2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

Transcriptie

1 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt 1 niet als priemgetal opgevat. De eerste 33 priemgetallen zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137. Mersenne priemgetallen zijn priemgetallen die van de volgende gedaante zijn: 2 n 1 met n een natuurlijk getal. Mersenne heeft die priemgetallen gevonden voor n {2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257}. In 1903 werd gevonden dat geen priemgetal is. Ook is geen priemgetal. Anderzijds zijn , en wel priemgetallen. Op 16 september 2008 werd door een Amerikaanse universiteit het grootste tot nu toe bekende Mersenne-priemgetal ontdekt. Dit priemgetal is Tot nu toe zijn er slechts 47 Mersenne-priemgetallen bekend. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. STELLING 1.1 Elk natuurlijk getal groter dan 1 is deelbaar door een priemgetal. 1

2 2 HOOFDSTUK 1. GETALLENLEER GEVOLG 1.1 Is a een natuurlijk getal strikt groter dan 1 en geen priemgetal dan is de kleinste positieve deler p van a een priemgetal en bovendien is p 2 kleiner dan of gelijk aan a. STELLING 1.2 Als een priemgetal p een deler is van a b dan is p een deler van a en/of een deler van b. Voorbeelden: 5 is deler van 7 10 = is geen priemfactor van 7 maar omdat 5 een priemgetal is, moet 5 een priemfactor zijn van 10 omdat 5 een factor is van het product is deler van 6 75 = is geen deler van 6 en ook geen deler van is deler van het product 450 omdat 10 twee priemfactoren bezit, nl. 2 en 5 die priemfactoren zijn van respectievelijk 6 en 75. STELLING 1.3 Elk natuurlijk getal strikt groter dan 1 is op juist één manier te ontbinden in priemfactoren Aantal priemgetallen Oneindig veel priemgetallen? STELLING 1.4 Er zijn oneindig veel priemgetallen. Gegeven: p is een priemgetal. Te bewijzen: Er bestaat een priemgetal strikt groter dan p. Bewijs: We beschouwen het product van alle priemgetallen kleiner dan of gelijk aan p en we vormen het getal:. a = p + 1 Uit de constructie van a volgt dat a > p > Is a een priemgetal dan is a een priemgetal strikt groter dan p en in dit geval bestaat er dus een priemgetal strikt groter dan p. 2. Is a geen priemgetal dan is volgens stelling 1.1 a deelbaar door een priemgetal dat we q noemen. Volgens de constructie van a is a niet deelbaar door de opeenvolgende priemgetallen 2 t.e.m. p. Hieruit volgt dat het priemgetal q strikt groter moet zijn dan p.

3 1.1. PRIEMGETALLEN 3 Hiermee is de stelling bewezen dat voor elk priemgetal p er steeds een strikt groter priemgetal moet bestaan. Er zijn dus oneindig veel priemgetallen. Het aantal priemgetallen kleiner dan een bepaald natuurlijk getal? De Belg Charles Jean Gustave Nicolas Baron de la Vallée Poussin ( ) heeft in 1896 de volgende stelling bewezen: STELLING 1.5 Het aantal priemgetallen kleiner dan n, voor n groot genoeg, is ongeveer gelijk aan het natuurlijk getal dat het dichtst bij n/ ln n ligt. ln is de logaritmen met grondtal e = 2, 7. Voorbeeld: Het aantal priemgetallen kleiner dan is ongeveer gelijk aan ln = log log e = log e 3 = , = 434, 3 3 = 144, 8 Er zijn ongeveer 145 priemgetallen kleiner dan , Het aantal priemgetallen kleiner dan is dan = 1 085, 7. 4 Er zijn ongeveer 1086 priemgetallen kleiner dan dit is minder dan 10 keer het aantal priemgetallen kleiner dan OPGAVEN 2 Hoeveel priemgetallen zijn er ongeveer kleiner dan de volgende getallen a) b) c) Hoeveel priemgetallen zijn er ongeveer kleiner dan een getal van 100 cijfers? 4 Ontbind de volgende getallen in hun priemfactoren. Hoeveel priemgetallen moeten ongeveer maximaal beschouwd worden om tot het resultaat te komen. a) b) Hoeveel priemgetallen moeten maximaal beschouwd worden om een getal van 200 cijfers in priemfactoren te ontbinden? 6 Hoeveel priemgetallen moeten maximaal beschouwd worden om het grootste Mersenne getal in priemfactoren te ontbinden?

4 4 HOOFDSTUK 1. GETALLENLEER De densiteit van de priemgetallen? Maar als er oneindig veel priemgetallen bestaan, wat bedoelen we dan met immens veel priemgetallen? Is oneindig al niet immens veel? We kijken daarvoor naar de densiteit van de priemgetallen. Zou het bijvoorbeeld kunnen dat priemgetallen erg schaars worden, eenmaal je een bepaalde grens overschreden hebt? Kan het zijn dat er bijvoorbeeld geen enkel priemgetal voorkomt bij 10 opeenvolgende natuurlijke getallen? Daartoe beschouwen we het product van de 10 opeenvolgende natuurlijke getallen tussen 2 en = De volgende 10 opeenvolgende natuurlijke getallen zijn geen priemgetallen want: = is deelbaar door = is deelbaar door = is deelbaar door = is deelbaar door = is deelbaar door 11 Op die manier kunnen we er ook voor zorgen dat er bijvoorbeeld bij een miljoen opeenvolgende natuurlijke getallen geen enkel priemgetal voorkomt. OPGAVEN 7 Zoek 21 opeenvolgende natuurlijke getallen waarbij geen enkel priemgetal voorkomt?

5 1.2. MODULOREKENEN - RESTKLASSEN Modulorekenen - Restklassen Definitie We beschouwen de verzameling Z n = {0, 1, 2..., n 1}. Is x Z n (0 x < n) dan is een natuurlijk getal y gelijk aan x modulo n als en slechts als n N : y = n q + x We noteren y n x. Voorbeeld: Als we enkel georiënteerde hoeken beschouwen waarvan het maatgetal uitgedrukt in zestigdelige graden gehele waarden aannemen. Deze maatgetallen behoren tot de verzameling Z 360 = {0, 1, 2..., 359} De georiënteerde hoek omdat 1560 o o n N, nl. n = 4 : 1560 = De verzameling van de 12 uren van de dag Z 12 = {0, 1, 2..., 11} want 13 = want 12 = want 23 = OPGAVEN 8 Vandaag is het woensdag, de derde dag van de week. Welke dag van de week is het binnen 57 dagen? 9 Toon aan dat Z n, + een ommutatieve groep is. 10 Maak een tabel voor het product van elementen van Z 6 en Z 7. Zijn de structuren Z 6, en Z 7, commutatieve groepen?

6 6 HOOFDSTUK 1. GETALLENLEER Nuldelers in Z n Een nuldeler in Z n is een element x n 0 waarvoor een element y n 0 bestaat zó dat x y n 0. Dit betekent dat het product van twee getallen van Z n een veelvoud kan zijn van n zonder dat de getallen apart veelvouden zijn van n. STELLING 1.6 Als p een priemgetal is dan zijn er geen nuldelers in Z p. We moeten bewijzen dat als a, b Z p : a b p 0 = a p 0 b p 0 Bewijs: Als a b p 0 volgt daaruit dat q N : a b = p q of m.a.w. dat p een deler is van a b. Omdat p een priemgetal is, moet p een deler zijn van a en/of een deler van b. Dit is wat we moesten bewijzen: a p 0 b p 0 OPGAVEN 11 Zoek in Z 6 en in Z 7 de nuldelers Inverse in Z n Een element a van Z n heeft een inverse in Z n als er een element x van Z n bestaat waarvoor geldt x a n 1 x wordt een inverse van a genoemd. STELLING 1.7 Als in Z n een element een inverse heeft dan is dat element geen nuldeler in Z n. Bewijs: We beschouwen een element a van Z n dat een inverse x heeft in Z n. We kijken of er een element b n 0 bestaat zo dat a b n 0 We vermenigvuldigen beide leden met het inverse x van a. x (a b) n x 0 = (x a) b n 0 = 1 b n 0 = b n 0 Dit betekent dat a geen nuldeler kan zijn.

7 1.2. MODULOREKENEN - RESTKLASSEN 7 Voorbeelden: In Z 6 hebben 1 en 5 een inverse. De overige elementen zijn nuldelers. In Z 7 hebben alle elementen een inverse en er zijn geen nuldelers. STELLING 1.8 Is p een priemgetal en a een natuurlijk getal met a p 0 dan zijn er precies p 1 veelvouden verschillend van nul van a in Z p. Bewijs: We beschouwen twee van de p 1 veelvouden van a, nl. x 1 a en x 2 a met 0 < x 2 < x 1 < p (dit betekent ook dat x 1 p x 2 ). Stel dat x 1 a p x 2 a. Daaruit volgt x 1 a x 2 a p 0 = (x 1 x 2 ) a p 0 Omdat p een priemgetal is en omdat a p 0 moet x 1 x 2 p 0, waaruit volgt dat x 1 p x 2. Dit is in strijd met de onderstelling dat x 1 p x 2. Geen twee veelvouden van a zijn aan elkaar gelijk. Er zijn dus precies p-1 veelvouden verschillende van nul van a in Z p. Voorbeelden; In Z 12 zijn 3, 6 en 9 de opeenvolgende veelvouden verschillend van nul van 3. In Z 13 zijn 3,6,9,11,2,5,8;12,1,4,7,10 de 12 opeenvolgende veelvouden verschillend van nul van 3. STELLING 1.9 Als p een priemgetal is dan heeft elk element verschillend van nul van Z p een inverse modulo p. Bewijs:: Omdat er precies p 1 veelvouden verschillend van nul van a zijn in Z p en omdat Z p slechts p-1 elementen verschillend van nul bevat, moet er noodzakelijk een veelvoud van a zijn die gelijk is aan 1 modulo p. Er bestaat dus een element x van Z p waarvoor geldt x a p 1. Dit betekent dat a een inverse modulo p bezit. Voorbeelden: In Z 12 heeft 3 geen inverse. Anderzijds is 3 een nuldeler in Z 12 omdat er een veelvoud verschillend van nul van 3 bestaat die nul is, nl De inverse modulo 13 van 3 is 9 omdat 3 9 =

8 8 HOOFDSTUK 1. GETALLENLEER OPGAVEN 12 Zoek de inverse modulo 17 van het getal 8 door gebruik te maken van de veelvouden van 8 in Z 17 De machtverzameling P a van een element a Z n met a n 0 is de verzameling van elementen van Z n die kunnen geschreven worden als een macht a i van a, modulo p, met i een natuurlijk getal. Voorbeelden: In Z 13 beschouwen we de opeenvolgende machten van enkele elementen: P 2 = {2, 4, 8, 3, 6, 12, 11, 9, 5, 10, 7, 1} P 3 = {3, 9, 1} P 4 = {4, 3, 12, 9, 10, 1} P 5 = {5, 12, 8, 1} P 12 = {12, 1} STELLING 1.10 Als p een priemgetal is, a p natuurlijke macht waarvoor a k p en P a = k dan is k de kleinste Bewijs: In P a zitten maximaal p 1 elementen omdat er in Z p slechts p 1 elementen bestaan verschillend van nul. Dus na p opeenvolgende machten van a berekend te hebben a 1, a 2,...a p, moeten we ergens twee dezelfde uitkomsten hebben. We onderstellen dat a j de eerste macht is die gelijk is aan een reeds voorheen berekende macht a i. i N 0 : a i p a j met 0 < i < j p Omdat p een priemgetal is, bezit elk element een inverse modulo p. We vermenigvuldigen beide leden met het inverse modulo p van a, nl. x. a i x p a j x = (a i 1 a) x p (a j 1 a) x = a i 1 (a x) p a j 1 (a x) = a i 1 1 p a j 1 1 = a i 1 p a j 1 Dit laatste zou betekenen dat a j niet de eerste macht is die gelijk is aan een eerdere berekende macht dus mag a i 1 geen vroeger berekende macht zijn. Dus moet i 1 = 0 en a j 1 p a 0 = 1. Het aantal elementen k van P a is gelijk aan j 1 (want de j-de macht is reeds voorgekomen) en er geldt dat a k p 1.

9 1.2. MODULOREKENEN - RESTKLASSEN 9 Voorbeelden: In Z 13 is P 2 = 12 en 12 is de kleinste macht waarvoor geldt , P 3 = 3 en 3 is de kleinste macht waarvoor geldt , P 4 = 6 en 6 is de kleinste macht waarvoor geldt , P 5 = 4 en 4 is de kleinste macht waarvoor geldt , P 12 = 2 en 2 is de kleinste macht waarvoor geldt In Z 12 zijn er slechts twee elementen waarvoor een macht 1 oplevert nl. 5 2 = 1 en 7 2 = 1 GEVOLG 1.2 Als p een priemgetal is, a p 0 en P a = k dan is het inverse van a j gelijk aan a k j. Inderdaad, a j a k j = a k p 1. OPGAVEN 13 Zoek de inverse modulo 17 van het getal 8 door gebruik te maken van de machten van 8 in Z 17

10 10 HOOFDSTUK 1. GETALLENLEER STELLING 1.11 Als p een priemgetal is, a p 0 en P a = k dan is k een deler van p 1. Bewijs: 1. Stel k = p 1 (p 1 is het maximaal aantal elementen van P a ). In dit geval is de eigenschap waar want p 1 is deler van zichzelf. 2. Stel k < p 1. In dit geval zit er minstens één element in Z p \ {0} dat niet tot P a behoort. We beschouwen zo een element, nl. x 0 en we construeren de verzameling X a = {x a i : a i P a } We gaan aantonen dat P a X a = 2k. Het bewijs daarvan bestaat uit twee delen, nl. X a = k en P a X a = (a) Om te bewijzen dat X a = k moeten we aantonen dat geen twee elementen van X a aan elkaar kunnen gelijk zijn. Stel dat er twee elementen gelijk zijn met a i p a j. Hieruit volgt dan: x a i p x a j x (a i a j ) p 0 Omdat p een priemgetal is en x p 0 is a i p a j. Dit is in strijd met a i p a j. Hieruit volgt dat het aantal elementen van X a gelijk is aan het aantal elementen van P a. (b) We tonen nu aan dat P a en X a geen elementen gemeen hebben. We onderstellen x a j p a i. We vermenigvuldigen nu beide leden met a k j die het inverse is van a j. x a k p a k j+i x p a k j+i Dit betekent dat x een macht is van a en dus een element is van P a. Dit is in strijd met de keuze van x. De onderstelling is vals. Dus P a en X a hebben geen enkel element gemeen. Besluit: P a X a = 2k

11 1.2. MODULOREKENEN - RESTKLASSEN Stel 2k = p 1. In dit geval is de eigenschap waar want dan is k een deler van p Stel 2k < p 1. In dit geval zit er minstens één element in Z p \ {0} dat niet tot P a X a behoort. We beschouwen zo een element, nl. y 0 en we construeren de verzameling Y a = {y a i : a i P a } We hebben opnieuw dat Y a evenveel elementen bevat als P a, en dat P a Y a =. Op gelijkaardige manier toont men nu ook aan dat X a Y a =. Zo hebben dan bewezen dat P a X a Y a = 3k. Verder hebben we weer twee mogelijkheden, ofwel is 3k = p 1 ofwel is 3k < p 1. We zien in dat we op die manier Z p \{0} opdelen in een aantal verzamelingen, zegge l verzamelingen, allemaal van gelijke grootte k. Dus k l = p 1. Dit betekent dat k een deler is van p 1. OPGAVEN 14 Pas de constructies van het bewijs van vorige stelling toe op P 4 en P 6, machtverzamelingen van resp. 4 Z 7 en 6 Z 7. STELLING 1.12 (De Kleine stelling van Fermat) Is p een priemgetal en a p 0 (a geen veelvoud van p) dan is p een deler van a p 1 1. Is p een priemgetal en a een natuurlijk getal dan is p een deler van a p a. Bewijs: Als a geen veelvoud is van p dan moeten we aantonen dat a p 1 1 p 0 m.a.w. dat a p 1 p 1. Omdat a geen veelvoud is van p is a p 0. Voor het aantal elementen k van de machtverzameling P a geldt dat k een deler is van p 1. k l = p 1 a p 1 = a k l = (a k ) l = 1 l = 1 Is a een natuurlijk getal dan kunnen we twee gevallen beschouwen i a is een veelvoud van p en dan is p een deler van a en ook een deler van a p, dus een deler van a p a. ii a is geen veelvoud van p en dan is p een deler van a p 1 1 en dus ook een deler van a p a.

12 12 HOOFDSTUK 1. GETALLENLEER 1.3 Binaire getallen Een natuurlijk getal in de decimale schrijfwijze 2019 = = 2, = Het getal 2019 heeft 4 = cijfers in de decimale schrijfwijze. De eenheid 9 is de rest van het getal bij deling door 10. Het quotiënt is 201. Het tiental 1 is de rest van 201 bij deling door 10. Het quotiënt is 20. Het honderdtal 0 is de rest van 20 bij deling door 10. Het quotiënt is 2. Het duizendtal 2 is de rest van 2 bij deling door 10. Omdat we telkens delen door 10 zijn de resten getallen strikt kleiner dan 10, dit zijn dus alle cijfers van 0 t.e.m. 9. We noemen n+1 het aantal cijfers van een getal in de decimale schrijfwijze. Het laatste cijfer (de eenheid) van het getal is de rest van het getal bij deling door 10. Het quotiënt noemen we q 0, de rest r 0. Het voorlaatste cijfer (het 10-tal) is de rest bij deling van q 0 door 10. Het quotiënt noemen we q 1, de rest r 1. Zo gaan we verder. Het 10 n -tal is de rest bij deling van q n 1 door 10. Het quotiënt noemen we q n, de rest r n. het getal in de decimale schrijfwijze is: q n q n 1...q 1 q 0 = q n 10 n + q n 1 10 n q q 0 Een natuurlijk getal in de binaire schrijfwijze 28 = Naar analogie met de decimale schrijfwijze is de binaire schrijfwijze van 28 gelijk aan De binaire schrijfwijze van 2019 is Toepassing: Hoe moeten we nagaan dat 341 een deler is van ? M.a.w. we moeten nagaan of We schrijven 340 in de binaire schrijfwijze = 341 q = 341 q Dit betekent dat 340 = = =

13 1.3. BINAIRE GETALLEN 13 We moeten hier dus machten van 2 modulo 341 berekenen. Het aantal verschillende elemenen in P 2 van Z 341 is een deler van 340. We kunnen zo kort mogelijk deze machten berekenen. 2 4 = = 16 4 = = (2 16 ) = = 2 20 = Opmerking: Het aantal bewerkingen dat een computer moet uitvoeren om na te gaan of 341 een deler is van is gelijk aan het aantal machten van 2 die berekend moeten worden en het aantal vermenigvuldigingen. hier moeten 8 machten van 2 berekend worden, di het aantal cijfers van 340 in de binaire schrijfwijze. Het aantal vermenigvuldigingen is het aantal keer 1 in de binaire schrijfwijze min 1, di is hier 4 1 = 3. Samen zijn er 11 bewerkingen nodig. OPGAVEN 15 Bepaal het aantal elementen van P 2 in Z Hoeveel bewerkingen moet een computer uitvoeren om na te gaan of een getal p van 200 cijfers deler is van 2 p 1 1?

14 14 HOOFDSTUK 1. GETALLENLEER 1.4 De grootste gemene deler van twee natuurlijke getallen STELLING 1.13 De grootste gemene deler van twee positieve getallen a en b (ggd(a, b)) is het minimum van de verzameling M = {xa + yb : x, y Z en xa + yb > 0}. Bewijs: M is een niet ledige naar onder begrensde verzameling van gehele getallen en heeft dus een minimum die we d noemen. We gaan aantonen dat d de ggd is van a en b. 1. d is deler van elk element van M. We beschouwen een willekeurig element van M nl. xa + yb. Omdat d een element is van M bestaat er een lineaire combinatie van a en b die gelijk is aan d: d = ma + nb en omdat d het kleinste element is van M kunnen we xa + yb delen door d. r is de rest en er geldt: 0 r < d. xa + yb = dq + r r = xa + yb dq r = xa + yb (ma + nb)q r = (x mq)a + (y nq)b Omdat r een positief getal is die strikt kleiner moet zijn dan d volgt hieruit dat r niet kan behoren tot M en omdat r bovendien een lineaire combinatie is van a en b betekent dit dat r moet gelijk zijn aan nul. Hieruit volgt: M = {d k met k N O } 2. d is de grootste gemene deler van a en b. Stel dat c een gemene deler is van a en b dan is c een deler van elke lineaire combinatie van a en b dus ook een deler van d. Hieruit volgt dat d de grootste gemene deler is van a en b. We merken op dat elke gemene deler van a en b ook een deler is van de grootste gemene deler van a en b. Voorbeelden: ggd(975, 455) = 65 en het is eenvoudig te zien dat 65 = M = {65, 130, 195, 260, 325, 390, 455, 520, 585, , 1560} M = {65k met k N O } ggd(682, 46) = 2, hier is moeilijk te zien hoe 2 een lineaire combinatie is van 682 en 46. M = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 38, } = {2k met k N O }

15 1.4. DE GROOTSTE GEMENE DELER VAN TWEE NATUURLIJKE GETALLEN Bepalen van de grootste gemene deler van twee getallen We onderstellen a > b dan is a = bq 1 + r 1 met 0 r 1 < b Hieruit volgt dat elke gemene deler van a en b ook een gemene deler is van b en r 1. Omdat bovendien geldt dat r 1 < b < a, is de grootste gemene deler van a en b tevens grootste gemene deler van b en r 1. ggd(a, b) = ggd(b, r 1 ) Merk op dat r 1 M omdat r 1 een lineaire combinatie is van a en b (r 1 = a bq 1 ). Omdat b > r 1 is b = r 1 q 2 + r 2 met 0 r 2 < r 1 Analoog met de vorige redenering kunnen we besluiten: ggd(b, r 1 ) = ggd(r 1, r 2 ) r 2 is een lineaire combinatie van b en r 1 (r 2 = b r 1 q 2 ) en r 1 is op zijn beurt een lineaire combinatie is van a en b. Hieruit volgt dat r 2 een lineaire combinatie is van a en b en dus een element is van M. Zo voortgaande krijgen we een strikt dalende eindige rij getallen r i die elementen zijn van M. Daarbij geldt dat de grootste gemene deler van twee opeenvolgende getallen r i constant is. Bij elke stap doen zich twee mogelijkheden voor: ofwel is r i verschillend van nul ofwel is r i gelijk aan nul. Stel dat bij de kde stap de rest nul is (r k = 0) dan stopt de rij getallen. Er geldt: ggd(a, b) = ggd(r k, 0) = r k De grootste gemene deler van a en b is dus de rest voorafgaand aan de rest 0. Voorbeeld: Volgens de beschreven methode berekenen we de grootste gemene deler van 4176 en We vinden ggd(4176, 1231) = 1. De eindige dalende rij bestaat uit 9 getallen r i en r 9 = 1. a = 3b + r 1 b = 2r 1 + r 2 r 1 = r 2 + r 3 r 2 = r 3 + r 4 r 3 = 4r 4 + r 5 r 4 = r 5 + r 6 r 5 = r 6 + r 7 r 6 = r 7 + r 8 r 7 = 3r 8 + 1

16 16 HOOFDSTUK 1. GETALLENLEER We kunnen nu 1 schrijven als lineaire combinatie van 4176 en = r 7 3r 8 = r 7 3(r 6 r 7 ) = 4r 7 3r 6 = 4(r 5 r 6 ) 3r 6 = 4r 5 7r 6 = 4r 5 7(r 4 r 5 ) = 11r 5 7r 4 = 11(r 3 4r 4 ) 7r 4 = 11r 3 51r 4 = 11r 4 51(r 2 r 3 ) = 62r 3 51r 2 = 62(r 1 r 2 ) 51r 2 = 62r 1 113r 2 = 62r 1 113(b 2r 1 ) = 288r 1 113b = 288(a 3b) 113b = 288a 977b Inderdaad, = 1 Opmerking: Dit is echter niet de enige lineaire combinatie van a en b om het getal 1 te bekomen. We kunnen een lineaire combinatie vinden van a en b zodat de scalair van a negatief is en de scalair van b positief. Om dit te vinden moeten we 288 schrijven modulo 1231 zodat we een negatief getal bekomen en -977 schrijven modulo 4176 zodat we een positieve scalair krijgen. Zo verkrijgen we 288 = = = = ( ) ( ) 1231 = = = 1 OPGAVEN 17 Bepaal ggd(a, b) = d en schrijf d dan als lineaire combinatie van a en b. 1. a = 468 en b = 120 (12) 2. a = 50 en b = 20 (10) 3. a = 1404 en b = 1014 (78) 4. a = 1334 en b = 812 (58) 5. a = 1260 en b = 1050 (210) 6. a = 4420 en b = 2772 (4) 18 Toon aan dat ggd(a, b) = 1. Schrijf dan 1 als lineaire combinatie van a en b. Geef voor 1 ook een lineaire combinatie van a en b waarbij de scalair van b positief is. 1. a = 540 en b = 73

17 1.4. DE GROOTSTE GEMENE DELER VAN TWEE NATUURLIJKE GETALLEN a = 382 en b = a = 672 en b = a = 4176 en b = Bewijs algemeen dat een natuurlijk getal steeds op oneindig veel manieren kan geschreven worden als een lineaire combinatie van 2 gegeven natuurlijke getallen a en b met gehele coëfficiënten.