TW2020 Optimalisering
|
|
- Jasper Sanders
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
2 Volgende week: Study guide Vragenuurtje Stuur vragen of suggesties per Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
3 Vorige keer: Voor NP-moeilijke problemen bestaan waarschijnlijk geen polynomiale algoritmes Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
4 Vorige keer: Voor NP-moeilijke problemen bestaan waarschijnlijk geen polynomiale algoritmes die een optimale oplossing vinden. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
5 Vorige keer: Voor NP-moeilijke problemen bestaan waarschijnlijk geen polynomiale algoritmes die een optimale oplossing vinden. Deze week: Kunnen we voor zulke problemen wel een goede oplossing vinden in polynomiale tijd? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
6 Stel (de beslissingsvariant van) een optimaliseringsprobleem is NP-moeilijk. Wat kunnen we doen? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
7 Stel (de beslissingsvariant van) een optimaliseringsprobleem is NP-moeilijk. Wat kunnen we doen? 1 Het probleem optimaal oplossen in exponentiële tijd (bijvoorbeeld Branch & Bound). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
8 Stel (de beslissingsvariant van) een optimaliseringsprobleem is NP-moeilijk. Wat kunnen we doen? 1 Het probleem optimaal oplossen in exponentiële tijd (bijvoorbeeld Branch & Bound). 2 Benaderen in polynomiale tijd met kwaliteitsgarantie: approximatiealgoritmes (benaderingsalgoritmes). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
9 Stel (de beslissingsvariant van) een optimaliseringsprobleem is NP-moeilijk. Wat kunnen we doen? 1 Het probleem optimaal oplossen in exponentiële tijd (bijvoorbeeld Branch & Bound). 2 Benaderen in polynomiale tijd met kwaliteitsgarantie: approximatiealgoritmes (benaderingsalgoritmes). 3 Benaderen zonder kwaliteitsgarantie: heuristieken. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
10 Stel (de beslissingsvariant van) een optimaliseringsprobleem is NP-moeilijk. Wat kunnen we doen? 1 Het probleem optimaal oplossen in exponentiële tijd (bijvoorbeeld Branch & Bound). 2 Benaderen in polynomiale tijd met kwaliteitsgarantie: approximatiealgoritmes (benaderingsalgoritmes). 3 Benaderen zonder kwaliteitsgarantie: heuristieken. Vandaag kijken we naar de 2 e optie. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
11 Definitie Een ρ-approximatiealgoritme (approximation algorithm) voor een optimaliseringsprobleem P is een algoritme dat voor iedere instantie I van P een oplossing produceert in polynomiale tijd, z.d.d. ALG(I ) ρ OPT (I ) ALG(I ) ρ OPT (I ) als P een minimaliseringsprobleem is als P een maximaliseringsprobleem is. Met: ALG(I ) de waarde van de oplossing geproduceerd door het algoritme voor instantie I. OPT (I ) de waarde van een optimale oplossing voor instantie I. ρ de prestatiegarantie of approximation ratio. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
12 Definitie Een vertex cover in een graaf G = (V, E) is een verzameling punten die alle lijnen raakt. Voorbeeld Vind een zo klein mogelijke vertex cover in elk van de onderstaande grafen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
13 Probleem Vertex Cover Gegeven: G = (V, E). Vind: een vertex cover van G met een minimum aantal punten. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
14 Probleem Vertex Cover Gegeven: G = (V, E). Vind: een vertex cover van G met een minimum aantal punten. Greedy algoritme voor Vertex Cover: 1 C := 2 Kies een punt v met zo hoog mogelijke graad. 3 Voeg v toe aan C. 4 Verwijder v en alle aangrenzende lijnen uit de graaf. 5 Herhaal stappen 2-4 totdat er geen lijnen meer over zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
15 Probleem Vertex Cover Gegeven: G = (V, E). Vind: een vertex cover van G met een minimum aantal punten. Greedy algoritme voor Vertex Cover: 1 C := 2 Kies een punt v met zo hoog mogelijke graad. 3 Voeg v toe aan C. 4 Verwijder v en alle aangrenzende lijnen uit de graaf. 5 Herhaal stappen 2-4 totdat er geen lijnen meer over zijn. Dan is C een vertex cover. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
16 Probleem Vertex Cover Gegeven: G = (V, E). Vind: een vertex cover van G met een minimum aantal punten. Greedy algoritme voor Vertex Cover: 1 C := 2 Kies een punt v met zo hoog mogelijke graad. 3 Voeg v toe aan C. 4 Verwijder v en alle aangrenzende lijnen uit de graaf. 5 Herhaal stappen 2-4 totdat er geen lijnen meer over zijn. Dan is C een vertex cover. Vraag Is het greedy algoritme een goed of een slecht benaderingsalgoritme? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
17 Beschouw een bipartiete graaf G = (U W, E) met U = n, W = W 1 W 2... W n, W 1 = n, W 2 = n 2, W 3 = n 3,..., W n = n n = 1. Zodanig dat elk punt in W i verbonden is met i punten in U en elk punt in U verbonden is met hoogstens 1 punt in W i. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
18 Beschouw een bipartiete graaf G = (U W, E) met U = n, W = W 1 W 2... W n, W 1 = n, W 2 = n 2, W 3 = n 3,..., W n = n n = 1. Zodanig dat elk punt in W i verbonden is met i punten in U en elk punt in U verbonden is met hoogstens 1 punt in W i. U W W 1 W 2 W 3 W 4 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
19 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Merk op: d(u) n d(w) = i u U w W i Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
20 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Merk op: d(u) n d(w) = i u U w W i Het greedy algoritme kiest een willekeurig punt met maximum graad, dus kan het punt in W n (in dit geval W 4 ) kiezen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
21 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Nu is: d(u) n 1 d(w) = i u U w W i Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
22 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Nu is: d(u) n 1 d(w) = i u U w W i Het greedy algoritme kiest een willekeurig punt met maximum graad, dus kan het punt in W n 1 (in dit geval W 3 ) kiezen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
23 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Nu is: d(u) n 2 d(w) = i u U w W i Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
24 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Nu is: d(u) n 2 d(w) = i u U w W i Het greedy algoritme kiest steeds een willekeurig punt met maximum graad, dus kan de punten in W n 2 (in dit geval W 2 ) kiezen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
25 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Nu is: d(u) n 3 d(w) = i u U w W i Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
26 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Nu is: d(u) n 3 d(w) = i u U w W i Het greedy algoritme kiest steeds een willekeurig punt met maximum graad, dus kan de punten in W n 3 (in dit geval W 1 ) kiezen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
27 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Uiteindelijk worden alle punten in W gekozen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
28 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Uiteindelijk worden alle punten in W gekozen. Dus vindt het algoritme een vertex cover met grootte: W = n + n 2 + n n n n ln(n) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
29 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Uiteindelijk worden alle punten in W gekozen. Dus vindt het algoritme een vertex cover met grootte: W = n + n 2 + n n n n ln(n) Hoe groot is een kleinste vertex cover in deze graaf? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
30 Dus voor deze klasse van instanties geldt: en dus ρ ln(n). ALG OPT n ln(n) = ln(n) n Het greedy algoritme is een heel slecht benaderingsalgoritme, want het heeft geen constante prestatiegarantie. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
31 Kunnen we een LP-relaxatie gebruiken om Vertex Cover te benaderen? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
32 Kunnen we een LP-relaxatie gebruiken om Vertex Cover te benaderen? Beslissingsvariabelen: { 1 als punt v in de vertex cover zit x v = 0 anders Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
33 Kunnen we een LP-relaxatie gebruiken om Vertex Cover te benaderen? Beslissingsvariabelen: { 1 als punt v in de vertex cover zit x v = 0 anders Beschouw de gewogen versie van Vertex Cover, met een gewicht c v 0 voor elk punt v V. ILP formulering: z IP = min c v x v v V o.d.v. x u + x v 1 e = {u, v} E x v {0, 1} v V Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
34 LP relaxatie: z LP = min c v x v v V o.d.v. x u + x v 1 e = {u, v} E x v 1 v V (niet nodig want c v 0) x v 0 v V Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
35 LP relaxatie: z LP = min c v x v v V o.d.v. x u + x v 1 e = {u, v} E x v 1 v V (niet nodig want c v 0) x v 0 v V Een afrondalgoritme: 1 Los de LP-relaxatie op. Laat x de gevonden optimale oplossing zijn. 2 Dan is C := {v V xv 1 2 } een vertex cover. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
36 LP relaxatie: z LP = min c v x v v V o.d.v. x u + x v 1 e = {u, v} E x v 1 v V (niet nodig want c v 0) x v 0 v V Een afrondalgoritme: 1 Los de LP-relaxatie op. Laat x de gevonden optimale oplossing zijn. 2 Dan is C := {v V xv 1 2 } een vertex cover. Stelling Het afrondalgoritme is een 2-approximatiealgoritme voor Vertex Cover. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
37 Voorbeeld Vind een vertex cover in de onderstaande graaf met behulp van het afrondalgoritme. Hoe groot is een kleinste vertex cover? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
38 Simpeler 2-approximatiealgoritme voor ongewogen Vertex Cover: 1 C := 2 Kies een willekeurige lijn e = {u, v}. 3 Voeg u en v toe aan C. 4 Verwijder u, v en alle aangrenzende lijnen uit de graaf. 5 Herhaal stappen 2-4 totdat er geen lijnen meer over zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
39 Simpeler 2-approximatiealgoritme voor ongewogen Vertex Cover: 1 C := 2 Kies een willekeurige lijn e = {u, v}. 3 Voeg u en v toe aan C. 4 Verwijder u, v en alle aangrenzende lijnen uit de graaf. 5 Herhaal stappen 2-4 totdat er geen lijnen meer over zijn. Stelling Het bovenstaande algoritme is een 2-approximatiealgoritme voor Vertex Cover. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
40 Voorbeeld Hoe groot is een vertex cover gevonden door het simpelere 2-approximatiealgoritme in de onderstaande graaf, hoe groot is een kleinste vertex cover? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
41 Probleem Symmetrisch handelsreizigersprobleem (TSP) Gegeven: een volledige graaf G = (V, E), een lengte d e voor elke lijn e E; Gevraagd: een Hamilton circuit C in G waarvoor e C d e minimaal is. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
42 Probleem Symmetrisch handelsreizigersprobleem (TSP) Gegeven: een volledige graaf G = (V, E), een lengte d e voor elke lijn e E; Gevraagd: een Hamilton circuit C in G waarvoor e C d e minimaal is. Stelling Er bestaat geen ρ-approximatiealgoritme voor TSP met ρ een constante tenzij P = NP. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
43 Probleem Symmetrisch handelsreizigersprobleem (TSP) Gegeven: een volledige graaf G = (V, E), een lengte d e voor elke lijn e E; Gevraagd: een Hamilton circuit C in G waarvoor e C d e minimaal is. Stelling Er bestaat geen ρ-approximatiealgoritme voor TSP met ρ een constante tenzij P = NP. Bewijs (idee) Een ρ-approximatiealgoritme voor TSP zou gebruikt kunnen worden om te beslissen of er een Hamilton Circuit bestaat in een graaf, en dit probleem is NP-volledig. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
44 Vraag Kunnen we wel een approximatiealgoritme vinden voor speciale gevallen van TSP? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
45 Vraag Kunnen we wel een approximatiealgoritme vinden voor speciale gevallen van TSP? Laat d uv := d {u,v}, de afstand van de lijn tussen punt u en punt v. Definitie De afstanden voldoen aan de driehoeksongelijkheid als d uv d uw + d wv u, v, w V Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
46 Vraag Kunnen we wel een approximatiealgoritme vinden voor speciale gevallen van TSP? Laat d uv := d {u,v}, de afstand van de lijn tussen punt u en punt v. Definitie De afstanden voldoen aan de driehoeksongelijkheid als d uv d uw + d wv u, v, w V Definitie TSP, de driehoeksongelijkheidsversie van TSP, is het TSP probleem beperkt tot afstanden die voldoen aan de driehoeksongelijkheid. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
47 Vraag Kunnen we wel een approximatiealgoritme vinden voor speciale gevallen van TSP? Laat d uv := d {u,v}, de afstand van de lijn tussen punt u en punt v. Definitie De afstanden voldoen aan de driehoeksongelijkheid als d uv d uw + d wv u, v, w V Definitie TSP, de driehoeksongelijkheidsversie van TSP, is het TSP probleem beperkt tot afstanden die voldoen aan de driehoeksongelijkheid. TSP is NP-volledig. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
48 Een multigraaf is een graaf waarin paralelle lijnen zijn toegestaan (meerdere lijnen tussen hetzelfde paar punten). Definitie Een Euler tour in een multigraaf is een gesloten wandeling waarin elk punt tenminste één keer voorkomt en elke lijn precies één keer voorkomt. Als er een Euler tour bestaat in een multigraaf G dan heet G Euleriaans. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
49 Bruggen van Königsberg (1736) Kun je elke brug precies één keer oversteken en bij je beginpunt uitkomen? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
50 Stelling (Euler) Een multigraaf G is Euleriaans dan en slechts dan als G samenhangend is en de graad van elk punt van G even is. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
51 Stelling (Euler) Een multigraaf G is Euleriaans dan en slechts dan als G samenhangend is en de graad van elk punt van G even is. Voorbeeld Is de onderstaande graaf Euleriaans? Zo ja, vind een Euler tour. u v w x a b z y Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
52 Boomalgoritme voor TSP in een (volledige) graaf G met afstanden voor de lijnen: 1 Vind een minimum opspannende boom T in G. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
53 Boomalgoritme voor TSP in een (volledige) graaf G met afstanden voor de lijnen: 1 Vind een minimum opspannende boom T in G. 2 Verdubbel de lijnen in T. Dit geeft een Euleriaanse multigraaf. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
54 Boomalgoritme voor TSP in een (volledige) graaf G met afstanden voor de lijnen: 1 Vind een minimum opspannende boom T in G. 2 Verdubbel de lijnen in T. Dit geeft een Euleriaanse multigraaf. 3 Vind een Euler tour in deze multigraaf. Volg de wandeling maar sla punten over als ze al bezocht zijn. Dit geeft een TSP tour. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
55 Boomalgoritme voor TSP in een (volledige) graaf G met afstanden voor de lijnen: 1 Vind een minimum opspannende boom T in G. 2 Verdubbel de lijnen in T. Dit geeft een Euleriaanse multigraaf. 3 Vind een Euler tour in deze multigraaf. Volg de wandeling maar sla punten over als ze al bezocht zijn. Dit geeft een TSP tour. Stelling Het boomalgoritme is een 2-approximatiealgoritme voor TSP. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25
Hoofdstuk 17: Approximation Algorithms
Hoofdstuk 17: Approximation Algorithms Overzicht: Vorige week: Π NP-volledig Π waarschijnlijk niet polynomiaal oplosbaar 2 opties: 1 Optimaal oplossen, niet in polynomiale tijd (B&B, Cutting planes) 2
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen
Nadere informatieBenaderingsalgoritmen
Benaderingsalgoritmen Eerste hulp bij NP-moeilijkheid 1 Herhaling NP-volledigheid (1) NP: er is een polynomiaal certificaat voor jainstanties dat in polynomiale tijd te controleren is Een probleem A is
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet
Nadere informatiel e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Nadere informatieSamenvatting college 1-12
Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
Nadere informatieHeuristieken en benaderingsalgoritmen. Algoritmiek
Heuristieken en benaderingsalgoritmen Wat te doen met `moeilijke optimaliseringsproblemen? Voor veel problemen, o.a. optimaliseringsproblemen is geen algoritme bekend dat het probleem voor alle inputs
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 12 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober 2016 1 / 31 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
Nadere informatieTentamen combinatorische optimalisatie Tijd:
Tentamen combinatorische optimalisatie 26-05-2014. Tijd: 9.00-11.30 Tentamen is met gesloten boek. Beschrijf bij elke opgave steeds het belangrijkste idee. Notatie en exacte formulering is van minder belang.
Nadere informatieOptimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie
Nadere informatieOptimalisering/Besliskunde 1. College 1 6 september, 2012
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 6 september, 2012 Algemene informatie College: donderdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft vragenuur Delft Vier verplichte huiswerkopgaven
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 14 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september 2016 1 / 30 Modelleren van LP en ILP problemen
Nadere informatieOverzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search
Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42
Nadere informatieHoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren
Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 6 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 19 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 19 oktober 2016 1 / 20 Deze week Primal-Dual algoritmes voor:
Nadere informatieFundamentele Informatica
Fundamentele Informatica (IN3120 en IN3005 DOI nwe stijl) 20 augustus 2004, 9.00 11.00 uur Het tentamen IN3120 bestaat uit 10 meerkeuzevragen en 2 open vragen. Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal 65
Nadere informatieBranch-and-Bound en Cutting Planes
Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme
Nadere informatieTentamen IN3105. Complexiteitstheorie. 16 april 2012, uur
Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Ti Delft Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 16 april 2012, 9.00-12.00 uur Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open
Nadere informatieElke gelijkenis met bestaande gebeurtenissen en/of personen berust op louter toeval.
Leo is een hevige fan van het Belgisch voetbal. Behalve een vurige fan van Blauw Zwart, is hij ook geïnteresseerd in de voetbaltempels van de eersteklassevoetbalclubs. Daarom wil hij, samen met zijn kameraad
Nadere informatieOnderwerpen. Punten en lijnen, postbodes en handelsreizigers. Theorie. Theorie (2) Graaftheorie. Een mini-inleiding graaftheorie
Onderwerpen Punten en lijnen, postbodes en handelsreizigers Een mini-inleiding graaftheorie Graaftheorie Herman Geuvers Euler en de postbode Radboud Universiteit Nijmegen 9 februari 2019 met dank aan Engelbert
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 september 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 september 2015 1 / 23 Huiswerk Huiswerk 1 is beschikbaar op
Nadere informatieOptimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden
Nadere informatieWeek 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.
Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten
Nadere informatieDiscrete Wiskunde, College 12. Han Hoogeveen, Utrecht University
Discrete Wiskunde, College 12 Han Hoogeveen, Utrecht University Dynamische programmering Het basisidee is dat je het probleem stap voor stap oplost Het probleem moet voldoen aan het optimaliteitsprincipe
Nadere informatieGrafen deel 2 8/9. Zesde college
Grafen deel 2 8/9 Zesde college 1 Een Eulercircuit is een gesloten wandeling die elke lijn precies één keer bevat. traversable trail all edges distinct 8.5 rondwandeling zeven bruggenprobleem van Köningsbergen
Nadere informatieA.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).
64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten
Nadere informatie1 Complexiteit. of benadering en snel
1 Complexiteit Het college van vandaag gaat over complexiteit van algoritmes. In het boek hoort hier hoofdstuk 8.1-8.5 bij. Bij complexiteitstheorie is de belangrijkste kernvraag: Hoe goed is een algoritme?
Nadere informatieTiende college algoritmiek. 2 mei Gretige algoritmen, Dijkstra
College 10 Tiende college algoritmiek mei 013 Gretige algoritmen, Dijkstra 1 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag van n (n 0) eurocent. Alle
Nadere informatieUitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari
Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari 2007. (a) De buitenste for-lus kent N = 5 iteraties. Na iedere iteratie ziet de rij getallen er als volgt uit: i rij na i e iteratie 2 5 4 6 2 2 4
Nadere informatieNetwerkstroming. Algoritmiek
Netwerkstroming Netwerkstroming Toepassingen in Logistiek Video-streaming Subroutine in algoritmen 2 Vandaag Netwerkstroming: wat was dat ook alweer? Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp
Nadere informatie(On)Doenlijke problemen
Fundamentele Informatica In3 005 Deel 2 College 1 Cees Witteveen Parallelle en Gedistribueerde Systemen Faculteit Informatie Technologie en Systemen Overzicht Inleiding - Relatie Deel 1 en Deel 2 - Doenlijke
Nadere informatieOpdracht 3: De volhardende voetbalfan
Opdracht 3: De volhardende voetbalfan Philippe Cara π-dag 2018 De volhardende voetbalfan Leo en Lambik willen de 16 voetbalstadions van onze eerste klasse bezoeken. Leo wil dat doen via een optimale rondrit
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede kandidatuur Informatica Academiejaar 2004 2005, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Binomiale
Nadere informatieOptimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend
Nadere informatieOptimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk
Nadere informatieTiende college algoritmiek. 14 april Gretige algoritmen
College 10 Tiende college algoritmiek 1 april 011 Gretige algoritmen 1 Greedy algorithms Greed = hebzucht Voor oplossen van optimalisatieproblemen Oplossing wordt stap voor stap opgebouwd In elke stap
Nadere informatieGrafen. Grafen, toppen en bogen
Grafen Het zijn configuraties van knoppen en verbindingen, waar we de knoppen toppen noemen en de verbindingen tussen 2 toppen noemen we een boog. Toppen en bogen kunnen bijkomende attributen hebben, zoals
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 20 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Nadere informatieTiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen
Algoritmiek 01/10 College 10 Tiende college algoritmiek april 01 Gretige algoritmen 1 Algoritmiek 01/10 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag
Nadere informatieElfde college complexiteit. 23 april NP-volledigheid III
college 11 Elfde college complexiteit 23 april 2019 NP-volledigheid III 1 TSP Als voorbeeld bekijken we het Travelling Salesman/person Problem, ofwel het Handelsreizigersprobleem TSP. Hiervoor geldt: TSP
Nadere informatieLocal search. Han Hoogeveen CGN A februari, 2009
1 Local search Han Hoogeveen CGN A312 j.a.hoogeveen@cs.uu.nl www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/colleges.html 4 februari, 2009 2 Inhoud vandaag In totaal vier uur Slides staan al op het web www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/colleges.html
Nadere informatieTiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra
Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Tiende college algoritmiek 13/1 april 017 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten
Nadere informatieOptimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend
Nadere informatie3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden.
Antwoorden Doeboek 4 Grafen.. De middelste en de rechtergraaf.. Een onsamenhangende graaf met vijf punten en vijf lijnen: Teken een vierhoek met één diagonaal. Het vijfde punt is niet verbonden met een
Nadere informatieV = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.
WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,
Nadere informatieLocal search. Han Hoogeveen. 21 november, 2011
1 Local search Han Hoogeveen 21 november, 2011 Inhoud vandaag 2 Inhoud: Uitleg methode Bespreking oude opdrachten: ˆ Bezorgen wenskaarten ˆ Roosteren tentamens Slides staan al op het web www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/colleges.html
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur
Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.
Nadere informatieHet Chinese Postbode Probleem. Marene Dimmendaal s
Het Chinese Postbode Probleem Marene Dimmendaal s4419553 Nijmegen 2018 Het Chinese Postbode Probleem Marene Dimmendaal s4419553 Bachelorscriptie Wiskunde aan de Radboud Universiteit te Nijmegen Geschreven
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren
Nadere informatieGrafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.
Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee
Nadere informatieHebzucht loont niet altijd
Thema Discrete wiskunde Hoe verbind je een stel steden met zo weinig mogelijk kilometers asfalt? Hoe maak je een optimaal computernetwerk met kabels die maar een beperkte capaciteit hebben? Veel van zulke
Nadere informatieMinimum Opspannende Bomen. Algoritmiek
Minimum Opspannende Bomen Inhoud Het minimum opspannende bomen probleem Een principe om een minimum opspannende boom te laten groeien Twee greedy algoritmen + tijd en datastructuren: Het algoritme van
Nadere informatieKortste Paden. Algoritmiek
Kortste Paden Toepassingen Kevin Bacon getal Six degrees of separation Heeft een netwerk de small-world eigenschap? TomTom / Google Maps 2 Kortste paden Gerichte graaf G=(N,A), en een lengte L(v,w) voor
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:
Nadere informatieMinimum Spanning Tree
Minimum Spanning Tree Wat is MST? Minimum spanning tree De meest efficiënte manier vinden om een verbonden netwerk op te bouwen Wat is een tree/boom? Graaf G: een verzameling knopen (vertices): V een verzameling
Nadere informatieTiende college algoritmiek. 4 mei Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra
Tiende college algoritmiek mei 018 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag van n (n 0) eurocent. Alle
Nadere informatieTentamen IN3105 Complexiteitstheorie
Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 31 maart, 9.00 12.00 uur - Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open vragen. - Per meerkeuzevraag kunnen 0 tot 4 alternatieven juist
Nadere informatieAlgoritmen aan het werk
Algoritmen aan het werk (Dag van de wiskunde 24/11/2018) Veerle Fack Universiteit Gent De bevers en de brug Vier bevers willen in het donker een brug oversteken. Ze kunnen de brug slechts alleen of met
Nadere informatieBegrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme
Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten
Nadere informatieNP-volledigheid. Algoritmiek
NP-volledigheid Polynomiale algoritmen of moeilijke problemen? Algoritme A is polynomiaal, als er een constante c bestaat, zodat het algoritme bij inputs van formaat n O(n c ) tijd gebruikt. Sommige problemen
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten
Nadere informatieTwaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST
College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken
Nadere informatiel e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Nadere informatieGrafen deel 2 8/9. Zevende college
Grafen deel 2 8/9 Zevende college 1 H8: ongerichte graaf Een graaf G = G(V,E) = (V,E) bestaat uit twee (eindige) verzamelingen: V knopen (punten; vertices,nodes,points) E lijnen (takken,zijden,kanten,bogen;edges)
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur.
Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, 9.00-12.00 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf
Nadere informatieToewijzingsprobleem Bachelorscriptie
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Toewijzingsprobleem Bachelorscriptie Auteur: Veronique Rademaekers (s4155718) Begeleiders: Dr. W. Bosma en dr. H.
Nadere informatieOp zoek naar de Hamilton cykel. Mike Hoffmeister
Op zoek naar de Hamilton cykel Mike Hoffmeister June 29, 2010 Contents 1 Grafentheorie 2 1.1 Overige gebruikte definities..................... 3 2 De Hamilton Eigenschap 4 2.1 Voldoende en noodzakelijke
Nadere informatieINHOUD MODULE voor WISKUNDE D voor het vwo
INHOUD MODULE voor WISKUNDE D voor het vwo DISCRETE WISKUNDE Hoofdstuk 1 Minimaal opspannende bomen blz 2 Hoofdstuk 2 Kortste pad (nog toe te voegen) blz 14 Hoofdstuk 3 TSP-probleem blz 15 3.1 Inleiding
Nadere informatie2 beslissen in netwerken. Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken. versie 4 vrijdag 16 november 2007
eslissen beslissen in netwerken Wiskunde Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken versie vrijdag november 00 Samenstelling Jan ssers ism Kerngroep Wiskunde indhoven ontys voorkennis: optimaliseren.
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Departement Informatica
Universiteit Utrecht Departement Informatica Uitwerking Tussentoets Optimalisering 20 december 206 Opgave. Beschouw het volgende lineair programmeringsprobleem: (P) Minimaliseer z = x 2x 2 + x 3 2x 4 o.v.
Nadere informatie1.2 Bomen Algemeen 1.2. BOMEN 7
1.2. BOMEN 7 1.2 Bomen 1.2.1 Algemeen Beschouw eerst een niet-gerichte graaf. Een boom is een samenhangende graaf die geen kringen bevat. Een boom wordt meestal genoteerd met de letter T (tree). Een bos
Nadere informatieTransport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica L(,1)-labeling van grafen Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Myrte klein Brink 4166140 Bachelor Wiskunde Dr.
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke
Nadere informatieHoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit
Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Vandaag: Hoe meten we de performance van algoritmen? Waar ligt de grens tussen een goed en een slecht algoritme? 22 oktober 2014 1 Vandaag: Hoe meten we de performance
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, uur.
Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, 14.30-17.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2006 2007, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Verzamelingen:
Nadere informatieNP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi
NP-Volledigheid Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen Gezien: selectie [O(n)], DFS [O(n + m)], MaxFlow [O nm n + m ], MST [O(n + m)], etc De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 2. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 2 Han Hoogeveen, Utrecht University Inhoud vandaag Inhoud: Uitleg methode Bespreking oude opdracht: Bezorgen wenskaarten Slides staan al op het web www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/colleges.html
Nadere informatieTransshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013
Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 14. Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 14 Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch Han Hoogeveen, Utrecht University Branch-and-bound voor algemene ILPs (1) Neem even aan dat je een minimaliseringsprobleem
Nadere informatieExamen Discrete Wiskunde donderdag 12 april, 2018
Examen Discrete Wiskunde 2017-2018 donderdag 12 april, 2018 De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Gebruik hiervoor de ruimte onder de vraag; er is in principe genoeg
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger
Nadere informatieDe wiskunde achter een routeplanner
De wiskunde achter een routeplanner Les 1: Euler en het ophalen van huisvuil Les 2: Over kleuren, kaarten en verkeerslichten Les 3: Hoe werkt een routeplanner? Veerle Fack Cursusnota s voor lessen UniMath
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters
Nadere informatie