hoofdstuk 5. 4

8 INLEIDING In hoofdstuk 6 geven we voor verschillende soorten nietstandaard universa aan of en hoe het nietstandaard U.B.P. er bewezen kan worden. Belangrijk zijn hier uiteraard universa gebaseerd op de Fréchetfilter en universa gebaseerd op een selectieve ultrafilter. Tot slot van het hoofdstuk geven we nog enkele voorbeelden van standaard stellingen die op een nietstandaard manier bewezen kunnen worden. Aangezien we voornamelijk bezig geweest zijn met interne verzamelingen en er toch ook veel interessante externe verzamelingen bestaan, zullen we in hoofdstuk 7 een dichtheidsstelling bewijzen voor (niet té) externe verzamelingen. Hoofdstukken 1 en 2 zijn geschreven met als doel een bescheiden basiskennis te bieden aan lezers die weinig ervaring hebben met nietstandaard analyse en/of Choquetruimtes, zodat het vervolg van de masterproef makkelijker begrepen kan worden. Lezers die hier reeds vertrouwd mee zijn, kunnen gerust het lezen van deze masterproef aanvatten bij hoofdstuk 3. Doorheen de masterproef wordt regelmatig gebruik gemaakt van begrippen i.v.m. Bairecategorie. Daarom werden in bijlage B een aantal basisdefinities en -eigenschappen opgenomen (samen met enkele standaard topologische eigenschappen), zodat hiernaar verwezen kan worden en zodat deze geraadpleegd kunnen worden indien nodig. 5

9 Notaties Hier vermelden we welke conventies en notaties we in de tekst zullen gebruiken. We beschouwen het getal 0 als een natuurlijk getal, dus N = ω = {0, 1, 2, 3,... }. Voor een verzameling A en een natuurlijk getal n > 0, noteren we [A] n := {X A : X = n} voor de verzameling van alle deelverzamelingen van A die exact n elementen bevatten, E(A) voor alle eindige deelverzamelingen van A en [A] ω voor alle oneindige deelverzamelingen van A. Voor een nietlege verzameling X definiëren we achtereenvolgens X 0 := X X n+1 := X n P(X n ) F(X n, X n ) (n ω). We noemen de verzameling n ω X n de bovenbouw op X en noteren deze als X. We noteren de kardinaliteit van het continuüm met c = R = 2 ω. Voor genormeerde ruimten X en Y noteren we met L(X, Y ) de ruimte van alle continue lineaire afbeeldingen X Y, voorzien van de operatornorm φ = sup x =1 φ(x) = sup x 1 φ(x). Uit de volgende gekende stelling uit de functionaalanalyse volgt dat de continue lineaire afbeeldingen X Y juist de begrensde lineaire afbeeldingen zijn. Stelling 1. Een lineaire operator T tussen genormeerde ruimtes is begrensd als en slechts als T continu is. 6

10 Hoofdstuk 1 Inleiding tot nietstandaard analyse 1.1 Geschiedenis Bij de ontwikkeling van de reële analyse, in de 17 e eeuw, kwamen infinitesimalen voor. Aangezien pas in de 19 e eeuw de ɛ δ benadering geïntroduceerd werd, gebruikten alle wiskundigen in de 18 e eeuw infinitesimalen in de analyse. Dit was echter niet wiskundig geformaliseerd en deed een zekere controverse ontstaan, omdat infinitesimalen nu eens als grootheden gelijk aan nul en dan weer als grootheden verschillend van nul beschouwd werden. De oplossing voor dit probleem werd pas gevonden in 1960 door Abraham Robinson, mede dankzij de 20eeeuwse ontwikkelingen in de modeltheorie. Er was geweten dat aan een gegeven set axioma s vaak geen (op isomorfisme na) unieke wiskundige structuur voldoet. Zo vond Robinson een wiskundige structuur die voldoet aan de eerste orde-eigenschappen van R maar er niet isomorf mee is, en die oneindig kleine en oneindig grote elementen bevat. 1.2 Nietstandaard modellen Oorspronkelijk beschouwde men in de nietstandaard analyse een nietstandaard model van R, maar wij zullen meteen de veralgemening maken voor een willekeurige topologische ruimte (X, τ) De taal L Om te kunnen definiëren welke eigenschappen van het standaard model ook moeten gelden in het nietstandaard model, leggen we eerst een taal L vast. De taal L gebruikt het volgende alfabet: een aftelbaar oneindige verzameling veranderlijken, genoteerd als letters (doorgaans uit het einde van het alfabet) het gelijkheidssymbool = de kwantoren en de connectoren,, en symbolen om de leesbaarheid te verhogen: haakjes en de komma. 7

11 1.2. NIETSTANDAARD MODELLEN Dit soort alfabet is typisch voor een zogenaamde predicaatlogica van de eerste orde. Afhankelijk van de structuur die we willen beschrijven, voorzien we L van een aantal extra symbolen. Voor een topologische ruimte (X, τ) zijn dit: voor elk element x X een constante voor elke functie X n X een functiesymbool voor elke n-aire relatie op X een relatiesymbool. Definitie Een term van L is een opeenvolging van symbolen die verkregen wordt als gevolg van een eindig aantal toepassingen van de regels: een constante is een term een veranderlijke is een term als t 1,..., t n termen zijn en f is een n-air functiesymbool, dan is f(t 1,..., t n ) een term. Definitie Een formule van L is een opeenvolging van symbolen die verkregen wordt als gevolg van een eindig aantal toepassingen van de regels: als t 1, t 2 termen zijn van L, dan is t 1 = t 2 een formule als t 1,..., t n termen zijn en R een n-air relatiesymbool, dan is R(t 1,..., t n ) een formule als Φ een formule is, dan is ook Φ een formule als Φ en Ψ formules zijn, dan zijn ook (Φ Ψ), (Φ Ψ) en (Φ Ψ) formules als x een veranderlijke is en Φ een formule waarin x en x niet voorkomen, dan zijn ook ( x)φ en ( x)φ formules. Definitie Een bepaald optreden van een veranderlijke x in een formule Φ wordt gebonden genoemd als x optreedt in een deel van Φ dat de vorm ( x)φ of ( x)φ heeft. Elk ander optreden van x in Φ wordt een vrij optreden van x in Φ genoemd. Definitie Een uitspraak in L is een formule van L waarin geen enkele veranderlijke vrij optreedt Overdrachtsprincipe We willen dat een nietstandaard model van een bepaalde structuur (deels) dezelfde eigenschappen heeft als de oorspronkelijke structuur. Met behulp van de taal L kunnen we uitdrukken welke eigenschappen geldig moeten zijn in het nietstandaard model: de eerste orde-eigenschappen. Definitie De eerste orde-eigenschappen van X zijn alle ware uitspraken in L. Een nietstandaard model van X wordt genoteerd als X. Zeggen dat X voldoet aan de eerste orde-eigenschappen van X, betekent: voor elke x X bestaat een element x X 8

12 1.3. ULTRAFILTERMODELLEN voor elke functie f : X n X bestaat een functie f : ( X) n X voor elke n-aire relatie R op X bestaat een n-aire relatie R op X Overdrachtsprincipe: voor elke uitspraak Φ(a, b,... ) van L waarin de enige optredende constanten, functiesymbolen en relatiesymbolen a, b,... zijn, geldt: Φ(a, b,... ) is waar in X Φ( a, b,... ) is waar in X. : Als een uitspraak in L over X wordt omgezet in een gelijkwaardige uitspraak in L over X door elk optredend object a te vervangen door a, dan spreken we van opwaartse overdracht (of o.o.). : Als een uitspraak in L over X waarin alle optredende objecten de gedaante a hebben, wordt omgezet in een gelijkwaardige uitspraak in L over X door elk object a te vervangen door a, dan spreken we van neerwaartse overdracht (of n.o.). Zeggen dat X een nietstandaard model is, betekent dat X { x : x X}. Door overdracht kunnen volgende eigenschappen eenvoudig bewezen worden: Eigenschap (Eigenschappen van ). 1. : X X is injectief. 2. Als A X en a A, dan is a A. 3. Als f een n-aire functie is op X en a 1,..., a n X, dan is (f(a 1,..., a n )) = f( a 1,..., a n ). 4. Als R een n-aire relatie is op X en R(a 1,..., a n ), dan is R( a 1,..., a n ). Als gevolg van eigenschap 1.2.6(1.) zullen we X identificeren met { x : x X}. Met deze identificatie noteren we x opnieuw als x, voor elke x X. Definitie Een element x X (resp. een functie of relatie op X) noemt men standaard als x = y voor een zeker element y X (resp. voor een zekere functie of relatie op X). 1.3 Ultrafiltermodellen Definitie We zullen een nietstandaard model X construeren a.d.h.v. afbeeldingen ω X, dus rijen in X. Voor een algemeen ultrafiltermodel kan i.p.v. ω een andere oneindige verzameling genomen worden, maar wij zullen steeds ω gebruiken. We willen als volgt een equivalentierelatie definiëren op de rijen in X : (x 0, x 1, x 2, x 3,... ) (y 0, y 1, y 2, y 3,... ) (1.1) {i ω : x i = y i } is een grote verzameling. (1.2) Een gepast antwoord op de vraag wat een grote deelverzameling van ω is, wordt gegeven door het begrip vrije ultrafilter. 9

13 1.3. ULTRAFILTERMODELLEN Definitie Zij I een oneindige verzameling. Een filter op I is een nietlege verzameling F die aan de volgende vereisten voldoet: F1 elke A F is een nietlege deelverzameling van I F2 als A F en B F, dan is ook A B F F3 als A F en A B I, dan is ook B F. We zullen later vaak verwijzen (als F1, F2 en F3) naar deze filtereigenschappen. Definitie Een filter F is vrij als X F X =. Een filter F op I is een ultrafilter als voor elke X I ofwel X F, ofwel I \ X F. Als we nu een vrije ultrafilter U op ω nemen en in (1.2) is een grote verzameling vervangen door is een element van U, dan kan bewezen worden dat de verzameling van de equivalentieklassen een nietstandaard model van X vormt, dat we noteren met X := X ω /U. De elementen x X kunnen in X teruggevonden worden als constante rijen: x = [(x, x, x, x,... )]. Een vaak voorkomende filter (die geen ultrafilter is) is de Fréchetfilter: Definitie De Fréchetfilter op een oneindige verzameling I is F = {A I : I \ A is eindig}. Eigenschap Als F een vrije filter is op I, dan omvat F de Fréchetfilter. bijzonder is elke A F een oneindige verzameling. In het Bewijs. Zij willekeurig i I. Aangezien F vrij is, is i / X F X. Er bestaat dus een X F waarvoor geldt dat i / X. Bijgevolg is X I \ {i} F (wegens F3). Wegens F2 is dan ook I \ E F voor elke eindige E I. In het bijzonder is zo n eindige E / F, want anders zou ook = E (I \ E) F. Het nadeel van een universum gebaseerd op een filter die geen ultrafilter is, is dat overdracht er slechts geldt voor een beperkte klasse van formules Interne verzamelingen en functies Definitie Als U een vrije ultrafilter is op I en P (i) een eigenschap die afhankelijk is van i I, dan zeggen we dat P bijna overal (b.o.) geldt of voor bijna alle i (b.a. i) geldt als {i I : P (i)} U. Een bijzondere soort verzamelingen in X wordt geconstrueerd a.d.h.v. een rij van deelverzamelingen van X : Definitie Zij (A i ) i ω een rij van deelverzamelingen van X. Dan stellen we [A i ] := {[x i ] X : x i A i voor b.a. i}. We noemen [A i ] de interne deelverzameling van X gedefinieerd door (A i ) i ω. Deelverzamelingen van X die niet intern zijn, worden extern genoemd. 10

14 1.3. ULTRAFILTERMODELLEN Analoog kunnen we ook bijzondere functies X X definiëren a.d.h.v. een rij van functies X X : Definitie Zij (f i ) i ω een rij van functies X X. Dan stellen we [f i ] : X X : [f i ]([x i ]) = [f i (x i )]. We noemen [f i ] de interne functie X X gedefinieerd door de rij (f i ) i ω. Functies X X die niet intern zijn, worden extern genoemd. In een ultrafiltermodel is het makkelijk in te zien dat een verzameling intern is als ze opgebouwd is m.b.v. objecten waarvan we al weten dat ze intern zijn: Als Φ x, x 1,..., x n een formule is waarin x, x 1,..., x n als enige vrije veranderlijken optreden, A = [A i ] een interne verzameling is en a 1 = [a 1,i ],..., a n = [a n,i ] interne objecten zijn, dan is {x A : Φ x, a 1,..., a n } = [{x A i : Φ x, a 1,i,..., a n,i }], dus {x A : Φ x, a 1,..., a n } is intern. Dit wordt het interne definitieprincipe (I.D.P.) genoemd Eigenschappen Hier bekijken we enkele stellingen die hun nut zullen bewijzen in het verdere verloop van de tekst. Stelling Als U een ultrafilter is op I en P (i) en Q(i) eigenschappen zijn (afhankelijk van i I), dan geldt: 1. P (i) Q(i) b.o. P (i) b.o. en Q(i) b.o. 2. P (i) b.o. P (i) geldt niet b.o. 3. P (i) Q(i) b.o. P (i) b.o. of Q(i) b.o. Bewijs. 1. Met behulp van filtereigenschappen F2 en F3 krijgen we: P (i) Q(i) b.o. {i I : P (i) Q(i)} U {i I : P (i)} {i I : Q(i)} U {i I : P (i)} U en {i I : Q(i)} U P (i) b.o. en Q(i) b.o. 2. Wegens de definitie van ultrafilter en eigenschappen F1 en F2 hebben we P (i) b.o. {i I : P (i)} U {i I : P (i)} / U P (i) geldt niet b.o. 3. Aangezien P (i) Q(i) ( P (i) Q(i)), volgt dit volgt uit het herhaaldelijk toepassen van 1. en 2. 11

15 1.3. ULTRAFILTERMODELLEN Gevolg Zij (X, τ) een topologische ruimte en A i, B i X voor elke i ω. Dan is 1. [A i B i ] = [A i ] [B i ] 2. [A i B i ] = [A i ] [B i ] 3. [A i \ B i ] = [A i ] \ [B i ] Bewijs. Puntjes 1. en 2. volgen uit delen 1. en 3. van voorgaande stelling. Voor het bewijs van 3. gaan we als volgt te werk (waarbij we gebruik maken van delen 1. en 2. van voorgaande stelling): zij [x i ] X ω /U, dan geldt [x i ] [A i \ B i ] x i A i \ B i b.o. x i A i (ω \ B i ) b.o. x i A i b.o. en x i / B i b.o. [x i ] [A i ] en [x i ] / [B i ] [x i ] [A i ] \ [B i ] Opmerking Gevolg kan niet veralgemeend worden voor bijvoorbeeld een aftelbare unie. Om dit in te zien, beschouwen we volgend tegenvoorbeeld, waarbij X = ω. Stellen we voor alle i, k ω : A (k) i := {k}, dan tonen we aan dat [ k ω A(k) i ] k ω [A(k) i ]. Er geldt dat [ k ω A (k) i ] = [ {k}] = [ω] en [A (k) i ] = = [{1}] [{2}] k ω k ω k ω[{k}] Als we voor elke n ω : x n = n stellen, dan zien we dat [x n ] [ω] maar [x n ] / [{1}] [{2}], waaruit volgt dat [ k ω A(k) i ] k ω [A(k) i ]. 2. Merk op dat uit gevolg (1.) volgt dat de uitbreiding van de doorsnedeafbeelding twee interne verzamelingen ook effectief afbeeldt op hun doorsnede. Notatie Voor een verzameling S in het nietstandaard universum X noteren we met σ(s) de verzameling van de standaard elementen van S, i.e.: σ(s) := {x X : x S}. Lemma Zij (X, τ) een topologische ruimte en Y X. Dan geldt σ( Y ) = Y. Bewijs. σ( Y ) = X Y. Het is duidelijk dat Y X Y. Omgekeerd willen we aantonen dat voor alle a X Y geldt dat a Y. Neem zo n a willekeurig. a X, dus a is het standaard element a. a = a X Y a Y, en neerwaartse overdracht leert ons dat a Y. Stellen we X = ω dan kunnen we (door overdracht) aantonen dat elk element van ω \ ω oneindig groot is (d.w.z. groter dan elk natuurlijk getal). Daarom noteren we N := ω\ω. De elementen van ω worden hypernatuurlijke getallen genoemd, de elementen van N zijn juist de oneindige hypernatuurlijke getallen. 12

16 1.3. ULTRAFILTERMODELLEN Stelling (Overloop). Zij A ω een interne verzameling. 1. Als A alle natuurlijke getallen bevat, dan loopt A over tot in de oneindige hypernatuurlijke getallen, d.w.z.: als ω A, dan bestaat er een oneindig hypernatuurlijk getal N waarvoor {1, 2,..., N} A (overloop in het oneindige). 2. Als A alle oneindige hypernatuurlijke getallen bevat, dan loopt A over tot in de natuurlijke getallen, d.w.z.: als N A, dan bestaat er een natuurlijk getal N waarvoor {n N : n N} A (overloop in het eindige). 13

17 Hoofdstuk 2 Choquetspelen en -ruimtes 2.1 Definities Definitie Zij (X, τ) een nietlege topologische ruimte. Het Choquetspel G(X, τ) (of G(τ) als de verzameling duidelijk is) van X is als volgt gedefinieerd: spelers I en II kiezen elk om beurt een nietlege open deelverzameling van X I U 0 U 1 II V 0 V 1 zo dat U 0 V 0 U 1 V We zeggen dat II het spel wint als n V n (= n U n). (Dus I wint als n U n (= n V n) =.) Een strategie voor I in dit spel is een regel die zegt hoe I zijn n e zet U n moet spelen, voor alle n, gegeven de voorgaande zetten V 0, V 1,..., V n 1 van speler II. Formeel wordt dit gedefinieerd als volgt: zij T de boom van toegelaten posities in het Choquetspel G(τ), i.e., T bestaat uit alle eindige rijen (W 0,..., W n ), waarbij W i nietlege open deelverzamelingen van X zijn en W 0 W 1 W n. Een strategie voor I in G(τ) is een deelboom σ T zo dat (i) σ is nietleeg; (ii) als (U 0, V 0,..., U n ) σ, dan geldt voor alle open nietlege V n U n, dat (U 0, V 0,..., U n, V n ) σ; (iii) als (U 0, V 0,..., U n 1, V n 1 ) σ, dan geldt voor een unieke U n dat (U 0, V 0,..., U n 1, V n 1, U n ) σ. Intuïtief werkt de strategie σ als volgt: I begint met het spelen van U 0 waarbij (U 0 ) σ (en deze U 0 is uniek door (iii)); II speelt dan een nietlege open V 0 U 0 ; door (ii) is (U 0, V 0 ) σ. Dan antwoordt I door het spelen van de unieke nietlege open U 1 V 0 zo dat (U 0, V 0, U 1 ) σ, enzovoort. Een positie (W 0, W 1,..., W n ) T is compatibel met σ als (W 0, W 1,..., W n ) σ. Een spelverloop (U 0, V 0, U 1, V 1,... ) is compatibel met σ als (U 0, V 0,... ) een pad is door σ. De strategie σ is een winnende strategie voor I als hij elk spel wint waarbij het verloop compatibel is met σ (i.e. (U 0, V 0,... ) is een pad door σ n U n(= n V n) = ). De corresponderende noties van strategie en winnende strategie voor II worden mutatis mutandis gedefinieerd. Een nietlege topologische ruimte X wordt een Choquetruimte genoemd als speler II een winnende strategie heeft in G(τ). 14

18 2.2 Eigenschappen 2.2. EIGENSCHAPPEN In deze paragraaf bewijzen we enkele resultaten in verband met Choquetruimtes die we zullen gebruiken om de dichtheidsstelling in hoofdstuk 5 en het nietstandaard U.B.P. aan te tonen. Een eerste interessante eigenschap stelt dat elke open deelverzameling van een Choquetruimte (met de deelruimtetopologie) ook een Choquetruimte is. Eigenschap Zij (X, τ) een Choquetruimte en Y τ. Dan is Y met de deelruimtetopologie τ Y ook een Choquetruimte. Bewijs. Zij F een winnende strategie voor speler II in G(X, τ). We bepalen een winnende strategie F Y voor speler II in G(Y, τ Y ). Stel dat het spel G(Y, τ Y ) begint met de verzameling U 0 (gespeeld door speler I). U 0 is open in de deelruimtetopologie, dus U 0 = Y O 0 voor zekere O 0 τ. Aangezien Y τ, is U 0 τ. U 0 is dus ook een geldige zet in het spel G(X, τ), waardoor we de eerste zet V 0 voor de strategie F Y van speler II in G(Y, τ Y ) kunnen definiëren als de eerste zet van speler II volgens strategie F in G(X, τ) nadat speler I U 0 gespeeld heeft. V 0 τ en V 0 U 0 Y, dus V 0 = Y V 0 τ Y. Vervolgens speelt speler I de verzameling U 1 V 0, opnieuw is U 1 = Y O 1 τ dus zo verdergaand vinden we dat strategie F in G(X, τ) eveneens een goed gedefinieerde en winnende strategie is voor speler II in G(Y, τ Y ). Stelling Elke nietlege compleet metriseerbare ruimte is een Choquetruimte. Bewijs. Zij (X, τ) compleet metriseerbaar en d een metriek die τ induceert zo dat (X, d) een complete metrische ruimte is. We construeren een winnende strategie voor speler II in het spel G(X, τ). Voor elke k ω gaan we als volgt te werk. Als (U 1, V 1, U 2,..., U k 1, V k 1, U k ) gespeeld is, kies dan een nietlege open deelverzameling V k van U k met diameter(v k ) < 1 k zo dat V k U k. Zij x k V k willekeurig. De rij (x n ) n is dan een Cauchyrij, en X is compleet dus x n x X. Deze x behoort tot n V n n U n = n V n, dus n V n en speler II wint het spel. Vervolgens tonen we aan dat een comagere deelruimte van een Choquetruimte ook Choquet is (stelling 2.2.8). Daarvoor hebben we enkele tussenresultaten nodig. Definitie Een verzameling van de vorm n ω U n, waarbij elke U n een open verzameling is, wordt een G δ -verzameling genoemd. Lemma Een dichte G δ -deelruimte van een Choquetruimte is Choquet. Bewijs. Zij (X, τ X ) een Choquetruimte, σ een winnende strategie voor speler II in G(τ X ) en W = n ω W n (met elke W n open in X) een dichte G δ -deelruimte van X. We construeren een winnende strategie σ voor speler II in G(τ W ), zoals te zien is in onderstaande tabel. Stel dat in het spel G(τ W ) de eerste zet van speler I de nietlege verzameling U 0 is (open in W ), dan bestaat per definitie van deelruimtetopologie een A 0 die open is in X zo dat A 0 W = U 0. We stellen Ũ0 := A 0 W 0 en beschouwen het spel G(τ X ) waarbij speler I als eerste zet Ũ0 speelt (dit kan, want Ũ0 is open in X en nietleeg want U 0 Ũ0). Strategie σ bepaalt dan de nietlege verzameling Ṽ0 Ũ0 (met Ṽ0 τ X ) die speler II moet spelen. We construeren de strategie σ in G(τ W ) door als eerste zet voor speler II, na U 0 van speler I, V 0 := Ṽ0 W te stellen (dit is een geldige zet want V 0 Ũ0 W A 0 W = U 0, V 0 τ W en V 0 is nietleeg want W is dicht in X). Speler I vervolgt het spel G(τ W ) door U 1 te spelen (met dus U 1 V 0 ). Om de volgende zet van speler II volgens σ te definiëren, schakelen we 15

19 2.2. EIGENSCHAPPEN opnieuw over op het spel G(τ X ). Er bestaat een open A 1 in X zo dat U 1 = A 1 W. We stellen Ũ1 := A 1 W 1 Ṽ0. Omdat Ũ1 nietleeg is (wegens = U 1 Ũ1), open is in X en Ũ 1 Ṽ0, kunnen we als tweede zet van speler I in G(τ X ) de verzameling Ũ1 nemen. Als Ṽ1 de daaropvolgende verzameling, gespeeld door speler II, bepaald door σ, is, dan definiëren we in G(τ W ) de volgende zet van speler II volgens σ als V 1 := Ṽ1 W. Op deze manier verdergaand construeren we een strategie σ voor speler II in G(τ W ). We tonen aan dat dit een winnende strategie is. Aangezien per constructie voor alle k : Ũ k Ṽk 1 W k (met Ṽ 1 = X), is n ω Ũn n ω Ṽn W. Omdat σ een winnende strategie is voor speler II in G(τ X ), is n ω Ũn dus er volgt dat n ω V n = n ω Ṽn W. We besluiten dat σ een winnende strategie is voor speler II in G(τ W ). G(W, τ W ) G(X, τ X ) U 0 = A 0 W Ũ 0 := A 0 W 0 σ V 0 := Ṽ0 W Ṽ 0 U 1 = A 1 W Ũ1 := A 1 W 1 Ṽ0 σ V 1 := Ṽ1 W Ṽ 1.. Lemma Zij X een topologische ruimte en Y X een dichte deelruimte die Choquet is. Dan is X een Choquetruimte. Bewijs. Zij σ een winnende strategie voor speler II in G(Y, τ Y ). Op basis van deze strategie construeren we een winnende strategie σ voor speler II in G(X, τ X ). Zij U 0 de eerste zet van speler I in G(τ X ). Dan is Ũ0 := Y U 0 open in Y en Ũ0 is nietleeg omdat Y dicht is in X, dus Ũ0 is een geldige eerste zet in G(τ Y ). Zij Ṽ0 Ũ0 de daaropvolgende zet van speler II volgens σ. Er bestaat een open V 0 in X zo dat Ṽ0 = Y V 0. We construeren strategie σ door te stellen dat de eerste zet van speler II in G(τ X ) V 0 := V 0 U 0 is (deze is geldig want V 0 U 0, V 0 is open in X omdat V 0 en U 0 open zijn in X, en V 0 is nietleeg omdat V 0 Ṽ0 ). Speler I reageert in G(τ X ) door U 1 V 0 te spelen, en opnieuw stellen we Ũ 1 := Y U 1 de volgende zet van I in G(τ Y ). Als Ṽ1 de zet is die vervolgens opgelegd wordt door σ, bestaat er een open V 1 in X waarvoor Ṽ1 = Y V 1, en we construeren σ verder door de volgende zet van speler II in G(τ X ) te definiëren als V 1 := V 1 U 1. Zo verdergaand construeren we een volledige strategie σ voor speler II in G(τ X ). Er rest nog te bewijzen dat σ een winnende strategie is voor II: omdat elke Ũn = Y U n, is n Ũn = Y n U n. Aangezien σ een winnende strategie is voor II in G(τ Y ), is n Ũn, dus er volgt dat n U n. We besluiten dat σ een winnende strategie is voor speler II in G(τ X ). Het bewijs van de stelling van Oxtoby vermelden we hier niet maar kan geraadpleegd worden in [5] of [8]. Stelling (Oxtoby). Een nietlege topologische ruimte (X, τ) is een Baireruimte als en slechts als speler I geen winnende strategie heeft in het Choquetspel G(X, τ). 16

20 2.2. EIGENSCHAPPEN Gevolg Elke Choquetruimte is een Baireruimte. Stelling Een comagere deelruimte van een Choquetruimte is een Choquetruimte. Bewijs. Zij (X, τ) een Choquetruimte en (Y, τ Y ) een comagere deelruimte. Uit lemma B.2.9 volgt dat Y n ω U n =: A met elke U n open en dicht in X. Wegens gevolg is X een Baireruimte, dus A is dicht in X. Lemma impliceert dat A een Choquet deelruimte is van X, en uit lemma B.1.3 volgt dan dat A een Choquet deelruimte is van Y. We tonen nu aan dat A dicht is in Y : zij U Y (met U τ) een willekeurige open verzameling in Y. Aangezien A dicht is in X, is A U, en A U = A U Y (omdat A Y ) dus A is dicht in Y. Wegens lemma mogen we tenslotte besluiten dat Y een Choquetruimte is. 17

21 Hoofdstuk 3 Selectieve ultrafilters 3.1 Definitie Propositie Zij U een vrije ultrafilter op ω. Dan zijn volgende uitspraken equivalent: (a) Voor elke partitie {A n : n ω} van ω in ℵ 0 delen zo dat A n / U voor elke n, bestaat er een X U zo dat X A n juist 1 element bevat voor elke n ω. (a ) Voor elke partitie {A n : n ω} van ω in ℵ 0 delen zo dat A n / U voor elke n, bestaat er een X U zo dat X A n 1 voor elke n ω. (b) Elke afbeelding f : ω ω is ofwel constant op een verzameling X U, ofwel injectief op een verzameling X U. Bewijs. (a) (b) : Veronderstel dat U een vrije ultrafilter is op ω die voldoet aan (a). Beschouw een afbeelding f : ω ω. f partitioneert ω in verzamelingen {A n : n ω A n }, waarbij A n := {k ω : f(k) = n}. We onderscheiden twee gevallen: Geval 1: A m U voor zekere m ω. In dit geval heeft f de constante waarde m op X := A m U, waarmee voldaan is aan (b). Geval 2: n ω geldt dat A n / U. f partitioneert ω in een eindig aantal verzamelingen A 1, A 2,..., A k (k ω) : Wegens filtereigenschap F2 en de definitie van ultrafilter, is (ω \ A 1 ) (ω \ A 2 ) (ω \ A k ) U. Maar de A n s partitioneren ω, dus (ω \ A 1 ) (ω \ A 2 ) (ω \ A k ) =. Dit levert een strijdigheid op met F1, dit subgeval kan zich dus niet voordoen. f partitioneert ω in ℵ 0 verzamelingen: Eigenschap (a) impliceert dat er een X U bestaat zo dat X A n juist 1 element bevat voor elke n ω. f is dus injectief op X, en (b) is aangetoond. (b) (a ) : Zij U een vrije ultrafilter die voldoet aan (b). Beschouw een partitie {A n : n ω} van ω in ℵ 0 delen zo dat voor alle n ω : A n / U. Beschouw de afbeelding f : ω ω : k n als k A n. f is goed gedefinieerd omdat {A n : n ω} een partitie is van ω. Uit (b) volgt nu dat er twee gevallen mogelijk zijn: Geval 1: f is constant op een verzameling X U. Door de definitie van f betekent dit dat X A m voor een zekere m ω. Dus X A m ω en X U, waaruit volgt (wegens F3) dat A m U, een strijdigheid. 18

22 3.1. DEFINITIE Geval 2: f is injectief op een verzameling X U. Dit wil zeggen dat X juist één element gemeen heeft met de verzamelingen A n waarvoor n {f(x) : x X}. Met de overige verzamelingen A n heeft X geen enkel punt gemeen. Dus n ω : X A n 1, waarmee (a ) bewezen is. (a ) (a) : Zij U een vrije ultrafilter op ω en veronderstel dat (a ) geldt. Beschouw een willekeurige partitie {A n : n ω} van ω in ℵ 0 delen waarbij A n / U voor elke n ω. Wegens (a ) bestaat er een X U zo dat X A n 1 voor elke n ω. Uit de verzamelingen A n die een lege doorsnede hebben met X kunnen we (met behulp van het keuzeaxioma) telkens één element kiezen om toe te voegen aan X. Zo bekomen we een verzameling Y X. Wegens F3 is Y U, en door onze constructie heeft Y juist één punt gemeen met elke A n (n ω), zodat (a) bewezen is. Definitie Een vrije ultrafilter die voldoet aan de eigenschappen van propositie wordt een selectieve ultrafilter of Ramsey-ultrafilter genoemd. Lemma Als U een vrije filter is op ω die voldoet aan (a ) uit propositie 3.1.1, dan is U een ultrafilter. Bijgevolg is U dan een selectieve ultrafilter. Bewijs. Veronderstel uit het ongerijmde dat U geen ultrafilter is. Dan bestaat er een verzameling Y ω zo dat Y / U en ω \ Y / U. Zowel Y als ω \ Y zijn oneindig, want als één van hen eindig zou zijn, dan zou de ander tot U behoren wegens eigenschap We kunnen deze verzamelingen dus voorstellen als Y = {y n : n ω, n > 0} en ω \ Y = {x n : n ω, n > 0}. Nu willen we eigenschap (a ) uit propositie toepassen op de partities {A n : n ω} en {B n : n ω}, gedefinieerd als: A 0 = Y B 0 = ω \ Y A 1 = {x 1 } B 1 = {y 1 } A 2 = {x 2 } B 2 = {y 2 } A 3 = {x 3 } B 3 = {y 3 }.. Dit is toegestaan omdat voor elke n ω geldt dat A n / U en B n / U (voor n = 0 geldt dit bij onderstelling en voor de overige n volgt dit uit eigenschap 1.3.4). Uit (a ) volgt dat er een S U en T U bestaan zo dat n ω : S A n 1 en T B n 1. We breiden S (resp. T ) uit door een element toe voegen van elke A n (resp. B n ) waarvoor S A n = (resp. T B n = ) en noemen de uitgebreide verzameling S (resp. T ). Bijgevolg is S = (ω \ Y ) {y} en T = Y {x} voor zekere y Y, x ω \ Y. Uit F3 volgt dat S en T behoren tot U, en F2 leert dat S T = {x, y} U, maar uit eigenschap weten we dat elk element van U oneindig moet zijn. Deze strijdigheid toont aan dat U een ultrafilter is. 19

23 3.2. BESTAAN 3.2 Bestaan In de vorige paragraaf hebben we selectieve ultrafilters gedefinieerd, nu zullen we aantonen dat er ook echt een selectieve ultrafilter bestaat (onder de continuümhypothese). We beginnen met het invoeren van de begrippen cofinaal en bijna bevat zijn in: Definitie Zij (P, ) een poset. Een deelverzameling A van P wordt cofinaal genoemd als er voor elke x P een y A bestaat zo dat x y. Definitie Zij A, B verzamelingen. We zeggen dat A bijna bevat is in B als A \ B eindig is en we noteren dit als A B. Eigenschap Zij A, B, C verzamelingen. Dan geldt er: (i) Als A B C, dan is A C. (ii) Als A B en A C, dan is A B C. Bewijs. (i) volgt uit A \ C = (A \ C) \ B (A \ C) B A \ B B \ C en (ii) volgt uit A \ (B C) = A \ B A \ C. Om een selectieve ultrafilter te construeren zullen we ook steunen op het volgende resultaat uit de verzamelingenleer (zie bijvoorbeeld [9]): Lemma Als κ en λ kardinaalgetallen zijn met λ oneindig en 2 κ 2 λ, dan is κ λ = 2 λ. Propositie Als we de continuümhypothese (2 ℵ 0 = ℵ 1 ) aannemen, dan bestaat er een selectieve ultrafilter. Bewijs. Om dit te bewijzen zullen we effectief een selectieve ultrafilter construeren. Stel A gelijk aan de verzameling van alle partities van ω in oneindig veel stukken. A {f : afbeelding ω ω} = ω ω = 2 ω = 2 ℵ 0 = ℵ 1. De ongelijkheid geldt omdat er een injectie i : A {f : afbeelding ω ω} bestaat (bijvoorbeeld de afbeelding i die de partitie {A n : n ω} stuurt op de afbeelding f : ω ω : k n als k A n ). De tweede gelijkheid volgt uit lemma en de laatste gelijkheid is juist de continuümhypothese. We kunnen A dus voorstellen als {A α : α < ω 1 } (als A < ℵ 1 zou zijn, dan stellen we voor de overige α s: A α = {ω}). We construeren nu een ω 1 -rij van oneindige deelverzamelingen van ω als volgt: gegeven X α, neem X α+1 X α zodanig dat ofwel X α+1 A voor zekere A A α, ofwel X α+1 A 1 voor alle A A α. Zo n X α+1 kan steeds gevonden worden, want als er geen enkele oneindige Y X α bestaat zo dat Y A voor zekere A A α, dan wil dat zeggen dat X α met elke A A α slechts een eindig aantal elementen gemeen heeft. Aangezien X α oneindig is, moet X α een oneindig aantal A A α doorsnijden. Men kan dan een oneindige X α+1 X α vinden die met elke A A α hoogstens één element gemeen heeft. Als α een limietordinaal is, neem dan X α zo dat X α X β voor alle 20

24 3.3. EIGENSCHAPPEN β < α. We tonen aan (door constructie) dat er zo n X α bestaat. Zij α een limietordinaal. We werken per inductie op α. Neem een cofinale ω-rij β 1 < β 2 < < β n < in α en stel, voor elke n ω, Y n := i<n X β i. Elke X βn is oneindig (per constructie) en X βn X βn 1. Dit laatste zien we als volgt in: Als β n een opvolgerordinaal is en er geen enkele limietordinaal γ bestaat zo dat β n 1 < γ < β n, dan is X βn 1 X βn, zodat X βn X βn 1. Als β n een opvolgerordinaal is en er een limietordinaal γ bestaat zo dat β n 1 < γ < β n, noem dan δ de grootste van deze tussenliggende limietordinalen. We hebben dat X βn \ X βn 1 X δ \ X βn 1, en X δ X βn 1 wegens de inductiehypothese, dus X βn X βn 1. Het is ook mogelijk dat β n een limietordinaal is. Dan is X βn X βn 1 omdat we het zo (per inductie) gedefinieerd hebben. Uit het feit dat X βn oneindig is en X βn X βn 1, volgt dat X βn X βn 1 oneindig is. Analoog vinden we dat X βn X βn 1 X βn 2 oneindig is omdat X βn X βn 1 en X βn 1 X βn 2. Zo verdergaand vinden we dat Y n oneindig is voor alle n ω. We kunnen nu de verzameling X α = {x n : n ω} construeren door voor elke n een x n Y n \ {x 0, x 1,..., x n 1 } te kiezen, zodat X α \ X βn {x 0, x 1,..., x n 1 } dus X α X βn. Deze X α voldoet, want voor een willekeurige β < α vindt men wegens cofinaliteit een β n > β. Dan is X α X βn en X βn X β, dus wegens lemma (i) is X α X β. We beweren nu dat U = {X : ( α < ω 1 )(X α X)} een selectieve ultrafilter is. F1 geldt voor U aangezien elke X α oneindig is. Om F2 aan te tonen nemen we willekeurige X, Y U. Zij α, β < ω 1 zo dat X α X en X β Y. Zonder verlies van algemeenheid mogen we aannemen dat α β. Daaruit volgt (zoals hierboven aangetoond) dat X β X α. Lemma (i) impliceert dat X β X. Uit lemma (ii) volgt dan dat X β X Y, dus X Y U. Voor F3 beschouwen we een X U (met X α X) en een X Y ω. Dan is X α \ Y X α \ X eindig, dus Y U. Om aan te tonen dat U een vrije filter is, gaan we te werk uit het ongerijmde. Stel dat x X U X. Neem een willekeurige X U, met X α X voor een α < ω 1. Dan is ook X α (X \ {x}) dus X \ {x} U, wat strijdig is met x X U X. Vervolgens tonen we aan dat de vrije filter U voldoet aan uitspraak (a ) in propositie Zij {B n : n ω} een partitie van ω in ℵ 0 delen zo dat B n / U voor elke n. Er bestaat een β < ω 1 zo dat A β = {B n : n ω}. We hebben X β+1 zo geconstrueerd dat X β+1 B n voor zekere n ω, ofwel X β+1 B n 1 voor alle n ω. Als X β+1 bevat zou zijn in een zekere B n, dan is X β+1 \ B n leeg dus eindig, waaruit volgt dat B n U, strijdigheid. Er volgt dus dat X β+1 B n 1 voor alle n ω. Bijgevolg voldoet X β+1 aan de gewenste eigenschap in (a ). Uit lemma volgt dat U een selectieve ultrafilter is. 3.3 Eigenschappen Ramsey-eigenschap Een typisch kenmerk van Ramsey-ultrafilters is de Ramsey-eigenschap. Om die te kunnen bewijzen zullen we een gevolg van de volgende eigenschap gebruiken. Eigenschap Als U een selectieve ultrafilter is en X 0 X 1 X 2 een rij in U, dan bestaat er een Y U zo dat Y X n voor alle n. 21

25 3.3. EIGENSCHAPPEN Bewijs. Geval 1: n ω X n U. In dit geval stellen we Y := n ω X n en daarmee is het gestelde bewezen. Geval 2: n ω X n / U. Beschouw de partitie { n ω X n, ω \ X 0, X 0 \ X 1, X 1 \ X 2, } van ω. n ω X n / U bij veronderstelling. ω \ X 0 / U, want anders zou (ω \ X 0 ) X 0 = U. Analoog behoren de andere verzamelingen van de partitie niet tot U (anders zou (X n \ X n+1 ) X n+1 = U). Omdat U een selectieve ultrafilter is, vinden we een Y U zo dat voor elke n geldt: Y (X n \ X n+1 ) = Y (ω \ X 0 ) = Y ( n ω X n) = 1. Daaruit volgt dat Y \ X n eindig is voor alle n. Gevolg Zij U een selectieve ultrafilter en X 0 X 1 X 2 elementen van U. Dan bestaat er een rij a 0 < a 1 < a 2 < in ω zo dat {a n } n=0 U, a 0 X 0 en a n+1 X an n. Bewijs. Eigenschap geeft ons een Y U zo dat Y \ X n eindig is voor elke n. We definiëren als volgt een rij y 0 < y 1 < in Y : y 0 = de kleinste y 0 Y zo dat {y Y : y > y 0 } X 0, y 1 = de kleinste y 1 Y zo dat y 1 > y 0 en {y Y : y > y 1 } X y0, y n = de kleinste y n Y zo dat y n > y n 1 en {y Y : y > y n } X yn 1. Voor elke n, stel A n = {y Y : y n < y y n+1 }. We tonen aan dat n A n U. Stel E = {y Y : y y 0 }. E is eindig, dus wegens eigenschap behoort E niet tot U. Aangezien U een ultrafilter is, volgt er dat ω \ E U. We vinden dat n A n = Y (ω \ E) U wegens F 2. De partitie {ω \ n A n, A 0, A 1, A 2,... } bevat dus geen enkele verzameling die tot U behoort (elke A n is eindig dus geen element van U wegens lemma 1.3.4). Omdat U selectief is, bestaat er een X U zo dat voor elke n : X A n = X (ω \ n A n) = 1. We stellen X A n = {z n } voor alle n. {z n } n=0 = X n A n U wegens F 2, en z n A n voor elke n. We observeren dat voor elke n, z n+2 X zn : aangezien z n+2 A n+2, is z n+2 > y n+2. Per definitie van y n+2 is {y Y : y > y n+2 } X yn+1, dus z n+2 X yn+1. Het element z n behoort tot A n = {y Y : y n < y y n+1 }, dus y n+1 z n, zodat X yn+1 X zn. Uit z n+2 X yn+1 en X yn+1 X zn volgt inderdaad dat z n+2 X zn. We stellen nu a n = z 2n en b n = z 2n+1, voor alle n. Ofwel is {a n } n=0 U, ofwel is {b n } n=0 U (stel dat zowel {a n } n=0 als {b n } n=0 niet tot U behoren, dan is ω \ {z n } n=0 = (ω \ {a n } n=0) (ω \ {b n } n=0) U, een strijdigheid). In beide gevallen voldoet de rij aan de gestelde eigenschappen. We vonden ook nog een ander interessant gevolg van eigenschap Gevolg Als x R is waarvoor geldt dat x N voor elke N ω, dan bestaat er een representerende rij (x n ) n zo dat x = [x n ] en lim n x n =. Bewijs. Zij x = [y n ]. Aangezien x oneindig is, is A M := {n ω : y n M} U voor elke M ω. A 0 A 1 A 2 is dus een rij in U. Toepassing van eigenschap geeft ons een Y U zo dat Y A M voor alle M, met andere woorden, voor elke M ω zijn er slechts een eindig aantal n Y waarvoor y n < M. Hieruit volgt dat lim n Y,n y n =. Voor alle n Y stellen we x n := y n. Voor elke n / Y kiezen we een x n R zo dat lim n x n =. Aangezien Y U, is [x n ] = [y n ] = x. Stelling (Ramsey-eigenschap). Een vrije ultrafilter U is selectief als en slechts als er voor elke S [ω] 2 een X U bestaat zo dat ofwel [X] 2 S ofwel [X] 2 S compl. 22

26 3.3. EIGENSCHAPPEN Bewijs. : Onderstel dat U een vrije ultrafilter is met de eigenschap die beschreven is in het lemma. Zij {A n : n ω} een partitie van ω zo dat A n / U voor elke n. Beschouw de afbeelding { F : [ω] 2 0 als x A l en y A m met l m {0, 1} : F (x, y) = 1 als k ω zo dat x, y A k. F kan beschouwd worden als de karakteristieke functie van een verzameling S [ω] 2. Uit het gegeven volgt dat er een X U bestaat zo dat ofwel [X] 2 S, ofwel [X] 2 S compl. In het eerste geval betekent dit dat X A k voor een zekere k ω. Wegens filtereigenschap F3 is dan A k U, een strijdigheid. Enkel de tweede mogelijkheid kan zich dus voordoen: er bestaat een X U zo dat [X] 2 S compl. Wegens de definitie van de afbeelding F, wil dit zeggen dat X A n 1 voor alle n. Dit bewijst dat U een selectieve ultrafilter is. : Onderstel dat U een selectieve ultrafilter is en zij S [ω] 2 willekeurig. We stellen voor elke a ω : S a = {n ω : {a, n} S} ω. Aangezien U een ultrafilter is, geldt er voor elke a ω dat S a U of ω \ S a U. Als S a U stellen we H a := S a en als ω \ S a U stellen we H a := ω \ S a. We stellen nu T = {a ω : S a U} (dus ω \ T = {a ω : ω \ S a U}). Opnieuw uit het feit dat U een ultrafilter is, volgt er dat T U (geval a; in dit geval stellen we Y = T ) of ω \ T U (geval b; in dit geval stellen we Y = ω \ T ). Voor alle n stellen we nu X n := Y H 0 H 1 H 2 H n. Toepassing van gevolg leert ons dat er een rij a 0 < a 1 < a 2 < bestaat waarvoor geldt dat a 0 X 0, a n+1 X an voor alle n en {a n } n=0 U. We stellen X = {a n } n=0 U en tonen aan dat deze X aan de gestelde voorwaarde voldoet. X U dus er rest ons te bewijzen dat [X] 2 S of [X] 2 S compl. Zij a n, a m X willekeurig met n < m. a m X am 1 X an = Y H 0 H 1 H an H an a m H an (3.1) Geval a (T U): we tonen aan dat [X] 2 S. We merken op dat X Y = T, dus voor alle n ω geldt: H an = S an. Bijgevolg is a m S an, waaruit volgt dat {a n, a m } S. Hiermee hebben we aangetoond dat [X] 2 S. Geval b (ω \ T U): we tonen aan dat [X] 2 S compl. In dit geval is X Y = ω \ T, dus voor alle n ω geldt: H an = ω \ S an. Uit (3.1) volgt er dat a m / S an, zodat {a n, a m } S compl. We hebben dus bewezen dat [X] 2 S compl. Voor het vervolg van de thesis volstaat deze vorm van de Ramsey-eigenschap, voor een algemenere vorm verwijzen we naar [7] U-bomen De bomen die we hier zullen beschouwen zijn gewortelde bomen met een aftelbaar aantal toppen. De toppen zijn gelabeld met natuurlijke getallen. We beperken ons tot bomen waarin het label van een top strikt groter is dan het label van zijn voorganger (geteld vanaf de wortel). Ook moeten labels van opvolgers van dezelfde top allemaal verschillend zijn. Onder 23

27 3.3. EIGENSCHAPPEN deze restricties kan een top van de boom T uniek beschreven worden door de verzameling van de labels van de top en zijn voorgangers. De boom T wordt gecodeerd als de verzameling van alle beschrijvingen van zijn toppen, zoals in het volgende voorbeeld (zie figuur 1): Figuur 3.1: Visualisatie van bomen T = {, {0}, {2}, {5}, {6}, {0, 1}, {0, 5}, {0, 8}, {2, 5}, {5, 6}, {5, 8}, {5, 9}, {6, 7}, {6, 8}}. In het algemeen kan een boom oneindig zijn. We komen dus tot de volgende definitie. Definitie Een boom T op ω is een nietlege verzameling van eindige deelverzamelingen van ω die gesloten is onder beginsegmenten (i.e., als t {n} T en n > max(t), dan t T ). De verzameling van opvolgers T (t) van een top t T is de verzameling T (t) := {n > max(t) : t {n} T }. We noemen T ω n het n e niveau van T en we noteren dit als T n, voor n ω \ {0}. Een pad door T is een oneindige deelverzameling {n 1, n 2,..., n k,... } van ω met n 1 < n 2 < < n k <, waarvoor geldt dat elk beginsegment {n 1,..., n k } T. Definitie Zij U een vrije ultrafilter op ω. Een U boom T is een boom met de eigenschap dat T (t) U, voor elke t T. Met behulp van de Ramsey-eigenschap, kunnen we nu een sterke eigenschap aantonen voor selectieve ultrafilters. Stelling Als U een selectieve ultrafilter is en T een U-boom, dan bestaat er een pad door T dat tot U behoort. Bewijs. Voor elke n ω definiëren we H n := t T max(t) n T (t). Aangezien dit een eindige doorsnede is, is H n U voor elke n (filtereigenschap F2). We merken ook op dat H 0 H 1 H 2. (i) Eerst bewijzen we dat er een X U bestaat met de eigenschap dat ( n, m X met n < m)(m H n ). (3.2) Om dit aan te tonen, beschouwen we een verzameling S [ω] 2 die gedefinieerd is als volgt: als m, n ω met n < m, dan {n, m} S m H n. 24

28 3.4. RUDIN-KEISLERORDENING Wegens de Ramsey-eigenschap (stelling 3.3.4) bestaat er ofwel een X U zo dat elke verzameling {n, m} van elementen n, m X (n < m) behoort tot S, in welk geval (3.2) bewezen is, ofwel bestaat er een X U zo dat geen enkele verzameling {n, m} van elementen n, m X (n < m) tot S behoort, i.e.: ( n, m X met n < m)(m / H n ). (3.3) We tonen aan dat deze mogelijkheid zich niet kan voordoen. Stel n 0 := min(x). Als m X \ {n 0 }, dan is m > n 0, dus m / H n0 (wegens (3.3)). Dus H n0 (X \ {n 0 }) =, wat een strijdigheid oplevert omdat H n0 en X tot U behoren. (ii) We tonen aan dat X H 0 U het gewenste pad door T is. Zij X H 0 = {n 0,..., n k... } met n 0 < n 1 < < n k <. Dan is n 0 H 0 T ( ). Omdat n 0 < n 1 en n 0, n 1 X, is wegens (i): n 1 H n0 T ({n 0 }). We kunnen zo verdergaan, in het algemeen vinden we n k+1 H nk T ({n 0,..., n k }). Opmerking Stelling geldt niet in het algemeen voor filters die geen selectieve ultrafilters zijn. Beschouw als tegenvoorbeeld de Fréchtefilter F en de F-boom T die als volgt geconstrueerd wordt (zie figuur 2). De wortel is zoals steeds, en we stellen voor het eerste niveau T 1 := ω. Vervolgens definiëren we T inductief. Stel dat T n 1 geconstrueerd is. Dan stellen we voor elke t T n 1 : T (t) = {n ω : n max(t) + 2}. T is duidelijk een F-boom. T bevat geen enkel pad dat tot F behoort: stel dat S F een pad door T is. Dan heeft S een eindig complement, dus er bestaat een N S zo dat {N, N + 1, N + 2,... } S. Maar door de constructie van T is het onmogelijk dat twee opeenvolgende natuurlijke getallen tot eenzelfde pad behoren. Deze strijdigheid bewijst onze bewering dat T geen enkel pad S F bevat. We zien dus dat stelling niet geldt voor de Fréchetfilter Figuur 3.2: F-boom die geen pad S F bevat (met F de Fréchetfilter) 3.4 Rudin-Keislerordening We introduceren in deze paragraaf een ordening op de equivalentieklassen van ultrafilters onder de volgende equivalentierelatie: 25