Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00"

Transcriptie

1 Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 207, 4:00 7:00 Je mocht zoals gezegd niet zonder uitleg naar opgaven verwijzen. Sommige berekeningen zijn hier weggelaten. Die moest je op je tentamen wel laten zien. Opgave. Bepaal de graad van een ontbindingslichaam van f = x 3 2 over (a), (b) R, (c) F 3, (d) F 7, (e) F, (f) F 3. Uitwerking: Voor (c) geldt f = x 3 + = (x + ) 3, dus het enige nulpunten van f is, dus elk ontbindingslichaam van f over F 3 is F 3 zelf, dus de graad is. Dan de overige gevallen. Zij F een lichaam van karakteristiek ongelijk aan 3 en F een algebraïsche afsluiting, en Ω = Ω f F F het lichaam voortgebracht door de nulpunten van f in F. Zij α F een nulpunt van f en ζ F een primitieve derdemachts eenheidswortel. Dan geldt Ω = F (α, ζ). We bekijken de twee uitbreidingen F F (ζ) F (α, ζ) = Ω en gebruiken [Ω : F ] = [Ω : F (ζ)] [F (ζ) : F ]. Omdat ζ een nulpunt is van het polynoom x 2 + x +, is de graad [F (ζ) : F ] hooguit 2; het is gelijk aan 2 dan en slechts dan als de multiplicatieve groep F geen element van orde 3 bevat. Als f geen nulpunt heeft in F, dan is f irreducibel over F (want f heeft graad 3), dus heeft elk nulpunt van f graad 3 over F ; dan zijn ze dus niet bevat in F (ζ) en dus hebben ze om dezelfde reden ook graad 3 over F (ζ), dus [Ω : F (ζ)] = 3 in dat geval. Als f wel een nulpunt heeft in F, dan ook in F (ζ), dus zijn alle nulpunten van f (namelijk ζ i α voor 0 i 2) bevat in F (ζ), dus geldt [Ω : F (ζ)] =. (a) F =. Het lichaam bevat noch een nulpunt van f, noch een derdemachts eenheidswortel, dus de graad is 2 3 = 6. (b) F = R. Het lichaam R bevat wel een nulpunt van f, maar geen derdemachts eenheidswortel, dus de graad is 2 = 2. (c) F = F 3. De graad is zoals al eerder opgemerkt. (d) F = F 7. De groep F 7 heeft orde 6 en bevat dus een element van orde 3. Als f een nulpunt α F 7 had, dan gold α 3 = 2 in de groep F 7 van orde 6, dus = α 6 = 2 2 = 4, tegenspraak. Dus f heeft geen nulpunt in F 7 en de gezochte graad is cot 3 = 3. (e) F = F. De groep F heeft orde 0 en bevat dus geen element van orde 3. Het homomorfisme F F dat x stuurt naar x 3 heeft dus triviale kern en is dus injectief en daarmee ook surjectief. Alle elementen van F zijn dus derdemachten, in het bijzonder 2. Dat betekent dat f een nulpunt heeft in F, dus de gezochte graad is 2 cot = 2. (f) F = F 3. De groep F 3 heeft orde 2 en bevat dus een element van orde 3. Als f een nulpunt α F 3 had, dan gold α 3 = 2 in de groep F 3 van orde 2, dus = α 2 = 2 4 = 6, tegenspraak. Dus f heeft geen nulpunt in F 3 en de gezochte graad is cot 3 = 3.

2 Opgave 2. Definieer het polynoom f = x 4 2x [x]. Zij α C een nulpunt van f. (a) Laat zien dat β = α 3 + 3α en γ = α 3 7α beide graad 2 over hebben. (b) Laat zien dat er geldt (β, γ) = (α). (c) Bewijs dat f irreducibel is. (d) Bewijs dat (α) Galois is over en bepaal de Galoisgroep Gal((α)/). (e) Wat zijn de nulpunten van f in (α)? (f) Geef alle deellichamen van (α). Uitwerking: (a) Uitwerken geeft β 2 = 200 en γ 2 = 300. (b) Het is duidelijk dat geldt β, γ (α), dus (β, γ) (α). Uit α = 0 (β γ) volgt ook α (β, γ), dus (α) (β, γ). (c) We laten eerst zien dat (β, γ) graad (minstens) 4 heeft. Er geldt (β/0) 2 = 2 en (γ/0) 2 = 3, dus ( 2) en ( 3) zijn bevat in (β, γ). Het lichaam ( 3) is isomorf met een deellichaam van R, dus 2 is geen kwadraat in dat lichaam. We concluderen [( 3, 2) : ( 3)] 2, dus [(β, γ) : ] [( 3, 2) : ] = [( 3, 2) : ( 3)] [( 3) : ] 2 2 = 4. Uit (b) volgt dat α graad minstens 4 heeft, dus het minimum polynoom van α heeft minstens graad 4, terwijl het ook een deler is van f = x 4 2x Hieruit volgt dat het minimum polynoom van α gelijk is aan f, dus f is irreducibel. (d) De ongelijkheden uit de middelste regel van het bewijs van (c) zijn dus allemaal gelijkheden, dus volgt (α) = ( 2, 3), wat een ontbindingslichaam is van (x 2 + 2)(x 2 3), dus het is normaal. Separabiliteit volgt omdat de karakteristiek gelijk is aan 0. Hieruit volgt dat (α) Galois is over. De Galoisgroep heeft orde 4. Voor elk Galois automorfisme σ zijn de beelden van 2 en 3 gelijk aan ± 2 respectievelijk ± 3, dus σ heeft orde of 2. De Galoisgroep is dus isomorf met de V 4. (e) Twee van de nulpunten zijn duidelijk ±α. Omdat er geldt α = 0 (β γ) en de Galois automorfismen β en γ sturen naar ±β respectievelijk ±γ, zijn de geconjugeerden van α gelijk aan 0 (β γ) = α, 0 ( β+γ) = α, 0 (β+γ) = 5 (α3 2α), 0 ( β γ) = 5 (α3 2α). (f) De V 4 heeft drie ondergroep van orde 2, corresponderend met de lichamen ( 2), ( 3), ( 6). Daarnaast zijn er uiteraard nog en (α).

3 Opgave 3. Zij Φ 5 Z[x] het 5-de cyclotomische polynoom en K = Ω Φ5 ontbindingslichaam van Φ 5 over. Zij ζ = ζ 5 K een nulpunt van Φ 5. (a) Laat zien dat de Galoisgroep Gal(K/) isomorf is met (Z/2Z) (Z/4Z). (b) Laat zien dat de elementen 3, 5, 5 K kwadraten zijn in K. (c) Bepaal alle deellichamen F van K waarvoor de graad [F : ] gelijk is aan 4. (d) Laat zien dat de deellichamen (ζ 3 ) en (ζ + ζ ) van K hetzelfde zijn. (e) Zij p een priemgetal. Laat zien dat Φ 5 een nulpunt heeft in F p 4. (f) Zij p een priemgetal. Laat zien dat Φ 5 niet irreducibel is over F p. Uitwerking (met extra opmerkingen): (a) Volgens Stelling 24.4 is het polynoom Φ 5 irreducibel en volgens 24.5 is de Galoisgroep isomorf met (Z/5Z), wat volgens de Chinese reststelling isomorf is met (Z/3Z) (Z/5Z). Het gevraagde volgt uit het feit dat (Z/3Z) en (Z/5Z) cyclische groepen van orde 2 respectievelijk 4 zijn. (b) We mogen 24.2 niet direct toepassen op (ζ) omdat 5 niet priem is. Maar als we definiëren ζ 3 = ζ 5 en ζ 5 = ζ 3, dan zijn ζ 3 en ζ 5 primitieve derde- en vijfdemachts eenheidswortels. Passen we 24.2 toe op (ζ 3 ) en (ζ 5 ), dan vinden we dat in deze deellichamen van (ζ) = K de elementen 3 respectievelijk 5 kwadraten zijn, dus dat geldt ook in K. Uiteraard is dan ook het product 5 een kwadraat. (c) Deellichamen van graad 4 corresponderen met ondergroepen van Gal(K/) van index 4. Omdat de orde van Gal(K/) gelijk is aan 8, zijn dit de ondergroepen van orde 2. Er zijn drie ondergroepen van (Z/2Z) (Z/4Z) van orde 2, namelijk voortgebracht door paren van elementen van orde een deler van 2 (behalve het paar (0, 0)), dus door de elementen (0, 2), (, 0), respectievelijk (, 2). Deze corresponderen met de elementen van (Z/5Z) die kwadraat hebben (en niet zelf zijn); dat zijn 4, 4, (Z/5Z), dus we zoeken drie deellichamen. We kunnen nu net als in Stelling 24.0 invariante deellichamen proberen op te schrijven die met deze ondergroepen corresponderen, maar het bewijs vertelt ons niet dat de lichamen die we krijgen daadwerkelijk graad 4 hebben, want het bewijs gebruikt dat p priem is (en 5 is dat niet). We krijgen de lichamen F = (ζ + ζ 4 ), F 2 = (ζ + ζ 4 ), F 3 = (ζ + ζ ) en zouden dan nog moeten bewijzen dat deze daadwerkelijk graad 4 hebben, of, wat equivalent is, dat (ζ) graad 2 heeft over deze lichamen. Voor het derde lichaam volgt dat bijvoorbeeld uit het feit dat ζ een nulpunt is van x 2 (ζ + ζ )x +. In plaats van dit argument te completeren, wat voor F en F 2 zeker lastiger is, geven we naast F 3 nog twee deellichamen van graad 4, namelijk F 4 = ( 3, 5) en F 5 = (ζ 5 ). Het feit dat deze lichamen bevat zijn in K volgt uit onderdeel (b). Het feit dat de graad van F 4 over gelijk is aan 4 volgt analoog aan het argument in opgave 2(c). Het lichaam F 5 heeft graad 4 over volgens We laten nu zien dat de drie lichamen F 3, F 4, F 5 verschillend zijn. De lichamen F 4 en F 5 zijn verschillend omdat de bijbehorende Galoisgroepen isomorf zijn met V 4 respectievelijk Z/4Z. een

4 Het lichaam F 3 is verschillend van F 4 en F 5 omdat F 3 in te bedden is in R terwijl dat voor F 4 en F 5 niet kan. Overigens geldt F = F 4 en F 2 = F 5. Dit laatste zien we in het volgende onderdeel. (d) Merk op dat K ingebed kan worden in C door ζ te sturen naar e 2πi/5. De beelden van ζ, ζ 6 en ζ vormen dan een gelijkzijdige driehoek met middelpunt 0, dus de som van deze drie elementen is 0, dus ζ + ζ = ζ 6 = ζ5. 2 Een andere manier om dit in te zien is door te gebruiken dat ζ 3 = ζ 5 een nulpunt is van x 2 + x +, dus we vinden ζ 0 + ζ 5 + = 0, waaruit ook volgt ζ + ζ = ζ( + ζ 0 ) = ζ 6. Er volgt dus dat ζ + ζ = ζ 6 bevat is in (ζ 3 ). Andersom geldt ζ 3 = ζ 8 = ( ζ 6 ) 3 = (ζ + ζ ) 3, dus ζ 3 is bevat in (ζ + ζ ) en we vinden dat de twee lichamen gelijk zijn. Veel mensen probeerden het volgende. Beide lichamen zijn invariant onder het Galoisautomorfisme τ dat ζ naar ζ, want (ζ ) 3 = ζ 33 = ζ 3 en ζ + (ζ ) = ζ + ζ 2 = ζ + ζ. Maar dit is nog geen compleet bewijs, want het laat alleen zien dat beide lichamen bevat zijn in het invariante deellichaam dat hoort bij de ondergroep van orde 2 voortgebracht door τ. Dit invariante deellichaam heeft graad 4, dus het zou voldoende zijn om nog laten zien dat zowel (ζ 3 ) = (ζ 5 ) als (ζ + ζ ) graad 4 hebben over. Voor (ζ 5 ) is dit duidelijk (zie onderdeel (c)), maar voor (ζ + ζ ) is dat a priori niet duidelijk. (e) Voor p = 3 geldt x 5 = (x 5 ) 3 = (x 5 ) 3 = (x ) 3 Φ 3 5, dus Φ 5 is het product van factoren x en Φ 5 over F 3. Omdat Φ 5 geen nulpunten heeft in F 3 is Φ 5 ofwel irreducibel, of het product van twee irreducibele kwadratische polynomen. In beide gevallen liggen de nulpunten van Φ 5, en dus van Φ 5, in F p 4 (in het laatste geval zelfs in F p 2). Voor p = 5 geldt x 5 = (x 3 ) 5 = (x 3 ) 3 = (x ) 5 Φ 5 3, dus Φ 5 is het product van factoren x en Φ 3 over F 5. De nulpunten van Φ 5 hebben dus graad of 2 over F 5 en ze liggen dus allemaal in F 5 2 en dus zeker in F 5 4. Stel nu p 3, 5. Dan geldt p 4 (mod 3) en p 4 (mod 5), dus wegens de Chinese reststelling ook p 4 (mod 5). De orde p 4 van de groep F p is dus een veelvoud van 5. Omdat deze groep cyclisch is, 4 bevat die groep dus een element van orde 5 en dus een primitieve 5-e eenheidswortel. Dat is een nulpunt van Φ 5. (f) Elk nulpunt van Φ 5 heeft volgens onderdeel (e) hooguit graad 4 over, dus het minimumpolynoom van elk nulpunt heeft hooguit graad 4. Omdat Φ 5 graad 8 heeft, volgt dat Φ 5 niet irreducibel is.

5 Opgave 4. Voor elke gehele n en a definiëren we f a,n = x 2n + x n + a [x]. Voor welke n en a is de Galoisgroep Gal(Ω fa,n /) oplosbaar? Uitwerking (met extra opmerkingen): Het antwoord is voor alle n en a. We claimen eerst dat om dit te bewijzen het voldoende is om te laten zien dat alle nulpunten van f a,n zijn bevat in een radicale afsluiting rad van. De meeste mensen die dit gebruikten hebben dit gewoon aangenomen, maar deze claim volgt niet direct uit Stelling 25.5, want onderdeel 3 van die stelling heeft alleen betrekking op minimale, en dus irreducibele polynomen. Om de claim te bewijzen merken we op dat als alle nulpunten bevat zijn in rad, dan is ook Ω fa,n bevat in rad. Wegens Stelling 23.9 kunnen we een primitief element x Ω fa,n vinden. Dat element x is bevat in rad, dus Stelling 25.5 geeft dat de Galoisgroep van f x, dat wil zeggen de Galoisgroep Gal(Ωfa,n /), oplosbaar is. Een schets van een alternatief bewijs van de claim: schrijf Ω fa,n als een toren van uitbreidingen waarbij we telkens een nulpunt van f a,n toevoegen. Stelling 25.5 geeft dan dat elke stap in de toren een oplosbare Galoisgroep heeft. Hieruit volgt dat de hele groep Gal(Ω fa,n /) een filtratie (keten van ondergroepen) heeft waarin in elke stap de volgende ondergroep normaal is in de vorige en het bijbehorende quotient oplosbaar is. Dit impliceert dat de hele groep Gal(Ω fa,n /) oplosbaar is. Vergelijk dit met opgave 0.8. Nu we de claim hebben bewezen, hoeven we dus alleen maar te laten zien dat de nulpunten van f a,n bevat zijn in rad. Zij α een nulpunt van f a,n. Dan is α n een nulpunt van g a = x 2 + x + a. Omdat g a kwadratisch is zijn de nulpunten van g a bevat in rad. Om precies te zijn, zijn ze bevat in de kwadratische uitbreiding ( 4a). Dus α n is bevat in rad, dus α is zelf bevat in rad. Dit geldt voor alle nulpunten van f a,n, dus uit de claim volgt dat de genoemde Galoisgroep inderdaad oplosbaar is.

6 Ringen, lichamen, velden

6 Ringen, lichamen, velden 6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.

Nadere informatie

cyclotomische polynomen

cyclotomische polynomen Coëfficiënten van cyclotomische polynomen Joris Luijsterburg Studentnummer: 0314137 Maart 2009 Bachelorscriptie Onder begeleiding van Dr. W. Bosma Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en

Nadere informatie

Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312

Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Je mag de syllabus en aantekeningen gebruiken, maar geen rekenmachine. Je mag opgaven 2.46, 2.49 en 8.13

Nadere informatie

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Geef een goede onderbouwing van je antwoorden. Succes! 1. (a) (10 pt) Ontbindt het polynoom X 3 3X+3 in irreducibele factoren in Q[X] en in

Nadere informatie

er zijn (p 2 p)/2 irreducibele polynomen van de graad 2 over F p het minimaal polynoom van a deelt ieder polynoom f(x) met f(a) = 0

er zijn (p 2 p)/2 irreducibele polynomen van de graad 2 over F p het minimaal polynoom van a deelt ieder polynoom f(x) met f(a) = 0 Laatste nieuws van Algebra and Discrete Wiskunde (2WF50) College 8.b: Vragenuur Opgaven 11 en 12 van Test 4 op Oncourse Opgaven 2 en 3 van tentamen van april 2015 Opgaven 16 en 19 van 14.8 College 8.a:

Nadere informatie

Algebra and discrete wiskunde

Algebra and discrete wiskunde Algebra and discrete wiskunde dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2015/2016 College 2WF50 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5 Onderwijs-

Nadere informatie

Algebra and discrete wiskunde

Algebra and discrete wiskunde Algebra and discrete wiskunde dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2016/2017 College 2WF50 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5 Onderwijs-

Nadere informatie

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo

Nadere informatie

Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element.

Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Hoofdstuk 5 Cyclische groepen 5.1 Definitie Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Als G wordt voortgebracht door a en a n = e, dan noteren we de groep als C n = a.

Nadere informatie

IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017

IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017 IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Gegeven is cirkel ω met middellijn AK. Punt M ligt binnen de cirkel, niet op lijn AK. De lijn AM snijdt

Nadere informatie

Syllabus Galoistheorie. Prof. Dr G. van der Geer

Syllabus Galoistheorie. Prof. Dr G. van der Geer Galoistheorie 1 Syllabus Galoistheorie versie 2016 Prof. Dr G. van der Geer Korteweg-de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam Science Park 105-107 1098 XG Amsterdam Galoistheorie 1 1. Symmetrische

Nadere informatie

Algebra I. Examenoefeningen

Algebra I. Examenoefeningen 1 Algebra I Examenoefeningen 2 Deel I Examens Algebra I Leuven 1 14 januari 2004 De theorievragen zijn verloren gegaan. 1. Zij G, een groep en A G. Veronderstel dat A commutatief is. (a) Toon aan dat σ

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

ALGEBRA III. P. Stevenhagen

ALGEBRA III. P. Stevenhagen ALGEBRA III P. Stevenhagen 2012 INHOUDSOPGAVE ALGEBRA III 21. Lichaamsuitbreidingen 5 Uitbreidingslichamen Algebraïsch en transcendent Formele adjunctie van nulpunten Expliciete berekeningen Algebraïsche

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling

Nadere informatie

Enkele valkuilen om te vermijden

Enkele valkuilen om te vermijden Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige

Nadere informatie

Stelling van Belyi. Quinten Meertens, juni 2013 Eindverslag Bachelorproject Wiskunde. Begeleider: prof. dr. Eric Opdam

Stelling van Belyi. Quinten Meertens, juni 2013 Eindverslag Bachelorproject Wiskunde. Begeleider: prof. dr. Eric Opdam Stelling van Belyi Quinten Meertens, 10001631 27 juni 2013 Eindverslag Bachelorproject Wiskunde Begeleider: prof. dr. Eric Opdam KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 18 maart 2011

Uitwerkingen toets 18 maart 2011 Uitwerkingen toets 8 maart 20 Opgave. Alle positieve gehele getallen worden rood of groen gekleurd, zodat aan de volgende voorwaarden wordt voldaan: Er zijn zowel rode als groene getallen. De som van drie

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Syllabus Algebra 3. Prof. Dr G. van der Geer

Syllabus Algebra 3. Prof. Dr G. van der Geer Algebra III 1 Syllabus Algebra 3 voorlopige versie Prof. Dr G. van der Geer Korteweg-de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam Science Park 904 1098 XH Amsterdam Versie: 2014 Algebra III 1 1. Symmetrische

Nadere informatie

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies

Nadere informatie

Perfecte getallen en Leinster groepen

Perfecte getallen en Leinster groepen Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Perfecte getallen en Leinster groepen Bachelorproef 1 Lukas Boelens Promotor: Dr. Andreas Bächle 29 januari 2015 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Perfecte getallen

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

3 De duale vectorruimte

3 De duale vectorruimte 3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1 WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

Definitie 4.1. Als H en K normaaldelers zijn van een groep G en H K = {e} en HK = G dan noemt men G het direct product van

Definitie 4.1. Als H en K normaaldelers zijn van een groep G en H K = {e} en HK = G dan noemt men G het direct product van Hoofdstuk 4 Groepsconstructies 4.1 Direct product We gaan nu bestuderen hoe we van 2 groepen een nieuwe groep kunnen maken of hoe we een groep kunnen schrijven als een product van 2 groepen met kleinere

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

p p. Zij verder R een ring en ζ R een element met p 1 p 1 i=1

p p. Zij verder R een ring en ζ R een element met p 1 p 1 i=1 Voortgezette getaltheorie (Klassenlichamentheorie) (Stieltjescollege) H. W. Lenstra (Mathematisch Instituut Leiden, kamer 227, tel. 071 527 7127, e-mail hwl@wi.leidenuniv.nl). Voorjaar 1999, vrijdag 10

Nadere informatie

Pro-eindige Fibonacci-getallen

Pro-eindige Fibonacci-getallen Jelle Bulthuis jelle.bulthuis@outlook.com Pro-eindige Fibonacci-getallen Bachelorscriptie Scriptiebegeleider: Prof. dr. H.W. Lenstra Datum bachelorexamen: 30 juni 2015 Mathematisch Instituut, Universiteit

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

Expliciete berekeningen met modulaire Galoisrepresentaties

Expliciete berekeningen met modulaire Galoisrepresentaties Samenvatting Expliciete berekeningen met modulaire Galoisrepresentaties De tekst van deze samenvatting is gebaseerd op het door de auteur geschreven populairwetenschappelijke artikel [8]. Galoistheorie

Nadere informatie

Opgave 1 Bepaal welke van de volgende beweringen juist zijn: = Z2 Z 6 (R >0, ) = (R, +) (Z, +) = (Q, +)

Opgave 1 Bepaal welke van de volgende beweringen juist zijn: = Z2 Z 6 (R >0, ) = (R, +) (Z, +) = (Q, +) Deeltentamen Groepentheorie (WISB221). A. Henriques, Nov 2012. Geef niet alleen anwoorden, maar bewijs al je beweringen. Opgave 1 Bepaal welke van de volgende beweringen juist zijn: [5pt] Z 5 = Z 4, Z

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

6 Ringen, lichamen, velden

6 Ringen, lichamen, velden 6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x + x + irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is, is deze

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Hoofdstuk 16. De vergelijking van Pell De oplossing. Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking. x 2 Ny 2 = 1

Hoofdstuk 16. De vergelijking van Pell De oplossing. Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking. x 2 Ny 2 = 1 Hoofdstuk 16 De vergelijking van Pell 16.1 De oplossing Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking x Ny = 1 in de onbekenden x, y Z 0. We noemen dit soort vergelijking de vergelijking van

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

De rij van Fibonacci in Z/nZ

De rij van Fibonacci in Z/nZ De rij van Fibonacci in Z/nZ Bart Zevenhek 16 mei 2007 Samenvatting Om de deelbaarheidseigenschappen van de rij van Fibonacci te onderzoeken, ligt het voor de hand om de rij te definiëren binnen Z/nZ en

Nadere informatie

Elliptische krommen en hun topologische aspecten

Elliptische krommen en hun topologische aspecten Elliptische krommen en hun topologische aspecten René Pannekoek 25 januari 2011 Dit is een korte introductie tot elliptische krommen voor het bachelorseminarium van de Universiteit Leiden. De bespreking

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

V.4 Eigenschappen van continue functies

V.4 Eigenschappen van continue functies V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt

Nadere informatie

De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: [ H =

De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: [ H = Oplossing examen TAI 11 juni 2008 Veel plezier :) Vraag 1 De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: H = [ 1 0 1 2 3 ] 4 0 1 1 1 1 1 (a) Bepaal de bijhorende generatormatrix

Nadere informatie

Drie problemen voor de prijs van één

Drie problemen voor de prijs van één Drie problemen voor de prijs van één Of: één probleem voor de prijs van drie K. P. Hart Faculty EEMCS TU Delft Delft, 30 oktober, 2012: 10:15 10:45 Eenvoudig begin Opgave Bewijs dat voor m, n N het volgende

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde

Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische

Nadere informatie

Selectietoets vrijdag 21 maart 2014

Selectietoets vrijdag 21 maart 2014 Selectietoets vrijdag 21 maart 2014 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Vind alle niet-negatieve gehele getallen n waarvoor er gehele getallen a en b bestaan met n 2 = a + b en

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 9 juni 2012

Uitwerkingen toets 9 juni 2012 Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is

Nadere informatie

Vertaling van propositie 11 van boek 13 van de Elementen van Euclides

Vertaling van propositie 11 van boek 13 van de Elementen van Euclides Vertaling van propositie 11 van boek 13 van de Elementen van Euclides 11. Als in een cirkel met rationale diameter een gelijkzijdige vijfhoek wordt ingeschreven, dan is de zijde van de vijfhoek het irrationale

Nadere informatie

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1) Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen

Nadere informatie

De wortel uit min één. Jaap Top

De wortel uit min één. Jaap Top De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen

Nadere informatie

Functievergelijkingen

Functievergelijkingen Functievergelijkingen Trainingsweek juni 2008 Basistechnieken Je mag alle getallen in het domein invullen in je functievergelijking. Wat er precies handig is, hangt af van het domein en van de functievergelijking.

Nadere informatie

Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen

Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f

Nadere informatie

Hoofdstuk 18. Het abc-vermoeden Introductie

Hoofdstuk 18. Het abc-vermoeden Introductie Hoofdstuk 18 Het abc-vermoeden 18.1 Introductie In de gehele getallen zijn optelling en vermenigvuldiging de belangrijkste bewerkingen. Als we echter uitsluitend naar de optelstructuur van de gehele getallen

Nadere informatie

ALGEBRA II. P. Stevenhagen

ALGEBRA II. P. Stevenhagen ALGEBRA II P. Stevenhagen 2010 INHOUDSOPGAVE ALGEBRA II 11. Ringen 5 Eenheden Voorbeelden van ringen Nuldelers Domeinen Homomorfismen en idealen Isomorfie- en homomorfiestellingen Chinese reststelling

Nadere informatie

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige

Nadere informatie

Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica

Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

b) Uit Bayes volgt, gebruik makend van onderdeel a) P (T V )P (V ) P (T ) = (0.09)(0.07)

b) Uit Bayes volgt, gebruik makend van onderdeel a) P (T V )P (V ) P (T ) = (0.09)(0.07) Uitwerkingen tentamen 6 juli 22. We stellen T de gebeurtenis test geeft positief resultaat, F de gebeurtenis, chauffeur heeft gefraudeerd, V de gebeurtenis, chauffeur heeft vergissing gemaakt C de gebeurtenis,

Nadere informatie

Samenvatting. Algebra 1 - Collegejaar Dictaat algebra 1. Disclaimer

Samenvatting. Algebra 1 - Collegejaar Dictaat algebra 1. Disclaimer Samenvatting Algebra 1 - Collegejaar 2013-2014 Dictaat algebra 1 Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst mogelijke zorgvuldigheid

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn

Nadere informatie

KETTINGBREUKEN VAN COMPLEXE GETALLEN MART KELDER

KETTINGBREUKEN VAN COMPLEXE GETALLEN MART KELDER KETTINGBREUKEN VAN COMPLEXE GETALLEN MART KELDER 7 mei 2009 Inhoudsopgave Reële kettingbreuken 2. Voorwoord 2.2 Verschillende reële kettingbreuken 2.3 Roosters 2.3. Definities 2.4 Voorbeelden van Roosters

Nadere informatie

Competities, schuifpuzzels en automorfismen van S 6

Competities, schuifpuzzels en automorfismen van S 6 A.M. Schouten Wollebrand 19 2642 JH Pijnacker afkeschouten@gmail.com Competities, schuifpuzzels en automorfismen van S 6 Bachelorscriptie, 9 juni 2009 Scriptiebegeleider: Dr. L. Taelman Mathematisch Instituut,

Nadere informatie

Tentamen Analyse 4. Maandag 16 juni 2008, uur

Tentamen Analyse 4. Maandag 16 juni 2008, uur Tentamen Analyse 4 Maandag 16 juni 2008, 14-17 uur Vermeld uw naam (met voornaam en voorletters) en uw studentnummer. Er zijn geen hulpmiddelen toegestaan. Dit tentamen bestaat uit zes opgaven. Vergeet

Nadere informatie

Een Stelling over Priemgetallen Bewezen op een Schaakbord Seminar Combinatorial Algorithms (voorjaar 2010)

Een Stelling over Priemgetallen Bewezen op een Schaakbord Seminar Combinatorial Algorithms (voorjaar 2010) Een Stelling over Priemgetallen Bewezen op een Schaakbord Seminar Combinatorial Algorithms (voorjaar 2010) Johan de Ruiter, johan.de.ruiter@gmail.com 27 april 2010 1 De stelling van Fermat over de som

Nadere informatie

Ringen en Lichamen van H.W. Lenstra en F. Oort

Ringen en Lichamen van H.W. Lenstra en F. Oort Ringen [versie 4.0 (1.I.2008] Dit is een selectie uit het dictaat Ringen en Lichamen van H.W. Lenstra en F. Oort, zoals bewerkt door B. van Geemen en J. Top. INHOUDSOPGAVE 2 Inhoudsopgave 1 Ringen 3 1.1

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

HOOFDSTUK 0. = α g1 α g2

HOOFDSTUK 0. = α g1 α g2 HOOFDSTUK 0 Acties van groepen 0.1 Groep-actie Uit de cursus Meetkunde en Lineaire Algebra van 1ste jaar Bachelor Wiskunde ([KI] in de referentielijst) weten we reeds wat een permutatiegroep G op een verzameling

Nadere informatie

Oneindig in Wiskunde & Informatica. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff

Oneindig in Wiskunde & Informatica. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff Oneindig in Wiskunde & Informatica Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft Tom Verhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica http://www.win.tue.nl/~wstomv/

Nadere informatie

Rationale punten op elliptische krommen

Rationale punten op elliptische krommen Rationale punten op elliptische krommen Anne Barten 6 juli 2015 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. S. R. Dahmen Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Nadere informatie

De 15-stelling. Dennis Buijsman 23 augustus Begeleiding: S. R. Dahmen

De 15-stelling. Dennis Buijsman 23 augustus Begeleiding: S. R. Dahmen De 15-stelling Dennis Buijsman 23 augustus 2015 Begeleiding: S. R. Dahmen Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

Nadere informatie

De laatste stelling van Fermat voor reguliere priemgetallen

De laatste stelling van Fermat voor reguliere priemgetallen Bachelorscriptie De laatste stelling van Fermat voor reguliere priemgetallen Criterium van Kummer over Bernoulligetallen Auteur: Thijs van der Gugten Begeleider: Prof.dr. G.L.M. Cornelissen 27 juli 205

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 16 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline III.7 Applications of the Residue Theorem

Nadere informatie

Beginselen van de theorie der veeltermvergelijkingen in één onbekende. Galoistheorie. Frans Keune. voorjaar 2015

Beginselen van de theorie der veeltermvergelijkingen in één onbekende. Galoistheorie. Frans Keune. voorjaar 2015 Beginselen van de theorie der veeltermvergelijkingen in één onbekende Galoistheorie Frans Keune voorjaar 2015 Voorwoord Dit boek is voortgekomen uit het dictaat horend bij colleges Galoistheorie gegeven

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

De Chinese reststelling

De Chinese reststelling De Chinese reststelling 1 Inleiding 1. De Chinese reststelling is een stelling binnen de getaltheorie. De stelling werd voor het eerst beschreven in de vierde eeuw na Chr. door de Chinese wiskundige Sunzi

Nadere informatie

Syllabus Algebra IIa. Prof. Dr G. van der Geer

Syllabus Algebra IIa. Prof. Dr G. van der Geer Algebra II -1 Syllabus Algebra IIa voorlopige versie Prof. Dr G. van der Geer Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam Plantage Muidergracht 24 1018 TV Amsterdam Versie: 2002 Algebra

Nadere informatie

Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven

Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven (1) Gegeven het 4 4 grid bestaande uit de 16 punten (i, j) met i, j = 0,..., 3. Bepaal het aantal driehoeken dat je kunt vinden zodanig dat ieder hoekpunt samenvalt

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen

Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen WETENSCHAPPEN WISKUNDE Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen Bachelor Project I Shaun Bundervoet Promotor : Prof. Eric Jespers 2008-2009 Inhoudsopgave Voorwoord 1 1 Permuteerbaarheid 3 1.1 Elementaire

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie