Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde. Incidentiemeetkunde. Cursus Master Wiskunde. Academiejaar

Transcriptie

1 Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Incidentiemeetkunde Cursus Master Wiskunde Academiejaar Verantwoordelijke lesgevers: Prof. Koen Thas, dr. Koen Struyve CURSUS SAMENGESTELD DOOR YANNICK NEYT, PIET-MICHIEL RAPPELET EN BERT SEGHERS

2 Inhoudsopgave 1 Meetkunden Incidentiemeetkunden Punt-rechte-meetkunden Projectieve ruimten en vlakken Veralgemeende veelhoeken Veralgemeende vierhoeken Reguliere en projectieve punten Groepen en meetkunden Automorfismegroepen Differentieverzamelingen Nevenklassemeetkunden Translatievlakken Translatie veralgemeende vierhoeken Gebouwen van rang Tits-systemen Tits-veralgemeende vierhoeken en BN-paren Een BN-paar uit een vierhoek Een vierhoek uit een BN-paar BN-paren van andere types Klassering van gebouwen Appartementen, wortels en wortelelaties Half-Moufang impliceert Moufang

3 4 Gebouwen Een meetkundige definitie van gebouwen Voorbeelden Een grafentheoretische definitie van gebouwen Voorbeelden Een groepentheoretische definitie van gebouwen Variatopics Classificatie van eindige coxetergroepen Coxetercomplexen en homotopieën Criteria voor eindigheid en affiniteit van coxetergroepen Over een klasse tweevoudig transitieve groepen Elaties van veralgemeende vierhoeken Inleiding EGQ s als nevenklassenmeetkunden Verloop van het bewijs Vrije constructie van Tits n-hoeken Als Yannick zich verveelt, mag hij me altijd bijstaan met de volgende problemen op te lossen: - opzoeken wat een regulier punt is en een projectief punt, en welke van de twee je hebt als de afgeleide een projectief vlak vormt. Laatste paragraaf voor - De paarse commentaren lezen en oplossen indien mogelijk. Ik kan het niet. - De translatiegroep T is uniek en abels: er bestaat juist 1 groep per rechte. Ik ga niet akkoord met het bewijs. Kan je het nalezen en jezelf ervan overtuigen dat het juist of fout is? Wat in het paars staat is ofwel bullshit, ofwel onvoldoende duidelijk gemaakt. - 3

4 Hoofdstuk 1 Meetkunden 1.1 Incidentiemeetkunden In deze cursus incidentiemeetkunde zijn bijna alle ruimten die we bespreken ook incidentiemeetkunden: ze hebben enkele basisprincipes gemeen. We beginnen dan ook met de definitie van een incidentiemeetkunde om daarna verschillende soorten incidentiemeetkunden te bestuderen Definitie. Een incidentiemeetkunde M = (V, T, type, I) met V een verzameling, T een verzameling, type een afbeelding van V T en I een relatie op V V, heeft de volgende axioma s: de afbeelding type is surjectief, de incidentierelatie I is symmetrisch. De rang van de meetkunde is T. Een meetkunde M = (V, T, type, I) is eindig als V eindig is Opmerking. We kunnen de incidentiegraaf Γ(M) van een incidentiemeetkunde als volgt definiëren: de toppen zijn de elementen van V en de adjacentie is bepaald door I. Als we de vezels onder de type-afbeelding bekijken, hebben we een partitie van V. 1.2 Punt-rechte-meetkunden Omdat meetkunden van hogere rang vaak zonder verlies van informatie kunnen gezien worden als rang 2-meetkunden, zullen we de notatie voor rang 2-meetkunden verlichten. Een drietal (P, B, I), met P en B nietledige en disjuncte verzamelingen waarvan we de objecten punten en rechten noemen, en I een relatie P B, noemen we een punt-rechte-meetkunde Stelling. De klasse van punt-rechte-meetkunden is deze van de rang 2-meetkunden. Bewijs. Zij (P, B, I) een punt-rechte-meetkunde. Definieer een relatie I (P B) 2 door L I p p I L p I L, p P, L B en p I p, L I L, p, p P, L, L B. Definieer type : 4

5 P B {0, 1} als type(p) = 0 p P en type(l) = 1 L B. Dan is (P B, {0, 1}, type, I ) de geassocieerde rang 2-meetkunde. Zij (V, {a, b}, type, I ) een incidentiemeetkunde van rang 2. Dan is de overeenkomstige puntrechte-meetkunde (type 1 (a), type 1 (b), I), met p I L p I L p type 1 (a), L type 1 (b). Twee verschillende punten x en y in een punt-rechte-meetkunde worden collineair genoemd als er een rechte L bestaat waarvoor x I L I y. Twee verschillende rechten M en N waarvoor er een punt z bestaat zodat M I z I N, noemen we concurrent. We gebruiken het teken voor collineariteit en concurrentie. Of een punt collineair is met zichzelf, is een kwestie van conventie. Soms worden uitspraken eenvoudiger als we een bepaalde keuze maken. In het vervolg hanteren wij de conventie dat punten altijd collineair zijn met zichzelf en rechten concurrent met zichzelf Definitie. Zij A P een puntenverzameling. A := {z P z a a A}. x := {z P z x} = de verzameling van alle punten collineair met x. A := (A ). We noemen dit de span van A. Alle notaties gelden analoog voor rechten Voorbeeld. Elke graaf kan men zien als een punt-rechte-meetkunde door de toppen te zien als de punten en de bogen als rechten met juist twee punten. 1.3 Projectieve ruimten en vlakken Deze paragraaf verklaart waarom we elke projectieve meetkunde kunnen behandelen als een incidentiemeetkunde. We herhalen dat een projectieve meetkunde PG(n, K) met K een lichaam als volgt gedefinieerd is. Beschouw de (n + 1)-dimensionale vectorruimte K n+1 en een equivalentierelatie zodat 2 vectoren u en v ( = 0) equivalent (genoteerd als u v) zijn als er een α K = K\{0} bestaat zodat u = αv. Dan is PG(n, K) := K n+1 \{0}/. Aan elke nietledige deelruimte van PG(n, K) hechten we een type, namelijk de projectieve dimensie. De incidentierelatie I op PG(n, K) PG(n, K) van alle deelruimten, is op de volgende wijze gedefinieerd: α I β α β of β α. Dit geeft de projectieve ruimte de structuur van een incidentiemeetkunde. In PG(2, K), K een lichaam, observeren we dat de volgende eigenschappen gelden: Door elke 2 punten gaat juist 1 rechte. Elke 2 rechten snijden in juist 1 punt. Er bestaan 4 punten waarvan er geen 3 collineair zijn. 5

6 Dit zijn eigenschappen die we karakteriserend vinden voor meetkunden die aan onze intuïtie van projectief vlak voldoen. Elke punt-rechte-meetkunde die aan bovenstaande drie axioma s voldoet, noemen we een axiomatisch projectief vlak Stelling. Voor elk axiomatisch projectief vlak bestaat er een kardinaalgetal n 2, zodat elke rechte incident is met n + 1 punten, en elk punt incident is met n + 1 rechten. Bewijs. Nemen we willekeurig de rechten A en B en een punt x niet op A of B. A en B snijden in een punt. Door de andere punten van A gaat telkens een rechte door x. Elk van deze rechten snijdt B in juist één punt, waarbij verschillende punten op A verschillende punten op B opleveren, en elk punt op B zo kan bereikt worden. We hebben dus een bijectie tussen de punten op elke twee rechten, en tussen de punten op een rechte en de rechten door een punt. Een duaal argument toont aan dat er ook door elk punt evenveel rechten gaan Gevolg. P = n 2 + n + 1 = B. Het getal n wordt de orde van het projectief vlak genoemd. 1.4 Veralgemeende veelhoeken Zij n N\{0, 1, 2}. We noemen een partieel lineaire ruimte Γ = (P, B, I) een veralgemeende n-hoek als deze voldoet aan volgende axioma s: (i) Γ heeft geen deelmeetkunde die een gewone k-hoek is, voor k {3,..., n 1}; (ii) Elke twee elementen in P B zitten in een gewone n-hoek; Een partieel lineaire ruimte wordt een veralgemeende veelhoek genoemd als het een veralgemeende n-hoek is voor een bepaalde n Oefening. Toon aan dat de volgende uitspraken equivalent zijn. (iii) Γ heeft een deelmeetkunde die een gewone n + 1-hoek is; (iii ) Γ heeft ten minste 3 rechten door een punt en 3 punten op een rechte. Indien in een veralgemeende n-hoek ook bovenstaande equivalentie conditie voldaan is, dan noemen, spreken we van een dikke veralgemeende veelhoek. Veralgemeende veelhoeken die niet aan (iii) voldoen, noemen we dunne veralgemeende veelhoeken. Observatie: de veralgemeende driehoeken zijn juist de projectieve vlakken. Inderdaad, eigenschap (ii) impliceert dat elke twee verschillende punten (rechten) incident zijn met minstens één rechte (punt). De uniciteit van die rechte (dat punt) volgt uit de definitie van een partieel lineaire ruimte. We merken verder op dat eigenschap (iii) impliceert dat er vier punten bestaan waarvoor geen drie collineair. In dit licht kunnen we veralgemeende veelhoeken zien als een uitbreiding van de projectieve vlakken Stelling. Indien Γ een dikke veralgemeende veelhoek is, bestaan er kardinaalgetallen s en t 2 zodat elke rechte incident is met s + 1 punten en elk punt incident is met t + 1 rechten. 6

7 We noemen (s, t) de orde van de veralgemeende veelhoek. Merk op dat zowel s als t (over)aftelbaar kunnen zijn. Of er veralgemeende vierhoeken bestaan met één parameter eindig en de andere oneindig, is een open probleem. Is Γ = (P, B, I) een veralgemeende n-hoek van orde (s, t), dan is Γ D := (B, P, I 1 ) een veralgemeende n-hoek van de orde (t, s), die we de duale n-hoek noemen. Als voorbeeld kunnen we een grid bekijken. Dat is een dunne veralgemeende vierhoek, dus een vierhoek met orde (s, 1). De duale grid heeft dan orde (1, s). Het is een complete bipartiete graaf. 1.5 Veralgemeende vierhoeken Definitie. Een punt-rechte-meetkunde (P, B, I) noemen we een veralgemeende vierhoek of generalized quadrangle (GQ) als haar incidentierelatie I voldoet aan volgende axioma s: GQ1 Elk punt is incident met t + 1 rechten (t 1) en elke 2 verschillende punten zijn incident met hoogstens 1 rechte. GQ2 Elke rechte is incident met s + 1 punten (s 1) en elke 2 verschillende rechten zijn incident met hoogstens 1 punt. GQ3 Voor elk punt x en voor elke rechte L, x niet incident met L, bestaat er een uniek koppel (y, M) P B zodat x I M I y I L. Een gevolg van het derde axioma is dat er in een veralgemeende vierhoek geen driehoeken voorkomen. Veralgemeende vierhoeken treden op als basisvoorbeelden van twee geheel verschillende klassen meetkunden! Ten eerste als veralgemeende veelhoeken voor n = 4, en ten tweede als polaire ruimten van rang 2 of projectieve index 1. Men kan als oefening nagaan dat bovenstaande axioma s equivalent zijn met die van polaire ruimten voor n = 2 en van veralgemeende veelhoeken voor n = Reguliere en projectieve punten Beschouwen we twee niet-collineaire punten x en y in een veralgemeende vierhoek en bekijken we {x, y} = {z z x z y}. We kunnen nagaan dat {x, y} = t + 1 en {x, y} t + 1. We noemen een niet-collineair puntenpaar {x, y} regulier als {x, y} = t + 1. Een punt x is regulier indien {x, y} regulier is voor elk punt y dat niet collineair is met x. Merk op dat deze definitie van regulariteit enkel geldt voor eindige veralgemeende vierhoeken omdat we spreken van gelijkheid van natuurlijke getallen. In het oneindige geval noemen we {x, y} regulier indien elke z {u, v}, waarbij u, v {x, y}, collineair is met alle punten van {x, y}. Regulariteit van rechten wordt op dezelfde manier gedefinieerd Voorbeeld. Stel dat {M, N} regulier is met M, N twee niet concurrente rechten. Dan heeft {M, N}, samen met de rechten van {M, N}, de structuur van een rooster van orde s. Zijn x en y twee punten waarvoor {x, y} regulier is, dan hebben {x, y} en {x, y} de structuur van een veralgemeende vierhoek van orde (1, t), dus een duaal rooster. 7

8 1.5.3 Lemma. Is Γ een eindige dikke GQ van orde (s, t) met een regulier rechtenpaar {M, N}, dan is s t. Bewijs. De rechten M, N zijn bevat in een rooster van orde (s, 1). Omdat Γ dik is, liggen er punten buiten het rooster. Noem zo n punt z. Projecteer z op alle rechten van één regulus van het rooster. We vinden dus zeker s + 1 rechten door z waaruit we kunnen besluiten dat t + 1 s + 1. Beschouw een veralgemeende veelhoek met orde (s, s) en x een regulier punt erop. Definieer de punt-rechte-meetkunde Π x = (P, B, I) met volgende eigenschappen: (i) P bestaat uit alle punten van x, (ii) B bestaat uit de rechten door x en de verzamelingen {u, v} met u, v niet collineaire punten in x, (iii) I is natuurlijk. We noemen Π x de afgeleide meetkunde in het punt x en bewijzen nu dat deze een projectief vlak is van de orde s Lemma. Elke twee verschillende punten van Π x zijn incident met precies één rechte. Bewijs. Voor twee punten op een rechte door x volgt het lemma uit het feit dat een span geen collineaire punten kan bevatten. Nemen we twee punten u, v op verschillende rechten door x. Deze punten zijn niet collineair (geen driehoeken) dus zijn ze bevat in de rechte {u, v} Lemma. Twee verschillende rechten van Π x snijden in precies één punt. Bewijs. Het moeilijke deel is wanneer we twee rechten {u, v} en {w, z} van het span-type bekijken. Beschouwen we alle mogelijke rechten van span-type door u. We krijgen s verschillende spans die x \{x} partitioneren. Omdat s = t moet {w, z} een punt gemeen hebben met {u, v}. We besluiten dat, voor een regulier punt x, de meetkunde Π x een projectief vlak is van orde s. Nu hebben we projectief punt enkel gedefinieerd in eindige veralgemeende vierhoeken. Is in het oneindige geval, voor x regulier, Π x een projectief vlak, dan noemen we x een projectief punt. 8

9 Hoofdstuk 2 Groepen en meetkunden In het vervolg van deze cursus zullen meetkunden, groepen en het verband tussen beide centraal staan. In het vorige hoofdstuk zijn meetkunden geïntroduceerd. Een basiskennis van groepen wordt verondersteld uit Algebra I. Op verschillende ingenieuze manieren kunnen uit groepen meetkunden gemaakt worden en omgekeerd, zodanig dat ze ruw gezegd dezelfde informatie bevatten. De meest voor de hand liggende en canonische manier om uit een meetkunde een groep te halen, wordt hier toegelicht: de automorfismegroep. 2.1 Automorfismegroepen De automorfismegroep van een meetkunde Γ = (V, T, type, I) is de groep van alle permutaties van de puntenverzameling V die het type en de incidentie bewaren. Zij wordt genoteerd met Aut(Γ). Wanneer we spreken over een automorfismegroep, bedoelen we een deelgroep van de ganse Aut(Γ). Enkele voorbeelden: De automorfismegroep van de ordinaire 2n-hoek is D 2n = C n : C 2. De informele limiet naar oneindig van het vorige voorbeeld levert ons een oneindige maar discrete rechte, met automorfismegroep D = Z : C 2, die de spiegelingen en de translaties bevatten. Zij H een gewoon grid met ω 1 rechten van de ene soort en ω 2 rechten van de tegenovergestelde soort. Door de stabilisator van beide rechtenklassen te beschouwen, kunnen we twee deelgroepen identificeren, die onafhankelijk van elkaar kunnen werken. Men kan dan spoedig inzien dat Aut(H) = S ω1 S ω2, tenminste als ω 1 = ω 2. Als ω 1 = ω 2, dan is er nog een extra involutie die de klassen omwisselt (en bijvoorbeeld, voor een gegeven nummering van de rechten van beide klassen, de volgorde behoudt: L i M i, M j L j, voor alle 1 i, j, ω 1 ). Dan is Aut(H) = (S ω1 S ω2 ) : C 2. De automorfismegroep van een hyperbolische kwadriek als abstracte meetkunde wordt aldus bepaald. De automorfismegroep van een hyperbolische kwadriek H, als projectieve deelstructuur bepaald door een kwadratische vorm, is hiervan echter een (over het algemeen strikte) deelgroep, omdat voor het bepalen van een automorfisme ook de 9

10 structuur van de projectieve ruimte in rekening wordt gebracht. Een rechte van een regulus wordt in dit geval bijvoorbeeld opgevat als een projectieve rechte (met automorfismegroep PΓL(2, q)) en niet als q + 1 structuurloze punten (met automorfismegroep S q+1 ). De automorfismen van de hyperbolische kwadriek H breiden uit tot automorfismen van de omvattende ruimte, die de H op zichzelf afbeelden. Als de zo verkregen groep PΓL(3, q) H niet getrouw werkt op de kwadriek, moet de kern van deze actie ψ nog worden uitgedeeld om de echte automorfismegroep te verkrijgen: PΓL(3, q) H / ker ψ. Van desarguesiaanse projectieve vlakken PG(n, K) is bekend dat hun automorfismegroep PΓL(n + 1, K) de groep lineaire afbeeldingen van de onderliggende vectorruimte is, uitgedeeld naar de scalaire matrices en voorzien van een eventueel lichaamsautomorfisme. Dit is de fundamentaalstelling van de Projectieve Meetkunde. Een affien vlak A kunnen we op een unieke manier completeren tot een projectief vlak Ã, waartoe elk automorfisme van het affiene vlak zal uitbreiden. Deze uitbreiding zal noodgedwongen de toegevoegde rechte op oneindig op zichzelf afbeelden. Elk automorfisme van het projectief vlak, dat l vasthoudt, zal een automorfisme definiëren op de affiene punten. Zijn werking op de punten van l vertaalt zich dan in een permutatie van de parallelklassen. We besluiten dat Aut(A) = Aut(Ã) l. Zij Γ een veralgemeende vierhoek met regulier punt x, en Π x het afgeleide projectief vlak. Elk automorfisme van Aut(Γ) x zal een automorfisme van Π x induceren. Op een canonische injectie na hebben we dus Aut(Γ) x Aut(Π x ). Mocht elk automorfisme van Π x op een unieke manier uitbreiden naar een automorfisme van de ganse vierhoek Γ, dan zouden we gelijkheid hebben. 2.2 Differentieverzamelingen We introduceren nu de notie van differentieverzamelingen, die ons zullen toelaten om een meetkunde op te bouwen, aan de hand van een groep. In wat volgt veronderstellen we dat G een (mogelijks oneindige) groep is Definitie. Een deelverzameling D G heet differentieverzameling als voor elke u G = G \ {e} er unieke a, b D bestaan waarvoor u = ab Lemma. (i) Indien u = ab 1 in een groep H, dan is u = ã b 1 (ã, b) = (al, bl), met l H. (ii) Voor elke g G is Dg ook een differentieverzameling. (iii) Stel G abels of eindig. Voor elke u G bestaan er unieke v, w D met u = v 1 w. (iv) Stel G abels of eindig. D 1 = {d 1 d D} is dan ook een differentieverzameling. Bewijs. (i) De implicatie van rechts naar links is triviaal. Stel nu ã = al, met l willekeurig in H. Dan is u = ã b 1 al b 1 = u = ab 1 b = bl. 10

11 (ii) Beschouw de afbeelding α g : G G, r rg. Deze zet D om in Dg en a en b met u = ab 1 in twee nieuwe elementen die aan dezelfde gelijkheid voldoen. De uniciteit volgt door = α g 1 toe te passen. α 1 g (iii) Als G abels is, is dit duidelijk. Stel nu dat G eindig is. Door de implicatie a 1 b = ã 1 b ãa 1 = bb 1, is β : D D \ diag(d) G, (a, b) a 1 b een injectie. Omdat de ordes van beide verzamelingen echter gelijk zijn (dat de analoge afbeelding (a, b) ab 1 een bijectie is, geldt per definitie van een differentieverzameling), moet ook β een bijectie zijn. (iv) Uit het vorige. Zij D een differentieverzameling in G en definieer een punt-rechte-meetkunde Γ(G, D) als volgt: (i) de punten zijn de elementen van G; (ii) de rechten zijn de verzamelingen Dg (g G); (iii) de incidentie is bevatten of bevat zijn in Stelling. Indien G abels of eindig is, dan is Γ(G, D) een projectief vlak van de orde D 1. Bewijs. Neem twee verschillende punten g, h Γ(G, D). Stel gh 1 = u; dan is u te schrijven als ab 1 waarbij a, b D en er volgt uit bovenstaand lemma dat (g, h) = (ar, br) voor een bepaalde r G. We vinden dat g, h Dr. Dat wil zeggen dat Dr een rechte is door g en h. Stel dat er een tweede rechte Dr door g en h gaat. Uit {g, h} Dr Dr en Dr = (Dr)r 1 r volgt dat gr 1 r en hr 1 r in Dr zitten. Maar (gr 1 r )(hr 1 r ) 1 = u en we hadden al dat gh 1 = u zodat we twee koppels uit Dr hebben die u geven, een strijdigheid met de uniciteit. We moeten nog nagaan of elke twee rechten snijden. Dus we wensen aan te tonen dat voor alle Dg en Dh = Dg er geldt dat Dg Dh =. Het is bijgevolg voldoende dat D Dr = voor een willekeurige r G. Uit de definitie van differentieverzameling volgt dat r = a 1 b waarbij a, b D. Dus ar = b D Dr. Omdat er D elementen in een differentieverzameling liggen, liggen er zoveel punten op een rechte. De orde van het vlak is bijgevolg D Oefening. Stel dat voor een eindige groep G een verzameling D G de eigenschap heeft dat voor elke u G, er precies λ N \ {0} koppels (a i, b i ) zijn waarvoor u = a i b 1 i. Definieer de meetkunde Γ(G, D) zoals hierboven, en onderzoek ze. Ga na dat je een design krijgt. Wat gebeurt er als G oneindig is? Stelling. Er bestaat een automorfismegroep van Γ(G, D) die (scherp) transitief werkt op de punten en de rechten. Bewijs. Definieer voor elke g G de afbeelding α g : α g : G G, r rg. 11

12 We hebben dat h I Dl = hg I Dlg h α g I (Dl) α g, zodat de rechtse vermenigvuldiging een automorfisme definieert dat bijectief werkt op de punten en rechten. De (scherp) transitiviteit op de rechten volgt uit Dg g 1 h Dh Oefening. Onderstel dat Π een projectief vlak is met G Aut(Π) scherp transitief werkend op de punten. Beschouw een willekeurig punt-rechte paar (x, L) in Π en definieer D G als volgt D := {d G x d I L}. Bewijs dat D een differentieverzameling is in G en dat Γ(G, D) = Π. Merk nog op dat D voor een algemene G geen groep is. Stel dat D een groep is en u G willekeurig, dan is u = ab 1 en dus u D waaruit D = G volgt. Dit is een contradictie met de uniciteit want voor een willekeurige r = 1 hebben we (ar)(br) 1 = ab 1 = u. In het volgende hoofdstuk gaan we een tweede manier bekijken om meetkunden voor te stellen aan de hand van groepen. 2.3 Nevenklassemeetkunden Zij P 1 en P 2 twee deelgroepen van G. Definiëer een punt-rechte-meetkunde Γ(G; P 1, P 2 ) waarbij de punten de nevenklassen P 1 g met g G zijn, de rechten de nevenklassen P 2 h met h G zijn, de incidentie bepaald wordt door P 1 h I P 2 g P 1 h P 2 g = Definitie. We noemen een punt-rechte-meetkunde samenhangend indien de incidentiegraaf samenhangend is, dus als er voor elke twee objecten α, β P B een eindige keten α = α 0 I α 1 I I α n = β bestaat. We hebben dan volgende stelling Stelling. G = P 1, P 2 als en slechts als Γ(G; P 1, P 2 ) (eindig) samenhangend is. Bewijs. Onderstel eerst dat Γ(G; P 1, P 2 ) samenhangend is. Beschouw g G en de punten P 1 en P 1 g. Er bestaat een pad tussen deze twee punten: P 1 I P 2 h 1 I P 1 h 2 I I P 2 h n I P 1 g. Bekijken we nu de eerste incidentierelatie: P 1 I P 2 h 1. De doorsnede P 1 P 2 h 1 bevat een punt p 1 P 1 zodat P 2 h 1 = P 2 p 1. Het element h 1 is dus te schrijven als een product van elementen uit P 1 en P 2. Zo kunnen we elke h i als product van elementen uit P 1 en P 1 schrijven. In het bijzonder is ook g P 1, P 2 dus hebben we dat G = P 1, P 2. Herinner dat een incidentiegraaf van de punt-rechte-meetkunde Γ de bipartiete graaf is waarbij de toppen de punten en de rechten van Γ vormen en waarbij de bogen de koppels {x, L} zijn waarvoor x I L. 12

13 Veronderstel omgekeerd dat G = P 1, P 2 en beschouw een willekeurig punt P 1 g en een willekeurige rechte P 2 h. We zoeken nu een pad tussen P 1 g en P 2 h. Schrijf g = a 1 b 1... a n b n (n < ) waarbij a i P 1 en b i P 2 voor elke i. Omdat nu P 1 I P 2, a i P 1 en b i P 2 vinden we volgende rij van incidenties: P 1 g = P 1 a 1 b 1... a n b n = P 1 b 1... a n b n I P 2 b 1... a n b n = P 2 a 2 b 2... a n b n. I P 1 a 2 b 2... a n b n = P 1 b 2... a n b n I P 2 b n 1 a n b n = P 2 a n b n I P 1 a n b n = P 1 b n I P 2 b n = P 2. We vinden dus een pad tussen P 2 en P 1 g. Op dezelfde manier kunnen we een pad vinden tussen P 1 en P 2 h. Aangezien P 1 I P 2 vinden we een pad tussen P 1 g en P 2 h Stelling. G werkt vlag-transitief op Γ(G; P 1, P 2 ) door rechtse vermenigvuldiging. Heeft een punt-rechte-meetkunde Γ een vlag-transitieve automorfismegroep G, dan kunnen we deelgroepen P 1, P 2 G vinden zodat Γ = Γ(G; P 1, P 2 ). Bewijs. Laat G inderdaad werken door rechtse vermenigvuldiging. Dit is een automorfismegroep want het type en de incidentierelatie worden vastgehouden. Neem nu een willekeurige vlag (P 1 g, P 2 h) waarvoor P 1 g P 2 h r. We vinden dat P 1 g = P 1 r en P 2 h = P 2 r. Vermenigvuldigen van de vlag met r 1 geeft ons de vlag (P 1, P 2 ). Hieruit volgt makkelijk het vlag-transitief zijn van G. Omgekeerd, stel dat G Aut(Γ) vlagtransitief werkt op Γ. We nemen een willekeurige vlag (x, L) en definiëren P 1 = G x en P 2 = G L. We bewijzen dat de afbeelding α : Γ(G, P 1, P 2 ) Γ; P 1 h x h, P 2 r L r. een isomorfisme is. Deze afbeelding is goed gedefinieerd, want het beeld is onafhankelijk van de representant: zij h P 1 h dan is x h = x h want hh 1 P 1 = G x. De surjectiviteit volgt uit de transitiviteit op de punten en rechten van G omdat G vlagtransitief is. Indien P 1 g = P 1 g, dus P 1 g P 1 g =, dan is gg 1 / P 1 = G x, waardoor x g = x g. Injectiviteit volgt. Indien P 1 h I P 2 h, dan bestaat er een r P 1 h P 2 h waardoor we kunnen schrijven dat P 1 h = P 1 r en P 2 h = P 2 r zodat α(p 1 h) = x r en α(p 2 h ) = L r incident zijn. De incidentierelatie wordt dus behouden. 2.4 Translatievlakken Beschouwen we het desarguesiaans vlak PG(2, q) van de orde q = p h. We merken op dat de automorfismegroep Aut(PG(2, q)) = PΓL 3 (q) transitief werkt op de rechten. 13

14 We beschouwen de rechte L z = {(0, 1, 0) (1, a, 0) a F q }. We onderzoeken nu de groep H die alle punten op de rechte L z fixeert. De automorfismegroep PΓL 3 (q) bevat acties op de onderliggende vectorrechten, dus 3 3-matrices met bijhorend lichaamsautomorfisme σ. We zoeken dus matrices Er volgt a b c d e f g h i 1 r 0 = l r a + br = l r d + er = l r r g + hr = 0 zodat we voor het punt (1, 0, 0) met r = 0 dus g = 0 = d vinden. Voor de andere punten volgt dan dat ook h = 0. De vergelijkingen reduceren zich tot { a + br = lr er = l r r wat inhoud dat e = l r en dat b = 0 zodat a = e = l r. De matrix ziet er dus als volgt uit: a 0 c 0 a f 0 0 i, wat in PGL 3 (q) equivalent is met een matrix van de vorm 1 0 c 0 1 f 0 0 l voor l = 0. We definiëren de volgende twee verzamelingen van matrices T = 1 0 c 0 1 f c, f F q en A = 1 r l l F q Lemma. Als een automorfisme van een projectief vlak een rechte L en twee punten u en v niet op L fixeert, dan is het de identiteit. Bewijs. Neem zo n automorfisme. Neem een willekeurig punt w, dat niet op L ligt en verschillend van u en v. De rechten uw en vw snijden L in een punt en hebben dus beiden twee fixpunten. Bijgevolg worden ze vastgehouden, zoals ook hun snijpunt w. Elk punt van het projectief vlak wordt dus gefixeerd en het beschouwde automorfisme is de identiteit Lemma. (i) T is elementair abels. Elk element heeft orde p. (ii) H = T A (iii) H = q 2 (q 1) (iv) A houdt het punt (0, 0, 1) vast en geen enkel ander punt (buiten de punten op L) 14

15 (v) T werkt scherp transitief op de punten van PG(2, q) die niet op L zijn gelegen. Bewijs. Het is duidelijk dat T A = {1}, en dat TA = H. (i) T is abels aangezien 1 0 c 0 1 f c 0 1 f = 1 0 c + c 0 1 f + f = 1 0 c 0 1 f c 0 1 f Aangezien 1 0 c 0 1 f n = is de orde van elk element de karakteristiek van F q. 1 0 nc 0 1 n f (ii) We moeten aantonen dat T H. Daarvoor is het voldoende dat A de groep T normaliseert, wat wil zeggen dat voor alle α A is α 1 Tα = T. Voor l A is het inverse element Neem een willekeurig element in T en besluit l 1 = = 1 0 c 0 1 f 0 0 l cl 0 1 f l c 0 1 f T l l l 1 (iii) Door het vorige puntje weten we dat H = T A. Het gestelde volgt door in te zien dat T = q 2 en A = q 1. (iv) Volgt meteen uit Lemma (v) We weten dat T = q 2. Stel dat er een β T x bestaat die een punt x, niet incident met L, vasthoudt. Een rechte M door het punt x snijdt L bijgevolg in een punt y dat ook gefixeerd wordt. β werkt dus slechts op de q 1 overige punten van M. Maar β T x betekent dat β = p. De karakteristiek p deelt bijgevolg q 1, wat niet kan, zodat er nog fixpunten op M bestaan. Maar dan is β de identiteit. Dus T x = 1. Doordat bovendien T = PG(2, q) \ L z, is T scherp transitief.. 15

16 2.4.3 Definitie. Een projectief translatievlak is een projectief vlak met een rechte L waarvoor een automorfismegroep T bestaat die L puntsgewijs vasthoudt en scherp transitief werkt op de punten die niet op L liggen. We noemen de rechte L de translatierechte en de groep T de translatiegroep Definitie. Een affien translatievlak is een affien vlak met een automorfismegroep die scherp transitief werkt op de punten en alle parallelklassen behoudt. Voegen we de zogenaamde rechte op oneindig toe aan een affien translatievlak, dan voldoet het geheel aan de definitie van projectief translatievlak. Omgekeerd kunnen we bij een projectief translatievlak de translatierechte L weglaten om een affien translatievlak over te houden Stelling (Desargues). In een axiomatisch projectief vlak fixeert een automorfisme α dat een rechte L puntsgewijs vasthoudt, alle rechten door een bepaald punt. Bewijs. Stel dat er een fixpunt u niet op de rechte L is. Dan fixeert α alle rechten door u, daar ze twee fixpunten bevatten. Stel nu dat geen enkel punt buiten L gefixeerd wordt. Neem een willekeurig punt z en beschouw de rechte M = zz α. M snijdt L in een punt u dat gefixeerd wordt. De rechte M wordt dus ook gefixeerd. Door elk punt buiten L gaat dus een fixrechte. Stel nu dat er een punt w is zodat de rechte M door w en w α, M niet snijdt in u. Maar dan is het snijpunt van M en M een fixpunt buiten L, strijdig. M snijdt dus in u met M en alle rechten door u worden gefixeerd Notatie. We beschouwen een projectief translatievlak met translatierechte L en kiezen een willekeurig punt x niet op L. De rechten door het punt x noemen we M i met i I en I = L. In de translatiegroep T definiëren we nu T i := T Mi. Uit Stelling volgt dat elke T i alle rechten door L M i vasthoudt Lemma. De verzamelingen {T i } i hebben (voor i = j) de volgende eigenschappen: (i) T i T j = {1} (ii) T i T j = T (iii) T i = T Bewijs. (i) Beschouw T i en T j met i = j. T i fixeert alle rechten door L M i en T j fixeert alle rechten door L M j zodat T i T j = {1}. (ii) We tonen aan dat T i T j transitief werkt op de punten. T i werkt transitief op alle punten buiten M i en L. Het enige dat we nog moeten controleren is of we een punt u I M i op een punt v I M j kunnen afbeelden met een element uit T i T j. M i en M j snijden in een punt, stel z. Dan kunnen we met een element uit T i u op z afbeelden en met een element uit T j z op v afbeelden. De samenstelling beeldt u dus af op v. (iii) Aangezien elk element van T een punt van L rechtegewijs fixeert geldt dat T T i en dus T = T i Lemma. De translatiegroep T is uniek en abels: er bestaat juist één groep per rechte. 16

17 Bewijs. Neem een t T x. We moeten bewijzen dat t commuteert met alle elementen. We weten dat T = T i, zodat t T j voor een j. Neem l en k = l in I. Er geldt T = T l T k. Elk element van T is te schrijven als t l t k met t l T l en t k T k. Beschouw nu [t, t l ] en [t, t k ]. Er ( ) t geldt [t, t l ] = t 1 t 1 l tt l = t 1 l tl. Dit element behoudt alle rechten door M l L, omdat toevoeging deze eigenschap behoudt. Analoog geldt dit voor [t, t k ] en voor elke j I. Er volgt dus dat [t, t l t k ] = 1 en bijgevolg [t, T] = 1, zodat T abels is. We tonen nu de uniciteit aan. Stel dat T = T ook een translatiegroep is. Bekijken we vervolgens T i T en T i T, dan bestaat er een i zodat T i = T i. We hebben dan twee verschillende scherp transitieve groepen op de punten van M i, wat niet kan. T i = T i voor alle i en dus is T = T. We definiëren de volgende punt-rechte-meetkunde Γ = Γ(T, {T i } i ): de punten zijn de elementen van T, de rechten zijn de rechtse nevenklassen van de T i -deelgroepen, de incidentie is de natuurlijke incidentie. Stel x en y twee verschillende punten in T. Er is juist één i I waarvoor xy 1 T i, zodat T i x = T i y de unieke rechte is die x en y bevat. We tonen aan dat Γ een affien vlak is. Geldt het parallellenpostulaat? Beschouw een willekeurig punt x en een rechte T i y die x niet bevat. De rechten door x zijn precies de rechten T j x, met j I. Een rechte door x is parallel met T i y als en slechts als i = j. De nevenklasse T i x is dus de unieke rechte door x parallel met T i y. Bijgevolg is Γ een affien vlak. Het is duidelijk dat T door rechtse vermenigvuldiging als (scherp) transitieve automorfismegroep werkt. Bijgevolg definieert T een translatiegroep voor Γ. In het affien vlak manifesteert zich dit in het vasthouden door T van alle parallelklassen. Dit verklaart ook de naam translatiegroep. Vertrekken we van een (affien) translatievlak A met translatiegroep T, kiezen we een punt x en definiëren we de T i als voorheen, dan is A = Γ(T, {T i } i ) via α : y = x α α : M = Mi t T i t. Dit is onafhankelijk van de keuze van t. Indien y I M dan is x α I Mi t en dus x α I Mi α met α T i α. Translatievlakken zijn dus essentieel equivalent aan data (T, {T i } i ) met T een groep, T i T, voor alle i, i T i = T, T i T j = {1} en T i T j = T voor i = j. We hebben ook de volgende stelling Stelling. De translatiegroep van een translatievlak is uniek. Bewijs. Stel dat Π twee translatiegroepen T en T heeft. We voeren de standaardnotatie {T i } i en {T j } j in (ten opzichte van het affien punt x). Beschouw de rechte M l I x, en de groepen T l en T l. Beide groepen houden y l = M l L (L is de translatierechte) rechtegewijs vast, en werken scherp transtief op M l \{y l }. Er volgt dat T l = T l (anders zou T l, T l niet scherp transitief zijn op M l \{y l }, wat niet kan). Dus is {T i } i = {T j } j Stelling. L = {α EndT Ti α lichaam. T i, i} heeft op natuurlijke wijze de structuur van een 17

18 Bewijs. We tonen eerst de ringstructuur aan. Stel t T, α, α L, dan is t α+α = t α t α en (t α ) α = t αα, zodat L gesloten is onder additie en vermenigvuldiging. We bewijzen nu dat L een lichaam is. Hiervoor moeten we aantonen dat voor een element α L het inverse element α 1 L bestaat. Stel dus dat α L en α = 0, 1. Is α injectief? Als α niet injectief is, bestaat er een x T zodat x α = 1. Stel dat x T i en neem een willekeurige y T\T i. Stel dat y T j (i = j), en dat xy T k met k = j omdat anders i = j. Bekijken we T k (xy) α = x α y α = y α T j dan zien we dat ook y α = 1. We kunnen dit nogmaals toepassen voor de overige elementen in T i, zodat α alles afbeeldt op 1, strijdig. Is α surjectief? Neem x T willekeurig en y T zodat y α = x (anders is α surjectief). We beschouwen y α x 1. Stel dat x T i, y T j en y α x 1 T k. Stel dat y / T i, of dus i = j, zodat ook k = i. We bekijken nu z T i T k y. Er volgt dat zy 1 T k en dus z α y α T k. Samen met y α x 1 T k geeft dit dat enerzijds z α x 1 T k en anderzijds z α x 1 T i zodat z α x 1 = 1 en dus z α = x. Door de bijectiviteit bestaat α 1 en is het een element van L. L is bijgevolg een lichaam. Beschouw nu het paar V = (T, L). We zien T nu als een verzameling vectoren, waarbij vectoradditie de bewerking in T is en de scalaire vermenigvuldiging: t α := t α, met t T en α L is. Het is eenvoudig in te zien dat T een rechtse L-vectorruimte wordt. We kunnen Π dus "projectief interpreteren". De T i s zijn L-deelvectorruimtes, aangezien Ti α = T i voor alle α L en i I. Projectief gezien hebben we in PG(V) dat T i T j = en T i, T j = PG(V), zodat we een spread hebben. In het eindig geval hebben we een interessant gevolg: Stelling. (i) T is een elementair abelse groep. (ii) dim L PG(V) = 2n 1, dim L ( T i ) = n 1 waarbij T = L 2n voor n N \ {0}. Bewijs. Triviaal Stelling. Als het translatievlak orde q heeft en L = F q, dan is het translatievlak desarguesiaans. Bewijs. Dan geldt T = q 2, omdat q de orde van het vlak is. Door L = F q is T een vectorruimte over F q, die om kardinaliteitsoverwegingen tweedimensionaal is. Als affien vlak is A = V(2, q) en bijgevolg is door projectieve completering A = PG(2, q) Opmerking. In het eindig geval wordt een translatievlak wel vaker als volgt geconstrueerd met behulp van een n 1-spread S in ξ = PG(2n 1, q). We bedden ξ in als een hypervlak in PG(2n, q) en definiëren de volgende incidentiemeetkunde Γ = (P, B, I) met P = P 1 P 2 met P 1 de elementen van PG(2n, q)\ξ en P 2 de spreadelementen, B = B 1 {L} met B 1 de n-dimensionale deelruimten van PG(2n, q) dewelke ξ snijden in een spreadelement en L de rechte met als punten de spreadelementen, I is deze geïnduceerd door PG(2n, q). 18

19 2.5 Translatie veralgemeende vierhoeken Herinner de definitie van een translatievlak als een vlak met een rechte L waarbij er een groep T bestaat die L puntsgewijs vasthoudt en scherp transitief werkt op alle punten van het vlak die niet op L gelegen zijn. In het vorig hoofdstuk hebben we gezien dat T noodzakelijk abels is en een rechtse K-vectorruimte is, met K een lichaam. We zoeken nu een analoge definitie voor veralgemeende vierhoeken. Het probleem is dat we niet meer kunnen spreken van een transitieve actie op de punten omdat niet alle punten collineair zijn met elkaar. Als we een rechte L nemen met het punt a L, dan bestaat er een verzameling van punten die niet collineair zijn met a. Een translatiegroep T van een vlak is de groep voortgebracht door de groepen T i, waarbij T i de groep is die een punt l i op L rechtegewijs vasthoudt en scherp transitief werkt op de punten collineair met l i die niet op L gelegen zijn. We zullen zien dat bij vierhoeken er twee analogons zijn voor zulke groepen T i. We bekijken nu de definitie van een translatie veralgemeende vierhoek. Merk op dat we hier kiezen om te vertrekken van een punt, terwijl het vertrekpunt bij translatievlakken een rechte was Definitie. Een translatie veralgemeende vierhoek (TGQ) is een veralgemeende vierhoek Γ met een punt x (translatiepunt), en een automorfismegroep T Aut(Γ) (translatiegroep) waarbij: T houdt alle rechten door x vast; T werkt scherp transitief op de punten niet collineair met x; T is abels. We eisen expliciet dat T abels is. Mocht dit niet het geval zijn, dan spreken we van een elatiepunt, elatiegroep en een elatievierhoek. Zij z een punt van de veralgemeende vierhoek Γ dat niet collineair is met x en M i een rechte door z. Er is juist één punt op M i collineair is met x. Noem dat punt m i. De rechte m i x noemen we L i. We definiëren voor elke i I, waarbij I bijectief is met de rechtenverzameling door x, de groep T i := T Mi en T i := T mi Lemma. T i houdt alle rechten vast van L i. Hieruit volgt direct dat T i alle punten van L i fixeert. Bewijs. Starten we met de opstelling zoals hierboven. Alle rechten door x worden sowieso vastgehouden omdat T i T. Beschouw nu een een willekeurige rechte U die snijdt met L i \{x} (dus U Li ) en u een punt op U niet collineair met x. Zij v een willekeurig punt van Γ niet collineair met x op de rechte M i. Wegens de scherp transitiviteits-eigenschap van T op niet collineaire punten van x, bestaat er een unieke α T die v afbeeldt op u en α de rechte L i vasthoudt. Omdat α de incidentie behoudt volgt dan direct dat α de rechte M i afbeeldt op U. Nemen we nu een willekeurig element β van T i. We hebben dat M β i = M i en wegens de commutativiteit van T is U = Mi α = M βα i = M αβ i = U β. Uit U = U β besluiten we dat elke rechte van Li vastgehouden wordt door elk element van T i. 19

20 2.5.3 Definitie. We noemen een rechte L van een veralgemeende vierhoek Γ een as van symmetrie als er een deelgroep H(L) Aut(Γ) bestaat die elke rechte in L vasthoudt en voor elke rechte U L, verschillend van L zelf, transitief werkt op U\{U L}. De groep H(L) wordt de symmetriegroep genoemd Opmerking. Dit is een intrinsieke definitie, dus onafhankelijk van de keuze van U Definitie. Een volle deelvierhoek van een veralgemeende vierhoek Γ = (P, B, I) is een deelvierhoek Γ = (P, B, I ) met de eigenschap dat uit L B volgt dat elk punt van Γ op L ook een punt is van Γ. Duaal wordt dit een ideale deelvierhoek genoemd Lemma. Stel dat Γ = (P, B, I) een GQ is en dat Γ een volle en ideale deelvierhoek van Γ is. Dan valt Γ samen met Γ. Bewijs. Stel dat Γ = Γ. Dan kiezen we een punt x buiten Γ en een rechte U in Γ. Het punt u op U collineair met x is een punt van Γ omdat Γ vol is. Nu is elke rechte door u een rechte in Γ wegens het ideaal zijn van Γ. In het bijzonder is xu Γ en dus x Γ wegens het vol zijn van Γ, een strijdigheid Lemma. Stel dat L een as van symmetrie is met symmetriegroep H(L) en neem U L \{L} willekeurig. Dan is H(L) scherp transitief op U\{L U}. Bewijs. Veronderstel dat er een niet triviale symmetrie α H(L) bestaat die een punt van U\{U L} fixeert, dus dat H(L) niet scherp transitief is. Het is eenvoudig na te gaan dat de fixstructuur van een automorfisme van een GQ ook een GQ is. De symmetrie α houdt dus een dikke deelvierhoek elementsgewijs vast. Het is duidelijk ook een volle en ideale deelvierhoek, 20

21 zodat uit lemma volgt dat α de volledige veralgemeende vierhoek Γ fixeert en dus is α = e, een strijdigheid Gevolg. Is Γ een eindige veralgemeende vierhoek met orde (s, t) dan is een as van symmetrie een rechte met groep H(L) Aut(Γ) die L elementsgewijs vasthoudt en H(L) = s. We hebben nu bewezen dat elke rechte door een translatiepunt een symmetrie-as is. Straks gaan we het omgekeerde aantonen. We bekijken eerst een voorbeeld van een translatie veralgemeende vierhoek als oefening Oefening. Beschouw een ovaal Ω in PG(2, q). Dit zijn q + 1 punten waarvan geen drie collineair. Bewijs dat als q oneven is er maximaal q + 1 punten bestaan waarvan geen drie collineair en dat dit dan altijd een kegelsnede is (stelling van Segre). Bewijs verder dat wanneer q even is, we q + 2 zo n punten kunnen vinden. Definiëren we een meetkunde T(Ω) waarbij: de punten zijn de punten van PG(3, q)\pg(2, q), de vlakken die PG(2, q) snijden in een raakrechte aan Ω, en het symbool ( ); de rechten zijn de punten van Ω en de rechten van PG(3, q) die PG(2, q) snijden in een punt van Ω; de incidentie: ( ) incident met alle punten van Ω, en de andere incidenties zijn natuurlijk. Bewijs dat T(Ω) een GQ is van de orde (q, q) en als Ω een kegelsnede is dat dan T(Ω) = Q(4, q). Bewijs verder dat T(Ω) een TGQ is waarbij het translatiepunt ( ) is en de translatieas de rechte Ω Stelling. Zij Γ een dikke GQ, x een punt waardoor elke rechte L een as van symmetrie is, met symmetriegroep H(L). In het oneindige geval veronderstellen we abelse symmetriegroepen. Dan is Γ een TGQ met translatiepunt x en translatiegroep de groep voortgebracht door de symmetriegroep T = H(L) L I x. Bewijs. Om aan te tonen dat Γ een TGQ is, moeten we drie axioma s nagaan waarbij x het translatiepunt is en T = H(L) L I x de translatiegroep is. Het eerste axioma dat stelt dat elke rechte door x wordt vastgehouden onder T is triviaal voldaan. Om de scherp transitiviteit van T op alle punten niet collineair met x (P\x ) aan te tonen zullen we eerst de transitiviteit van T bewijzen in een algemenere vorm, om daarna aan te tonen dat T abels is. De scherp transitiviteit volgt dan direct want een abelse permutatiegroep die transitief werkt op een verzameling, werkt scherp transitief op die verzameling. Om te bewijzen dat T = H(L) L I x transitief werkt op P\x, bewijzen we het sterkere resultaat dat voor elke M I x de groep T M := H(L) L I x, L = M transitief werkt op P\x. Neem daarvoor twee verschillende punten u, v P\x en de rechte M vast. We veronderstellen dat het aantal punten op elke rechten in Q minstens 4 is. Stel dat u v en dat uv een rechte M = M door x snijdt waarbij M I x. Omdat M I x volgt het gevraagde via een element van H(M ). Stel dat u v en dat uv de rechte M snijdt. Beschouw dan twee verschillende rechten A en B, verschillend van M, door x. We weten dat u collineair is met juist één punt u 21

22 op A en v met juist één punt v op B. Nu zijn wegens de veronderstelling beide rechten A en B assen van symmetrie zodat er een α H(A) en een β H(B) bestaat waarvoor u α = w en v β = w waarbij w uu en w vv. Verder snijdt ww ook noodzakelijk een rechte door x, noem deze C. Merk op dat we de punten w, w kunnen kiezen zodat de rechte C = M. Dit is een gevolg van het regulier zijn van M en A = B. De rechte C is terug een as van symmetrie dus kunnen we een γ H(C) vinden waarvoor w γ = w. Samenstellen van α, γ en β 1 geeft ons het gezochte automorfisme in T M die u afbeeldt op v. Veronderstel nu dat u v. We zullen het vorige puntje gebruiken dat stelt dat twee collineaire punten op elkaar kunnen afgebeeld worden door een element van T M. Kies een willekeurige rechte U verschillend van M door x. Noem de unieke punten op U collineair met u en v respectievelijk w en w. Noem u het unieke punt op de rechte wv dat collineair is met u. Uit het bovenstaande vinden we een automorfisme α T M dat u op u afbeeldt. We vinden ook een β uit H(U) die u op v afbeeldt. Samenstellen van α en β geeft het gezochte automorfisme. Indien v {u, x} (w = w ) is het bovenstaande niet mogelijk. We kiezen dan u u, u / x waarbij u / {v, x}, en we passen de procedure tweemaal toe. We besluiten dat voor elke M de groep T M transitief is. Is Γ oneindig dan is T abels omdat voor elke L de groep H(L) abels is. Veronderstel dus dat Γ eindig is. Merk op dat T M = T voor elke M I x. Daarvoor bewijzen we eerst volgende eigenschap: (*) indien γ T een punt x x fixeert, x = x, en een rechte U = xx door x fixeert, dan fixeert γ alle punten op xx, en alle rechten van xx. Noem xx de rechte L en merk op dat deze actie γ een element is van T L. Omdat de symmetrieën om verschillende assen commuteren ( [ H(L i ), H(L j ) ] = 1 voor i = j) kunnen we γ schrijven als γ = t i=0 α (n i) i waarbij α (n i) i H(L i ), L i I x. 22

23 Omdat H(L i ) scherp transitief is wegens Lemma en we in een eindige GQ werken, hebben we voor elke i dat H(L i ) = s. Hieruit besluiten we dat de orde van γ enkel priemdelers heeft die ook delers zijn van s waardoor gcd( γ, (s 1)) = 1. Een direct gevolg hiervan is dat γ nog een punt van L moet fixeren naast x en x. Noem dit punt z. Merk nu op dat een as van symmetrie, in het algemeen, regulier is. Beschouw voor elke M I x waarvoor M = L de span {U, M}. Deze verzameling bevat een unieke rechte door z en door het variëren van de rechte M door x bereiken we alle rechten door z op deze manier. Er volgt dat elke rechte door z wordt vastgehouden door γ. Op dezelfde wijze wordt ook elke rechte door x vastgehouden. Beschouw nu een willekeurige rechte W in L, niet door x en z. Beschouw vervolgens twee verschillende willekeurige rechten V en V door z die beide verschillend zijn van L. Het is nu terug duidelijk dat {W, V} en {W, V } vastgehouden worden door γ. Dus de doorsnede W = {W, V} {W, V } wordt ook vastgehouden door γ zodat W γ = W. Hiermee is (*) aangetoond en hebben we dat γ een symmetrie is in H(L). Samen met de transitiviteit van T M volgt hieruit eenvoudig dat T M = T voor elke M I x. Inderdaad, elke α T M is een symmetrie met as M uit (*). Omdat de samenstelling van symmetrieën terug een symmetrie is, vinden we de symmetriegroep die transitief werkt op U\{U M} voor elke U M, wat juist H(M) is. Hieruit volgt dan dat H(M) T M waardoor we de gelijkheid T M = T vinden voor elke M I x. We hebben dus dat [H(M), T] = [H(M), T M] = [H(M), H(L) L I x, L = M ] = 1. Er geldt dus dat voor elke M I x dat H(M) Z(T). Maar er geldt ook dat T voortgebracht wordt door alle H(M) zodat Z(T) = T, m.a.w. T is abels Oefening. In het bewijs hebben we verondersteld dat er minstens 4 punten op een rechte liggen. Bewijs dat voor s = 2 een GQ eindig is en dat in het bijzonder t {1, 2, 4} en Γ = Q(4, 2) of Q (5, 2) Gevolg. De translatiegroep van een TGQ is uniek. Dit volgt uit de uniciteit van de symmetriegroepen en bovenstaande stelling. 2.6 Gebouwen van rang 1 We herhalen even de volgende begrippen: Definitie. Een groep G inwerkend op een verzameling X wordt een permutatiegroep van X genoemd. Het koppel (G, X) wordt dan een permutatievoorstelling genoemd. (G, X) is transitief als er voor elke x, y X, een g G bestaat, zodat x g = y. (G, X) is scherp-transitief als die g G uniek is. Verder is (G, X) n-transitief (als X minstens n elementen bevat) als er voor elke (x 1,..., x n ) en (y 1,..., y n ) met x i, y i X, een g G bestaat, zodat x g i = y i voor alle i {1,..., n}. We noemen G getrouw als enkel het triviale element in G de triviale actie heeft op X. 23

24 Beschouw de permutatievoorstelling (G, X), met G een permutatiegroep van de verzameling X. We kunnen steeds veronderstellen dat G getrouw is, aangezien de verzameling N = {n G x n = x, x X} een normale deelgroep is van G en we dus de groep G/N kunnen beschouwen Definitie. Voor een getrouwe permutatievoorstelling (G, X) is X een G-verzameling als G transitief is op X. Beschouw twee G-verzamelingen X en Y. Elke afbeelding α : X Y, zodat voor alle g G het diagram X α Y g g X α Y commuteert, noemen we een morfisme tussen G-verzamelingen. Er geldt dus voor alle g G en alle x X dat α(x g ) = α(x) g. Als α een bijectie is, dan zeggen we dat α een isomorfisme of een equivalentie is. X en Y zijn dan isomorfe of equivalente G-verzamelingen Voorbeeld. Beschouwen we een grid Γ = Ω Ω, met Ω de horizontale en Ω de verticale rechten. Beschouw de deelgroep H Aut(Γ) met de eigenschap dat H alle rechten van Ω vasthoudt. Stel M en N 2 rechten van Ω, dan definieert de projectie van de punten van M op de punten van N een H-equivalentie van M op N. H is isomorf met de symmetrische groep op de punten van een rechte in Ω Voorbeeld. We kunnen diagrammen op de volgende wijze laten commuteren. Beschouw een G-verzameling X, met een bijectie α : X Y. We definiëren de G-actie op Y. Voor alle y Y en alle g G stellen we y g := α((α 1 (y)) g ). Er volgt dat α een isomorfisme is tussen de G-verzamelingen X en Y Stelling (Nevenklassenrepresentatie). Stel X een G-verzameling. Neem x X willekeurig. De linkse actie {lg x l G} van G op de linkse nevenklassenruimte G/G x is dan isomorf met (G, X). Bewijs. Zonder bewijs Voorbeeld. Beschouw PΓL n+1 (K) voor K een lichaam. De actie op de punten (resp. k- ruimten) is dan equivalent met de actie op de hypervlakken (resp. (n k 1)-ruimten). We zeggen dat er een dualiteit tussen de twee bestaat Stelling (Bruhat decompositie voor 2-transitieve groepen). (G, X) is 2-transitief als en slechts als er voor alle x X een T G bestaat met T = 2 en T geen deelgroep van H, zodat voor H = G x, we G kunnen schrijven als G = HTH. Bewijs. Beschouw voor (G, X) en x X, de linkse actie van G op G/G x, die wegens Stelling isomorf is aan (G, X). Stel G x = H. Stel expliciet dat G/H = {g 1 H, g 2 H,..., g n H} voor X = n. We mogen hierbij veronderstellen dat g 1 = 1. G is nu 2-transitief op G/H als en slechts als er voor alle g i {g 2,..., g n } een h i H bestaat waarvoor h i g 2 H = g i H. We merken op dat g i H = H, aangezien enkel g 1 = 1. Nu is G\H = n i=2 h i g 2 H en verder is ni=2 h i g 2 H Hg 2 H G\H. De laatste geldt aangezien hg 2 h = h H impliceert dat g 2 H, wat strijdig is. Er volgt dus dat G\H = Hg 2 H, zodat G = H Hg 2 H. Aangezien g 2 willekeurig was, volgt er dat (G, X) 2-transitief is als en slechts als voor alle g G\H geldt dat G = H HgH. 24