Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte"

Transcriptie

1 Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte

2 2

3 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt 1 niet als priemgetal opgevat. De eerste 33 priemgetallen zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137. Mersenne priemgetallen zijn priemgetallen die van de volgende gedaante zijn: 2 n 1 met n een natuurlijk getal. Mersenne heeft die priemgetallen gevonden voor n {2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257}. In 1903 werd gevonden dat geen priemgetal is. Ook is geen priemgetal. Anderzijds zijn , en wel priemgetallen. Op 16 september 2008 werd door een Amerikaanse universiteit het grootste tot nu toe bekende Mersenne-priemgetal ontdekt. Dit priemgetal is Tot nu toe zijn er slechts 47 Mersenne-priemgetallen bekend. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. STELLING 1.1 Elk natuurlijk getal groter dan 1 is deelbaar door een priemgetal. 3

4 4 HOOFDSTUK 1. GETALLENLEER GEVOLG 1.1 Is a een natuurlijk getal strikt groter dan 1 en geen priemgetal dan is de kleinste positieve deler p van a een priemgetal en bovendien is p 2 kleiner dan of gelijk aan a. STELLING 1.2 Als een priemgetal p een deler is van a b dan is p een deler van a en/of een deler van b. Voorbeelden: 5 is deler van 7 10 = is geen priemfactor van 7 maar omdat 5 een priemgetal is, moet 5 een priemfactor zijn van 10 omdat 5 een factor is van het product is deler van 6 75 = is geen deler van 6 en ook geen deler van is deler van het product 450 omdat 10 twee priemfactoren bezit, nl. 2 en 5 die priemfactoren zijn van respectievelijk 6 en 75. STELLING 1.3 Elk natuurlijk getal strikt groter dan 1 is op juist één manier te ontbinden in priemfactoren Aantal priemgetallen Oneindig veel priemgetallen? STELLING 1.4 Er zijn oneindig veel priemgetallen. Gegeven: p is een priemgetal. Te bewijzen: Er bestaat een priemgetal strikt groter dan p. Bewijs: We beschouwen het product van alle priemgetallen kleiner dan of gelijk aan p en we vormen het getal:. a = p + 1 Uit de constructie van a volgt dat a > p > Is a een priemgetal dan is a een priemgetal strikt groter dan p en in dit geval bestaat er dus een priemgetal strikt groter dan p. 2. Is a geen priemgetal dan is volgens stelling 1.1 a deelbaar door een priemgetal dat we q noemen. Volgens de constructie van a is a niet deelbaar door de opeenvolgende priemgetallen 2 t.e.m. p. Hieruit volgt dat het priemgetal q strikt groter moet zijn dan p.

5 1.1. PRIEMGETALLEN 5 Hiermee is de stelling bewezen dat voor elk priemgetal p er steeds een strikt groter priemgetal moet bestaan. Er zijn dus oneindig veel priemgetallen. Het aantal priemgetallen kleiner dan een bepaald natuurlijk getal? De Belg Charles Jean Gustave Nicolas Baron de la Vallée Poussin ( ) heeft in 1896 de volgende stelling bewezen: STELLING 1.5 Het aantal priemgetallen kleiner dan n, voor n groot genoeg, is ongeveer gelijk aan het natuurlijk getal dat het dichtst bij n/ ln n ligt. ln is de logaritmen met grondtal e = 2, 7. Voorbeeld: Het aantal priemgetallen kleiner dan is ongeveer gelijk aan ln = log log e = log e 3 = , = 434, 3 3 = 144, 8 Er zijn ongeveer 145 priemgetallen kleiner dan , Het aantal priemgetallen kleiner dan is dan = 1 085, 7. 4 Er zijn ongeveer 1086 priemgetallen kleiner dan dit is minder dan 10 keer het aantal priemgetallen kleiner dan OPGAVEN 2 Hoeveel priemgetallen zijn er ongeveer kleiner dan de volgende getallen a) b) c) Hoeveel priemgetallen zijn er ongeveer kleiner dan een getal van 100 cijfers? 4 Ontbind de volgende getallen in hun priemfactoren. Hoeveel priemgetallen moeten ongeveer maximaal beschouwd worden om tot het resultaat te komen. a) b) Hoeveel priemgetallen moeten maximaal beschouwd worden om een getal van 200 cijfers in priemfactoren te ontbinden? 6 Hoeveel priemgetallen moeten maximaal beschouwd worden om het grootste Mersenne getal in priemfactoren te ontbinden?

6 6 HOOFDSTUK 1. GETALLENLEER De densiteit van de priemgetallen? Maar als er oneindig veel priemgetallen bestaan, wat bedoelen we dan met immens veel priemgetallen? Is oneindig al niet immens veel? We kijken daarvoor naar de densiteit van de priemgetallen. Zou het bijvoorbeeld kunnen dat priemgetallen erg schaars worden, eenmaal je een bepaalde grens overschreden hebt? Kan het zijn dat er bijvoorbeeld geen enkel priemgetal voorkomt bij 10 opeenvolgende natuurlijke getallen? Daartoe beschouwen we het product van de 10 opeenvolgende natuurlijke getallen tussen 2 en = De volgende 10 opeenvolgende natuurlijke getallen zijn geen priemgetallen want: = is deelbaar door = is deelbaar door = is deelbaar door = is deelbaar door = is deelbaar door 11 Op die manier kunnen we er ook voor zorgen dat er bijvoorbeeld bij een miljoen opeenvolgende natuurlijke getallen geen enkel priemgetal voorkomt. OPGAVEN 7 Zoek 21 opeenvolgende natuurlijke getallen waarbij geen enkel priemgetal voorkomt?

7 1.2. MODULOREKENEN - RESTKLASSEN Modulorekenen - Restklassen Definitie We beschouwen de verzameling Z n = {0, 1, 2..., n 1}. Is x Z n (0 x < n) dan is een natuurlijk getal y gelijk aan x modulo n als en slechts als n N : y = n q + x We noteren y n x. Voorbeeld: Als we enkel georiënteerde hoeken beschouwen waarvan het maatgetal uitgedrukt in zestigdelige graden gehele waarden aannemen. Deze maatgetallen behoren tot de verzameling Z 360 = {0, 1, 2..., 359} De georiënteerde hoek omdat 1560 o o n N, nl. n = 4 : 1560 = De verzameling van de 12 uren van de dag Z 12 = {0, 1, 2..., 11} want 13 = want 12 = want 23 = OPGAVEN 8 Vandaag is het woensdag, de derde dag van de week. Welke dag van de week is het binnen 57 dagen? 9 Toon aan dat Z n, + een ommutatieve groep is. 10 Maak een tabel voor het product van elementen van Z 6 en Z 7. Zijn de structuren Z 6, en Z 7, commutatieve groepen?

8 8 HOOFDSTUK 1. GETALLENLEER Nuldelers in Z n Een nuldeler in Z n is een element x n 0 waarvoor een element y n 0 bestaat zó dat x y n 0. Dit betekent dat het product van twee getallen van Z n een veelvoud kan zijn van n zonder dat de getallen apart veelvouden zijn van n. STELLING 1.6 Als p een priemgetal is dan zijn er geen nuldelers in Z p. We moeten bewijzen dat als a, b Z p : a b p 0 = a p 0 b p 0 Bewijs: Als a b p 0 volgt daaruit dat q N : a b = p q of m.a.w. dat p een deler is van a b. Omdat p een priemgetal is, moet p een deler zijn van a en/of een deler van b. Dit is wat we moesten bewijzen: a p 0 b p 0 OPGAVEN 11 Zoek in Z 6 en in Z 7 de nuldelers Inverse in Z n Een element a van Z n heeft een inverse in Z n als er een element x van Z n bestaat waarvoor geldt x a n 1 x wordt een inverse van a genoemd. STELLING 1.7 Als in Z n een element een inverse heeft dan is dat element geen nuldeler in Z n. Bewijs: We beschouwen een element a van Z n dat een inverse x heeft in Z n. We kijken of er een element b n 0 bestaat zo dat a b n 0 We vermenigvuldigen beide leden met het inverse x van a. x (a b) n x 0 = (x a) b n 0 = 1 b n 0 = b n 0 Dit betekent dat a geen nuldeler kan zijn.

9 1.2. MODULOREKENEN - RESTKLASSEN 9 Voorbeelden: In Z 6 hebben 1 en 5 een inverse. De overige elementen zijn nuldelers. In Z 7 hebben alle elementen een inverse en er zijn geen nuldelers. STELLING 1.8 Is p een priemgetal en a een natuurlijk getal met a p 0 dan zijn er precies p 1 veelvouden verschillend van nul van a in Z p. Bewijs: We beschouwen twee van de p 1 veelvouden van a, nl. x 1 a en x 2 a met 0 < x 2 < x 1 < p (dit betekent ook dat x 1 p x 2 ). Stel dat x 1 a p x 2 a. Daaruit volgt x 1 a x 2 a p 0 = (x 1 x 2 ) a p 0 Omdat p een priemgetal is en omdat a p 0 moet x 1 x 2 p 0, waaruit volgt dat x 1 p x 2. Dit is in strijd met de onderstelling dat x 1 p x 2. Geen twee veelvouden van a zijn aan elkaar gelijk. Er zijn dus precies p-1 veelvouden verschillende van nul van a in Z p. Voorbeelden; In Z 12 zijn 3, 6 en 9 de opeenvolgende veelvouden verschillend van nul van 3. In Z 13 zijn 3,6,9,11,2,5,8;12,1,4,7,10 de 12 opeenvolgende veelvouden verschillend van nul van 3. STELLING 1.9 Als p een priemgetal is dan heeft elk element verschillend van nul van Z p een inverse modulo p. Bewijs:: Omdat er precies p 1 veelvouden verschillend van nul van a zijn in Z p en omdat Z p slechts p-1 elementen verschillend van nul bevat, moet er noodzakelijk een veelvoud van a zijn die gelijk is aan 1 modulo p. Er bestaat dus een element x van Z p waarvoor geldt x a p 1. Dit betekent dat a een inverse modulo p bezit. Voorbeelden: In Z 12 heeft 3 geen inverse. Anderzijds is 3 een nuldeler in Z 12 omdat er een veelvoud verschillend van nul van 3 bestaat die nul is, nl De inverse modulo 13 van 3 is 9 omdat 3 9 =

10 10 HOOFDSTUK 1. GETALLENLEER OPGAVEN 12 Zoek de inverse modulo 17 van het getal 8 door gebruik te maken van de veelvouden van 8 in Z 17 De machtverzameling P a van een element a Z n met a n 0 is de verzameling van elementen van Z n die kunnen geschreven worden als een macht a i van a, modulo p, met i een natuurlijk getal. Voorbeelden: In Z 13 beschouwen we de opeenvolgende machten van enkele elementen: P 2 = {2, 4, 8, 3, 6, 12, 11, 9, 5, 10, 7, 1} P 3 = {3, 9, 1} P 4 = {4, 3, 12, 9, 10, 1} P 5 = {5, 12, 8, 1} P 12 = {12, 1} STELLING 1.10 Als p een priemgetal is, a p natuurlijke macht waarvoor a k p en P a = k dan is k de kleinste Bewijs: In P a zitten maximaal p 1 elementen omdat er in Z p slechts p 1 elementen bestaan verschillend van nul. Dus na p opeenvolgende machten van a berekend te hebben a 1, a 2,...a p, moeten we ergens twee dezelfde uitkomsten hebben. We onderstellen dat a j de eerste macht is die gelijk is aan een reeds voorheen berekende macht a i. i N 0 : a i p a j met 0 < i < j p Omdat p een priemgetal is, bezit elk element een inverse modulo p. We vermenigvuldigen beide leden met het inverse modulo p van a, nl. x. a i x p a j x = (a i 1 a) x p (a j 1 a) x = a i 1 (a x) p a j 1 (a x) = a i 1 1 p a j 1 1 = a i 1 p a j 1 Dit laatste zou betekenen dat a j niet de eerste macht is die gelijk is aan een eerdere berekende macht dus mag a i 1 geen vroeger berekende macht zijn. Dus moet i 1 = 0 en a j 1 p a 0 = 1. Het aantal elementen k van P a is gelijk aan j 1 (want de j-de macht is reeds voorgekomen) en er geldt dat a k p 1.

11 1.2. MODULOREKENEN - RESTKLASSEN 11 Voorbeelden: In Z 13 is P 2 = 12 en 12 is de kleinste macht waarvoor geldt , P 3 = 3 en 3 is de kleinste macht waarvoor geldt , P 4 = 6 en 6 is de kleinste macht waarvoor geldt , P 5 = 4 en 4 is de kleinste macht waarvoor geldt , P 12 = 2 en 2 is de kleinste macht waarvoor geldt In Z 12 zijn er slechts twee elementen waarvoor een macht 1 oplevert nl. 5 2 = 1 en 7 2 = 1 GEVOLG 1.2 Als p een priemgetal is, a p 0 en P a = k dan is het inverse van a j gelijk aan a k j. Inderdaad, a j a k j = a k p 1. OPGAVEN 13 Zoek de inverse modulo 17 van het getal 8 door gebruik te maken van de machten van 8 in Z 17

12 12 HOOFDSTUK 1. GETALLENLEER STELLING 1.11 Als p een priemgetal is, a p 0 en P a = k dan is k een deler van p 1. Bewijs: 1. Stel k = p 1 (p 1 is het maximaal aantal elementen van P a ). In dit geval is de eigenschap waar want p 1 is deler van zichzelf. 2. Stel k < p 1. In dit geval zit er minstens één element in Z p \ {0} dat niet tot P a behoort. We beschouwen zo een element, nl. x 0 en we construeren de verzameling X a = {x a i : a i P a } We gaan aantonen dat P a X a = 2k. Het bewijs daarvan bestaat uit twee delen, nl. X a = k en P a X a = (a) Om te bewijzen dat X a = k moeten we aantonen dat geen twee elementen van X a aan elkaar kunnen gelijk zijn. Stel dat er twee elementen gelijk zijn met a i p a j. Hieruit volgt dan: x a i p x a j x (a i a j ) p 0 Omdat p een priemgetal is en x p 0 is a i p a j. Dit is in strijd met a i p a j. Hieruit volgt dat het aantal elementen van X a gelijk is aan het aantal elementen van P a. (b) We tonen nu aan dat P a en X a geen elementen gemeen hebben. We onderstellen x a j p a i. We vermenigvuldigen nu beide leden met a k j die het inverse is van a j. x a k p a k j+i x p a k j+i Dit betekent dat x een macht is van a en dus een element is van P a. Dit is in strijd met de keuze van x. De onderstelling is vals. Dus P a en X a hebben geen enkel element gemeen. Besluit: P a X a = 2k

13 1.2. MODULOREKENEN - RESTKLASSEN Stel 2k = p 1. In dit geval is de eigenschap waar want dan is k een deler van p Stel 2k < p 1. In dit geval zit er minstens één element in Z p \ {0} dat niet tot P a X a behoort. We beschouwen zo een element, nl. y 0 en we construeren de verzameling Y a = {y a i : a i P a } We hebben opnieuw dat Y a evenveel elementen bevat als P a, en dat P a Y a =. Op gelijkaardige manier toont men nu ook aan dat X a Y a =. Zo hebben dan bewezen dat P a X a Y a = 3k. Verder hebben we weer twee mogelijkheden, ofwel is 3k = p 1 ofwel is 3k < p 1. We zien in dat we op die manier Z p \{0} opdelen in een aantal verzamelingen, zegge l verzamelingen, allemaal van gelijke grootte k. Dus k l = p 1. Dit betekent dat k een deler is van p 1. OPGAVEN 14 Pas de constructies van het bewijs van vorige stelling toe op P 4 en P 6, machtverzamelingen van resp. 4 Z 7 en 6 Z 7. STELLING 1.12 (De Kleine stelling van Fermat) Is p een priemgetal en a p 0 (a geen veelvoud van p) dan is p een deler van a p 1 1. Is p een priemgetal en a een natuurlijk getal dan is p een deler van a p a. Bewijs: Als a geen veelvoud is van p dan moeten we aantonen dat a p 1 1 p 0 m.a.w. dat a p 1 p 1. Omdat a geen veelvoud is van p is a p 0. Voor het aantal elementen k van de machtverzameling P a geldt dat k een deler is van p 1. k l = p 1 a p 1 = a k l = (a k ) l = 1 l = 1 Is a een natuurlijk getal dan kunnen we twee gevallen beschouwen i a is een veelvoud van p en dan is p een deler van a en ook een deler van a p, dus een deler van a p a. ii a is geen veelvoud van p en dan is p een deler van a p 1 1 en dus ook een deler van a p a.

14 14 HOOFDSTUK 1. GETALLENLEER 1.3 Binaire getallen Een natuurlijk getal in de decimale schrijfwijze 2019 = = 2, = Het getal 2019 heeft 4 = cijfers in de decimale schrijfwijze. De eenheid 9 is de rest van het getal bij deling door 10. Het quotiënt is 201. Het tiental 1 is de rest van 201 bij deling door 10. Het quotiënt is 20. Het honderdtal 0 is de rest van 20 bij deling door 10. Het quotiënt is 2. Het duizendtal 2 is de rest van 2 bij deling door 10. Omdat we telkens delen door 10 zijn de resten getallen strikt kleiner dan 10, dit zijn dus alle cijfers van 0 t.e.m. 9. We noemen n+1 het aantal cijfers van een getal in de decimale schrijfwijze. Het laatste cijfer (de eenheid) van het getal is de rest van het getal bij deling door 10. Het quotiënt noemen we q 0, de rest r 0. Het voorlaatste cijfer (het 10-tal) is de rest bij deling van q 0 door 10. Het quotiënt noemen we q 1, de rest r 1. Zo gaan we verder. Het 10 n -tal is de rest bij deling van q n 1 door 10. Het quotiënt noemen we q n, de rest r n. het getal in de decimale schrijfwijze is: q n q n 1...q 1 q 0 = q n 10 n + q n 1 10 n q q 0 Een natuurlijk getal in de binaire schrijfwijze 28 = Naar analogie met de decimale schrijfwijze is de binaire schrijfwijze van 28 gelijk aan De binaire schrijfwijze van 2019 is Toepassing: Hoe moeten we nagaan dat 341 een deler is van ? M.a.w. we moeten nagaan of We schrijven 340 in de binaire schrijfwijze = 341 q = 341 q Dit betekent dat 340 = = =

15 1.3. BINAIRE GETALLEN 15 We moeten hier dus machten van 2 modulo 341 berekenen. Het aantal verschillende elemenen in P 2 van Z 341 is een deler van 340. We kunnen zo kort mogelijk deze machten berekenen. 2 4 = = 16 4 = = (2 16 ) = = 2 20 = Opmerking: Het aantal bewerkingen dat een computer moet uitvoeren om na te gaan of 341 een deler is van is gelijk aan het aantal machten van 2 die berekend moeten worden en het aantal vermenigvuldigingen. hier moeten 8 machten van 2 berekend worden, di het aantal cijfers van 340 in de binaire schrijfwijze. Het aantal vermenigvuldigingen is het aantal keer 1 in de binaire schrijfwijze min 1, di is hier 4 1 = 3. Samen zijn er 11 bewerkingen nodig. OPGAVEN 15 Bepaal het aantal elementen van P 2 in Z Hoeveel bewerkingen moet een computer uitvoeren om na te gaan of een getal p van 200 cijfers deler is van 2 p 1 1?

16 16 HOOFDSTUK 1. GETALLENLEER 1.4 De grootste gemene deler van twee natuurlijke getallen STELLING 1.13 De grootste gemene deler van twee positieve getallen a en b (ggd(a, b)) is het minimum van de verzameling M = {xa + yb : x, y Z en xa + yb > 0}. Bewijs: M is een niet ledige naar onder begrensde verzameling van gehele getallen en heeft dus een minimum die we d noemen. We gaan aantonen dat d de ggd is van a en b. 1. d is deler van elk element van M. We beschouwen een willekeurig element van M nl. xa + yb. Omdat d een element is van M bestaat er een lineaire combinatie van a en b die gelijk is aan d: d = ma + nb en omdat d het kleinste element is van M kunnen we xa + yb delen door d. r is de rest en er geldt: 0 r < d. xa + yb = dq + r r = xa + yb dq r = xa + yb (ma + nb)q r = (x mq)a + (y nq)b Omdat r een positief getal is die strikt kleiner moet zijn dan d volgt hieruit dat r niet kan behoren tot M en omdat r bovendien een lineaire combinatie is van a en b betekent dit dat r moet gelijk zijn aan nul. Hieruit volgt: M = {d k met k N O } 2. d is de grootste gemene deler van a en b. Stel dat c een gemene deler is van a en b dan is c een deler van elke lineaire combinatie van a en b dus ook een deler van d. Hieruit volgt dat d de grootste gemene deler is van a en b. We merken op dat elke gemene deler van a en b ook een deler is van de grootste gemene deler van a en b. Voorbeelden: ggd(975, 455) = 65 en het is eenvoudig te zien dat 65 = M = {65, 130, 195, 260, 325, 390, 455, 520, 585, , 1560} M = {65k met k N O } ggd(682, 46) = 2, hier is moeilijk te zien hoe 2 een lineaire combinatie is van 682 en 46. M = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 38, } = {2k met k N O }

17 1.4. DE GROOTSTE GEMENE DELER VAN TWEE NATUURLIJKE GETALLEN Bepalen van de grootste gemene deler van twee getallen We onderstellen a > b dan is a = bq 1 + r 1 met 0 r 1 < b Hieruit volgt dat elke gemene deler van a en b ook een gemene deler is van b en r 1. Omdat bovendien geldt dat r 1 < b < a, is de grootste gemene deler van a en b tevens grootste gemene deler van b en r 1. ggd(a, b) = ggd(b, r 1 ) Merk op dat r 1 M omdat r 1 een lineaire combinatie is van a en b (r 1 = a bq 1 ). Omdat b > r 1 is b = r 1 q 2 + r 2 met 0 r 2 < r 1 Analoog met de vorige redenering kunnen we besluiten: ggd(b, r 1 ) = ggd(r 1, r 2 ) r 2 is een lineaire combinatie van b en r 1 (r 2 = b r 1 q 2 ) en r 1 is op zijn beurt een lineaire combinatie is van a en b. Hieruit volgt dat r 2 een lineaire combinatie is van a en b en dus een element is van M. Zo voortgaande krijgen we een strikt dalende eindige rij getallen r i die elementen zijn van M. Daarbij geldt dat de grootste gemene deler van twee opeenvolgende getallen r i constant is. Bij elke stap doen zich twee mogelijkheden voor: ofwel is r i verschillend van nul ofwel is r i gelijk aan nul. Stel dat bij de kde stap de rest nul is (r k = 0) dan stopt de rij getallen. Er geldt: ggd(a, b) = ggd(r k, 0) = r k De grootste gemene deler van a en b is dus de rest voorafgaand aan de rest 0. Voorbeeld: Volgens de beschreven methode berekenen we de grootste gemene deler van 4176 en We vinden ggd(4176, 1231) = 1. De eindige dalende rij bestaat uit 9 getallen r i en r 9 = 1. a = 3b + r 1 b = 2r 1 + r 2 r 1 = r 2 + r 3 r 2 = r 3 + r 4 r 3 = 4r 4 + r 5 r 4 = r 5 + r 6 r 5 = r 6 + r 7 r 6 = r 7 + r 8 r 7 = 3r 8 + 1

18 18 HOOFDSTUK 1. GETALLENLEER We kunnen nu 1 schrijven als lineaire combinatie van 4176 en = r 7 3r 8 = r 7 3(r 6 r 7 ) = 4r 7 3r 6 = 4(r 5 r 6 ) 3r 6 = 4r 5 7r 6 = 4r 5 7(r 4 r 5 ) = 11r 5 7r 4 = 11(r 3 4r 4 ) 7r 4 = 11r 3 51r 4 = 11r 4 51(r 2 r 3 ) = 62r 3 51r 2 = 62(r 1 r 2 ) 51r 2 = 62r 1 113r 2 = 62r 1 113(b 2r 1 ) = 288r 1 113b = 288(a 3b) 113b = 288a 977b Inderdaad, = 1 Opmerking: Dit is echter niet de enige lineaire combinatie van a en b om het getal 1 te bekomen. We kunnen een lineaire combinatie vinden van a en b zodat de scalair van a negatief is en de scalair van b positief. Om dit te vinden moeten we 288 schrijven modulo 1231 zodat we een negatief getal bekomen en -977 schrijven modulo 4176 zodat we een positieve scalair krijgen. Zo verkrijgen we 288 = = = = ( ) ( ) 1231 = = = 1 OPGAVEN 17 Bepaal ggd(a, b) = d en schrijf d dan als lineaire combinatie van a en b. 1. a = 468 en b = 120 (12) 2. a = 50 en b = 20 (10) 3. a = 1404 en b = 1014 (78) 4. a = 1334 en b = 812 (58) 5. a = 1260 en b = 1050 (210) 6. a = 4420 en b = 2772 (4) 18 Toon aan dat ggd(a, b) = 1. Schrijf dan 1 als lineaire combinatie van a en b. Geef voor 1 ook een lineaire combinatie van a en b waarbij de scalair van b positief is. 1. a = 540 en b = 73

19 1.4. DE GROOTSTE GEMENE DELER VAN TWEE NATUURLIJKE GETALLEN a = 382 en b = a = 672 en b = a = 4176 en b = Bewijs algemeen dat een natuurlijk getal steeds op oneindig veel manieren kan geschreven worden als een lineaire combinatie van 2 gegeven natuurlijke getallen a en b met gehele coëfficiënten.

20 20 HOOFDSTUK 1. GETALLENLEER

21 Inhoudsopgave 1 Getallenleer Priemgetallen Definitie en eigenschappen Aantal priemgetallen Modulorekenen - Restklassen Definitie Nuldelers in Z n Inverse in Z n Binaire getallen De grootste gemene deler van twee natuurlijke getallen Bepalen van de grootste gemene deler van twee getallen

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1) Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen

Nadere informatie

Dossier 3 PRIEMGETALLEN

Dossier 3 PRIEMGETALLEN Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,

Nadere informatie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid

Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid 4.1 Delers en veelvouden 1 Bepaal door opsomming. a) del 84 =... b) del 13 =... c) del 44 =... d) del 89 =... e) del 1 =... f) del 360 =... 2 Bepaal de eerste

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

Priemontbinding en ggd s

Priemontbinding en ggd s Hoofdstuk 3 Priemontbinding en ggd s 3.1 Priemgetallen Een getal > 1 dat alleen 1 en zichzelf als positieve deler heeft noemen we een priemgetal. De rij priemgetallen begint als volgt, 2, 3, 5, 7, 11,

Nadere informatie

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene

Nadere informatie

Oefening: Markeer de getallen die een priemgetal zijn.

Oefening: Markeer de getallen die een priemgetal zijn. Getallenkennis : Priemgetallen. Wat is een priemgetal? Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. (m.a.w. een priemgetal is een natuurlijk getal

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1 Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1 1.4.1 Basis Oefeningen Romeinse cijfers 1 Op deze zonnewijzer staan achtereenvolgens de getallen: I (= 1) II (= 2) III (= 3) IV (= 4) V (= 5) VI (= 6) VII (= 7) VIII

Nadere informatie

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID

Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1 H6. Deelbaarheid Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 203-230 ) 6.1 Delers en veelvouden Verklaren waarom een natuurlijk getal (wel of geen) deler is van een ander natuurlijk

Nadere informatie

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 1 Hele getallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i

Nadere informatie

2. Ga voor volgende relaties na of het al dan niet functies, afbeeldingen, bijecties, injecties, surjecties zijn :

2. Ga voor volgende relaties na of het al dan niet functies, afbeeldingen, bijecties, injecties, surjecties zijn : HOOFDSTUK. VERZAMELINGEN, RELATIES EN FUNCTIES Opgaven verzamelingen, relaties en functies. Toon aan : a) (A B) C = A (B C) b) A (B C) = (A B) (A C) c) (A B) c = A c B c d) A B B c A c. Ga voor volgende

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Algebra. voor Informaticastudenten Getallen. Ernic Kamerich. Jean Delville: de school van Plato

Algebra. voor Informaticastudenten Getallen. Ernic Kamerich. Jean Delville: de school van Plato Algebra voor Informaticastudenten Getallen Jean Delville: de school van Plato Ernic Kamerich januari 2007 Inhoud 1 De gehele getallen..........................................................................

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Public Key Cryptography. Wieb Bosma

Public Key Cryptography. Wieb Bosma Public Key Cryptography de wiskunde van het perfecte kopje koffie Wieb Bosma Radboud Universiteit Nijmegen Bachelordag 2 april 2011 Nijmegen, 6 november 2010 0 Nijmegen, 6 november 2010 1 cryptografie

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

Spookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel

Spookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel Spookgetallen Jan van de Craats en Janina Müttel leadtekst In de serie Open Problemen deze keer drie beroemde onopgeloste raadsels. Je kunt er geen miljoen dollar mee winnen, maar wel onsterfelijke roem.

Nadere informatie

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999 ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1

Nadere informatie

handleiding ontbinden

handleiding ontbinden handleiding ontbinden inhoudsopgave inhoudsopgave de grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 met gegeven product 4 ontbinden van getallen 4 3 vergelijkingen 5 4 onderzoek 6 tijdpad 9 materialen

Nadere informatie

Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle  holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

Hoofdstuk 4. Delers. 4.1 Delers (op)tellen

Hoofdstuk 4. Delers. 4.1 Delers (op)tellen Hoofdstuk 4 Delers 4. Delers (op)tellen Ieder getal heeft zijn delers. Van oudsher heeft het onvoorspelbare gedrag van delers van getallen een aantrekkingskracht uitgeoefend op mensen. Zozeer zelfs dat

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 9 juni 2012

Uitwerkingen toets 9 juni 2012 Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding

POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 2/59 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding Stijn Lievens (Stijn.Lievens@hogent.be) Noemie Slaats (Noemie.Slaats@hogent.be) Lieven Smits (Lieven.Smits@hogent.be) Martine Van Der Weeen

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =

Nadere informatie

De Chinese reststelling

De Chinese reststelling De Chinese reststelling 1 Inleiding 1. De Chinese reststelling is een stelling binnen de getaltheorie. De stelling werd voor het eerst beschreven in de vierde eeuw na Chr. door de Chinese wiskundige Sunzi

Nadere informatie

De grootste gemeenschappelijke deler van twee of meerdere getallen

De grootste gemeenschappelijke deler van twee of meerdere getallen De grootste gemeenschappelijke deler van twee of meerdere getallen Vraagstuk : In een houtbedrijf heeft schrijnwerker een balk hout met een breedte van 231 cm, een lengte van 735 cm en een hoogte van 210

Nadere informatie

7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1

7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1 WIS7 1 7 Deelbaarheid 7.1 Deelbaarheid Deelbaarheid Voor geheeltallige d en n met d > 0 zeggen we dat d een deler is van n, en ook dat n deelbaar is door d, als n d een geheel getal is. Notatie: d\n k

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

Grafieken van veeltermfuncties

Grafieken van veeltermfuncties (HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken

Nadere informatie

Lineaire Algebra 3 en 4. Wieb Bosma

Lineaire Algebra 3 en 4. Wieb Bosma Lineaire Algebra 3 en 4 Wieb Bosma juni 2000/juni 2001 Inhoudsopgave 1 Vectorruimten 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Lichamen....................................... 3 1.2.1

Nadere informatie

PARADOXEN 2 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 2 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN Dr. Luc Gheysens SPELEN MET ONEINDIG Historische nota De Griekse filosoof Zeno (ca. 90-0 v. Chr.) bedacht een aantal paradoen om aan te tonen dat beweging eigenlijk een illusie is. De meest bekende

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE 2010 Uitwerkingen

WISKUNDE-ESTAFETTE 2010 Uitwerkingen WISKUNDE-ESTAFETTE 010 Uitwerkingen 1 We tellen het aantal donkere tegels in elke rij. Rij 1 (en rij 19) bestaat uit 10 witte tegels. Rij (en rij 18) bestaat uit 11 tegels, waarvan 6 wit en 5 donker. Rij

Nadere informatie

De telduivel. Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen

De telduivel. Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen De telduivel Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen Een praktische opdracht voor leerlingen van 5VWO met wiskunde B DE TELDUIVEL Inleiding Wiskunde? Hou op zeg! Voor

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,

Nadere informatie

Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica

Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien

Nadere informatie

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Wiskundige beweringen en hun bewijzen

Wiskundige beweringen en hun bewijzen Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Algebra en Getaltheorie@Work: van cryptosysteem tot digitale handtekening

Algebra en Getaltheorie@Work: van cryptosysteem tot digitale handtekening Algebra en Getaltheorie@Work: van cryptosysteem tot digitale handtekening Dr. Fabien Decruyenaere, St. Amandscollege, 8500 Kortrijk fabien.decruyenaere@skynet.be Prof. Dr. Paul Igodt, K.U.Leuven Campus

Nadere informatie

Wiskunde in vierde, vijfde en zesde klas Lezing

Wiskunde in vierde, vijfde en zesde klas Lezing Wiskunde in vierde, vijfde en zesde klas Lezing 14-02-2006 BREUKEN Nog eenmaal pannenkoeken verdelen. De cirkel als meest gebruikte beeld bij de breuken Breukentafels: ½ - 2/4 3/6 4/8 enz. De breukenregels:

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Open priemproblemen. Jan van de Craats

Open priemproblemen. Jan van de Craats Open priemproblemen Jan van de Craats Misschien denk je dat over priemgetallen, de bouwstenen van het rekenen, wel zo ongeveer alles bekend is. Dat er op dat terrein geen onopgeloste vraagstukken meer

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn

Nadere informatie

Katernen. regionale training. tweede ronde. Nederlandse Wiskunde Olympiade

Katernen. regionale training. tweede ronde. Nederlandse Wiskunde Olympiade Katernen voor de regionale training ten behoeve van de tweede ronde van de Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE WISKUNDE OLYMPIADE Birgit van Dalen Julian Lyczak Quintijn Puite Inhoudsopgave Katern

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 Extremenprincipe 6 3 Ladenprincipe 11 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Constructie der p-adische getallen

Constructie der p-adische getallen Constructie der p-adische getallen Pim van der Hoorn Marcel de Reus 4 februari 2008 Voorwoord Deze tekst is geschreven als opdracht bij de cursus Kaleidoscoop 2007 2008 aan de Universiteit Utrecht. De

Nadere informatie

Zestigdelige graden radialen honderddelige graden

Zestigdelige graden radialen honderddelige graden Rekenen met hoeken Zestigdelige graden radialen honderddelige graden Hoeken kunnen uitgedrukt worden in verschillende hoekeenheden. De meest bekende hoekeenheid is de zestigdelige graad. Deze hoekeenheid

Nadere informatie

Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven

Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven (1) Gegeven het 4 4 grid bestaande uit de 16 punten (i, j) met i, j = 0,..., 3. Bepaal het aantal driehoeken dat je kunt vinden zodanig dat ieder hoekpunt samenvalt

Nadere informatie

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 +

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 + I Getall 0 e π 8 9 Dit deel gaat over het rek met getall. Ze kom in allerlei soort voor: positieve getall, negatieve getall, gehele getall, rationale irrationale getall. De getall, π e zijn voorbeeld van

Nadere informatie

Junior College 2010 2011. van priemgetal. handtekening. K.U.Leuven Campus Kortrijk Wetenschap & Technologie

Junior College 2010 2011. van priemgetal. handtekening. K.U.Leuven Campus Kortrijk Wetenschap & Technologie Junior College 2010 2011 van priemgetal tot digitale handtekening Campus Kortrijk Wetenschap & Technologie Fabien De Cruyenaere Paul Igodt Stijn Rebry ii Proof by Poem The RSA Encryption Algorithm Take

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Praktisch bestaan er enkele eenvoudige methoden om een decimaal getal om te zetten naar een binair getal. We bespreken hier de twee technieken.

Praktisch bestaan er enkele eenvoudige methoden om een decimaal getal om te zetten naar een binair getal. We bespreken hier de twee technieken. Talstelsels 1 Algemeenheden Digitale systemen werken met nullen en enen omdat dit elektronisch gemakkelijke te verwezenlijken is. De transistor kent enkel twee toestanden (geleiden of sperren) Hierdoor

Nadere informatie

Priemgetallen. van nutteloos tot staatsgevaarlijk? Wieb Bosma. Nijmeegse Tweedaagse Radboud Universiteit

Priemgetallen. van nutteloos tot staatsgevaarlijk? Wieb Bosma. Nijmeegse Tweedaagse Radboud Universiteit Priemgetallen van nutteloos tot staatsgevaarlijk? Wieb Bosma Nijmeegse Tweedaagse Radboud Universiteit Nijmegen oktober 2008 Priemgetallen 2 Voorwoord Dit zijn de aantekeningen bij één van de twee onderwerpen

Nadere informatie

W i s k u n d e. voor de eerste klas van het gymnasium UITWERKINGEN AUTEUR: JOHANNES SUPIT

W i s k u n d e. voor de eerste klas van het gymnasium UITWERKINGEN AUTEUR: JOHANNES SUPIT W i s k u n d e voor de eerste klas van het gymnasium UITWERKINGEN UTEUR: JOHNNES SUPIT COSMICUS MONTESSORI LYCEUM MSTERDM, 200 Inhoudsopgave Getallen. Van de één naar de nul................................

Nadere informatie

Oefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar?

Oefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.

Nadere informatie

Dossier 1 SYMBOLENTAAL

Dossier 1 SYMBOLENTAAL Dossier 1 SYMBOLENTAAL basis voor wiskundige communicatie Dr. Luc Gheysens Wiskundigen hebben een eigen symbolentaal waarmee ze onderling communiceren, redeneringen en bewijzen neerschrijven, mathematische

Nadere informatie

Het RSA Algoritme. Erik Aarts - 1 -

Het RSA Algoritme. Erik Aarts - 1 - Het RSA Algoritme Erik Aarts - 1 - 1 Wiskunde... 3 1.1 Het algoritme van Euclides... 3 1.1.1 Stelling 1... 4 1.2 Het uitgebreide algoritme van Euclides... 5 1.3 Modulo rekenen... 7 1.3.1 Optellen, aftrekken

Nadere informatie