TW2020 Optimalisering

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "TW2020 Optimalisering"

Transcriptie

1 TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

2 Volgende week: Study guide Vragenuurtje Stuur vragen of suggesties per Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

3 Vorige keer: Voor NP-moeilijke problemen bestaan waarschijnlijk geen polynomiale algoritmes Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

4 Vorige keer: Voor NP-moeilijke problemen bestaan waarschijnlijk geen polynomiale algoritmes die een optimale oplossing vinden. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

5 Vorige keer: Voor NP-moeilijke problemen bestaan waarschijnlijk geen polynomiale algoritmes die een optimale oplossing vinden. Deze week: Kunnen we voor zulke problemen wel een goede oplossing vinden in polynomiale tijd? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

6 Stel (de beslissingsvariant van) een optimaliseringsprobleem is NP-moeilijk. Wat kunnen we doen? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

7 Stel (de beslissingsvariant van) een optimaliseringsprobleem is NP-moeilijk. Wat kunnen we doen? 1 Het probleem optimaal oplossen in exponentiële tijd (bijvoorbeeld Branch & Bound). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

8 Stel (de beslissingsvariant van) een optimaliseringsprobleem is NP-moeilijk. Wat kunnen we doen? 1 Het probleem optimaal oplossen in exponentiële tijd (bijvoorbeeld Branch & Bound). 2 Benaderen in polynomiale tijd met kwaliteitsgarantie: approximatiealgoritmes (benaderingsalgoritmes). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

9 Stel (de beslissingsvariant van) een optimaliseringsprobleem is NP-moeilijk. Wat kunnen we doen? 1 Het probleem optimaal oplossen in exponentiële tijd (bijvoorbeeld Branch & Bound). 2 Benaderen in polynomiale tijd met kwaliteitsgarantie: approximatiealgoritmes (benaderingsalgoritmes). 3 Benaderen zonder kwaliteitsgarantie: heuristieken. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

10 Stel (de beslissingsvariant van) een optimaliseringsprobleem is NP-moeilijk. Wat kunnen we doen? 1 Het probleem optimaal oplossen in exponentiële tijd (bijvoorbeeld Branch & Bound). 2 Benaderen in polynomiale tijd met kwaliteitsgarantie: approximatiealgoritmes (benaderingsalgoritmes). 3 Benaderen zonder kwaliteitsgarantie: heuristieken. Vandaag kijken we naar de 2 e optie. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

11 Definitie Een ρ-approximatiealgoritme (approximation algorithm) voor een optimaliseringsprobleem P is een algoritme dat voor iedere instantie I van P een oplossing produceert in polynomiale tijd, z.d.d. ALG(I ) ρ OPT (I ) ALG(I ) ρ OPT (I ) als P een minimaliseringsprobleem is als P een maximaliseringsprobleem is. Met: ALG(I ) de waarde van de oplossing geproduceerd door het algoritme voor instantie I. OPT (I ) de waarde van een optimale oplossing voor instantie I. ρ de prestatiegarantie of approximation ratio. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

12 Definitie Een vertex cover in een graaf G = (V, E) is een verzameling punten die alle lijnen raakt. Voorbeeld Vind een zo klein mogelijke vertex cover in elk van de onderstaande grafen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

13 Probleem Vertex Cover Gegeven: G = (V, E). Vind: een vertex cover van G met een minimum aantal punten. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

14 Probleem Vertex Cover Gegeven: G = (V, E). Vind: een vertex cover van G met een minimum aantal punten. Greedy algoritme voor Vertex Cover: 1 C := 2 Kies een punt v met zo hoog mogelijke graad. 3 Voeg v toe aan C. 4 Verwijder v en alle aangrenzende lijnen uit de graaf. 5 Herhaal stappen 2-4 totdat er geen lijnen meer over zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

15 Probleem Vertex Cover Gegeven: G = (V, E). Vind: een vertex cover van G met een minimum aantal punten. Greedy algoritme voor Vertex Cover: 1 C := 2 Kies een punt v met zo hoog mogelijke graad. 3 Voeg v toe aan C. 4 Verwijder v en alle aangrenzende lijnen uit de graaf. 5 Herhaal stappen 2-4 totdat er geen lijnen meer over zijn. Dan is C een vertex cover. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

16 Probleem Vertex Cover Gegeven: G = (V, E). Vind: een vertex cover van G met een minimum aantal punten. Greedy algoritme voor Vertex Cover: 1 C := 2 Kies een punt v met zo hoog mogelijke graad. 3 Voeg v toe aan C. 4 Verwijder v en alle aangrenzende lijnen uit de graaf. 5 Herhaal stappen 2-4 totdat er geen lijnen meer over zijn. Dan is C een vertex cover. Vraag Is het greedy algoritme een goed of een slecht benaderingsalgoritme? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

17 Beschouw een bipartiete graaf G = (U W, E) met U = n, W = W 1 W 2... W n, W 1 = n, W 2 = n 2, W 3 = n 3,..., W n = n n = 1. Zodanig dat elk punt in W i verbonden is met i punten in U en elk punt in U verbonden is met hoogstens 1 punt in W i. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

18 Beschouw een bipartiete graaf G = (U W, E) met U = n, W = W 1 W 2... W n, W 1 = n, W 2 = n 2, W 3 = n 3,..., W n = n n = 1. Zodanig dat elk punt in W i verbonden is met i punten in U en elk punt in U verbonden is met hoogstens 1 punt in W i. U W W 1 W 2 W 3 W 4 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

19 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Merk op: d(u) n d(w) = i u U w W i Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

20 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Merk op: d(u) n d(w) = i u U w W i Het greedy algoritme kiest een willekeurig punt met maximum graad, dus kan het punt in W n (in dit geval W 4 ) kiezen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

21 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Nu is: d(u) n 1 d(w) = i u U w W i Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

22 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Nu is: d(u) n 1 d(w) = i u U w W i Het greedy algoritme kiest een willekeurig punt met maximum graad, dus kan het punt in W n 1 (in dit geval W 3 ) kiezen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

23 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Nu is: d(u) n 2 d(w) = i u U w W i Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

24 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Nu is: d(u) n 2 d(w) = i u U w W i Het greedy algoritme kiest steeds een willekeurig punt met maximum graad, dus kan de punten in W n 2 (in dit geval W 2 ) kiezen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

25 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Nu is: d(u) n 3 d(w) = i u U w W i Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

26 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Nu is: d(u) n 3 d(w) = i u U w W i Het greedy algoritme kiest steeds een willekeurig punt met maximum graad, dus kan de punten in W n 3 (in dit geval W 1 ) kiezen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

27 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Uiteindelijk worden alle punten in W gekozen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

28 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Uiteindelijk worden alle punten in W gekozen. Dus vindt het algoritme een vertex cover met grootte: W = n + n 2 + n n n n ln(n) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

29 U W W 1 W 2 W 3 W 4 Uiteindelijk worden alle punten in W gekozen. Dus vindt het algoritme een vertex cover met grootte: W = n + n 2 + n n n n ln(n) Hoe groot is een kleinste vertex cover in deze graaf? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

30 Dus voor deze klasse van instanties geldt: en dus ρ ln(n). ALG OPT n ln(n) = ln(n) n Het greedy algoritme is een heel slecht benaderingsalgoritme, want het heeft geen constante prestatiegarantie. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

31 Kunnen we een LP-relaxatie gebruiken om Vertex Cover te benaderen? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

32 Kunnen we een LP-relaxatie gebruiken om Vertex Cover te benaderen? Beslissingsvariabelen: { 1 als punt v in de vertex cover zit x v = 0 anders Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

33 Kunnen we een LP-relaxatie gebruiken om Vertex Cover te benaderen? Beslissingsvariabelen: { 1 als punt v in de vertex cover zit x v = 0 anders Beschouw de gewogen versie van Vertex Cover, met een gewicht c v 0 voor elk punt v V. ILP formulering: z IP = min c v x v v V o.d.v. x u + x v 1 e = {u, v} E x v {0, 1} v V Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

34 LP relaxatie: z LP = min c v x v v V o.d.v. x u + x v 1 e = {u, v} E x v 1 v V (niet nodig want c v 0) x v 0 v V Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

35 LP relaxatie: z LP = min c v x v v V o.d.v. x u + x v 1 e = {u, v} E x v 1 v V (niet nodig want c v 0) x v 0 v V Een afrondalgoritme: 1 Los de LP-relaxatie op. Laat x de gevonden optimale oplossing zijn. 2 Dan is C := {v V xv 1 2 } een vertex cover. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

36 LP relaxatie: z LP = min c v x v v V o.d.v. x u + x v 1 e = {u, v} E x v 1 v V (niet nodig want c v 0) x v 0 v V Een afrondalgoritme: 1 Los de LP-relaxatie op. Laat x de gevonden optimale oplossing zijn. 2 Dan is C := {v V xv 1 2 } een vertex cover. Stelling Het afrondalgoritme is een 2-approximatiealgoritme voor Vertex Cover. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

37 Voorbeeld Vind een vertex cover in de onderstaande graaf met behulp van het afrondalgoritme. Hoe groot is een kleinste vertex cover? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

38 Simpeler 2-approximatiealgoritme voor ongewogen Vertex Cover: 1 C := 2 Kies een willekeurige lijn e = {u, v}. 3 Voeg u en v toe aan C. 4 Verwijder u, v en alle aangrenzende lijnen uit de graaf. 5 Herhaal stappen 2-4 totdat er geen lijnen meer over zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

39 Simpeler 2-approximatiealgoritme voor ongewogen Vertex Cover: 1 C := 2 Kies een willekeurige lijn e = {u, v}. 3 Voeg u en v toe aan C. 4 Verwijder u, v en alle aangrenzende lijnen uit de graaf. 5 Herhaal stappen 2-4 totdat er geen lijnen meer over zijn. Stelling Het bovenstaande algoritme is een 2-approximatiealgoritme voor Vertex Cover. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

40 Voorbeeld Hoe groot is een vertex cover gevonden door het simpelere 2-approximatiealgoritme in de onderstaande graaf, hoe groot is een kleinste vertex cover? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

41 Probleem Symmetrisch handelsreizigersprobleem (TSP) Gegeven: een volledige graaf G = (V, E), een lengte d e voor elke lijn e E; Gevraagd: een Hamilton circuit C in G waarvoor e C d e minimaal is. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

42 Probleem Symmetrisch handelsreizigersprobleem (TSP) Gegeven: een volledige graaf G = (V, E), een lengte d e voor elke lijn e E; Gevraagd: een Hamilton circuit C in G waarvoor e C d e minimaal is. Stelling Er bestaat geen ρ-approximatiealgoritme voor TSP met ρ een constante tenzij P = NP. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

43 Probleem Symmetrisch handelsreizigersprobleem (TSP) Gegeven: een volledige graaf G = (V, E), een lengte d e voor elke lijn e E; Gevraagd: een Hamilton circuit C in G waarvoor e C d e minimaal is. Stelling Er bestaat geen ρ-approximatiealgoritme voor TSP met ρ een constante tenzij P = NP. Bewijs (idee) Een ρ-approximatiealgoritme voor TSP zou gebruikt kunnen worden om te beslissen of er een Hamilton Circuit bestaat in een graaf, en dit probleem is NP-volledig. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

44 Vraag Kunnen we wel een approximatiealgoritme vinden voor speciale gevallen van TSP? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

45 Vraag Kunnen we wel een approximatiealgoritme vinden voor speciale gevallen van TSP? Laat d uv := d {u,v}, de afstand van de lijn tussen punt u en punt v. Definitie De afstanden voldoen aan de driehoeksongelijkheid als d uv d uw + d wv u, v, w V Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

46 Vraag Kunnen we wel een approximatiealgoritme vinden voor speciale gevallen van TSP? Laat d uv := d {u,v}, de afstand van de lijn tussen punt u en punt v. Definitie De afstanden voldoen aan de driehoeksongelijkheid als d uv d uw + d wv u, v, w V Definitie TSP, de driehoeksongelijkheidsversie van TSP, is het TSP probleem beperkt tot afstanden die voldoen aan de driehoeksongelijkheid. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

47 Vraag Kunnen we wel een approximatiealgoritme vinden voor speciale gevallen van TSP? Laat d uv := d {u,v}, de afstand van de lijn tussen punt u en punt v. Definitie De afstanden voldoen aan de driehoeksongelijkheid als d uv d uw + d wv u, v, w V Definitie TSP, de driehoeksongelijkheidsversie van TSP, is het TSP probleem beperkt tot afstanden die voldoen aan de driehoeksongelijkheid. TSP is NP-volledig. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

48 Een multigraaf is een graaf waarin paralelle lijnen zijn toegestaan (meerdere lijnen tussen hetzelfde paar punten). Definitie Een Euler tour in een multigraaf is een gesloten wandeling waarin elk punt tenminste één keer voorkomt en elke lijn precies één keer voorkomt. Als er een Euler tour bestaat in een multigraaf G dan heet G Euleriaans. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

49 Bruggen van Königsberg (1736) Kun je elke brug precies één keer oversteken en bij je beginpunt uitkomen? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

50 Stelling (Euler) Een multigraaf G is Euleriaans dan en slechts dan als G samenhangend is en de graad van elk punt van G even is. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

51 Stelling (Euler) Een multigraaf G is Euleriaans dan en slechts dan als G samenhangend is en de graad van elk punt van G even is. Voorbeeld Is de onderstaande graaf Euleriaans? Zo ja, vind een Euler tour. u v w x a b z y Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

52 Boomalgoritme voor TSP in een (volledige) graaf G met afstanden voor de lijnen: 1 Vind een minimum opspannende boom T in G. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

53 Boomalgoritme voor TSP in een (volledige) graaf G met afstanden voor de lijnen: 1 Vind een minimum opspannende boom T in G. 2 Verdubbel de lijnen in T. Dit geeft een Euleriaanse multigraaf. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

54 Boomalgoritme voor TSP in een (volledige) graaf G met afstanden voor de lijnen: 1 Vind een minimum opspannende boom T in G. 2 Verdubbel de lijnen in T. Dit geeft een Euleriaanse multigraaf. 3 Vind een Euler tour in deze multigraaf. Volg de wandeling maar sla punten over als ze al bezocht zijn. Dit geeft een TSP tour. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

55 Boomalgoritme voor TSP in een (volledige) graaf G met afstanden voor de lijnen: 1 Vind een minimum opspannende boom T in G. 2 Verdubbel de lijnen in T. Dit geeft een Euleriaanse multigraaf. 3 Vind een Euler tour in deze multigraaf. Volg de wandeling maar sla punten over als ze al bezocht zijn. Dit geeft een TSP tour. Stelling Het boomalgoritme is een 2-approximatiealgoritme voor TSP. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december / 25

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet

Nadere informatie

Samenvatting college 1-12

Samenvatting college 1-12 Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 14 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september 2016 1 / 30 Modelleren van LP en ILP problemen

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42

Nadere informatie

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem

Nadere informatie

Fundamentele Informatica

Fundamentele Informatica Fundamentele Informatica (IN3120 en IN3005 DOI nwe stijl) 20 augustus 2004, 9.00 11.00 uur Het tentamen IN3120 bestaat uit 10 meerkeuzevragen en 2 open vragen. Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal 65

Nadere informatie

Tentamen IN3105. Complexiteitstheorie. 16 april 2012, uur

Tentamen IN3105. Complexiteitstheorie. 16 april 2012, uur Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Ti Delft Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 16 april 2012, 9.00-12.00 uur Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open

Nadere informatie

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 september 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 september 2015 1 / 23 Huiswerk Huiswerk 1 is beschikbaar op

Nadere informatie

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden

Nadere informatie

Grafen deel 2 8/9. Zesde college

Grafen deel 2 8/9. Zesde college Grafen deel 2 8/9 Zesde college 1 Een Eulercircuit is een gesloten wandeling die elke lijn precies één keer bevat. traversable trail all edges distinct 8.5 rondwandeling zeven bruggenprobleem van Köningsbergen

Nadere informatie

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken). 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten

Nadere informatie

1 Complexiteit. of benadering en snel

1 Complexiteit. of benadering en snel 1 Complexiteit Het college van vandaag gaat over complexiteit van algoritmes. In het boek hoort hier hoofdstuk 8.1-8.5 bij. Bij complexiteitstheorie is de belangrijkste kernvraag: Hoe goed is een algoritme?

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk

Nadere informatie

Netwerkstroming. Algoritmiek

Netwerkstroming. Algoritmiek Netwerkstroming Netwerkstroming Toepassingen in Logistiek Video-streaming Subroutine in algoritmen 2 Vandaag Netwerkstroming: wat was dat ook alweer? Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp

Nadere informatie

(On)Doenlijke problemen

(On)Doenlijke problemen Fundamentele Informatica In3 005 Deel 2 College 1 Cees Witteveen Parallelle en Gedistribueerde Systemen Faculteit Informatie Technologie en Systemen Overzicht Inleiding - Relatie Deel 1 en Deel 2 - Doenlijke

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend

Nadere informatie

Grafen. Grafen, toppen en bogen

Grafen. Grafen, toppen en bogen Grafen Het zijn configuraties van knoppen en verbindingen, waar we de knoppen toppen noemen en de verbindingen tussen 2 toppen noemen we een boog. Toppen en bogen kunnen bijkomende attributen hebben, zoals

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 20 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede kandidatuur Informatica Academiejaar 2004 2005, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Binomiale

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden.

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden. Antwoorden Doeboek 4 Grafen.. De middelste en de rechtergraaf.. Een onsamenhangende graaf met vijf punten en vijf lijnen: Teken een vierhoek met één diagonaal. Het vijfde punt is niet verbonden met een

Nadere informatie

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen. WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren

Nadere informatie

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee

Nadere informatie

Local search. Han Hoogeveen. 21 november, 2011

Local search. Han Hoogeveen. 21 november, 2011 1 Local search Han Hoogeveen 21 november, 2011 Inhoud vandaag 2 Inhoud: Uitleg methode Bespreking oude opdrachten: ˆ Bezorgen wenskaarten ˆ Roosteren tentamens Slides staan al op het web www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/colleges.html

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:

Nadere informatie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 31 maart, 9.00 12.00 uur - Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open vragen. - Per meerkeuzevraag kunnen 0 tot 4 alternatieven juist

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen

Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen Algoritmiek 01/10 College 10 Tiende college algoritmiek april 01 Gretige algoritmen 1 Algoritmiek 01/10 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Tiende college algoritmiek 13/1 april 017 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten

Nadere informatie

INHOUD MODULE voor WISKUNDE D voor het vwo

INHOUD MODULE voor WISKUNDE D voor het vwo INHOUD MODULE voor WISKUNDE D voor het vwo DISCRETE WISKUNDE Hoofdstuk 1 Minimaal opspannende bomen blz 2 Hoofdstuk 2 Kortste pad (nog toe te voegen) blz 14 Hoofdstuk 3 TSP-probleem blz 15 3.1 Inleiding

Nadere informatie

Kortste Paden. Algoritmiek

Kortste Paden. Algoritmiek Kortste Paden Toepassingen Kevin Bacon getal Six degrees of separation Heeft een netwerk de small-world eigenschap? TomTom / Google Maps 2 Kortste paden Gerichte graaf G=(N,A), en een lengte L(v,w) voor

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur.

Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur. Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, 9.00-12.00 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf

Nadere informatie

2 beslissen in netwerken. Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken. versie 4 vrijdag 16 november 2007

2 beslissen in netwerken. Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken. versie 4 vrijdag 16 november 2007 eslissen beslissen in netwerken Wiskunde Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken versie vrijdag november 00 Samenstelling Jan ssers ism Kerngroep Wiskunde indhoven ontys voorkennis: optimaliseren.

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

1.2 Bomen Algemeen 1.2. BOMEN 7

1.2 Bomen Algemeen 1.2. BOMEN 7 1.2. BOMEN 7 1.2 Bomen 1.2.1 Algemeen Beschouw eerst een niet-gerichte graaf. Een boom is een samenhangende graaf die geen kringen bevat. Een boom wordt meestal genoteerd met de letter T (tree). Een bos

Nadere informatie

Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit

Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Vandaag: Hoe meten we de performance van algoritmen? Waar ligt de grens tussen een goed en een slecht algoritme? 22 oktober 2014 1 Vandaag: Hoe meten we de performance

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, uur.

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, uur. Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, 14.30-17.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2006 2007, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Verzamelingen:

Nadere informatie

NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi

NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi NP-Volledigheid Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen Gezien: selectie [O(n)], DFS [O(n + m)], MaxFlow [O nm n + m ], MST [O(n + m)], etc De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 2. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 2. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 2 Han Hoogeveen, Utrecht University Inhoud vandaag Inhoud: Uitleg methode Bespreking oude opdracht: Bezorgen wenskaarten Slides staan al op het web www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/colleges.html

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur.

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur. Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, 13.30-16.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd

Nadere informatie

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 14. Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 14. Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 14 Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch Han Hoogeveen, Utrecht University Branch-and-bound voor algemene ILPs (1) Neem even aan dat je een minimaliseringsprobleem

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

De wiskunde achter een routeplanner

De wiskunde achter een routeplanner De wiskunde achter een routeplanner Les 1: Euler en het ophalen van huisvuil Les 2: Over kleuren, kaarten en verkeerslichten Les 3: Hoe werkt een routeplanner? Veerle Fack Cursusnota s voor lessen UniMath

Nadere informatie

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde Een miljoen dollar verdienen in de kerstvakantie? Het enige dat u hoeft te doen, is een polynomiaal algoritme te vinden om een sudoku mee op te lossen. Niels Oosterling schetst waar u dan rekening mee

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:

Nadere informatie

Activiteit 9. Modderstad Minimaal Opspannende Bomen. Samenvatting. Kerndoelen. Leeftijd. Vaardigheden. Materialen

Activiteit 9. Modderstad Minimaal Opspannende Bomen. Samenvatting. Kerndoelen. Leeftijd. Vaardigheden. Materialen Activiteit 9 Modderstad Minimaal Opspannende Bomen Samenvatting Onze maatschappij is verbonden middels heel veel netwerken: telefoonnet, elektriciteitsnet, de riolering, computernetwerk, en het wegennet.

Nadere informatie

Geheeltallige programmering

Geheeltallige programmering Geheeltallige programmering In een LP probleem zijn alle variabelen reëel. In een geheeltallig probleem blijven doelfunctie en constraints lineair, maar zijn de variabelen geheeltallig. LP: IP: BIP: MIP:

Nadere informatie

Tentamen TI3300 / IN3105 Complexiteitstheorie

Tentamen TI3300 / IN3105 Complexiteitstheorie Tentamen TI3300 / IN3105 Complexiteitstheorie 24 juni 2013, 9.00-12.00 uur - Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open vragen. - Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Tussentoets: 26 november, tijdens de instructies Tentamenstof: LP; Simplex; dualiteit (= colleges 1 4) Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare)

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 4. Grafen. Introductie 45. Leerkern 47. Samenvatting 75 Zelftoets 76

Inhoud leereenheid 4. Grafen. Introductie 45. Leerkern 47. Samenvatting 75 Zelftoets 76 Inhoud leereenheid 4 Grafen Introductie 45 Leerkern 47 4.1 Enkele grafische structuren 47 4.2 Wat is een graaf? 49 4.3 De verbindingsmatrix en een algemener graafbegrip 54 4.4 Wandelen in een graaf 58

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

Filebestrijding middels Speltheorie

Filebestrijding middels Speltheorie Speltheorie p. 1/3 Filebestrijding middels Speltheorie Krzysztof R. Apt (dus niet Krzystof en zeker niet Krystof) CWI & Universiteit van Amsterdam DEPOT1 DEPOT2 Speltheorie p. 2/3 Voorbeeld 1: Kilometerheffing

Nadere informatie

Chinese postbodeprobleem

Chinese postbodeprobleem Chinese postbodeprobleem Dorthe Van Waarden 9 juli 2010 Eindverslag Bachelorproject Begeleiding: dr. Marcel van de Vel KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Nadere informatie

Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings)

Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings) Verslag ten behoeve van het

Nadere informatie

Netwerkstroming. Algoritmiek

Netwerkstroming. Algoritmiek Netwerkstroming Vandaag Netwerkstroming: definitie en toepassing Het rest-netwerk Verbeterende paden Ford-Fulkerson algoritme Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp Toepassing: koppelingen

Nadere informatie

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur

Nadere informatie

Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie)

Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie) Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie) Tijdstip: Vrijdag 3 februari 2012 vanaf 09.00 uur tot 12.00 uur Er zijn vier opgaven. Achter de opgaven zitten de bladzijden die u kunt gebruiken om uw antwoord

Nadere informatie

Tentamen: Operationele Research 1D (4016)

Tentamen: Operationele Research 1D (4016) UITWERKINGEN Tentamen: Operationele Research 1D (4016) Tentamendatum: 12-1-2010 Duur van het tentamen: 3 uur (maximaal) Opgave 1 (15 punten) Beschouw het volgende lineaire programmeringsprobleem P: max

Nadere informatie

Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos

Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Wobien Doyer Lieke de Rooij Volgens de titel is deze puzzel zonder doel, dus zonder bekende toepassing. Het doel is echter nul en dat is zeker in de wiskunde niet niks.

Nadere informatie

Uitwerkingen Sum of Us

Uitwerkingen Sum of Us Instant Insanity Uitwerkingen Sum of Us Opgave A: - Opgave B: Voor elk van de vier kubussen kun je een graaf maken die correspondeert met de desbetreffende kubus. Elk van deze grafen bevat drie lijnen.

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Tiende college algoritmiek 14 april 2016 Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS 1 Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Houtzaagmolen

Nadere informatie

Modellen en Simulatie Simulated Annealing

Modellen en Simulatie Simulated Annealing Utrecht, 14 juni 2012 Modellen en Simulatie Simulated Annealing Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ In deze les een toepassing van Markov ketens: p n+1 =

Nadere informatie

Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, uur

Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, uur Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, 14.00-17.00 uur Het tentamen bestaat uit 6 opgaven. Motiveer je antwoorden duidelijk. De normering van de opgaves staat steeds

Nadere informatie

BESLISKUNDE B. Voorjaar L.C.M. KALLENBERG en F.M. SPIEKSMA

BESLISKUNDE B. Voorjaar L.C.M. KALLENBERG en F.M. SPIEKSMA BESLISKUNDE B Voorjaar 2015 L.C.M. KALLENBERG en F.M. SPIEKSMA UNIVERSITEIT LEIDEN Inhoudsopgave 1 GRAFENTHEORIE 1 1.1 Inleiding.......................................... 1 1.1.1 Niet-gerichte grafen...............................

Nadere informatie

Stelling. SAT is NP-compleet.

Stelling. SAT is NP-compleet. Het bewijs van de stelling van Cook Levin zoals gegeven in het boek van Sipser gebruikt niet-deterministische turing machines. Het is inderdaad mogelijk de klasse NP op een alternatieve wijze te definiëren

Nadere informatie

Sociale Dilemma s en Speltheorie

Sociale Dilemma s en Speltheorie Sociale Dilemma s en Speltheorie Krzysztof R. Apt CWI, Amsterdam Prisoner s Dilemma C D C 2, 2 0, 3 D 3, 0 1, 1 Elke speler heeft twee strategieën: C ( cooperate ) and D ( defect ). Interpretatie: C: Je

Nadere informatie

Het Steiner boom probleem

Het Steiner boom probleem Het Steiner boom probleem Enkele gangbare algoritmes en heuristieken Roy Visser, BSc. Werkstuk Bedrijfswiskunde en Informatica Vrije Universiteit, Amsterdam Faculteit Exacte Wetenschappen Bedrijfswiskunde

Nadere informatie

Twaalfde college algoritmiek. 12 mei Branch & Bound

Twaalfde college algoritmiek. 12 mei Branch & Bound Twaalfde college algoritmiek 12 mei 2016 Branch & Bound 1 Branch and bound -1- Branch & bound is alleen toepasbaar op optimalisatieproblemen genereert oplossingen stap voor stap en houdt de tot dusver

Nadere informatie

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0 Voorbeeldtentamen Deterministische Modellen in de OR (158075) Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief argumentatie! Gebruik van de rekenmachine is niet toegestaan.

Nadere informatie

Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders!

Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! Grafen Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! 1. Inleiding Een (ongerichte) graaf (graph) G = (V, E) bestaat uit een eindige, nietlege verzameling V van punten (vertices),

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1 Oefeningen voor de oefeningenles Oefening 1 Gegeven een arbitraire binaire zoekboom T met n toppen en een (andere of gelijke) binaire zoekboom T die ook n sleutels bevat. Beschrijf een algoritme dat in

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten

Nadere informatie