Lineaire Algebra voor ST

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Lineaire Algebra voor ST"

Transcriptie

1 Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG studiewijzer: Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 / 35

2 Inhoud Lineaire (on)afhankelijkheid 2 Basis en dimensie 3 Homogene stelsels J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 2 / 35

3 Lineaire onafhankelijkheid Definitie De vectoren v, v 2,..., v k in een vectorruimte V heten lineair afhankelijk als er constanten a, a 2,..., a k R bestaan, niet alle gelijk aan nul, zodat a v + a 2 v a k v k = Zoniet, dan heten v, v 2,..., v k lineair onafhankelijk. NB: dus S = {v, v 2,..., v k } is lineair onafhankelijk als alleen de triviale oplossing heeft: a v + a 2 v a k v k = a = a 2 = = a k =. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 3 / 35

4 Voorbeeld De vectoren v = 2, v 2 = 2, en v 3 = zijn lineair onafhankelijk, want leidt tot het stelsel a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 = 2 2 wat als enige oplossing heeft: a =, a 2 =, a 3 =. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 4 / 35

5 Voorbeeld De vectoren v = 2 zijn lineair onafhankelijk, want uit, en v 2 = 2 volgt: a v + a 2 v 2 = 2 2 a =, a 2 =. Dus: een deelverzameling van een onafhankelijke verzameling is weer onafhankelijk. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 5 / 35

6 a =, a 2 =, a 3 = 2 (inderdaad v v 2 + 2v 3 = ) J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 6 / 35 Voorbeeld De vectoren v = 2 3, v 2 = 5 6, en v 3 = 3 2 zijn lineair afhankelijk, want a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 = leidt tot het stelsel , 3 wat als algemene oplossing heeft a = 2 t, a 2 = 2 t, a 3 = t, t R en dus niet-triviale oplossingen heeft, bijvoorbeeld (t=2):

7 Voorbeeld De vectoren v = 2 3, v 2 = zijn lineair afhankelijk, want 5 6, v 3 = 3 2 v v 2 + 2v 3 + v 4 =., en v 4 = Dus: als je een lineair afhankelijke verzameling uitbreidt krijg je weer een lineair afhankelijke verzameling , 3 Er blijft minstens één vrije variabele (kolom zonder spil). J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 7 / 35

8 Stelling De niet-nul vectoren v, v 2,..., v k in een vectorruimte V zijn lineair afhankelijk dan en slechts dan als minstens één van de vectoren, zeg v j, een lineaire combinatie is van de voorafgaande vectoren: v j = a v + a 2 v a j v j Voorbeeld Als v en v 2 afhankelijk zijn, geldt met (bijv.) a 2, dus a v + a 2 v 2 = v 2 = a a 2 v Twee vectoren zijn lineair afhankelijk als de één een veelvoud is van de ander. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 8 / 35

9 Voorbeeld De vectoren v = 2 3, v 2 = 5 6, v 3 = 3 2 en v 4 = zijn lineair afhankelijk, want a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4 = heeft een niet-triviale oplossing: a =, a 2 =, a 3 = 2, a 4 =, dus v v 2 + 2v 3 = Hieruit volgt dat v 3 een lineaire combinatie is van v en v 2 : NB: er volgt ook v 3 = 2 v + 2 v 2 v = v 2 + 2v 3, v 2 = v + 2v 3 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 9 / 35

10 NB: als v j is een lineaire combinatie is van de overige vectoren in S = {v, v 2,..., v k } dan is S lineair afhankelijk en span S = span {v, v 2,..., v j, v j+,..., v k } Voorbeeld De vectoren (polynomen) in P 2 v = t, v 2 = 5 + 3t 2t 2, en v 3 = + 3t t 2 zijn lineair afhankelijk, want v 2 = 3v + 2v 3 en dus 3v v 2 + 2v 3 = Omdat v 2 in het opspansel zit van v en v 3 geldt dat span {v, v 2, v 3 } = span {v, v 3 } J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 / 35

11 Basis Definitie Als V een vectorruimte is en S = v, v 2,..., v k een verzameling vectoren in V vormen, dan heet S een basis voor V als aan de volgende twee voorwaarden is voldaan. S spant V op S is lineair onafhankelijk. Voorbeeld De vectoren i =, j =, en k = vormen een basis van R 3, de zogenaamde natuurlijke basis of standaardbasis voor R 3. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 / 35

12 De standaardbasis voor R n is {e, e 2,..., e n } met e i de n-vector met een in de i-de rij en verder nullen. Dus {e, e 2, e 3 } = {i, j, k} De standaardbasis voor P n is {t n, t n,..., t, }. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 2 / 35

13 Voorbeeld v = 2, v 2 = 2, v 3 =, en v 4 = spannen R 3 op, want het stelsel met uitgebreide matrix a a 2 b a + c 4a b 2c 2 c 3 3 is consistent (heeft zelfs voor elke a, b, c oneindig veel oplossingen). Dus elke v V is (op meerdere manieren) een lineaire combinatie van v, v 2, v 3, v 4. NB: de kolommen van een m n matrix spannen de R m op elk van de m rijen heeft na vegen een spil.. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 3 / 35

14 Voorbeeld De vectoren v = 2 zijn lineair onafhankelijk, want uit, en v 2 = 2 volgt: a v + a 2 v 2 = 2 2 a =, a 2 =. NB: de kolommen van een matrix zijn lineair onafhankelijk elke kolom heeft na vegen een spil (er zijn geen vrije variabelen). J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 4 / 35

15 Voorbeeld De vectoren vormen een basis van R 3, want het stelsel heeft alleen de triviale oplossing en het stelsel a a 2 b a + c 4a b 2c 2 c 3, 2 heeft een oplossing voor elke a, b, c R., J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 5 / 35

16 Voorbeeld Anders gezegd: De kolommen van 2 2 vormen een basis van R 3 want deze matrix heeft na vegen een spil in elke rij en in elke kolom. 2 (Gauss-Jordan reductie) 2 NB: de kolommen van een matrix vormen een basis van R m de matrix is vierkant en inverteerbaar. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 6 / 35

17 Voorbeeld De vectoren (polynomen) in P 2 v = t 2 + 2t +, v 2 = t 2 + 2, en v 3 = t 2 + t vormen een basis van de vectorruimte P 2, want het stelsel 2 2 heeft alleen de triviale oplossing en het stelsel a a 2 b a + c 4a b 2c 2 c 3 heeft een oplossing voor elke a, b, c R. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 7 / 35

18 Definitie Een vectorruimte V is eindig-dimensionaal als er een eindige verzameling vectoren uit V bestaat die een basis vormt van V. Als er geen eindige basis bestaat heet V oneindig-dimensionaal. Stelling Als S = {v, v 2,..., v n } een basis is van de vectorruimte V, dan kan elke vector in V op eenduidige wijze geschreven worden als lineaire combinatie van vectoren in S. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 8 / 35

19 Basis opspansel bepalen Door herhaaldelijk een opgespannen vector weg te laten: Stelling Laat S = {v, v 2,..., v n } een verzameling niet-nul vectoren zijn in de vectorruimte V en laat W = span S. Dan is er een deelverzameling van S die een basis vormt van W. NB: Omslachtig! Voor elke vector die je weglaat los je opnieuw een homogeen stelsel op (om te zien of overgebleven vectoren lineair onafhankelijk zijn). Maar het kan handiger. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 9 / 35

20 Voorbeeld Een basis van W =span {v, v 2, v 3, v 4, v 5 } en v =, v 2 =, v 3 = 2, v 4 = vinden we als volgt. Bepaal de uitgebreide matrix van 2 a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4 + a 5 v 5 = en breng deze in gereduceerde trapvorm:, v 5 = 2. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 2 / 35

21 Voorbeeld De leidende enen staan in kolommen,2,4 en daarom kunnen we voor a 3, a 5 willekeurige reële getallen invullen, en a, a 2 en a 4 oplossen in termen van a 3, a 5 : a = a 3 + 2a 5, a 2 = a 3 + a 5, a 4 = a 5 Daarom zijn v 3 en v 5 lineaire combinaties van v, v 2 en v 4 : nemen we a 3 =, a 5 = dan geeft dit a =, a 2 =, a 4 = dus ofwel v v 2 + v 3 = v 3 = v + v 2 en met a 3 =, a 5 = krijgen we v 5 = 2v v 2 + v 4. Dus v, v 2 en v 4 spannen W op. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 2 / 35

22 Voorbeeld Ook zijn v, v 2 en v 4 lineair onafhankelijk want de matrix van het stelsel a v + a 2 v 2 + a 4 v 4 = bestaat uit de kolommen,2 en 4 (en de laatste) van de matrix maar dan is dit stelsel dus equivalent met het stelsel en dat stelsel heeft alleen de triviale oplossing: a = a 2 = a 4 =. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 22 / 35

23 Efficiënte procedure voor het bepalen van een basis voor W = span S bestaande uit vectoren van S = {v, v 2,..., v n }:. Construeer de uitgebreide matrix behorend bij het homogene stelsel a v + a 2 v a n v n = 2. Breng deze uitgebreide matrix in (gereduceerde) trapvorm 3. De vectoren die corresponderen met de kolommen waarin de leidende enen staan vormen een basis T van W. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 23 / 35

24 Stelling Als S = {v, v 2,..., v n } een basis is van de vectorruimte V, en T = {w, w 2,..., w r } is een verzameling lineair onafhankelijke vectoren in V, dan geldt r n. Stelling Als S = {v, v 2,..., v n } en T = {w, w 2,..., w m } twee bases zijn van een vectorruimte V, dan geldt n = m. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 24 / 35

25 Nu kunnen we definiëren: Definitie De dimensie van een eindig-dimensionale vectorruimte V is het aantal vectoren in een basis van V. Notatie: dim V We spreken af dat de dimensie van de triviale vectorruimte {} nul is. Voorbeeld Een basis voor P 2 is {t 2, t, } dus dim P 2 = 3. NB: als dim V = n, dan is elke verzameling van m > n vectoren uit V lineair afhankelijk. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 25 / 35

26 NB: als dim V = n, dan is een verzameling van m < n vectoren uit V niet opspannend. Stelling Als S een lineair onafhankelijke verzameling vectoren is in een eindig-dimensionale vectorruimte V, dan kan S uitgebreid worden naar een basis T van V. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 26 / 35

27 Voorbeeld Vind een basis van R 4 die de vectoren v =, en v 2 = bevat (ze zijn lineair onafhankelijk want geen veelvoud van elkaar). Oplossing: voeg de vier standaard-basisvectoren van R 4 toe, en bepaal een basis van span {v, v 2, e, e 2, e 3, e 4 }. Het homogene systeem heeft leidende enen in de kolommen corresponderend met v, v 2, e, e 4 dus {v, v 2, e, e 4 } is een basis van R 4. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 27 / 35

28 Stelling Als V een vectorruimte is van dimensie n dan geldt (a) Als S = {v, v 2,..., v n } lineair onafhankelijk is, dan is S een basis van V. (b) Als S = {v, v 2,..., v n } V opspant, dan is S een basis van V. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 28 / 35

29 Basis en dimensie nulruimte bepalen Voorbeeld Bepaal een basis voor de nulruimte van de matrix A = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 29 / 35

30 Voorbeeld Los op Ax = in gereduceerde trapvorm gebracht: Leidende enen in kolommen,3,4. Vrije variabelen x 2 = s en x 5 = t met s, t R: x = s t, x 2 = s, x 3 = t, x 4 =, x 5 = t. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 3 / 35

31 Voorbeeld Algemene oplossing x = s t, x 2 = s, x 3 = t, x 4 =, x 5 = t met s, t R. Dus met x = x x 2 x 3 x 4 x 5 = s t s t t v = = s en v 2 = + t = sv + tv 2 {v, v 2 } is een basis van de nulruimte; de nulruimte heeft dus dimensie 2. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 3 / 35

32 Stelling De dimensie van de nulruimte van een m n matrix A is gelijk aan n r, waarbij r het aantal leidende enen is van de matrix [B ] in gereduceerde trapvorm die rij-equivalent is met [A ]. Gauss-Jordan reductie geeft je een basis voor de nulruimte. Basis vinden voor de oplossingsruimte van Ax = : Los [A ] op met Gauss-Jordan reductie. Als de algemene oplossing geen willekeurige constanten heeft, dan is de oplossingsruimte gelijk aan {}, en heeft dimensie = n n. Als de algemene oplossing x wel p > willekeurige constanten s, s 2,..., s p heeft, schrijf de oplossing dan als x = s v + s 2 v s p v p Voor elke kolom in de matrix [B ] zonder leidende wordt een willekeurige constante ingevoerd, dus p = n r. {v, v 2,..., v p } is een basis voor de oplossingsruimte van Ax =. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 32 / 35

33 Verband inhomogeen en homogeen stelsel Als het stelsel Ax = b, met b een consistent stelsel is, en x p is een particuliere oplossing, dan is de algemene oplossing x van dit inhomogene stelsel Ax = b van de vorm x = x p + x h waar x h de algemene oplossing is van het homogene stelsel. Ax = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 33 / 35

34 Voorbeeld Bepaal de algemene oplossing van het stelsel met Ax = b A = en b = 2 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 34 / 35

35 Voorbeeld Een (particuliere) oplossing van Ax = b is snel gevonden: x p = We kennen al een basis van de oplossingsruimte van Ax =. De algemene oplossing van Ax = b is dus x = x p + x h = + s + t s, t R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 35 / 35

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

b + b c + c d + d a + a

b + b c + c d + d a + a Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel C Lineaire Algebra Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Seymour Lipschutz, Marc L. Lipson: (Schaum s Outline of Theory and Problems of) Linear Algebra. McGraw-Hill Companies,

Nadere informatie

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide

Nadere informatie

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven In het vak Meetkunde voor Bouwkunde kom je stelsels lineaire vergelijkingen tegen en matrices tegen.

Nadere informatie

1. Vectoren in R n. y-as

1. Vectoren in R n. y-as 1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

Een korte beschrijving van de inhoud

Een korte beschrijving van de inhoud Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

Elliptische krommen en hun topologische aspecten

Elliptische krommen en hun topologische aspecten Elliptische krommen en hun topologische aspecten René Pannekoek 25 januari 2011 Dit is een korte introductie tot elliptische krommen voor het bachelorseminarium van de Universiteit Leiden. De bespreking

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Symmetrische sudoku s

Symmetrische sudoku s Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Symmetrische sudoku s Bachelor Project II Lobke Van Impe Promotor: Geertrui Van de Voorde Academiejaar 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Gerechte designs

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Lineaire algebra en vectorcalculus

Lineaire algebra en vectorcalculus Lineaire algebra en vectorcalculus dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2013/2014 College 2DN60 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5

Nadere informatie

Stelsels van vergelijkingen

Stelsels van vergelijkingen Module 5 Stelsels van vergelijkingen 5.1 Definitie en voorbeelden Een verzameling van vergelijkingen in een aantal onbekenden waarvan men de gemeenschappelijke oplossing(en) zoekt, noemt men een stelsel

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie

Beveiliging & Codes. Jaap Top

Beveiliging & Codes. Jaap Top Beveiliging & Codes Jaap Top Inhoudsopgave Hoofdstuk 1. binaire codes 5 1. voorbeeld: de Hammingcode 5 2. definities 7 3. cyclische codes 13 4. de MacWilliams identiteit 19 5. gegeneraliseerde Hammingcodes

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS deel 1 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC SERVICE inhoud 1 Algemene grondbegrippen 1 1.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer 1 1.1.1 Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling

Nadere informatie

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten opgaven formele structuren deterministische eindige automaten Opgave. De taal L over het alfabet {a, b} bestaat uit alle strings die beginnen met aa en eindigen met ab. Geef een reguliere expressie voor

Nadere informatie

3 De stelling van Kleene

3 De stelling van Kleene 18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we

Nadere informatie

De enveloppenparadox

De enveloppenparadox De enveloppenparadox Mats Vermeeren Berlin Mathematical School) 6 april 013 1 Inleiding Een spel gaat als volgt. Je krijgt twee identiek uitziende enveloppen aangeboden, waarvan je er één moet kiezen.

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

2015-2016 Laatste nieuws 2DN60 Lineaire algebra en vectorcalculus

2015-2016 Laatste nieuws 2DN60 Lineaire algebra en vectorcalculus 2015-2016 Laatste nieuws 2DN60 Lineaire algebra en vectorcalculus Kwartiel 2, week 7.b Op het college op donderdagochtend 7 januari is behandeld: - hoek tussen vectoren en cosinus regel - driehoeksongelijkheid

Nadere informatie

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Lineaire Algebra A en B Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2010 2011 ii Syllabus bij Lineaire Algebra A (2WF07) en Lineaire Algebra B (2WF08) Inhoudsopgave 0 Vectorrekening

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Hoofdstuk 4 Eigenwaarden en eigenvectoren 4.1 Inleiding Tot nu toe zijn al onze vectoren en matrices reëel geweest d.w.z. de theorie voor stelsels lineaire vergelijkingen en de theorie der matrices en

Nadere informatie

Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16. dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht

Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16. dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16 dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Inhoudsopgave Voorwoord 2 1 Vectoren en scalairen 3 1.1 Notatie.....................................

Nadere informatie

Algebraïsche grafentheorie: van polaire ruimten tot onderzoekend leren

Algebraïsche grafentheorie: van polaire ruimten tot onderzoekend leren Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Algebraïsche grafentheorie: van polaire ruimten tot onderzoekend leren Linda Van Puyvelde Promotor: dr. Jan De Beule Co-promotor: prof. dr. Hendrik Van Maldeghem

Nadere informatie

Prof. dr. H.W. Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Faculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappen met dank aan Jan van Maanen en Pauline Vos

Prof. dr. H.W. Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Faculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappen met dank aan Jan van Maanen en Pauline Vos Werken met getallen (en verzamelingen en oneindigheid) Prof. dr. H.W. Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Faculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappen met dank aan Jan van Maanen en Pauline Vos

Nadere informatie

Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten

Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten 1 Differentiaalvergelijkingen Als we een functie y : t y(t) expliciet, in formulevorm, kennen, dan is het niet zo moeilijk hiervan de afgeleide

Nadere informatie

College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in

College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in de weken 37-42 in zaal S 209, in de weken 44-49 in

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

Quantum computing. Dirk Nuyens. dept. computerwetenschappen KULeuven. [dirk.nuyens@cs.kuleuven.ac.be]

Quantum computing. Dirk Nuyens. dept. computerwetenschappen KULeuven. [dirk.nuyens@cs.kuleuven.ac.be] Quantum computing Dirk Nuyens [dirk.nuyens@cs.kuleuven.ac.be] dept. computerwetenschappen KULeuven qc-sim-intro.tex Quantum computing Dirk Nuyens 18/12/2001 21:25 p.1 Mijn thesis plannen Proberen een zo

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE

INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE INLEIING TOT E HOGERE WISKUNE EEL 2: Analyse van reële functies van meerdere reële veranderlijken Arno KUIJLAARS Stefaan POETS epartement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 2 B,

Nadere informatie

Lineaire Algebra 3 en 4. Wieb Bosma

Lineaire Algebra 3 en 4. Wieb Bosma Lineaire Algebra 3 en 4 Wieb Bosma juni 2000/juni 2001 Inhoudsopgave 1 Vectorruimten 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Lichamen....................................... 3 1.2.1

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics

Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics John Val th October Inleiding In deze cursus staat tekenen op het computerscherm en animaties van die tekeningen centraal. We willen bereiken dat je

Nadere informatie

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor E (VKO)

Lineaire Algebra voor E (VKO) Lineaire Algebra voor E (VKO) dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2006/2007 College 2DE01 Faculteit Wiskunde en Informatica, Capaciteitsgroep Wiskunde, Leerstoelgebied Coderingstheorie

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N460) op donderdag 23 juni 2011, 1400-1700 uur Deel 1: Van 1400 uur tot uiterlijk

Nadere informatie

Basiskennistoets wiskunde

Basiskennistoets wiskunde Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1.

Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1. LIMIETGEDRAG VAN REDUCIBELE MARKOV KETEN In het voorgaande hebben we gezien hoe we de limietverdeling van een irreducibele, aperiodieke Markov keten kunnen berekenen: Voorbeeld 1: Zoek de unieke oplossing

Nadere informatie

Beveiliging van museum Kempenland

Beveiliging van museum Kempenland Beveiliging van museum Kempenland Irene Man 0721206 Richard Kuijstermans 0720436 31 maart 2011 Inhoudsopgave 1 Probleembeschrijving 3 1.1 Vereenvoudiging van het probleem............... 4 1.1.1 Geheeltallige

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows - Lesbrief Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Voorspelbaarheid en Populaties in de tijd Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo Vakken en domeinen Algemene natuurwetenschappen VWO Wiskunde VWO: A domein

Nadere informatie

Convexe Analyse en Optimalisering

Convexe Analyse en Optimalisering Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam and Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott.htm Overzicht Boek: Optimization: Insights and Applications,

Nadere informatie

Snel oplossen is een experiment waard

Snel oplossen is een experiment waard 248 NAW 5/3 nr 3 september 22 Snel oplossen is een experiment waard Henk van der Vorst Henk van der Vorst Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht Postbus 81, 358 TA Utrecht vorst@mathuunl Vakantiecursus

Nadere informatie

Over de wiskunde die Google groot maakte

Over de wiskunde die Google groot maakte Over de wiskunde die Google groot maakte Jan Brandts, Universiteit van Amsterdam januari 9 Samenvatting Google vindt in een oogwenk de meest relevante web-bladzijden over een bepaald onderwerp. Omdat het

Nadere informatie

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde Een miljoen dollar verdienen in de kerstvakantie? Het enige dat u hoeft te doen, is een polynomiaal algoritme te vinden om een sudoku mee op te lossen. Niels Oosterling schetst waar u dan rekening mee

Nadere informatie

Matrix- en vectorrekening

Matrix- en vectorrekening Hogeschool Rotterdam / CMI Matrix- en vectorrekening (matrices, vergelijkingen, determinanten, vectoren en transformaties) TIRLIN01 Aantal studiepunten: 2 ects Modulebeheerder: P.J. den Brok (tijdelijk)

Nadere informatie

De wortel uit min één. Jaap Top

De wortel uit min één. Jaap Top De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen

Nadere informatie

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27 1p. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan x + 6 4x + 3 4x 2 + 3 x 2 + 3x + 3 Niveau 1 1p. 1p. 1p. x 2 + 27 Opgave 2. Als a log b = 64, dan is a2 log (b 3 ) gelijk aan 6 48 28/3 96 512 Opgave

Nadere informatie

Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica

Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig Bijzondere getallen Er

Nadere informatie

Programming a CNC-machine using ILP

Programming a CNC-machine using ILP Programming a CNC-machine using ILP Maarten Bos Discrete Mathematics and Mathematical Programming Department of Applied Mathematics University of Twente Date: 15-12-2011 Graduation committee: dr. W. Kern

Nadere informatie

Algebra and discrete wiskunde

Algebra and discrete wiskunde Algebra and discrete wiskunde dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2015/2016 College 2WF50 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5 Onderwijs-

Nadere informatie

De huwelijksstelling van Hall

De huwelijksstelling van Hall Thema Discrete wiskunde In de vorige twee afleveringen heb je al kennis kunnen maken met het begrip graaf en hoe grafen worden gebruikt door Google s zoekmachine en door de NS bij het maken van een optimale

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen. Overzicht bestaande content. Deliverable 3.6. Hans Cuypers. ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen. Overzicht bestaande content. Deliverable 3.6. Hans Cuypers. ONBETWIST Deliverable 3. Overzicht bestaande content Deliverable 3.6 Hans Cuypers Inleiding Binnen het ONBETWIST project worden toetsen en items voor verschillende deelgebieden van de wiskunde gemaakt. In voorgaande projecten,

Nadere informatie

Algebraïsche Geometrie voor de echte leken

Algebraïsche Geometrie voor de echte leken Algebraïsche Geometrie voor de echte leken Dennis Westra 3 maart 2007 1 Introductie Als wetenschapper wordt je wel eens gevraagd, zij het informeel, zij het drukkend, om eens uit te leggen wat je nou eigenlijk

Nadere informatie

Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com

Nadere informatie

Logische algebra. 1. Wat zijn Booleaanse variabelen? 2. Bewerkingen op Booleaanse variabelen. 2.1 Inversie. 2.2 Product

Logische algebra. 1. Wat zijn Booleaanse variabelen? 2. Bewerkingen op Booleaanse variabelen. 2.1 Inversie. 2.2 Product Logische algebra e blokken combinatorische logica vormen een belangrijk deel van de digitale elektronica. In een blok combinatorische logica wordt van een aantal digitale ingangssignalen een aantal digitale

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde

Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde E. Jespers Departement of Mathematics Vrije Universiteit Brussel 2 Voorbeelden van algebra s van kleine dimensie Een theorie steunt steeds op het goed

Nadere informatie

Het SET-spel, een toepassing op eindige meetkunde

Het SET-spel, een toepassing op eindige meetkunde Het SET-spel, een toepassing op eindige meetkunde Luc Van den Broeck 1 1 EDUGO campus De Toren, Oostakker ABSTRACT Het kaartspel SET, dat gespeeld wordt met 81 kaarten waarop verschillende geometrische

Nadere informatie

Het opstellen van een lineaire formule.

Het opstellen van een lineaire formule. Het opstellen van een lineaire formule. Gegeven is onderstaande lineaire grafiek (lijn b). Van deze grafiek willen wij de lineaire formule weten. Met deze formule kunnen we gaan rekenen. Je kan geen lineaire

Nadere informatie

De wiskunde achter de Bitcoin

De wiskunde achter de Bitcoin De wiskunde achter de Bitcoin Bas Edixhoven Universiteit Leiden NWD, Noordwijkerhout, 2015/01/31 Deze aantekeningen zal ik op mijn homepage plaatsen. Bas Edixhoven (Universiteit Leiden) De wiskunde achter

Nadere informatie

MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen.

MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen. MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen. voorraadmodel: voorraadkosten personeelsplanningmodel: salariskosten machineonderhoudsmodel: reparatiekosten

Nadere informatie

Efficiente benadering van Google s PageRank (Engelse titel: Efficient approximation of Google s PageRank)

Efficiente benadering van Google s PageRank (Engelse titel: Efficient approximation of Google s PageRank) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Efficiente benadering van Google s PageRank (Engelse titel: Efficient approximation

Nadere informatie

Matrix-Groepen en hun Representaties

Matrix-Groepen en hun Representaties Radboud Universiteit Nijmegen Matrix-roepen en hun Representaties Auteur: Berend Visser Begeleider: Dr. Walter van Suijlekom 1 juli 2015 Inhoudsopgave Introductie 2 1 matrix-lie roepen 4 1.1 Inleidende

Nadere informatie

1 Lineaire Algebra 2015 - organisatie van het vak

1 Lineaire Algebra 2015 - organisatie van het vak 1 Lineaire Algebra 2015 - organisatie van het vak Het vak Lineaire Algebra uit het eerste semester van de Bachelor Wiskunde van de Universiteit van Amsterdam telt 6 EC, en dat staat voor 168 uur studie.

Nadere informatie

N. Haelvoet, V. Lippens, D. Luyckx, C. Tonesi

N. Haelvoet, V. Lippens, D. Luyckx, C. Tonesi Examen Wiskunde I Eerste zittijd 24-25 professor C. Thas e bachelor biochemie en biotechnologie, biologie, geografie en geomatica, geologie N. Haelvoet, V. Lippens, D. Luyckx, C. Tonesi Gelieve vraag op

Nadere informatie

Complexe getallen in context

Complexe getallen in context Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie, november 006 Deze module is ontwikkeld in opdracht van ctwo. Copyright 006 R.Dames en H. van Gendt Inhoud Inhoud...3

Nadere informatie

(door ing. P.H. Stikker)

(door ing. P.H. Stikker) MAGISCHE VIERKANTEN TYPEN EN VOORBEELDEN (door ing. P.H. Stikker) Versie: 11-02-03 1 Voorwoord Dit document is opgesteld om een overzicht te krijgen van alle type magische vierkanten. Hopelijk is de lijst

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Introductie in R. http://www.math.montana.edu/stat/tutorials/r-intro.pdf http://www.math.montana.edu/stat/docs/splus_notes.ps

Introductie in R. http://www.math.montana.edu/stat/tutorials/r-intro.pdf http://www.math.montana.edu/stat/docs/splus_notes.ps Introductie in R R is een programmeer taal met een groot aantal voorgeprogrammeerde statistische functies. Het is de open source versie van S-plus. Wij gebruiken R dan ook omdat het gratis is. Documentatie

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

De bouwstenen van het programmeren 1

De bouwstenen van het programmeren 1 De bouwstenen van het programmeren 1 I DE BOUWSTENEN VAN HET PROGRAMMEREN. Een programma is een beschrijving van acties (operaties, opdrachten) die moeten uitgevoerd worden. Deze acties spelen in op bepaalde

Nadere informatie

Elke uitspraak is waar of onwaar

Elke uitspraak is waar of onwaar Boole Algebra E.S.Wojiulewitsh, 1974 Deze tekst kan vrij gebruikt worden voor elke eduatieve ativiteit. Vriendelijk verzoek de oorsprong ervan wel te respeteren. Boole-algebra 1. Een en ander over logia

Nadere informatie

6 Ringen, lichamen, velden

6 Ringen, lichamen, velden 6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x + x + irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is, is deze

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in

Nadere informatie

Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal

Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Junior College Utrecht Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Versie 2 September 2012 Een project (ruimte-)meetkunde voor vwo-leerlingen Geschreven voor het Koningin Wilhelmina College Culemborg

Nadere informatie