Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:
|
|
- Mathilda Jonker
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a b c 3. n G : a G : a n = n a = a 4. a G a G : a a = a a = n We noemen n het neutraal element van de groep en a het symmetrische element van a. Als de bewerking bovendien commutatief is, spreken we van een commutatieve of abelse groep. Voor het bewerkingsteken bestaat er een additieve en een multiplicatieve notatie. Voor de additieve notatie nemen we het plusteken +. Het neutraal element noteren we met 0 en symmetrisch element van a door a. Bij de multiplicatieve notatie gebruiken we het vermenigvuldigingsteken.. Het neutraal element noteren we met 1 of e en het symmetrisch element van a door a 1. Meestal zullen we. weglaten. 3
2 1.2 Basiseigenschappen De associativiteit en de eventuele commutativiteit kunnen, via inductie, uitgebreid worden tot n elementen. Stelling 1.2. Het neutraal element van een groep is uniek. Bewijs. Stel dat e 1 en e 2 allebei neutraal element zijn, dan is: Dus is het neutraal element enig. e 1 = e 1.e 2 = e 2 Stelling 1.3. Het symmetrisch element is uniek. Bewijs. Stel dat x als symmetrisch element y 1 en y 2 heeft, dan is y 1 = e.y 1 = (y 2.x).y 1 = y 2.(x.y 1 ) = y 2.e = y 2 Bijgevolg is het symmetrisch element van x uniek. Stelling 1.4. De vereenvoudigingswet : a.x = b x = a 1.b Bewijs. a.x = b a 1.(a.x) = a 1.b (a 1.a).x = a 1.b x = a 1.b Gevolg 1.5. Analoog geldt: x.a = b x = b.a 1 Stelling 1.6. a, b G : (a 1 ) 1 = a en (a.b) 1 = b 1.a 1 Bewijs. Het eerste resultaat volgt rechtstreeks uit de definitie. Omdat (a.b).(b 1.a 1 ) = a.e.a 1 = e en (b 1.a 1 ).(a.b) = b 1.e.b = e is (b 1.a 1 ) het symmetrische element van a.b. 4
3 Stelling 1.7. De afbeeldingen f a (x) = a.x en g a (x) = x.a zijn bijecties. Bewijs. f a is injectief want: f a (x) = f a (y) a.x = a.y x = a 1.a.y x = y f a is ook surjectief want voor elke y in G is er een x te vinden zodat f a (x) = y. Neem x = a 1.y G, dan is f a (x) = a.x = a.(a 1.y) = e.y = y. Het bewijs voor g a verloopt analoog. Stelling 1.8. De afbeelding f(x) = x 1 is een bijectie. Bewijs. f is injectief, want f(x) = f(y) x 1 = y 1 x = y. f is ook surjectief want voor elke y in G is er een x te vinden zodat f(x) = y. Neem x = y 1 G, dan is f(x) = (y 1 ) 1 = y. We noteren x.x.x..x = x n. Uit de veralgemeende associativiteit volgt dan dat x n.x m = x n+m en dat (x n ) m = x nm. Bovendien geldt dat (x n ) 1 = (x 1 ) n. 1.3 Orde van een groep en van een groepselement Definitie 1.9. De orde van een groep G, genoteerd als G, is het aantal elementen van de groep. Als de orde eindig is, spreken we van een eindige groep. Elke eindige groep kan beschreven worden door een bewerkingstabel (Cayleytabel). Deze tabel is altijd een Latijns vierkant van orde G : elk element komt juist één keer voor in elke rij en kolom. Definitie De orde van een element x van G, genoteerd als o(x), is het kleinste natuurlijk getal r waarvoor geldt dat x r = e. 5
4 Als er geen r bestaat waarvoor x r = e, dan zeggen we dat x oneindige orde heeft. G heet torsievrij als elk element, verschillend van e, oneindige orde heeft, en G noemt periodisch als elk element eindige orde heeft. De exponent van een periodische groep is het kleinste gemene veelvoud (als dat bestaat) van de ordes van alle elementen van G. Als in een periodische groep, de orde van elk element een macht is van een priemgetal p, dan noemen we de groep een p-groep. We bestuderen een paar basiseigenschappen in verband met de orde van een groepselement: Stelling Als o(x) = r en x n = e dan is r een deler van n. Bewijs. Volgens de stelling van de Euclidische deling bestaat er een q en een s waarvoor geldt dat n = rq + s met 0 s < r. Dan is e = x n = x rq+s = (x r ) q.x s = x s s moet dus 0 zijn, anders zouden we een getal vinden, kleiner dan r, waarvoor x s = e en dit is onmogelijk. Bijgevolg is n = r.q en is r een deler van n. Stelling Alle elementen van een eindige groep hebben eindige orde. Bewijs. Neem a G en bereken a 2, a 3,. Omdat G eindig is, i j : a i = a j. Neem i > j. Dan is a i j = e, dus bestaat er een natuurlijk getal n waarvoor a n = e. Maar dan is er ook een kleinste r waarvoor a r = e en dus is de orde van a eindig. Gevolg Alle eindige groepen zijn periodisch. Stelling Een element en zijn symmetrisch element hebben dezelfde orde. Bewijs. Stel o(g) = n, dan is (g 1 ) n = (g n ) 1 = e. Veronderstel dat er een m < n bestaat waarvoor (g 1 ) m = e. Dan is (g m ) 1 = e e = g m. Dit is onmogelijk omdat de orde van g gelijk is aan n. Bijgevolg is de orde van g 1 gelijk aan n. 6
5 Gevolg Er zijn steeds een even aantal elementen van orde 3, 4, 5, Stelling De elementen xy en yx hebben steeds dezelfde orde. Bewijs. Stel o(xy) = n, dan is e = (xy) n = x(yx) n 1 y. Hieruit volgt dat x 1 y 1 = (yx) n 1. Bijgevolg is (yx) n = 1. Stelling Als o(a) = n dan is o(a r ) = n ggd(n, r). Bewijs. Stel ggd(n, r) = d, dan is n = sd en r = ld met s en l onderling ondeelbaar. Veronderstel o(a r ) = m. Nu is (a r ) s = a lsd = (a sd ) l = e l = e. Bijgevolg is m een deler van s. Anderzijds is (a r ) m = a ldm = e. Omdat o(a) = n is n = sd een deler van ldm. Dan is s een deler van lm en omdat s en l onderling ondeelbaar zijn, moet s een deler zijn van m. Bijgevolg is s = m, wat moest bewezen worden. Gevolg De orde van een macht van een element kan nooit groter zijn dan de orde van het element zelf. Stel a en b zijn twee elementen van een groep G waarvan we de orde kennen. In het algemeen is het niet mogelijk om uit deze informatie de orde van het element ab te bepalen. We kunnen aanzienlijk meer zeggen als we aannemen dat a en b commuteren. Stelling Als o(a) = n, o(b) = m en ab = ba dan is o(a.b) een deler van kgv(a,b). Bewijs. Stel kgv(a,b)=k, dan is (ab) k = a k.b k = e.e = e en dus is de orde van ab een deler van k. Stelling Als o(a) = n, o(b) = m, ggd(n, m) = 1 en ab = ba dan is o(a.b) = mn = kgv(a,b). 7
6 Bewijs. (a.b) mn = a mn.b mn = (a n ) m.(b m ) n = e, dus is de orde van a.b een deler van mn. Stel nu dat o(a.b) = m 1 n 1 met m 1 m en n 1 n. Dan is m = tm 1 en n = sn 1. Nu is e = ((a.b) m 1n 1 ) t = (a.b) mn 1 = a mn 1.b mn 1 = a mn 1. Maar dan is n een deler van mn 1 en omdat n en m onderling ondeelbaar zijn is n een deler van n 1. Maar n 1 is een deler van n, dus is n = n 1. Analoog kan men bewijzen dat m = m 1. Bijgevolg is o(a.b) = mn. Stelling Als o(a) = n, o(b) = m en ab = ba dan bestaat er een element g waarvan de orde gelijk is aan kgv(m, n). Bewijs. Gebruikmakend van de ontbinding in priemfactoren van n en m is kgv(m, n) = i pk i i. Dan is pk i een deler van m of van n. Maar dan heeft n p k i i i ofwel het element a ofwel het element b orde p k i i. Noem dat element c i en construeer g = i c i. De elementen c i en c j voldoen aan de voorwaarden van vorige stelling en dus geldt: m p k i i o(g) = i o(c i ) = i p k i i = kgv(m, n) Het element g is dus het gezochte element. We geven nu een soort omgekeerd resultaat van de vorige stellingen. Deze stelling laat ons toe een element te schrijven als het product van elementen van lagere orde. Stelling Als o(c) = m.n en ggd(m, n) = 1, dan bestaat er juist 1 element a en juist 1 element b die onderling commuteren en met o(a) = m, o(b) = n en c = a.b. Bewijs. Stel k = c n en l = c m. De elementen k en l commuteren en o(k) = m en o(l) = n. Verder bestaan er getallen r en s zodat rm + sn = 1, dus c = c rm+sn = (c m ) r.(c n ) s = k s l r. Nu is s onderling ondeelbaar met m en omdat de orde van een macht van een element nooit groter kan zijn dan de orde van het element zelf is o(k s ) = m. Analoog is o(l r ) = n. Definieer nu a = k s en b = l r. Dit zijn de gezochte elementen. Rest ons te bewijzen dat deze elementen uniek zijn. Veronderstel dus dat c = a.b = a 1.b 1, dan volgt uit (ab) sn = (a 1 b 1 ) sn dat a sn b sn = a sn 1 b sn 1 a sn = 8
7 a sn 1 a 1 rm = a 1 rm 1 a = a 1. Analoog zal b = b 1 en bijgevolg is de ontbinding c = a.b uniek. We besluiten met stelling die iets zegt over een groep waar elk element orde 2 heeft. Stelling Als elk niet triviaal element van een groep G orde 2 heeft, dan is G abels. Bewijs. (ab) 2 = 1 abab = 1 a 2 bab 2 = ab ba = ab. 1.4 Toegevoegde elementen Definitie Twee elementen a en b van G heten toegevoegd als er een g G bestaat waarvoor b = g 1 ag. We noemen b het toegevoegde element van a en noteren b = a g. Soms gebruikt men ook als definitie: a g = gag 1. We geven eerst een paar basiseigenschappen: Stelling De afbeelding f a (x) = x a is een bijectie. Bewijs. f a is injectief want:f a (x) = f a (y) a 1 xa = a 1 yx x = y. f a is ook surjectief want voor elke y in G is er een x te vinden zodat f a (x) = y. Neem x = aya 1 G, dan is f a (x) = a 1 aya 1 a = y Stelling De relatie:...is toegevoegd aan... in G is een equivalentierelatie. Bewijs. Omdat a = a e is elk element toegevoegd aan zichzelf. Als b toegevoegd is aan a, dan is b = a g. Dan is a = b (g 1) en is a toegevoegd aan b. De relatie is dus ook symmetrisch. Als b = a g en c = b h, dan is c = h 1 bh = h 1 g 1 agh = a gh. De relatie is transitief en bijgevolg hebben we een equivalentierelatie. 9
8 De groep G wordt door de equivalentierelatie... is toegevoegd aan... verdeeld in equivalentieklassen, die een partitie vormen van G. Met andere woorden elk groepselement behoort tot juist 1 klasse en twee klassen (bijvoorbeeld die van a en b) zijn gelijk als a en b toegevoegd zijn. De equivalentieklasse waartoe a behoort noemen we de toevoegingsklasse van a en noteren we door C(a): C(a) = {g 1 ag : g G} Het aantal toevoegingsklassen van G noemt men het klassegetal van G. We geven een aantal eigenschappen van de toevoegingsklassen: Stelling C(e) = {e}. Bewijs. C(e) = {g 1 eg : g G} = {e}. Stelling In een abelse groep geldt: a G : C(a) = {a}. Bewijs. C(a) = {g 1 ag : g G} = {g 1 ga : g G} = {a}. Gevolg In een abelse groep is het klassegetal gelijk aan de orde van de groep. Stelling Alle elementen in een bepaalde toevoegingsklasse hebben dezelfde orde. Bewijs. Stel o(a) = n en b = a g. Veronderstel dat o(b) = m. Maar b n = g 1 a n g = e, dus is m een deler van n. Evengoed is a m = g 1 b m g = e, dus is n een deler van m. Beide resultaten samen geven dat m = n, wat moest bewezen worden. Stelling Als a en b toegevoegd zijn, dan zijn a k en b k ook toegevoegd. Bewijs. Stel b = a g, dan is b k = g 1 a k g. Bijgevolg zijn a k en b k toegevoegd. 10
9 Stelling (C(a)) 1 = C(a 1 ). Bewijs. Met (C(a)) 1 bedoelt men de verzameling van alle inverse elementen van de elementen van C(a). Als y (C(a)) 1 y = (g 1 ag) 1 = g 1 a 1 g. Dus is y C(a 1 ) en bijgevolg is (C(a)) 1 C(a 1 ). Omgekeerd als y C(a 1 ) y = g 1 a 1 g y 1 = g 1 ag C(a). Bijgevolg is y (C(a)) 1 en is C(a 1 ) (C(a)) 1. Dus is (C(a)) 1 = C(a 1 ). De inverse neming permuteert dus de toevoegingsklassen. Het inverse van een toevoegingsklasse is een toevoegingsklasse. Sommige toevoegingsklassen zijn hun eigen inverse, zoals bijvoorbeeld C(e). 11
Deelgroepen en normaaldelers
Hoofdstuk 2 Deelgroepen en normaaldelers 2.1 Wat is een deelgroep? Definitie 2.1. Een deelverzameling H van een groep G, is een deelgroep van G als en slechts als H niet leeg is en H, zelf een groep is.
Nadere informatieDefinitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element.
Hoofdstuk 5 Cyclische groepen 5.1 Definitie Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Als G wordt voortgebracht door a en a n = e, dan noteren we de groep als C n = a.
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatieDefinitie 4.1. Als H en K normaaldelers zijn van een groep G en H K = {e} en HK = G dan noemt men G het direct product van
Hoofdstuk 4 Groepsconstructies 4.1 Direct product We gaan nu bestuderen hoe we van 2 groepen een nieuwe groep kunnen maken of hoe we een groep kunnen schrijven als een product van 2 groepen met kleinere
Nadere informatieDefinitie 8.1. De groep van alle permutaties van een gegeven verzameling X is de symmetriegroep op n elementen, genoteerd als Sym(X).
Hoofdstuk 8 Werking van een groep 8.1 Permutatiegroepen Een permutatie van een verzameling X is een bijectie van die verzameling op zichzelf. Een verzameling X met n elementen heeft juist n! permutaties.
Nadere informatieHoofdstuk 6. Dihedrale groepen. 6.1 Definitie
Hoofdstuk 6 Dihedrale groepen 6.1 Definitie Definitie 6.1. De dihaeder groep is de symmetriegroep van een regelmatige n-hoek. Dit is de verzameling van alle transformaties in het vlak die de regelmatige
Nadere informatie5 Inleiding tot de groepentheorie
5 Inleiding tot de groepentheorie Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze groep de viergroep van Klein bezit als deelgroep van index 2. Oplossing
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieOPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieAlgebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatie3 Modulorekenen. 3.1 De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat. Oefening 3.1. Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem).
3 Modulorekenen 3.1 De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat Oefening 3.1. Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem). Oplossing 3.1 1992 = 2 3 3 83. Φ(1992) = 2 2 2 82 = 656. 2048
Nadere informatieGetallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatie2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Nadere informatieWiskunde. Verzamelingen, functies en relaties. College 2. Donderdag 3 November
Wiskunde Verzamelingen, functies en relaties College 2 Donderdag 3 November 1 / 17 Equivalentierelaties Def. Een relatie R heet reflexief als x xrx. R heet transitief als x y z (xry yrz xrz). R heet symmetrisch
Nadere informatieHoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatieExamen G0U13B Bewijzen en Redeneren (6 sp.) Bachelor of Science Wiskunde. vrijdag 1 februari 2013, 8:30 12:30
Examen G0U13B Bewijzen en Redeneren (6 sp.) Bachelor of Science Wiskunde vrijdag 1 februari 2013, 8:30 12:30 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen. Begin
Nadere informatie5.2.4 Varia in groepentheorie
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatieGetaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)
Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen 8 december 2015, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Nadere informatiePijlenklokken. 1 Inleiding
Pijlenklokken 1 Inleiding In bovenstaande tekening zie je 1 rode punten. Er staan blauwe pijlen van elk rood punt naar een ander rood punt 4 plaatsen verder op de cirkel. Een dergelijke afbeelding noemen
Nadere informatieGroepen, ringen en velden
Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatie1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatie6 Ringen, lichamen, velden
6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieGehelen van Gauss. Hector Mommaerts
Gehelen van Gauss Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Gehelen van Gauss zijn complexe getallen van de vorm a + bi waarbij a, b Z. De verzameling van alle gehelen van Gauss noteren we met Z(i). Dus
Nadere informatieUitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 28 oktober 2014 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 3 1.1 Basisbegrippen....................................... 3 1.2 De
Nadere informatieInleiding tot groepentheorie
Hoofdstuk Inleiding tot groepentheorie 1 Basisdefinities Een algebraïsche structuur bestaat meestal uit een verzameling waarop één of meerdere bewerkingen gedefinieerd zijn. Definitie Een inwendige bewerking
Nadere informatieINLEIDING GROEPENTHEORIE
INLEIDING GROEPENTHEORIE 2013-2014 webstek: http://homepages.vub.ac.be/ efjesper HOC: woensdag 8-10 uur, sem 2 WPO: donderdag 13-15 uur, sem 2 E. Jespers Vakgroep Wiskunde Vrije Universiteit Brussel Faculteit
Nadere informatieEnkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
Nadere informatie7.1 Het aantal inverteerbare restklassen
Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo
Nadere informatieMen kan enkele samenstellingen berekenen en vervolgens de Cayleytabel aanvullen, wetende dat het een Latijns vierkant is. De Cayleytabel wordt:
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatieAlgebra en Getaltheorie@Work: van cryptosysteem tot digitale handtekening
Algebra en Getaltheorie@Work: van cryptosysteem tot digitale handtekening Dr. Fabien Decruyenaere, St. Amandscollege, 8500 Kortrijk fabien.decruyenaere@skynet.be Prof. Dr. Paul Igodt, K.U.Leuven Campus
Nadere informatieSyllabus Algebra I. Prof. Dr G. van der Geer
Algebra I -1 1 Syllabus Algebra I voorlopige versie Prof. Dr G. van der Geer Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam Science Park 94248 1090 GE Amsterdam Versie: 2013 Algebra I -2
Nadere informatieOpgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep.
Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatieRelaties en Functies
Logica voor Informatica Relaties en Functies Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Geordende paren, productverzameling, relatie (a, b) geordend paar (a, b) = (c, d) a =
Nadere informatieMatrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
Nadere informatieVeeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm
Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n
Nadere informatieInverse limieten en de A-dèle ring. Pim van der Hoorn
Inverse limieten en de A-dèle ring Pim van der Hoorn 29 augustus 2008 Voorwoord Deze scriptie is gebaseerd op onderzoek gedaan in het eerste halfjaar van het jaar 2008 door Marcel de Reus en Pim van der
Nadere informatieExamen G0U13 - Bewijzen en Redeneren,
Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, 2010-2011 bachelor in de Wisunde, bachelor in de Fysica, bachelor in de Economische Wetenschappen en bachelor in de Wijsbegeerte Vrijdag 4 februari 2011, 8u30 Naam:
Nadere informatieDossier 1 SYMBOLENTAAL
Dossier 1 SYMBOLENTAAL basis voor wiskundige communicatie Dr. Luc Gheysens Wiskundigen hebben een eigen symbolentaal waarmee ze onderling communiceren, redeneringen en bewijzen neerschrijven, mathematische
Nadere informatieOefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar?
Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.
Nadere informatieOefening 2.3. Noteer de volgende verzamelingen d.m.v. (eenvoudig) voorschrift voor de eerste helft en d.m.v. opsomming voor de tweede helft.
Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieDossier 3 PRIEMGETALLEN
Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,
Nadere informatieOplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren
Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Goeroen Maaruf 20 augustus 202 Hoofdstuk 3: Relaties. Oefening 3..2 (a) Persoon p is grootouder van persoon q. (b) (p, q) O o O r P : [ (p, r) O (r, q) O ]
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatie1-ste Bachelor Wiskunde en Fysica
ALGEBRA I 1-ste Bachelor Wiskunde en Fysica 2007-2008 webstek: http://homepages.vub.ac.be/ efjesper HOC: woensdag 14-16 uur, F.5.212 WPO: donderdag 16-18 uur, F.5.211 E. Jespers Departement Wiskunde Vrije
Nadere informatieAlle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave.
WAT IS WISKUNDE (English version on the other side) Maandag 5 november 2012, 13.30 1.30 uur Gebruik voor iedere opgave een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer op elk vel. Alle opgaven tellen even
Nadere informatieConstructie der p-adische getallen
Constructie der p-adische getallen Pim van der Hoorn Marcel de Reus 4 februari 2008 Voorwoord Deze tekst is geschreven als opdracht bij de cursus Kaleidoscoop 2007 2008 aan de Universiteit Utrecht. De
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 17 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 17 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wat is een equivalentierelatie? Een
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatieIMO-selectietoets I donderdag 2 juni 2016
IMO-selectietoets I donderdag juni 016 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij ABC een scherphoekige driehoek. Zij H het voetpunt van de hoogtelijn vanuit C op AB. Veronderstel
Nadere informatieOVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π
OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn
Nadere informatieGetallensystemen, verzamelingen en relaties
Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove. met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 1 juni 2015 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 6 1.1
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A met uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A met uitwerking 9 december 2014, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieHoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Nadere informatieEigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen
Nadere informatie1 Groepen van orde 24.
1 1 Groepen van orde 24. Als G een groep van orde 24 is, dan zeggen de stellingen van Sylov: Het aantal 2-Sylow-groepen van G is 1 modulo 2 en bovendien een deler van 24, dus bedraagt 1 of 3. Het aantal
Nadere informatieEenheden in groepsringen
Eenheden in groepsringen 2 Hoofdstuk 1 Bicyclische eenheden 1.1 Definitie Veronderstel dat R een willekeurige ring is met eenheidselement. Een belangrijk onderzoeksproject is het zoeken naar eenheden.
Nadere informatieUitwerkingen toets 9 juni 2012
Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is
Nadere informatieBewijzen en Redeneren voor Informatici
Bewijzen en Redeneren voor Informatici Reinoud Berkein 17 januari 2018 Samenvatting Een korte samenvatting van definities uit de cursus. Hoofdstuk 1 Doorsnede: De verzamerling die alle elementen bevat
Nadere informatieLights Out. 1 Inleiding
Lights Out 1 Inleiding Het spel Lights Out is een elektronisch spel dat gelanceerd werd in 1995 door Tiger Electronics. Het originele spel heeft een bord met 25 lampjes in een rooster van 5 rijen en 5
Nadere informatie4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra
4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,
Nadere informatie1 Verzamelingen en afbeeldingen
Samenvatting Wiskundige Structuren, 2010 Aad Offerman, www.offerman.com 1 1 Verzamelingen en afbeeldingen Notaties: A = {1,2,3},, x A, y / A, A = B A B en B A, N = {0,1,2,...}, Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,...},
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dystra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 12 februari 2008 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen
Nadere informatieDiophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten
Nadere informatieUniversiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
Nadere informatieSupplement Verzamelingenleer. A.J.M. van Engelen en K. P. Hart
Supplement Verzamelingenleer A.J.M. van Engelen en K. P. Hart 1 Hoofdstuk 1 Het Keuzeaxioma Het fundament van de hedendaagse verzamelingenleer werd in de vorige eeuw gelegd door Georg Cantor. Cantor gebruikte
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatieHoofdstuk 1. Afspraken en notaties
Hoofdstuk 1 Afspraken en notaties In deze tekst onderzoeken we een eenvoudig dobbelspel: twee spelers hebben een dobbelsteen, gooien deze, en wie het hoogst aantal ogen gooit wint. Er blijken setjes dobbelstenen
Nadere informatieIMO-selectietoets I donderdag 1 juni 2017
IMO-selectietoets I donderdag 1 juni 2017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een positief geheel getal. Gegeven zijn cirkelvormige schijven met stralen 1, 2,..., n. Van
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 februari 2009 RELATIES & GRAFEN Discrete Structuren Week 2: Relaties en Grafen
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatiePG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5
2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene
Nadere informatie7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1
WIS7 1 7 Deelbaarheid 7.1 Deelbaarheid Deelbaarheid Voor geheeltallige d en n met d > 0 zeggen we dat d een deler is van n, en ook dat n deelbaar is door d, als n d een geheel getal is. Notatie: d\n k
Nadere informatieTentamen algebra 1. 8 juni 2005, , zaal A.404
Tentamen algebra 1 8 juni 2005, 13.30 16.30, zaal A.404 Schrijf je naam en collegekaartnummer of het werk dat je inlevert. Het tentamen bestaat uit 5 opgaven. Beargumenteer telkens je antwoord. Veel succes!
Nadere informatieFunctievergelijkingen
Functievergelijkingen Trainingsweek juni 2008 Basistechnieken Je mag alle getallen in het domein invullen in je functievergelijking. Wat er precies handig is, hangt af van het domein en van de functievergelijking.
Nadere informatieVerzamelingen. Hoofdstuk 5
Hoofdstuk 5 Verzamelingen In de meest uiteenlopende omstandigheden kan het handig zijn om een stel objecten, elementen, of wat dan ook, samen een naam te geven. Het resultaat noemen we dan een verzameling.
Nadere informatieiii Tristan Kuijpers Claudine Lybaert december 2013
Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische
Nadere informatieHet karakteristieke polynoom
Hoofdstuk 6 Het karakteristieke polynoom We herhalen eerst kort de definities van eigenwaarde en eigenvector, nu in een algemene vectorruimte Definitie 6 Een eigenvector voor een lineaire transformatie
Nadere informatieM1 Wiskundig taalgebruik en notaties
M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =
Nadere informatieWeek 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht
Week 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht Een belangrijke invariant van een lineaire afbeelding is het spoor. Als we een basis kiezen dan is het spoor simpelweg de som van de elementen
Nadere informatieEigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische
Nadere informatieEERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C
EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C 0 november 990 9.30.30 uur Zet uw naam op elk blad dat u inlevert en uw naam en adres op de enveloppe. De verschillende onderdelen van de vraagstukken zijn zoveel als mogelijk
Nadere informatieHet doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken,
Kettingbreuken Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken en enkele toepassingen daarvan te geven.. Eindige kettingbreuken Een aardige manier om kettingbreuken
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Nadere informatieThis work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License. To view a copy of this license,
Inhoudsopgave 1 Groepen 1 1.1 Groepen, deelgroepen en voorbeelden.............. 1 1.2 Verdere definities en eigenschappen............... 8 1.3 Groepsmorfismen......................... 15 1.4 Cyclische
Nadere informatieGetaltheorie groep 3: Primitieve wortels
Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling
Nadere informatie