2WO12: Optimalisering in Netwerken
|
|
- Lotte Vedder
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
2 Overzicht Lecture 1: (behandeld) grafen Euler tour Hamilton circuit toepassingen (fylogenetische bomen en de Bruijn rijen) Lecture 2: (vandaag) kleuren van de punten van een graaf kleuren van landkaarten planaire grafen kleuren van de lijnen van een graaf Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
3 Definitie Een k-(punt)kleuring van een graaf G = (V, E) is een functie f : V {1, 2,..., k} zodanig dat voor elk lijn {u, v} E geldt dat f (u) f (v). Definitie Het (punt)kleurgetal (chromatic number) χ(g) is de kleinste k N waarvoor G een k-kleuring heeft. Als G een k-kleuring heeft dan heet G k-kleurbaar. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
4 Voorbeeld De onderstaande graaf is 3-kleurbaar, dus χ(g) 3. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
5 Vraag Wat is het kleurgetal van een pad? Vraag Wat is het kleurgetal van K n? Vraag Wat is het kleurgetal van een even circuit? Vraag Wat is het kleurgetal van een oneven circuit? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
6 χ(g) k bewijs je door een correcte k-kleuring te geven χ(g) k bewijs je met een ad hoc argument (b.v. een deelgraaf met een bekend kleurgetal) Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
7 Vraag Wat is het kleurgetal van de onderstaande graaf? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
8 Vraag Wat is het kleurgetal van de onderstaande graaf? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
9 Vraag Wat is het kleurgetal van de Petersen graaf? Petersen graaf Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
10 Vraag Wat is het kleurgetal van een bipartiete graaf? Stelling Gegeven een graaf G, zijn de volgende uitspraken equivalent: 1 G is bipartiet 2 G is 2-kleurbaar 3 G bevat geen circuits van oneven lengte Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
11 Definitie (G) is de maximale graad in graaf G Opgave (2.9) Bewijs dat voor elke graaf G geldt χ(g) (G) + 1 Opgave (2.10) Geef grafen G waarvoor χ(g) = (G) + 1 Stelling (Brook) Voor elke samenhangende graaf G geldt χ(g) (G) tenzij G een volledige graaf of een oneven circuit is. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
12 Definitie Een clique in een graaf is een verzameling punten die paarsgewijs buren zijn. Definitie Het cliquegetal ω(g) is de cardinaliteit van de grootste clique in G. Voorbeeld In de onderstaande graaf G zijn {a, b, c} en {a, c, d} cliques. Er geldt ω(g) = 3 (en χ(g) = 3). a d Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40 c b
13 Stelling Voor elke graaf G geldt ω(g) χ(g). Vraag Kan χ(g) veel groter zijn dan ω(g)? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
14 Vraag Wat is het kleurgetal van de onderstaande graaf? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
15 Stelling (Mycielski) Voor elke k N met k 2 is er een graaf G met ω(g) = 2 en χ(g) = k. De Mycielskian van een graaf G met punten v 1, v 2,..., v n krijg je als volgt: voeg punten u 1, u 2,..., u n en w toe verbind u i met w, voor i = 1,..., n verbind u i met alle buren van v i (in G), voor i = 1,..., n Lemma (Mycielski) Voor de Mycielskian G van een graaf G geldt (i) χ(g) = k = χ(g ) = k + 1 (ii) als G geen driehoeken bevat dan bevat G ook geen driehoeken. De stelling van Mycielski volgt direct uit dit lemma. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
16 Definitie Een coclique (of independent set) in een graaf is een verzameling punten die paarsgewijs niet verbonden zijn. In een kleuring van een graaf zijn de punten van één kleur een coclique in de graaf Voorbeeld In de onderstaande graaf vormen de blauwe punten een coclique. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
17 Vraag Hoeveel punten heeft een grootste coclique in de onderstaande graaf? En een grootste clique? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
18 Vraag Hoeveel kleuren heb je nodig om de kaart van de VS te kleuren, zodanig dat buurstaten verschillende kleuren krijgen? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
19 Antwoord Vier kleuren zijn genoeg. Vraag Kun je elke kaart met vier kleuren kleuren? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
20 Formuleer als grafen-probleem door als volgt een graaf te maken: creëer een punt voor elk gebied creëer een lijn tussen twee punten als de bijbehorende gebieden een grens delen. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
21 Definitie Een graaf is planair als hij in het platte vlak kan worden getekend zodanig dat lijnen elkaar niet snijden. Definitie Een onderverdeling (subdivision) van een graaf G is een graaf G die uit G verkregen kan worden door elke lijn {u, v} te vervangen door een pad {u, w 1, w 2,..., w k, v} met k 0. (Als k = 0 dan verandert er aan die lijn dus niets.) Stelling (Kuratowski) Een graaf G is planair dan en slechts dan als G geen deelgraaf heeft die een onderverdeling is van K 5 of van K 3,3. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
22 Definitie Een embedding is een tekening van een graaf in het platte vlak. Definitie Een planaire embedding is een embedding waarin lijnen elkaar niet snijden. Definitie Een planaire embedding van een planaire graaf verdeelt het platte vlak in gebieden. Deze gebieden worden facetten genoemd. Stelling (Euler) Voor een planaire embedding van een samenhangende planaire graaf met n 1 punten, m lijnen en f facetten geldt n + f = m + 2 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
23 Stelling (Euler) Voor een planaire embedding van een samenhangende planaire graaf met n 1 punten, m lijnen en f facetten geldt n + f = m + 2 Voorbeeld Een niet-planaire en een planaire embedding van K 2,3. De planaire embedding heeft drie facetten A, B en C. A n = 5 m = 6 f = 3 B C Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
24 Dus het aantal facetten f van een planaire graaf is onafhankelijk van de gekozen embedding. f is niet gedefiniëerd voor niet-planaire grafen. Lemma Als G een planaire graaf is met n punten, m 2 lijnen en f facetten, dan: (i) f 2 3m (Opgave 2.24) (ii) m 3n 6 (Opgave 2.25) (iii) is er een punt v met d(v) 5 (Opgave 2.27) Het volgt uit (ii) dat K 5 niet planair is. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
25 Stelling (Vierkleurenstelling) Voor elke planaire graaf G geldt χ(g) 4 Dus kan elke landkaart met vier kleuren gekleurd worden. Stelling bewezen door Appel en Haken (1976). Bewijs van 400 pagina s plus checken van 1936 gevallen met de computer. Fouten in bewijs. Versimpeld bewijs door Robertson, Sanders, Seymour en Thomas (1996). Nog steeds met computer. Stelling (Makkelijker te bewijzen) Voor elke planaire graaf G geldt χ(g) 5 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
26 Lijnkleuringen Definitie Een k-lijnkleuring van een graaf G = (V, E) is een functie f : E {1, 2,..., k} zodanig dat voor elk twee lijnen e, e met e e en e e (d.w.z., die elkaar raken in een punt) geldt dat f (e) f (e ). Definitie Het lijnkleurgetal χ (G) is de kleinste k N waarvoor G een k-lijnkleuring heeft. Als G een k-lijnkleuring heeft dan heet G k-lijnkleurbaar. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
27 Voorbeeld De onderstaande graaf is 4-lijnkleurbaar χ (G) = 4 χ(g) = 3 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
28 Vraag Wat is het lijnkleurgetal van een even en van een oneven circuit? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
29 Vraag Wat is het lijnkleurgetal van K 3,3? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
30 Vraag Wat is het lijnkleurgetal van een kubus? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
31 Vraag Wat is het lijnkleurgetal van de onderstaande graaf? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
32 Definitie (G) is de maximale graad in G Observatie Voor elke graaf G geldt χ (G) (G) Stelling (Vizing) Voor elke graaf G geldt χ (G) (G) + 1 Stelling (König) Voor elke bipartiete graaf G geldt χ (G) = (G) Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
33 Vraag Wat is het lijnkleurgetal van K n als n even is? 0 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
34 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
35 Vraag Er zijn 5 spelers: a, b, c, d en e. Er zijn 10 teams: ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de. Een team mag niet twee keer op dezelfde dag spelen. Hoeveel dagen zijn er minimaal nodig om elk team tegen elk ander team te laten spelen? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
36 Kneser Graph KG 5,2 ab cd ac de bd ae ce be bc ad Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
37 χ (KG 7,3 ) = 4 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
38 Definitie Een matching in een graaf G = (V, E) is een verzameling lijnen M E zodanig dat voor elke twee e, e M geldt dat e e =. In een lijnkleuring van een graaf vormen de lijnen met dezelfde kleur een matching. Voorbeeld In elk van de onderstaande grafen vormen de blauwe lijnen een matching. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
39 Lemma Als M en N twee matchings zijn in een graaf G = (V, E), dan is elke component van de graaf (V, M N) een pad of een even circuit. Voorbeeld De lijnen van de blauwe en rode matching vormen een pad en een even circuit. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
40 Lemma Als M en N twee disjuncte matchings zijn in een graaf G = (V, E) en M > N, dan bestaan er disjuncte matchings M en N in G met Gevolg (Opgave 2.50) M N =M N M = M 1 N = N + 1 Als χ (G) k dan is er een k-lijnkleuring van G zodanig dat elke kleur hoogstens één keer vaker voorkomt dan elke andere kleur. Gevolg Als G = (V, E) bipartiet is en k (G), dan is er een k-lijnkleuring van G waarin elke kleur E E k of k maal voorkomt. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 en 13 februari / 40
2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Nadere informatieWeek 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.
Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen
Nadere informatieGrafen: Kleuren en Routeren
Grafen: Kleuren en Routeren door Alexander Schrijver. Inleiding Grafen.. Wat zijn grafen?.. Graden en reguliere grafen 5.. Volledige grafen 8.. Volledig bipartiete grafen 8.5. Complement 9.6. De lijngraaf
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica L(,1)-labeling van grafen Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Myrte klein Brink 4166140 Bachelor Wiskunde Dr.
Nadere informatieLijst-kleuringen in de grafentheorie
Lijst-kleuringen in de grafentheorie Berrie Bottelier 16 juli 2014 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Guus Regts 4 5 6 1 2 3 Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,
Nadere informatieDiscrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB136) Uitwerkingen proeftentamen.
Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB6) Uitwerkingen proeftentamen. Docent: Rob H. Bisseling april 202. Begin met een matching M = {x y, x y, x 6 y 6 } aangegeven door de vette lijnen. x De
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje
Nadere informatieRIPS Rechtlijnige Ingebedde Planaire Subgrafen
RADBOUD UNIVERSITEIT NIJMEGEN BACHELOR SCRIPTIE RIPS Rechtlijnige Ingebedde Planaire Subgrafen Auteur: Margot VAN HOEK Begeleider: Wieb BOSMA 2 e lezer: Maarten SOLLEVELD Ingeleverd aan de: Faculteit der
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde
Discrete Wiskunde (WB011C) 22 januari 2016 Tentamen Discrete Wiskunde Schrijf op ieder ingeleverd blad duidelijk leesbaar je naam en studentnummer. De opgaven 1 t/m 6 tellen alle even zwaar. Je hoeft slechts
Nadere informatieGrafen: Kleuren en Routeren
Grafen: Kleuren en Routeren door Alexander Schrijver. Inleiding Grafen.. Wat zijn grafen?.. Graden en reguliere grafen 5.. Volledige grafen 8.. Volledig bipartiete grafen 8.5. Complement 9.6. De lijngraaf
Nadere informatieDe probabilistische methode
De probabilistische methode Sui Yung Cheung 11 augustus 2008 Bachelorscriptie Begeleiding: Dr. D.C. Gijswijt KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit
Nadere informatieOnderwerpen. Punten en lijnen, postbodes en handelsreizigers. Theorie. Theorie (2) Graaftheorie. Een mini-inleiding graaftheorie
Onderwerpen Punten en lijnen, postbodes en handelsreizigers Een mini-inleiding graaftheorie Graaftheorie Herman Geuvers Euler en de postbode Radboud Universiteit Nijmegen 9 februari 2019 met dank aan Engelbert
Nadere informatieLege polygonen in een graaf.
Uitwerking puzzel 94-2 Lege polygonen in een graaf. Lieke de Rooij Wobien Doyer We hebben n punten die al of niet met elkaar worden verbonden. De bedoeling is om met zo min mogelijk lijnen (=verbindingen)
Nadere informatieWorkshop DisWis, De Start 13/06/2007 Bladzijde 1 van 7. Sudoku. Sudoku
DisWis DisWis is een lessenserie discrete wiskunde die De Praktijk vorig jaar in samenwerking met prof.dr. Alexander Schrijver heeft opgezet. Gedurende vier weken komt een wiskundestudent twee blokuren
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur
Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.
Nadere informatieDe huwelijksstelling van Hall
Thema Discrete wiskunde In de vorige twee afleveringen heb je al kennis kunnen maken met het begrip graaf en hoe grafen worden gebruikt door Google s zoekmachine en door de NS bij het maken van een optimale
Nadere informatieOpmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders!
Grafen Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! 1. Inleiding Een (ongerichte) graaf (graph) G = (V, E) bestaat uit een eindige, nietlege verzameling V van punten (vertices),
Nadere informatieFormeel Denken. Herfst Contents. 1 Combinatoriek 1
Formeel Denken Herman Geuvers Deels gebaseerd op het herfst 00 dictaat van Henk Barendregt en Bas Spitters, met dank aan het Discrete Wiskunde dictaat van Wim Gielen Herfst 004 Contents 1 Combinatoriek
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der natuurwetenschappen, wiskunde en informatica juli 07 Matchingtheorie op grafen Jorrit Bastings S6556 Begeleider: Wieb Bosma Inhoudsopgave Het huwelijksprobleem
Nadere informatiePlanaire en toroïdale grafen. Gerjan Hebbink
Planaire en toroïdale grafen Gerjan Hebbink Planaire en toroïdale grafen Gerjan Hebbink 0716189 Bachelor wiskunde Radboud Universiteit Nijmegen Begeleid door Dr. Wieb Bosma 2 e lezer: Dr. Wim Veldman
Nadere informatieHet Chromatische Polynoom. N.C. A Campo
Het Chromatische Polynoom N.C. A Campo 1 juli 01 Hoofdstuk 1 Inleiding Stel de universiteit wilt nog meer maatregelen zodat men sneller gaat studeren en vraagt de netwerkbeheerder om het sociale media
Nadere informatiePlanaire representaties van grafen op gesloten oppervlakken
Bachelorscriptie Wiskunde Planaire representaties van grafen op gesloten oppervlakken Vincent Roovers s4234065 Begeleider: W. Bosma Tweede lezer: H. Don 30 november 2018 Inhoudsopgave 1 Introductie 2 2
Nadere informatieV el v'akk n kl ure. door Dion Gijswijt
door Dion Gijswijt V el v'akk n kl ure Stel, je wilt de zijvlakken van een veelvlak kleuren, en wel zo dat aangrenzende veelvlakken verschillende kleur krijgen. Hoeveel kleuren heb je dan minimaal nodig?
Nadere informatiel e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Nadere informatiewerkschrift driehoeken
werkschrift driehoeken 1 hoeken 11 Rangschik de hoeken van klein naar groot. 14 b Teken een lijn l met daarop een punt A. Teken met je geodriehoek een lijn die l loodrecht snijdt in A. c Kies een punt
Nadere informatieGrafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.
Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee
Nadere informatieGrafen deel 2 8/9. Zesde college
Grafen deel 2 8/9 Zesde college 1 Een Eulercircuit is een gesloten wandeling die elke lijn precies één keer bevat. traversable trail all edges distinct 8.5 rondwandeling zeven bruggenprobleem van Köningsbergen
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren
Nadere informatie6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2
Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS HAVO 17.1 INTRO 1 b c 6 A: 6 1 5 1 4 = 6 m B: 6 1 4 4 = 0 m C: 6 1 3 3 4 = 18 m D: 0 m E: 6 m 7 a A:, cm B: 5,0 cm C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieHoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren
Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:
Nadere informatieBegrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme
Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten
Nadere informatie3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden.
Antwoorden Doeboek 4 Grafen.. De middelste en de rechtergraaf.. Een onsamenhangende graaf met vijf punten en vijf lijnen: Teken een vierhoek met één diagonaal. Het vijfde punt is niet verbonden met een
Nadere informatieIMO-selectietoets I donderdag 7 juni 2018
IMO-selectietoets I donderdag 7 juni 018 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Gegeven is een bord met m rijen en n kolommen, waarbij m en n positieve gehele getallen zijn. Je mag
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2016 2017, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieUitwerkingen Sum of Us
Instant Insanity Uitwerkingen Sum of Us Opgave A: - Opgave B: Voor elk van de vier kubussen kun je een graaf maken die correspondeert met de desbetreffende kubus. Elk van deze grafen bevat drie lijnen.
Nadere informatied = 8 cm 2 6 A: = 26 m 2 B: = 20 m 2 C: = 18 m 2 D: 20 m 2 E: 26 m 2
H17 PYTHAGORAS 17.1 INTRO 1 b c d 1 4 4 = 8 cm 6 A: 6 1 5 1 4 = 6 m B: 6 1 4 4 = 0 m C: 6 1 3 3 4 = 18 m D: 0 m E: 6 m 7 a A:, cm B: 5,0 cm C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 3 1,731 5,361 π 3,116 1 Als a 1 3 a 1 3 a m = a met a R + \{0, 1}, dan
Nadere informatieDe Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten
januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand
Nadere informatiede Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1
Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS VWO 17.0 INTRO 1 b C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 en 4 cm is. Dus alle vier de zijden
Nadere informatieHoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden
Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:
Nadere informatieHoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales
Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales - 127 1. Projectie op een rechte (boek pag 175) x en y zijn twee... rechten. We trekken door het punt A een evenwijdige rechte met de rechte y en noemen het
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij
Nadere informatieVeelvlakken kleuren. Dion Gijswijt
Stel, je wilt de zijvlakken van een veelvlak kleuren, en wel zo dat aangrenzende veelvlakken verschillende kleur krijgen. Hoeveel kleuren heb je dan minimaal nodig? Veelvlakken kleuren Dion Gijswijt De
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 2011-2012: eerste ronde 1.Xavieris51,Yvette39enZander60.Watishungemiddeldeleeftijd? (A) 45 (B) 49 (C) 50 (D) 51 (E) 55 2.Vantweenatuurlijkegetallenmennismevenennoneven.Welkvanvolgendegetallen
Nadere informatie(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis
Nadere informatiewizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan
www.zwijsen.nl www.e-nemo.nl 21 maart 2013 www.education.ti.com Veel succes en vooral veel plezier.!! Stichting Wiskunde Kangoeroe www.smart.be www.rekenzeker.nl www.sanderspuzzelboeken.nl www.schoolsupport.nl
Nadere informatieDe stelling van Borsuk. Auteurs: Michiel Tel en Merlijn Koek
De stelling van Borsuk Auteurs: Michiel Tel en Merlijn Koek 18 juni 2011 1 Inleiding (Wat is het vermoeden van Borsuk?) De Poolse wiskundige Karol Borsuk stelde in de jaren dertig de volgende vraag; Hierna
Nadere informatieHeron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule
Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in
Nadere informatieMeetkundige Ongelijkheden Groep 2
Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus
Nadere informatieDiophantische vergelijkingen in het kerstpakket
Diophantische vergelijkingen in het kerstpakket Benne de Weger b.m.m.d.weger@tue.nl Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven versie.0, 3 december 00 De TU/e viert een feestje
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatie2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.
1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen
Nadere informatie12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]
12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde
Nadere informatieFormeel Denken 2013 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 201 Uitwerkingen Tentamen (29/01/1) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Het is koud, maar er ligt
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 12 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober 2016 1 / 31 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft
Nadere informatieToewijzingsprobleem Bachelorscriptie
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Toewijzingsprobleem Bachelorscriptie Auteur: Veronique Rademaekers (s4155718) Begeleiders: Dr. W. Bosma en dr. H.
Nadere informatieAardse Stellingen met hemelse bewijzen en Stellingen om van te smullen met (on)verteerbare bewijzen. Zaterdag 16 februari 2019
Aardse Stellingen met hemelse bewijzen en Stellingen om van te smullen met (on)verteerbare bewijzen Zaterdag 16 februari 2019 Deze presentatie is gegroeid uit mijn jaarlijkse les over, Abstraheren en Structureren
Nadere informatieSelectietoets vrijdag 10 maart 2017
Selectietoets vrijdag 10 maart 2017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een even positief geheel getal. Een rijtje van n reële getallen noemen we volledig als voor elke gehele
Nadere informatieSTELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie
STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs
Nadere informatieLijstkleuring van grafen
C.J. Meerman Lijstkleuring van grafen Bachelorscriptie 10 juni 2010 Email: cjmeerman@gmail.com Scriptiebegeleider: Dr. D. C. Gijswijt Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding
Nadere informatieUitwerkingen toets 18 maart 2011
Uitwerkingen toets 8 maart 20 Opgave. Alle positieve gehele getallen worden rood of groen gekleurd, zodat aan de volgende voorwaarden wordt voldaan: Er zijn zowel rode als groene getallen. De som van drie
Nadere informatieFormeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen (29/01/15) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Als het regent word ik
Nadere informatiediswis 1 Inhoudsopgave 1 Inhoudsopgave
diswis Inhoudsopgave Inhoudsopgave Inhoudsopgave... 2 Colofon...2 3 Sudoku s, Roosterpuzzels en Grafen...3 4 Wandelingen, Samenhang en Graden... 5 Euler-grafen en het Koningsberger Bruggenprobleem... 7
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieBewijs door inductie
Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2012 2013, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieuuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur
4 Van D naar 3D Verkennen Van D naar 3D Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Met de rechter muisknop kun je het assenstelsel om de oorsprong draaien en de fig van alle kanten bekijken. Beantwoord nu de
Nadere informatieEen combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010
Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt
Nadere informatie16.2 TREK AF VAN. Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO. 8 a 16.0 INTRO. 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3
Hoofdstuk 6 HAAKJES VWO 6.0 INTRO 6. TREK AF VAN 8 a b De uitkomsten zijn allemaal. c (n + )(n ) (n + )(n ) = d - - = -0,75 -,75 = b De uitkomsten zijn allemaal. c n + (n + ) (n + ) = + 6 4 4 = 6 4 = d
Nadere informatieOntwerp van Algoritmen: opgaven weken 3 en 4
0 Ontwerp van Algoritmen: opgaven weken 3 en 4 Voor alle volgende opgaven over programmaatjes geldt de spelregel: formuleer altijd eerst alle bewijsverplichtingen. selectie 45. (tail distribution)(prima
Nadere informatieVlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig
Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994-1995 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een
Nadere informatiePermutoëders en Hamiltoniaanse paden
Permutoëders en Hamiltoniaanse paden Daniel von Asmuth Inleiding Samenvatting We bestuderen het plain changes algoritme met behulp van geometrie en grafentheorie. Waarschuwing 1. Dit is een vlottend document
Nadere informatieUitwerkingen toets 8 juni 2011
Uitwerkingen toets 8 juni 0 Opgave. Vind alle paren (x, y) van gehele getallen die voldoen aan x + y + 3 3 456 x y. Oplossing. Omdat links een geheel getal staat, moet rechts ook een geheel getal staan.
Nadere informatieVoorbeeldexamen Wiskunde B Havo
Voorbeeldexamen Wiskunde B Havo Datum: Tijd: 13:00-16:00 Aantal opgaven: 6 Aantal subvragen: 18 Totaal aantal punten: 67 ) Zet uw naam op alle blaadjes die u inlevert. ) Laat bij iedere opgave door middel
Nadere informatieTentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312
Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Je mag de syllabus en aantekeningen gebruiken, maar geen rekenmachine. Je mag opgaven 2.46, 2.49 en 8.13
Nadere informatieDe constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatieCEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus
CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...
Nadere informatieAntwoordmodel - Vlakke figuren
Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.
Nadere informatieVlakke meetkunde en geogebra
Vlakke meetkunde en geogebra Open de geogebra-app. Kies het algebra- en tekenvenster. Aan de linkerkant zie je het algebravenster en rechts daarvan het tekenvenster met een x-as en een y-as. Om een rooster
Nadere informatieIMO-selectietoets I vrijdag 6 juni 2014
IMO-selectietoets I vrijdag 6 juni 04 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave. Bepaal alle paren (a, b) van positieve gehele getallen waarvoor a + b a b + a en b a ab + b. Oplossing.
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 september 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 september 2015 1 / 23 Huiswerk Huiswerk 1 is beschikbaar op
Nadere informatie8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden
8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] 1 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk.
Nadere informatie4 A: = 10 B: 4 C: 8 D: 8
Hoofdstuk OPPERVLAKTE VWO 0 INTRO A: + 6 = 0 B: C: 8 D: 8 DE OPPERVLAKTE VAN EEN PARALLELLOGRAM Als voorbeeld de oppervlakte van D: De donkerblauwe rechthoek heeft oppervlakte 5 = 0 Daar gaan twee halve
Nadere informatieV = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.
WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 14 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september 2016 1 / 30 Modelleren van LP en ILP problemen
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatie