Permutoëders en Hamiltoniaanse paden
|
|
- Kurt van de Brink
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Permutoëders en Hamiltoniaanse paden Daniel von Asmuth Inleiding Samenvatting We bestuderen het plain changes algoritme met behulp van geometrie en grafentheorie. Waarschuwing 1. Dit is een vlottend document - versie Hierin probeer ik te bewijzen dat de Cayley graaf van een permutoëder tenminste één Hamiltioniaans pad heeft en beschrijf een procedure om zo n pad te vinden, die een abstracte beschrijving vormt van het plain changes algoritme. Maar eerst een beknopte inleiding met permutaties, groepen en grafen. De moeilijksgraad ligt ongeveer op VWO niveau, maar het tempo iets hoger. Change ringing is een traditie van Engelse kerkklokkenluiders sinds de 17 e eeuw, waarin een aantal kerklokken telkens wordt geluid in een andere volgorde, waarbij telkens twee klokken van positie wisselen. Meestal gaat dat in vaste patronen. De methode die plain changes wordt genoemd heeft als voordeel dat ze alle mogelijke permutaties afwerkt. In de zestiger jaren werd deze methode herontdekt als algorithme voor computers. Permutaties volgens de verzamelingenleer Een afbeelding of functie genoemd is een relatie tussen elementen van een domein en bereik verzameling waarin geen twee elementen van het bereik worden gekoppeld aan het zelfde element van het domein. Een afbeelding wordt volledig genoemd als ze aan elk element van het domein een element van het bereik (soms codomein genoemd) koppelt. Een afbeelding heet een surjectie wanneer elk element van het bereik een beeld is van een element van het domein. Een afbeelding heet een injectie als er geen twee elementen van het domein hetzelfde beeld hebben. Een afbeelding heet een bijectie als ze zowel volledig, surjectie als injectie is. Een bijectie wordt een permutatie genoemd als domein en bereik dezelfde verzameling zijn. Permutaties van het domein {1,2,...n} worden hier van de orde n genoemd. Stelling 2. De groep van permutaties van orde n kan recursief worden opgebouwd uit de permuaties van orde (n-1). Het aantal permutaties bedraagt n=0 1 n!={ n>0 n (n 1)! Bewijs. n = 0: een lege verzameling kan maar op 1 manier worden geschreven. n = 1: een verzameling met 1 element kan op 1 manier worden gerangschikt. n > 1: in een gegeven permutatie van (1,2,...,n-1) kan het getal n op n posities worden ingevoegd. Omdat n in geen permutatie van orde n-1 voorkomt en alle permutaties van orde n- 1 verschillend zijn, zijn ook de permutaties van orde n uniek. Volgens de inductiehypothese zijn er (n-1)! permutaties van orde n-1, dus n! = n (n 1)! Opmerking 3. Het bewijs suggereert een algoritme om alle permutaties te genereren. Stelling 4. De permutaties van orde n vormen de groep S n. 1
2 2 Sectie Bewijs. Twee permutaties p en q kunnen worden gecombineerd tot een nieuwe permutatie van (1,2,..,n) die we kunnen schrijven als q(p(1,2,...,n)) = (q(p(1)), q(p(2)), q(p(3)),...,q(p(n)). Voor elk drietal permutaties p, q, r geldt de associatieve eigenschap: p(qr)=(pq)r Er is een identiek of neutraal element i = (1,2,...,n) (1,2,...,n) waarvoor geldt i(p)=p(i)=p Voor elk element p = (1, 2,, n) (p 1, p 2,., p n ) bestaat er een inverse p 1 = (p 1, p 2,., p n ) waarvoor geldt p 1 (p)=p(p 1 )=i Gevolg 5. Als we alle permutaties van een symmetrische groep toepassen op een willekeurige permutatie p, dan zijn de beelden van p weer alle elementen van die groep. Bewijs. Als de stelling niet waar is, dan zijn er twee verschillende permutaties r 1 en r 2 zodanig dat r 1 (p) = r 2 (p) = q. Dan geldt r 1 1 r 1 p=r 1 1 r 2 p i=r 1 1 r 2 =r 2 1 Omdat de inverse van een permutatie uniek is, moet r 1 =r 2. Notatie 6. We schreven permutatie van (1,2,...,n) als een tupel. Een andere mogelijkheid is de cykelnotatie, waarin een permutatie p wordt beschreven door een orgineel (te beginnen bij 1), gevolgd door het beeld ervan, gevolgd door diens beeld, etc. De volgende cykel bestaat uit het kleinste element dat niet in de eerste cykel zit, gevolgd door diens beeld, etc., voor alle elementen van het domein. (1,2,3,4) (1)(2)(3)(4) (1,2,4,3) (1)(2)(34) (1,4,2,3) (1)(243) (4,1,2,3) (1432) (4,1,3,2) (142)(3) (1,4,3,2) (1)(24)(3) (1,3,4,2) (1)(234) (1,3,2,4) (1)(23)(4) (3,1,2,4) (132)(4) (3,1,4,2) (1342) (3,4,1,2) (13)(24) (4,3,1,2) (1423) (4,3,2,1) (14)(23) (3,4,2,1) (1324) (3,2,4,1) (134)(2) (3,2,1,4) (13)(2)(4) (2,3,1,4) (123)(4) (2,3,4,1) (1234) (2,4,3,1) (124)(3) (4,2,3,1) (14)(2)(3) (4,2,1,3) (143)(2) (2,4,1,3) (1243) (2,1,4,3) (12)(34) (2,1,3,4) (12)(3)(4) Tabel 1. S 4 in cykelnotatie
3 De permutoëder 3 Stelling 7. Elke permutatie van eindige orde n kan worden gevormd door een eindig aantal verwisselingen van twee naburige elementen (dus (12), (23), (34),..., (n-1,n)) Bewijs. Voor n = 0 en n = 1 is de bewering triviaal en voor n = 2 zijn er twee permutaties, die in elkaar overgaan door de eerste twee elementen te verwisselen. Stel je hebt een permutatie van de vorm (a, b,..., i, n, j,..., m), dan kun je die in een eindig aantal verwisselingen van buren afbeelden op (a, b,..., m, n). Volgens de inductiehypothese kan (a, b,..., m) door middel van een eindig aantal verwisselingen worden verkregen uit (1,2,..., n- 1). Gevolg 8. Voor elke permutatie p van orde n geldt dat de lengte van een cykel maximaal n bedraagt en dat p x =i voor een bepaalde x n! Voorbeeld 9. Laat p = (135)(24), dan is de kleinste x waarvoor p x =i gelijk aan x=2 3. Gevolg 10. Uit elke permutatie kun je door die herhaaldelijk op zichzelf toe te passen een subgroep van S n genereren. Stelling 11. Elke permutatie van eindige orde n kan worden samengesteld uit ten hoogste n-1 verwisselingen van twee willekeurige elementen. Bewijs. We kunnen de stelling ook formuleren dat elke permutatie met een cykellengte van n in hoogstens n uitwisselingen uiteenvalt en we merken op dat S n minstens 1 permutatie met cykellengte n heeft. Voor n =2 is 1 verwisseling voldoende; voor n = 3 2 verwisselingen en voor n = 4 kunnen we controleren dat 3 verwisselingen volstaan. Een permutatie p met x = n+1 elementen kunnen we vormen door eerst een permutatie p =(a,b,c,...,n,x) te vormen in n-1 stappen en dan in 1 stap de x op de gewenste plaats in te voegen tot biiv. (a,x,c,...,n,b). Hulpstelling 12. Een symmetrische groep S n heeft een verzameling van generatoren bestaande uit de elementen p = (12)(3)...(n) en q = (123...n). Bewijs. p 2 =i pq =(1)(23)(4) (n) p 2 q=(1)(2)(34) (n) p n 1 q=(1)(2)(3) (n 2)(n 1n) Uit stelling 7 volgt dat we alle elementen van de groep kunnen genereren. Gevolg 13. Een eindige symmetrische groep is cyclisch. De permutoëder Definitie 14. Een permutoëder van orde n is een veelhoek te waarvan de hoeken bestaan uit de permutaties van 1...n en de zijden twee dichtstbijzijnde punten verbinden. Gevolg 15. Een permutoëder van orde n bezit n! hoekpunten en n! (n 1)/2 zijden. Gevolg 16. Een permutoëder van orde n kan recursief worden gevormd uit n exemplaren van orde n-1. Hulpstelling 17. Een permutoëder van orde n is een (n-1)-dimensionale figuur. Bewijs. Voor n = 4 zijn de coördinaten van de hoekpunten te schrijven als (x,y,z,w) waarvoor de relatie w = x + y + z - 10 geldt; analoog voor andere ordes. Hulpstelling 18. Een permutoëder van orde n bevat n 2 exemplaren van orde n-1 (waarvan de hoekpunten samenvallen).
4 4 Sectie Bewijs. nader uit te werken Cayley grafen Definitie 19. Een graaf bestaat uit een verzameling van knopen en een verzameling van zijden, waarin een zijde twee knopen verbindt. Definitie 20. Een graaf heet enkelzijdig als een zijde altijd twee verschillende knopen verbindt en tussen twee knopen ten hoogste één zijde loopt. Definitie 21. Een pad tussen twee knopen A en B is een rij knopen die begint met A en eindigt met B waarin tussen elke knoop en de volgende een zijde van de graaf ligt en geen knoop twee maal voorkomt. Definitie 22. Een graaf heet samenhangend als er tussen elk paar knopen een pad bestaat. Definitie 23. Een cykel in een graaf is een pad dat in dezelfde knoop begint en eindigt. Definitie 24. Een Hamiltioniaans pad in een graaf is een soort pad dat alle knopen van de graaf doorloopt als er van de laatste knoop in het pad weer een zijde naar de eerste knoop is. Definitie 25. Een graaf heet planair als ze op een plat vlak kan worden getekend zonder dat twee zijden elkaar snijden. Hulpstelling 26. (Stelling van Euler) voor een planaire graaf met k knopen en z zijden geldt: z 3 k 6 Bewijs. Zie Planaire grafen hebben nuttige eigenschappen, maar vaststellen of een graaf planair is is niet triviaal. Definitie 27. Een enkelzijdige graaf heet volledig als er tussen elk paar knopen een zijde is. Hulpstelling 28. In een volledige graaf K n vormt elke permutatie van de n knopen een Hamiltoniaans pad. Figuur 1. Volledige grafen K 3 en K 4 Figuur 2. Planaire graaf K 5 -
5 Hamiltoniaanse paden in Cayley grafen 5 Opmerking 29. Grafen kunnen op verschillende manieren getekend worden: in figuuur 1 is de planaire graaf K 4 twee keer getekend. De graaf in figuur 2 kan worden aangevuld tot de volledige graaf K 5 middels een zijde tussen knopen A en B, maar dat kan niet zonder een zijde te snijden, dus K 5 is niet planair. Definitie 30. Gegeven een groep G en een verzameling V van generatoren van G. De Cayley Graaf Γ(G,V) is een gerichte gekleurde graaf die wordt gevormd met: Elk element g van G vormt een knoop in Γ. Elke generator v uit V krijgt een andere kleur k v. Voor elk element g wordt voor elke generator v een zijde z = (g, gv) toegevoegd aan Γ met kleur k v. Gevolg 31. Uit stelling 7 en 11 kunnen we afleiden dat de Cayley Graaf van S n cyclisch is. Er is voor iedere knoop k een knoop die het verst van k verwijderd is. Hulpstelling 32. We kunnen een polyëder (veelvlak) beschouwen als een graaf met de hoekpunten als knopen en de zijden als zijden. Met de naburige verwisselingen van stelling 6 als generatoren vormen we een Cayley graaf Γ die isomorf is met G; de permutaties uit hulpstelling 10 leveren een andere Cayley graaf op. Bewijs. Uit het voorafgaande kunnen we afleiden dat de Cayley Graaf van S n cyclisch is, even veel knopen en zijden heeft als de permutoëder en bovendien hoge symmetrie moet bezitten. Uit de stellingen over permutaties volgt dat voor ieder paar knopen k 1 en k 2 in de graaf S n een transformatie bestaat die k 1 afbeeldt op k 2 waarbij het beeld isomorf is met het origineel. Dat brengt ons op het idee dat Γ isomorf moet zijn met een permutatie van S n en dus met S n zelf. Wikipedia leert ons dat je de Cayley graaf en de permutoëder in elkaar kunt omzetten door elke knoop door zijn inverse te vervangen. Figuur 3. Groep S 3 als permutoëder en Cayley graaf Tot zover de inleiding; nu volgt de kern van het verhaal. Hamiltoniaanse paden in Cayley grafen Hulpstelling 33. n!=(n 1) {(n 1)!+(n 2)!} voor n 2 Bewijs. Probeer dit zelf eens Gevolg 34. Een permutoëder van orde n kan recursief worden geconstrueerd uit n-1 exemplaren van orde n-1 plus n-1 van orde n-2. Stelling 35. Een Cayley graaf van de symmetrische groep S n met als generatoren de verwisselingen (12), (23), (34),..., (n-1,n) bezit minstens 1 Hamiltoniaans pad. Bewijs. We proberen dit met inductie op te bouwen, waarin we telkens Hamiltoniaanse paden van een aantal Cayley grafen combineren tot dat van een grotere graaf.
6 6 Sectie Voor orde n = 0 hebben we eerder gedefinieerd dat er 1 permutatie is. Voor ordes n = 1 en 2 moeten we niet-enkelzijdige grafen gebruiken: ten eerste een graaf met een zijde die begint en eindigt bij de enige knoop en ten tweede twee zijden met dezelfde begin- en eindpunten. Hamiltoniaans pad in graaf S 3 Figuur 4. Constructie van graaf S 3 De figuur laat zien hoe het Hamiltoniaanse pad van Cayley graaf S 3 kan worden geconstrueerd uit twee grafen van S 1 en van S 2 door van elke component een zijde om te laten klappen. In dit geval zijn alle paden van lengte 6 representanten van de zelfde cykel. Je kunt op dezelfde manier S 0 en S 1 samenvoegen tot S 2. De afgeknotte octaëder S 4 Figuur 5. Permutoëder S 4 De figuur toont de permutoëder S 4. De gekleurde vlakken laten zien hoe die kan worden geconstrueerd uit vier zeshoeken. De permutatie (1234) voert de vier gemarkeerde knopen in elkaar over, wat een tetrahedrale symmetrie oplevert (je zou het een afgeknotte tetraëder kunnen noemen). Die permutatie kun je vormen met een combinatie van vijf zijden. Op die manier krijg je de rood gemarkeerde cykel van 20 knopen; er blijven nog 4 knopen over voor een Hamiltoniaans pad. De langste afstand tussen twee knopen (1,2,3,4) en (4,3,2,1) bedraagt 6. Het is ook mogelijk om alle verwisselingen van 2 getallen als basis te gebruiken. Dan kun je elke permutatie met een cykellengte 4 vormen uit een combinatie van 3 verwisselingen en een cykel van 3 uit 2 verwisselingen. In combinatie met de spiegelsymmetrie van S 2 geeft dit drie viertallige rotatieassen door de middelpunten van de vierkanten. De tabel toont 8 permutaties met een cykellengte van 3, die overeenkomen met vier drietallige rotatieassen door de middelpunten van de zeshoeken.
7 Hamiltoniaanse paden in Cayley grafen 7 Hamiltoniaanse paden in Cayley graaf S 4 Figuur 6. Constructie van graaf S 4 De figuur illustreert hoe permutoëders S 2 en S 3 kunnen worden worden samengevoegd tot een zeshoek + vierhoek. Door de zijde tegenover het vierkant om te klappen kunnen drie van deze componenten worden samengevoegd tot een S 4 en de Hamiltoniaanse paden gecombineerd volgens in figuur 8. Zo als gezegd is een permutoëder van orde 4 een figuur met 3 dimensies, maar de graaf is bovendien planair, zodat we ze overzichtelijker kunnen weergeven in de volgende figuur, die Schlegel diagram heet met kleuren voor de generatoren als in figuur 3. Voor de knopen van de graaf zijn twee kleuren echter voldoende; dat betekent dat S 4 een bipartiet is. De vierkleurenstelling zegt dat een landkaart (met bepaalde beperkingen) kan worden ingekleurd met hooguit vier kleuren waarbij aangrezende landen steeds verschillende kleuren hebben. Hier volstaan drie kleuren voor de cykels van S 4. Definitie 36. Een graaf is bipartiet wanneer de knopen uit twee deelverzamelingen (kleuren) bestaan zodanig dat er alle zijden twee knopen uit verschillende deelverzamelingen verbinden. Hulpstelling 37. Een graaf zonder cykels van oneven lengte is bipartiet. Bewijs. Te vinden op Wikipedia. Figuur 7. Schegel diagram van Cayley graaf S 4 Figuur 8. Constructie Hamiltioniaans pad in Caley graaf S 4 Behalve het pad in de figuur hierboven, dat wordt gevolgd door het plain changes alias Steinhaus Johnson Trotter algoritm e bestaan er nog meer Hamiltoniaans paden met verschillende symmetrie; onderstaande figuur toont er een aantal.
8 8 Sectie Figuur 9. Meer Hamiltoniaanse paden in S 4 De S 5 permutoëder De permutoëder van groep S 5 wordt onder meer omnitruncated 5-cell genoemd. De onderstaande figuur probeert ze te visualiseren. Ze bestaat uit 120 knopen, 240 zijden, 90 vierkanten, 60 zeshoeken, 20 hexagonale prisma s en 10 afgeknotte octaëders. Figuur 11 geeft aan hoe een Hamiltoniaans pad kan worden geconstrueerd uit vier zeshoeken en vier afgeknotte octaëders, maar er zullen veel meer mogelijkheden zijn. Figuur 10. Schlegel diagram van S 5 permutoëder Figuur 11. Constructie van graaf S 5
9 Dieper graven naar grafen 9 Algemeen Een Cayley graaf van orde n hebben alle knopen de graad n-1. Wanneer we de graaf van orde n+1 opbouwen uit componenten (A, B en C) van lagere orde, dan krijgt elke knoop er een zijde bij die correspondeert met de verwisseling (n-1n), die ze verbindt met een knoop van een andere component (in figuur 7 groen gekleurd). Door telkens dezelfde zijden van iedere component te verbinden ontstaat een figuur met n+1 -voudige symmetrie. Bewijs. (afronden stelling 35) Bovenstaande procedure illustreert gevolg 34, terwijl hulpstellling 33 zegt dat het aantal knopen overeenkomt. Het aantal zijden bedraagt (n 1) n!/2. Dat betekent dat er (n + 1) (n 1)!/2= 1 n! (n 1)! zijden bijkomen die knopen uit verschillende componenten verbinden. Daarvan correspondeert de tweede term met de zijden die nodig zijn om telkens een S n-1 en S n-2 samen te 2 voegen en de eerste met de zijden die S n vormen, dat is telkens 1 extra zijde per knoop. Als je de componenten, bijvoorbeeld de 8-cykels uit figuur 8 reduceert tot enkele knopen, dan krijg je een volledige graaf, zoals K 3 voor S 4 en K 4 voor S 5. (te bewijzen). Aanrenzende knopen in een compenten grenzen aan verschillende componten. Elke permutatie van de knopen in een volledige graaf vormt een Hamiltoniaans pad. Een permutoëder van orde n bezit dus een cykel van lengte 2 n, bestaande uit afwisselend 1 zijde van een component en een zijde die twee componenten verbindt. Vanwege de symmetrie en de inductiehypothese maakt elke zijde van een component deel uit van een Hamiltoniaans pad. Genoemde cykel van 2 n kan worden getransformeerd door telkens de interne zijde uit dat Hamiltionaanse pad te verwijderen vervangen en de rest van het pad te koppelen naar de volgende component. Dat levert een Hamiltoniaans pad op van het geheel. Definitie 38. Een graaf is bipancyclisch als ze cykels bevat van alle even lengten van 4 tot en met het aantal knopen. Stelling 39. De Cayley grafen S 4 en hoger zijn bipancylisch. Bewijs. Voor S 4 kan de stelling worden bewezen door cykels van lengte 4,6,8,..., n! te vinden. We hebben laten zien hoe je S n+1 kunt construëren uit n exemplaren van S n en S n-1. Als je steeds de zijde tussen AB koppelt aan BA en B A (corresponderende knopen uit een ander deel) krijg je een cykel van lengte 2 n. Volgens de inductiehypothese bestaan er tussen A en B tevens paden tot aan lengte n, waarmee we even cykels tot aan 2n+n! 2kunnen maken. Door met de corresponderende zijden hetzelfde te doen kunnen we cykels vormen tot een lengte van n n!=(n+1)! Stelling 40. De afstand tussen twee punten in een Cayley graaf van orde n bedraagt ten hoogste 1 2 n (n 1). Bewijs. In een Cayley graaf hebben de punten (1,2,...,n) en (n,n-1,...,2,1) de maximale afstand. Om de 1 naar de laatste positie te verplaatsen voldoet de combinatie (12)(23)(34)...(n- 1n). Dan staat de 2 vooraan, die met de combinaties (12)(34)...(n-2n-1) de voorlaatste positie bereikt, waarna de 3 met (12)(34)...(n-3n-2) op zijn plaats komt, enz, tot aan (12). Het aantal verwisselingen bedraagt dus n i= 1 n (n+1) 2 i=0 Dieper graven naar grafen Definitie 41. Een planaire graaf G heeft een duale graaf G waarvoor geldt elke cykel in G overeenkomst met een knoop in G.
10 10 Sectie Figuur 12. S 4 en diens duale graaf Wikipedia leert ons dat de duale graaf van G weer de graaf G is en dat grafen van convexe veelvlakken een unieke duale graaf bezitten; andere grafen kunnen verschillende dualen bezitten. We kunnen die gebruiken voor de genoemde vierkleurenstelling. Verder is een zwakke duale graaf gedefinieerd waarin de buitenste cykel niet met een knoop correspondeert. Nu gaan we eens het aantal cykels tellen in een plainaire graaf die bestaat uit vier aaneengesmede cykels van lengte 6. In de figuur is die links boven te zien samen met zijn zwakke duale graaf. Daaronder staan de verschillende deelgrafen met hoevaak ze voorkomen. Er is geen cykel die overeenkomt met het z-vormige pad; deze graaf bezit geen Hamiltoniaans pad. Nabeschouwing Figuur 13. Cykels tellen in een graaf Hopelijk is het hiermee duidelijk geworden hoe het plain changes algoritme werkt en hoe achter de iteratieve code een recursieve structuur schuilt. Het algoritme zoekt niet naar een Hamiltoniaans pad, maar loopt de bekende oplossing stap voor stap af, wat het efficiënt maakt. Een interessante opgave is een programma schrijven dat alle Hamiltoniaanse paden vindt. De gekozen strategie om eerst Hamiltoniaanse paden van subgrafen te zoeken en die samen te voegen werkt heel goed omdat het probleem volledig symmetrisch is. In het algemeen is het vinden van cykels in een graaf niet zo moeilijk, maar die kunnen op veel manieren worden samengevoegd. Bronnen en gerelateerde onderwerpen op Wikipedia
11 Bronnen 11 Knuth, Donald (2011), "Section : Generating All Permutations", The Art of Computer Programming, volume 4A. Sedgewick, Robert (1977), "Permutation generation methods", ACM Comput. Surv., 9 (2): , doi: /
Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.
Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatieTentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312
Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Je mag de syllabus en aantekeningen gebruiken, maar geen rekenmachine. Je mag opgaven 2.46, 2.49 en 8.13
Nadere informatieV = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.
WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,
Nadere informatieWorkshop DisWis, De Start 13/06/2007 Bladzijde 1 van 7. Sudoku. Sudoku
DisWis DisWis is een lessenserie discrete wiskunde die De Praktijk vorig jaar in samenwerking met prof.dr. Alexander Schrijver heeft opgezet. Gedurende vier weken komt een wiskundestudent twee blokuren
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W
Nadere informatieLege polygonen in een graaf.
Uitwerking puzzel 94-2 Lege polygonen in een graaf. Lieke de Rooij Wobien Doyer We hebben n punten die al of niet met elkaar worden verbonden. De bedoeling is om met zo min mogelijk lijnen (=verbindingen)
Nadere informatieSYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester
SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN Prof. dr. Ronald Meester Inleiding In dit college onderzoeken we symmetrie-eigenschappen van ruimtelijke figuren zoals driehoeken, vierkanten, kubussen en andere veelvlakken
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde
Discrete Wiskunde (WB011C) 22 januari 2016 Tentamen Discrete Wiskunde Schrijf op ieder ingeleverd blad duidelijk leesbaar je naam en studentnummer. De opgaven 1 t/m 6 tellen alle even zwaar. Je hoeft slechts
Nadere informatie5 Inleiding tot de groepentheorie
5 Inleiding tot de groepentheorie Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze groep de viergroep van Klein bezit als deelgroep van index 2. Oplossing
Nadere informatieDe stelling van Borsuk. Auteurs: Michiel Tel en Merlijn Koek
De stelling van Borsuk Auteurs: Michiel Tel en Merlijn Koek 18 juni 2011 1 Inleiding (Wat is het vermoeden van Borsuk?) De Poolse wiskundige Karol Borsuk stelde in de jaren dertig de volgende vraag; Hierna
Nadere informatieEigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische
Nadere informatiePlatonische transformatiegroepen
Platonische transformatiegroepen Luc Van den Broeck 8 augustus 2015 Samenvatting In dit document worden de transformatiegroepen van de platonische lichamen bestudeerd. Zonder te vervallen in algebraïsche
Nadere informatieGrafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.
Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieEen eenvoudig algoritme om permutaties te genereren
Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren Daniel von Asmuth Inleiding Er zijn in de vakliteratuur verschillende manieren beschreven om alle permutaties van een verzameling te generen. De methoden
Nadere informatieRIPS Rechtlijnige Ingebedde Planaire Subgrafen
RADBOUD UNIVERSITEIT NIJMEGEN BACHELOR SCRIPTIE RIPS Rechtlijnige Ingebedde Planaire Subgrafen Auteur: Margot VAN HOEK Begeleider: Wieb BOSMA 2 e lezer: Maarten SOLLEVELD Ingeleverd aan de: Faculteit der
Nadere informatiePijlenklokken. 1 Inleiding
Pijlenklokken 1 Inleiding In bovenstaande tekening zie je 1 rode punten. Er staan blauwe pijlen van elk rood punt naar een ander rood punt 4 plaatsen verder op de cirkel. Een dergelijke afbeelding noemen
Nadere informatieEen combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010
Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt
Nadere informatieVeelvlakken kleuren. Dion Gijswijt
Stel, je wilt de zijvlakken van een veelvlak kleuren, en wel zo dat aangrenzende veelvlakken verschillende kleur krijgen. Hoeveel kleuren heb je dan minimaal nodig? Veelvlakken kleuren Dion Gijswijt De
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur
Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.
Nadere informatieOver binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4
Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4 Jonathan K. Vis 1 Inleiding (blz. 70 72) In dit essay behandelen we bladzijden 70 75 van Donald E. Knuth
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in
Nadere informatieCombinatorische Algoritmen: Binary Decision Diagrams, Deel III
Combinatorische Algoritmen: Binary Decision Diagrams, Deel III Sjoerd van Egmond LIACS, Leiden University, The Netherlands svegmond@liacs.nl 2 juni 2010 Samenvatting Deze notitie beschrijft een nederlandse
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica L(,1)-labeling van grafen Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Myrte klein Brink 4166140 Bachelor Wiskunde Dr.
Nadere informatieInleiding tot groepentheorie
Hoofdstuk Inleiding tot groepentheorie 1 Basisdefinities Een algebraïsche structuur bestaat meestal uit een verzameling waarop één of meerdere bewerkingen gedefinieerd zijn. Definitie Een inwendige bewerking
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 2007
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 007 Opgave. a. Een beslissingsboom beschrijft de werking van het betreffende algoritme (gebaseerd op arrayvergelijkingen) op elke mogelijke invoer. In
Nadere informatieV el v'akk n kl ure. door Dion Gijswijt
door Dion Gijswijt V el v'akk n kl ure Stel, je wilt de zijvlakken van een veelvlak kleuren, en wel zo dat aangrenzende veelvlakken verschillende kleur krijgen. Hoeveel kleuren heb je dan minimaal nodig?
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Nadere informatie3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden.
Antwoorden Doeboek 4 Grafen.. De middelste en de rechtergraaf.. Een onsamenhangende graaf met vijf punten en vijf lijnen: Teken een vierhoek met één diagonaal. Het vijfde punt is niet verbonden met een
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning
Nadere informatieProjectieve Vlakken en Codes
Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop
Nadere informatieMorenaments Ornamenten met symmetrie. Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen
Morenaments Ornamenten met symmetrie Fien Aelter, Liesje Knaepen en Kristien Vanhuyse, studenten SLO wiskunde KU Leuven Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen Dit werklad is een voorbereiding
Nadere informatieIMO-selectietoets III zaterdag 4 juni 2016
IMO-selectietoets III zaterdag 4 juni 2016 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een natuurlijk getal. In een dorp wonen n jongens en n meisjes. Voor het jaarlijkse bal moeten
Nadere informatieBewijzen en Redeneren voor Informatici
Bewijzen en Redeneren voor Informatici Reinoud Berkein 17 januari 2018 Samenvatting Een korte samenvatting van definities uit de cursus. Hoofdstuk 1 Doorsnede: De verzamerling die alle elementen bevat
Nadere informatieOnafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms
Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Giso Dal (0752975) Pagina s 5 7 1 Deelverzameling Representatie
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieGetallensystemen, verzamelingen en relaties
Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij
Nadere informatieWanneer zijn veelvouden van proniks proniks?
1 Uitwerking puzzel 92-1 Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? Harm Bakker noemde het: pro-niks voor-niks De puzzel was voor een groot deel afkomstig van Frits Göbel. Een pronik is een getal dat
Nadere informatieLijst-kleuringen in de grafentheorie
Lijst-kleuringen in de grafentheorie Berrie Bottelier 16 juli 2014 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Guus Regts 4 5 6 1 2 3 Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatiede Leuke En Uitdagende Wiskunde VEELVLAKKEN SAMENSTELLING: H. de Leuw
SAMENSTELLING: H. de Leuw 1. VEELHOEKEN. Een veelvlak is een lichaam dat wordt begrensd door vlakke veelhoeken. Zo zijn balken en piramides wel veelvlakken, maar cilinders en bollen niet. Een veelhoek
Nadere informatieCabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's
Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven
Nadere informatieEen ander zijvlak is het regelmatige vijfhoek met aantal zijden P=5. Hierbij moeten Q=3 zijvlakken samenkomen in een hoekpunt van het veelvlak.
Praktische-opdracht door een scholier 1498 woorden 6 juni 2003 6,5 134 keer beoordeeld Vak Wiskunde Deelvraag 1: Wat is de definitie van een Platonische Lichaam / Platonisch Veelvlak? De definitie: Een
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieGetallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Nadere informatieUitwerkingen eerste serie inleveropgaven
Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven (1) Gegeven het 4 4 grid bestaande uit de 16 punten (i, j) met i, j = 0,..., 3. Bepaal het aantal driehoeken dat je kunt vinden zodanig dat ieder hoekpunt samenvalt
Nadere informatieOpmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders!
Grafen Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! 1. Inleiding Een (ongerichte) graaf (graph) G = (V, E) bestaat uit een eindige, nietlege verzameling V van punten (vertices),
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 99 99 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per
Nadere informatieVolledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.
Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als
Nadere informatieVeelvlak. Begrippenlijst
Veelvlakken Tijdens dit project Veelvlakken ga je vooral veel zelf onderzoeken. Je zult veel aan het bouwen zijn met Polydron materiaal. Waarschijnlijk zul je naar aanleiding van je bevindingen zelf vragen
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2017
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 017 Opgave 1. a. Een pad van de wortel naar een blad stelt de serie achtereenvolgende arrayvergelijkingen voor die het algoritme doet op zekere invoer.
Nadere informatieDefinitie 8.1. De groep van alle permutaties van een gegeven verzameling X is de symmetriegroep op n elementen, genoteerd als Sym(X).
Hoofdstuk 8 Werking van een groep 8.1 Permutatiegroepen Een permutatie van een verzameling X is een bijectie van die verzameling op zichzelf. Een verzameling X met n elementen heeft juist n! permutaties.
Nadere informatieDriehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)
Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2016 2017, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieEigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen
Nadere informatieDe probabilistische methode
De probabilistische methode Sui Yung Cheung 11 augustus 2008 Bachelorscriptie Begeleiding: Dr. D.C. Gijswijt KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit
Nadere informatieUniversiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen. Gradenrijtjes & Drempelgrafen
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Gradenrijtjes & Drempelgrafen Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Tweede lezer: Giselle Loeffen 4143566 Bachelor
Nadere informatieHoofdstuk 1. Afspraken en notaties
Hoofdstuk 1 Afspraken en notaties In deze tekst onderzoeken we een eenvoudig dobbelspel: twee spelers hebben een dobbelsteen, gooien deze, en wie het hoogst aantal ogen gooit wint. Er blijken setjes dobbelstenen
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieTweede college complexiteit. 12 februari Wiskundige achtergrond
College 2 Tweede college complexiteit 12 februari 2019 Wiskundige achtergrond 1 Agenda vanmiddag Floor, Ceiling Rekenregels logaritmen Tellen Formele definitie O, Ω, Θ met voorbeelden Stellingen over faculteiten
Nadere informatieMagidoku s en verborgen symmetrieën
Uitwerking Puzzel 92-6 Magidoku s en verborgen symmetrieën Wobien Doyer Lieke de Rooij Een Latijns vierkant van orde n, is een vierkante matrix, gevuld met n verschillende symbolen waarvan elk precies
Nadere informatieSupplement Verzamelingenleer. A.J.M. van Engelen en K. P. Hart
Supplement Verzamelingenleer A.J.M. van Engelen en K. P. Hart 1 Hoofdstuk 1 Het Keuzeaxioma Het fundament van de hedendaagse verzamelingenleer werd in de vorige eeuw gelegd door Georg Cantor. Cantor gebruikte
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieLijstkleuring van grafen
C.J. Meerman Lijstkleuring van grafen Bachelorscriptie 10 juni 2010 Email: cjmeerman@gmail.com Scriptiebegeleider: Dr. D. C. Gijswijt Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding
Nadere informatieKettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Nadere informatieDe huwelijksstelling van Hall
Thema Discrete wiskunde In de vorige twee afleveringen heb je al kennis kunnen maken met het begrip graaf en hoe grafen worden gebruikt door Google s zoekmachine en door de NS bij het maken van een optimale
Nadere informatieNiet meer dan drie tetraëders in één kubus
Niet meer dan drie tetraëders in één kubus or Hurkens januari 008 Samenvatting Een opgave door Jan van de raats gesteld luidt als volgt: Hoeveel tetraëders met zijde een kun je stapelen in een eenheidskubus?
Nadere informatiejaar Wiskundetoernooi Estafette n = 2016
992 993 2000 994 999 995 997 998 996 200 2002 2003 204 205 206 202 203 2004 20 200 2005 2009 2007 2006 2008 jaar Wiskundetoernooi Estafette 206 Opgave 206 is een driehoeksgetal: er bestaat een geheel getal
Nadere informatieCabri werkblad. Meetkundige plaatsen
Cabri werkblad Meetkundige plaatsen 1. Wat is een meetkundige plaats? We geven direct maar een Definitie Een meetkundige figuur heet meetkundige plaats van punten met een bepaalde eigenschap indien: 1.
Nadere informatieWerkwinkel Permutatiepuzzels
Werkwinkel Permutatiepuzzels Karsten Naert UGent Vakgroep Wiskunde 6 november 2013 1 / 33 Over mij... Assistent en doctoraatsstudent Taken: Onderzoek Onderwijs Dienstverlening Karsten.Naert@UGent.be http:
Nadere informatieDe Dekpuntstelling van Brouwer
De Dekpuntstelling van Brouwer Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Twente, 19 oktober 2009: 18:00 20:00 Outline 1 2 3 4 De formulering Dekpuntstelling van Brouwer Zij n een
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500
WISKUNDE-ESTAFETTE 2012 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Optellen De som van twee getallen van twee cijfers is een getal van drie cijfers (geen van deze
Nadere informatieOnderwerpen. Punten en lijnen, postbodes en handelsreizigers. Theorie. Theorie (2) Graaftheorie. Een mini-inleiding graaftheorie
Onderwerpen Punten en lijnen, postbodes en handelsreizigers Een mini-inleiding graaftheorie Graaftheorie Herman Geuvers Euler en de postbode Radboud Universiteit Nijmegen 9 februari 2019 met dank aan Engelbert
Nadere informatieEen Stelling over Priemgetallen Bewezen op een Schaakbord Seminar Combinatorial Algorithms (voorjaar 2010)
Een Stelling over Priemgetallen Bewezen op een Schaakbord Seminar Combinatorial Algorithms (voorjaar 2010) Johan de Ruiter, johan.de.ruiter@gmail.com 27 april 2010 1 De stelling van Fermat over de som
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieHoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen.
Hoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen. Jakob Steiner (Utzenstorf (kanton Bern), 18 maart 1796 - Bern, 1 april 1863) was een Zwitsers wiskundige. Hij wordt beschouwd als een van de belangrijkste
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieVerzamelingen deel 3. Derde college
1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt
Nadere informatieVERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN
I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen
Nadere informatieElfde college complexiteit. 23 april NP-volledigheid III
college 11 Elfde college complexiteit 23 april 2019 NP-volledigheid III 1 TSP Als voorbeeld bekijken we het Travelling Salesman/person Problem, ofwel het Handelsreizigersprobleem TSP. Hiervoor geldt: TSP
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 februari 2009 RELATIES & GRAFEN Discrete Structuren Week 2: Relaties en Grafen
Nadere informatieDe constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
Nadere informatie1 Kettingbreuken van rationale getallen
Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 17 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 17 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wat is een equivalentierelatie? Een
Nadere informatieBijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Nadere informatieMeetkunde. Trainingsweekend 23 25 januari 2009. 1 Gerichte hoeken. gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi
Meetkunde gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi Trainingsweekend 23 25 januari 2009 Als je een meetkundig probleem aan het oplossen bent, stuit je vaak op verschillende oplossingen voor de verschillende
Nadere informatieEnkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
Nadere informatieUitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4
Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4 4.4.1 Basis Lijnen en hoeken 1 Het assenstelsel met genoemde lijnen ziet er als volgt uit: 4 3 2 1 l k -4-3 -2-1 0 1 2 3 4-1 -2-3 n m -4 - Hieruit volgt: a Lijn k en
Nadere informatiel e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE 2012 Uitwerkingen. a b. e f g
WISKUNDE-ESTAFETTE 202 Uitwerkingen Noem de zeven cijfers even a t/m g. a b c d + e f g Omdat de twee getallen die we optellen beide kleiner zijn dan 00 moet het resultaat kleiner dan 200 zijn. Dus e =.
Nadere informatieUitwerking Puzzel 93-1, Doelloos
Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Wobien Doyer Lieke de Rooij Volgens de titel is deze puzzel zonder doel, dus zonder bekende toepassing. Het doel is echter nul en dat is zeker in de wiskunde niet niks.
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatie