TW2020 Optimalisering
|
|
|
- Annemie van der Berg
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
2 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning Tree) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
3 Definitie Een boom is een samenhangende graaf zonder circuits. Een bos is een verzameling bomen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
4 Definitie Een boom is een samenhangende graaf zonder circuits. Een bos is een verzameling bomen. Of: een bos is een graaf zonder circuits. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
5 Definitie Een boom is een samenhangende graaf zonder circuits. Definitie Een bos is een verzameling bomen. Of: een bos is een graaf zonder circuits. Laat G = (V, E) een graaf zijn. Een opspannende boom (spanning tree) van G is een boom T = (V, F ) met F E. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
6 Definitie Een boom is een samenhangende graaf zonder circuits. Definitie Een bos is een verzameling bomen. Of: een bos is een graaf zonder circuits. Laat G = (V, E) een graaf zijn. Een opspannende boom (spanning tree) van G is een boom T = (V, F ) met F E. Anders gezegd, een opspannende boom van G is een deelgraaf van G die alle punten van G verbindt en geen circuits bevat. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
7 Voorbeeld Een opspannende boom van de Petersen graaf (in zwart): Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
8 Voorbeeld Een andere opspannende boom van de Petersen graaf (in zwart): Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
9 Probleem Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning Tree) Gegeven: samenhangende graaf G = (V, E) en lengtefunctie l : E R Vind: een opspannende boom T = (V, F ) van G met minimale lengte l(t ) = l(e) e F Elke samenhangende graaf heeft tenminste één opspannende boom. Toepassing: netwerk ontwerp. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
10 Prim-Dijkstra methode voor het vinden van een minimum opspannende boom van een samenhangende graaf G = (V, E) en lengtefunctie l : E R Definitie δ(u) is de verzameling lijnen die precies één eindpunt in U hebben Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
11 Prim-Dijkstra methode voor het vinden van een minimum opspannende boom van een samenhangende graaf G = (V, E) en lengtefunctie l : E R Definitie δ(u) is de verzameling lijnen die precies één eindpunt in U hebben Algoritme Kies willekeurig punt v 1 U 1 := {v 1 } F 1 := Voor k = 1, 2,..., V 1 Kies een lijn e k δ(u k ) met minimale lengte U k+1 := U k e k F k+1 := F k {e k } (V, F V ) is een minimum opspannende boom van G Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
12 Voorbeeld Vind een minimum opspannende boom in de volgende graaf m.b.v. de Prim-Dijkstra methode: Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
13 Lemma (1) De volgende uitspraken zijn equivalent voor een graaf G = (V, E): 1 G is een boom (is samenhangend en bevat geen circuit) 2 G is samenhangend en E = V 1 3 G bevat geen circuit en E = V 1 4 G bevat een uniek pad tussen elk tweetal punten Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
14 Lemma (2) Als G = (V, E) samenhangend is, (V, F ) een opspannende boom van G en e E \ F dan zijn de volgende twee uitspraken waar: 1 (V, F {e}) heeft een uniek circuit C Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
15 Lemma (2) Als G = (V, E) samenhangend is, (V, F ) een opspannende boom van G en e E \ F dan zijn de volgende twee uitspraken waar: 1 (V, F {e}) heeft een uniek circuit C 2 voor elke lijn f van C is (V, F \ {f } {e}) ook een opspannende boom van G e Voorbeeld: lijn e toevoegen geeft een uniek circuit; lijn f weglaten geeft weer een opspannende boom. f Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
16 Definitie Een bos (V, F ) is een bos van G = (V, E) als F E. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
17 Definitie Een bos (V, F ) is een bos van G = (V, E) als F E. Stelling (12.1) Laat (V, F ) een bos van G = (V, E) zijn, U een samenhangende component van (V, F ) en e δ(u) een lijn met minimale lengte over alle lijnen in δ(u), dan bestaat er een opspannende boom van G die de lijnen in F {e} bevat en die minimaal is over alle opspannende bomen van G die de lijnen in F bevatten. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
18 Algoritme (Prim-Dijkstra) Stelling Kies willekeurig punt v 1 U 1 := {v 1 } F 1 := Voor k = 1, 2,..., V 1 Kies een lijn ek δ(u k ) met minimale lengte U k+1 := U k e k F k+1 := F k {e k } Het algoritme van Prim-Dijkstra vindt een minimum opspannende boom en heeft looptijd O( V 2 ). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
19 Algoritme (Prim-Dijkstra) Stelling Kies willekeurig punt v 1 U 1 := {v 1 } F 1 := Voor k = 1, 2,..., V 1 Kies een lijn ek δ(u k ) met minimale lengte U k+1 := U k e k F k+1 := F k {e k } Het algoritme van Prim-Dijkstra vindt een minimum opspannende boom en heeft looptijd O( V 2 ). Houd voor elk punt v V \ U k de lengte f (v) bij van een kortste lijn {u, v} met u U k. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
20 Algoritme (Prim-Dijkstra) Stelling Kies willekeurig punt v 1 U 1 := {v 1 } F 1 := Voor k = 1, 2,..., V 1 Kies een lijn ek δ(u k ) met minimale lengte U k+1 := U k e k F k+1 := F k {e k } Het algoritme van Prim-Dijkstra vindt een minimum opspannende boom en heeft looptijd O( V 2 ). Houd voor elk punt v V \ U k de lengte f (v) bij van een kortste lijn {u, v} met u U k. Een implementatie met Fibonacci Heaps heeft looptijd O( E + V log( V )). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
21 Borůvka s methode voor het vinden van een minimum opspannende boom van een samenhangende graaf G = (V, E) met lengtefunctie l : E R. Neem voor het gemak aan dat alle lijnen verschillende lengtes hebben. Algoritme F := while F < V 1 laat U1,..., U k de componenten van (V, F ) zijn for i = 1,..., k kies een lijn e i δ(u i ) van minimum lengte F := F {e1,..., e k } Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
22 Borůvka s methode voor het vinden van een minimum opspannende boom van een samenhangende graaf G = (V, E) met lengtefunctie l : E R. Neem voor het gemak aan dat alle lijnen verschillende lengtes hebben. Algoritme Stelling F := while F < V 1 laat U1,..., U k de componenten van (V, F ) zijn for i = 1,..., k kies een lijn e i δ(u i ) van minimum lengte F := F {e1,..., e k } Borůvka s algoritme vindt een minimum opspannende boom (V, F ) van G en heeft looptijd O( E log( V )). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
23 Voorbeeld Vind een minimum opspannende boom in de volgende graaf m.b.v. Borůvka s methode: Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
24 Na één iteratie: Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
25 Na twee iteraties: Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
26 Kruskals methode voor het vinden van een minimum opspannende boom van een samenhangende graaf G = (V, E) met lengtefunctie l : E R. Algoritme F := for k = 1, 2,..., V 1 Kies een lijn e k E \ F met minimale lengte waarvoor (V, F {e k }) een bos is F := F {ek } Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
27 Kruskals methode voor het vinden van een minimum opspannende boom van een samenhangende graaf G = (V, E) met lengtefunctie l : E R. Algoritme Stelling F := for k = 1, 2,..., V 1 Kies een lijn e k E \ F met minimale lengte waarvoor (V, F {e k }) een bos is F := F {ek } Kruskals algoritme vindt een minimum opspannende boom (V, F ) van G. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
28 Kruskals methode voor het vinden van een minimum opspannende boom van een samenhangende graaf G = (V, E) met lengtefunctie l : E R. Algoritme Stelling F := for k = 1, 2,..., V 1 Kies een lijn e k E \ F met minimale lengte waarvoor (V, F {e k }) een bos is F := F {ek } Kruskals algoritme vindt een minimum opspannende boom (V, F ) van G. Stelling Kruskals algoritme kan geïmplementeerd worden zodat de looptijd O( E log( V )) is. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
29 Voorbeeld Vind een minimum opspannende boom in de volgende graaf m.b.v. Kruskals algoritme: Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
30 Probleem Maximum Gewicht Bos (Maximum Weight Forest) Gegeven: graaf G = (V, E) en gewichtsfunctie w : E R + Vind: een bos B = (V, F ) van G met maximum gewicht w(e) e F Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
31 Probleem Maximum Gewicht Bos (Maximum Weight Forest) Gegeven: graaf G = (V, E) en gewichtsfunctie w : E R + Vind: een bos B = (V, F ) van G met maximum gewicht w(e) e F Definieer een lengtefunctie l : E R + met l(e) = W w(e) waar W = max e E w(e). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
32 Probleem Maximum Gewicht Bos (Maximum Weight Forest) Gegeven: graaf G = (V, E) en gewichtsfunctie w : E R + Vind: een bos B = (V, F ) van G met maximum gewicht w(e) e F Definieer een lengtefunctie l : E R + met l(e) = W w(e) waar W = max e E w(e). Voor een samenhangende graaf G = (V, E) is (V, F ) een maximum gewicht bos m.b.t. w dan en slechts dan als (V, F ) een minimum opspannende boom is m.b.t. l. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
33 Probleem Maximum Gewicht Bos (Maximum Weight Forest) Gegeven: graaf G = (V, E) en gewichtsfunctie w : E R + Vind: een bos B = (V, F ) van G met maximum gewicht w(e) e F Definieer een lengtefunctie l : E R + met l(e) = W w(e) waar W = max e E w(e). Voor een samenhangende graaf G = (V, E) is (V, F ) een maximum gewicht bos m.b.t. w dan en slechts dan als (V, F ) een minimum opspannende boom is m.b.t. l. Voor een niet-samenhangende graaf G = (V, E) vormen de minimum opspannende bomen van de samenhangende componenten van G m.b.t. l een maximum gewicht bos m.b.t. w. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
34 Kruskals methode voor het vinden van een maximum gewicht bos van een graaf G = (V, E) met gewichtsfunctie w : E R. Algoritme F := while er een lijn bestaat die aan F toegevoegd kan worden zonder een circuit te creëren Vind zo n lijn van maximum gewicht en voeg die lijn toe aan F Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
35 Kruskals methode voor het vinden van een maximum gewicht bos van een graaf G = (V, E) met gewichtsfunctie w : E R. Algoritme F := while er een lijn bestaat die aan F toegevoegd kan worden zonder een circuit te creëren Vind zo n lijn van maximum gewicht en voeg die lijn toe aan F Kruskals algoritme is een voorbeeld van een greedy algoritme: het maakt in elke iteratie de keuze die direkt het meeste profijt oplevert. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
36 Kruskals methode voor het vinden van een maximum gewicht bos van een graaf G = (V, E) met gewichtsfunctie w : E R. Algoritme F := while er een lijn bestaat die aan F toegevoegd kan worden zonder een circuit te creëren Vind zo n lijn van maximum gewicht en voeg die lijn toe aan F Kruskals algoritme is een voorbeeld van een greedy algoritme: het maakt in elke iteratie de keuze die direkt het meeste profijt oplevert. Het Maximum Gewicht Bos probleem is een voorbeeld van een matroïde probleem. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
37 Kruskals methode voor het vinden van een maximum gewicht bos van een graaf G = (V, E) met gewichtsfunctie w : E R. Algoritme F := while er een lijn bestaat die aan F toegevoegd kan worden zonder een circuit te creëren Vind zo n lijn van maximum gewicht en voeg die lijn toe aan F Kruskals algoritme is een voorbeeld van een greedy algoritme: het maakt in elke iteratie de keuze die direkt het meeste profijt oplevert. Het Maximum Gewicht Bos probleem is een voorbeeld van een matroïde probleem. Alle matroïde problemen kunnen opgelost worden met een greedy algoritme. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
38 Een matroïde bestaat uit een eindige verzameling E en een verzameling I van deelverzamelingen van E die independent sets worden genoemd. Definitie Een matroïde (matroid) is een paar (E, I) met E een eindige verzameling en I een verzameling van deelverzamelingen van E, zodanig dat: (i) Als A I en B A dan is B I. (ii) Als A, B I en A < B dan is er een element e E zodanig dat A {e} I. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
39 Een matroïde bestaat uit een eindige verzameling E en een verzameling I van deelverzamelingen van E die independent sets worden genoemd. Definitie Een matroïde (matroid) is een paar (E, I) met E een eindige verzameling en I een verzameling van deelverzamelingen van E, zodanig dat: (i) Als A I en B A dan is B I. (ii) Als A, B I en A < B dan is er een element e E zodanig dat A {e} I. Voorbeeld Als G = (V, E) een graaf is en I = {F E (V, F ) bevat geen circuit} dan is (E, I) een matroïde (een graphic matroid). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
40 Een matroïde bestaat uit een eindige verzameling E en een verzameling I van deelverzamelingen van E die independent sets worden genoemd. Definitie Een matroïde (matroid) is een paar (E, I) met E een eindige verzameling en I een verzameling van deelverzamelingen van E, zodanig dat: (i) Als A I en B A dan is B I. (ii) Als A, B I en A < B dan is er een element e E zodanig dat A {e} I. Voorbeeld Als A een m n matrix is met: S de verzameling van kolommen van A; F = {F S de kolommen in F zijn lineair onafhankelijk} dan is (S, F) een matroïde (een matric matroid). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
41 Elke matroïde (E, I) heeft een bijbehorend probleem: gegeven een gewichtsfunctie w : E R, vind een independent set van maximum gewicht. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
42 Elke matroïde (E, I) heeft een bijbehorend probleem: gegeven een gewichtsfunctie w : E R, vind een independent set van maximum gewicht. Deze problemen kunnen allemaal opgelost worden met het greedy algoritme. Algoritme F := while E Kies e E met maximum gewicht w(e) Verwijder e uit E. if F {e} I Voeg e toe aan F Uitvoer: F De uitvoer F is een independent set van maximum gewicht. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
43 Vraag Hoeveel opspannende bomen heeft een volledige graaf met n punten? Stelling (Formule van Cayley) Het aantal verschillende bomen met n gelabelde punten is n n 2. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
44 Vraag Hoeveel opspannende bomen heeft een volledige graaf met n punten? Stelling (Formule van Cayley) Het aantal verschillende bomen met n gelabelde punten is n n 2. Leo 2 2 van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering november / 28
45 Definitie Een Prüfer rij is een rij van lengte n 2 bestaande uit getallen uit {1,..., n} Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
46 Definitie Een Prüfer rij is een rij van lengte n 2 bestaande uit getallen uit {1,..., n} Gegeven een gelabelde boom T, kun je als volgt een unieke Prüfer rij bepalen: Laat 1, 2,..., n de labels van de punten van T zijn. Een blad is een punt met graad één. Algoritme Vind het blad b met kleinste label; voeg de buur van b toe aan de Prüfer rij; verwijder b uit de boom; herhaal de voorgaande stappen totdat er twee punten over zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
47 Algoritme Vind het blad b met kleinste label; voeg de buur van b toe aan de Prüfer rij; verwijder b uit de boom; herhaal de voorgaande stappen totdat er twee punten over zijn. Voorbeeld Vind de Prüfer rij van de onderstaande boom Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28 7
48 Gegeven een Prüfer rij a = (a 1, a 2,..., a n 2 ), kun je als volgt een unieke gelabelde boom bepalen: Algoritme L := (1, 2,..., n) Creëer punten met labels 1, 2,..., n Herhaal de volgende stappen totdat L = 2 Laat l het eerste label in L zijn dat niet in a voor komt Laat a1 het eerste element van a zijn Verbind het punt met label l met het punt met label a1 Verwijder l uit L en a1 uit a Laat L = {l 1, l 2 } Verbind het punt met label l 1 met het punt met label l 2 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
49 Stelling Er is een bijectie tussen bomen met puntlabels 1,..., n en Prüfer rijen van lengte n 2. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
50 Stelling Er is een bijectie tussen bomen met puntlabels 1,..., n en Prüfer rijen van lengte n 2. Stelling (Formule van Cayley) Het aantal verschillende bomen met n gelabelde punten is n n 2. Dus een volledige graaf heeft n n 2 opspannende bomen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november / 28
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende
2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen
Discrete Wiskunde, College 12. Han Hoogeveen, Utrecht University
Discrete Wiskunde, College 12 Han Hoogeveen, Utrecht University Dynamische programmering Het basisidee is dat je het probleem stap voor stap oplost Het probleem moet voldoen aan het optimaliteitsprincipe
Minimum Opspannende Bomen. Algoritmiek
Minimum Opspannende Bomen Inhoud Het minimum opspannende bomen probleem Een principe om een minimum opspannende boom te laten groeien Twee greedy algoritmen + tijd en datastructuren: Het algoritme van
Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.
Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 12 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober 2016 1 / 31 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit
l e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een
Hebzucht loont niet altijd
Thema Discrete wiskunde Hoe verbind je een stel steden met zo weinig mogelijk kilometers asfalt? Hoe maak je een optimaal computernetwerk met kabels die maar een beperkte capaciteit hebben? Veel van zulke
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe
Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren
2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in
Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur
Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.
Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:
2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor
Elfde college algoritmiek. 10 mei Algoritme van Dijkstra, Gretige Algoritmen
lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra lfde college algoritmiek 10 mei 019 lgoritme van ijkstra, Gretige lgoritmen 1 lgoritmiek 019/ynamisch programmeren Programmeeropdracht 3 Lange Reis 0 10 10 1 1 100 0
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150
3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden.
Antwoorden Doeboek 4 Grafen.. De middelste en de rechtergraaf.. Een onsamenhangende graaf met vijf punten en vijf lijnen: Teken een vierhoek met één diagonaal. Het vijfde punt is niet verbonden met een
l e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Tiende college algoritmiek. 14 april Gretige algoritmen
College 10 Tiende college algoritmiek 1 april 011 Gretige algoritmen 1 Greedy algorithms Greed = hebzucht Voor oplossen van optimalisatieproblemen Oplossing wordt stap voor stap opgebouwd In elke stap
V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.
WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,
Tiende college algoritmiek. 2 mei Gretige algoritmen, Dijkstra
College 10 Tiende college algoritmiek mei 013 Gretige algoritmen, Dijkstra 1 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag van n (n 0) eurocent. Alle
Netwerkstroming. Algoritmiek
Netwerkstroming Netwerkstroming Toepassingen in Logistiek Video-streaming Subroutine in algoritmen 2 Vandaag Netwerkstroming: wat was dat ook alweer? Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 6 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 19 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 19 oktober 2016 1 / 20 Deze week Primal-Dual algoritmes voor:
Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen
Algoritmiek 01/10 College 10 Tiende college algoritmiek april 01 Gretige algoritmen 1 Algoritmiek 01/10 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 14 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september 2016 1 / 30 Modelleren van LP en ILP problemen
1.2 Bomen Algemeen 1.2. BOMEN 7
1.2. BOMEN 7 1.2 Bomen 1.2.1 Algemeen Beschouw eerst een niet-gerichte graaf. Een boom is een samenhangende graaf die geen kringen bevat. Een boom wordt meestal genoteerd met de letter T (tree). Een bos
Netwerkstroming. Algoritmiek
Netwerkstroming Vandaag Netwerkstroming: definitie en toepassing Het rest-netwerk Verbeterende paden Ford-Fulkerson algoritme Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp Toepassing: koppelingen
Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST
College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 september 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 september 2015 1 / 23 Huiswerk Huiswerk 1 is beschikbaar op
Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra
Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Tiende college algoritmiek 13/1 april 017 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet
Grafen deel 2 8/9. Zesde college
Grafen deel 2 8/9 Zesde college 1 Een Eulercircuit is een gesloten wandeling die elke lijn precies één keer bevat. traversable trail all edges distinct 8.5 rondwandeling zeven bruggenprobleem van Köningsbergen
Tiende college algoritmiek. 4 mei Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra
Tiende college algoritmiek mei 018 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag van n (n 0) eurocent. Alle
1 Vervangingsstrategie auto
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2002 1 Vervangingsstrategie auto Onderdeel a Zij V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, waarbij knoop i staat voor het einde
Kortste Paden. Algoritmiek
Kortste Paden Toepassingen Kevin Bacon getal Six degrees of separation Heeft een netwerk de small-world eigenschap? TomTom / Google Maps 2 Kortste paden Gerichte graaf G=(N,A), en een lengte L(v,w) voor
Benaderingsalgoritmen
Benaderingsalgoritmen Eerste hulp bij NP-moeilijkheid 1 Herhaling NP-volledigheid (1) NP: er is een polynomiaal certificaat voor jainstanties dat in polynomiale tijd te controleren is Een probleem A is
Radboud Universiteit Nijmegen
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica L(,1)-labeling van grafen Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Myrte klein Brink 4166140 Bachelor Wiskunde Dr.
Minimum Spanning Tree
Minimum Spanning Tree Wat is MST? Minimum spanning tree De meest efficiënte manier vinden om een verbonden netwerk op te bouwen Wat is een tree/boom? Graaf G: een verzameling knopen (vertices): V een verzameling
Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.
Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur
Optimaliseren in Netwerken
Optimaliseren in Netwerken Kees Roos e-mail: C.Roos@tudelft.nl URL: http://www.isa.ewi.tudelft.nl/ roos Kaleidoscoop college Zaal D, Mekelweg 4, TU Delft 11 October, A.D. 2006 Optimization Group 1 Onderwerpen
Hoofdstuk!7!Kortste!paden!
oofdstukkortstepaden oofdstukkortstepaden In een gewogen graaf is men soms geïnteresseerd in het kortste pad tussen twee punten: dat is een pad, waarbij de som van de gewichten zo klein mogelijk is..inleiding
In dit gedeelte worden drie problemen genoemd die kunnen voorkomen in netwerken.
Aantekening Wiskunde Steiner Aantekening door D. 2086 woorden 25 mei 2016 2,1 1 keer beoordeeld Vak Wiskunde Resultaten Vragen bij het wetenschappelijk materiaal 9.1 Prototype example, p. 374-376 In dit
Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, uur.
Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, 14.30-17.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd
Elfde college algoritmiek. 18 mei Algoritme van Dijkstra, Heap, Heapify & Heapsort
Algoritmiek 018/Algoritme van Dijkstra Elfde college algoritmiek 18 mei 018 Algoritme van Dijkstra, Heap, Heapify & Heapsort 1 Algoritmiek 018/Algoritme van Dijkstra Uit college 10: Voorb. -1- A B C D
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2003 1 Docenten Onderdeel a Er zijn 6 vakken V 1, V 2,..., V 6. Vak V j heeft een vraag b j = 1, voor j = 1, 2,...,
Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur.
Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, 13.30-16.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd
Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.
Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten
Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound
Algoritmiek 011/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 april 011 Dijkstra en Branch & Bound 1 Algoritmiek 011/11 Kortste paden Gegeven een graaf G met gewichten op de takken, en een beginknoop s. We
Uitwerkingen Sum of Us
Instant Insanity Uitwerkingen Sum of Us Opgave A: - Opgave B: Voor elk van de vier kubussen kun je een graaf maken die correspondeert met de desbetreffende kubus. Elk van deze grafen bevat drie lijnen.
Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6.
Overzicht 1. Definities 2. Basisalgoritme 3. Label setting methoden 4. Label correcting methoden 5. Ondergrenzen 6. Resultaten Kortste Pad Probleem 1 Definities Een graaf G = (V, E) bestaat uit een verzameling
Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB136) Uitwerkingen proeftentamen.
Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB6) Uitwerkingen proeftentamen. Docent: Rob H. Bisseling april 202. Begin met een matching M = {x y, x y, x 6 y 6 } aangegeven door de vette lijnen. x De
Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013
Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen
Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme
Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten
Lege polygonen in een graaf.
Uitwerking puzzel 94-2 Lege polygonen in een graaf. Lieke de Rooij Wobien Doyer We hebben n punten die al of niet met elkaar worden verbonden. De bedoeling is om met zo min mogelijk lijnen (=verbindingen)
Gerichte Grafen Boolese Algebra s &. Logische Netwerken
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 10 maart 2009 Gerichte Grafen Boolese Algebra s &. Logische Netwerken. Paragrafen
Heuristieken en benaderingsalgoritmen. Algoritmiek
Heuristieken en benaderingsalgoritmen Wat te doen met `moeilijke optimaliseringsproblemen? Voor veel problemen, o.a. optimaliseringsproblemen is geen algoritme bekend dat het probleem voor alle inputs
definities recursieve datastructuren college 13 plaatjes soorten Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten
recursieve datastructuren college graphs definities Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten E edges, arcs, kanten, pijlen, lijnen verbinding tussen knopen Voorbeelden steden en verbindingswegen
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari
Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari 2007. (a) De buitenste for-lus kent N = 5 iteraties. Na iedere iteratie ziet de rij getallen er als volgt uit: i rij na i e iteratie 2 5 4 6 2 2 4
Algoritmiek. 15 februari Grafen en bomen
Algoritmiek 15 februari 2019 Grafen en bomen 1 Grafen (herhaling) Een graaf G wordt gedefinieerd als een paar (V,E), waarbij V een eindige verzameling is van knopen (vertices) en E een verzameling van
Tentamen combinatorische optimalisatie Tijd:
Tentamen combinatorische optimalisatie 26-05-2014. Tijd: 9.00-11.30 Tentamen is met gesloten boek. Beschrijf bij elke opgave steeds het belangrijkste idee. Notatie en exacte formulering is van minder belang.
Minimaal opspannende bomen
Dit studiemateriaal is ontwikkeld door de kerngroep wiskunde D Delft en mag gratis gebruikt worden in het wiskundeonderwijs in het vo. Kerngroep wiskunde D Delft Liesbeth Bos Scala College Wim Caspers
Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS
Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Tiende college algoritmiek 14 april 2016 Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS 1 Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Houtzaagmolen
Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren
Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem
Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie
Kortste Paden. Algoritmiek
Kortste Paden Vandaag Kortste Paden probleem All pairs / Single Source / Single Target versies DP algoritme voor All Pairs probleem (Floyd s algoritme) Dijkstra s algoritme voor Single Source Negatieve
Examen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2006 2007, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Verzamelingen:
Vierde college complexiteit. 26 februari Beslissingsbomen en selectie Toernooimethode Adversary argument
Complexiteit 2019/04 College 4 Vierde college complexiteit 26 februari 2019 Beslissingsbomen en selectie Toernooimethode Adversary argument 1 Complexiteit 2019/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair
De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden.
. a) Een Fibonacci boom (niet te verwarren met een Fibonacci queue) van hoogte h is een AVL-boom van hoogte h met zo weinig mogelijk knopen. i. Geefvoorh =,,,,eenfibonacciboomvanhoogteh(eenboombestaande
Algoritmen aan het werk
Algoritmen aan het werk (Dag van de wiskunde 24/11/2018) Veerle Fack Universiteit Gent De bevers en de brug Vier bevers willen in het donker een brug oversteken. Ze kunnen de brug slechts alleen of met
Examen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2016 2017, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Activiteit 9. Modderstad Minimaal Opspannende Bomen. Samenvatting. Kerndoelen. Leeftijd. Vaardigheden. Materialen
Activiteit 9 Modderstad Minimaal Opspannende Bomen Samenvatting Onze maatschappij is verbonden middels heel veel netwerken: telefoonnet, elektriciteitsnet, de riolering, computernetwerk, en het wegennet.
A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).
64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten
Vijfde college complexiteit. 21 februari Selectie Toernooimethode Adversary argument
Complexiteit 2017/05 College 5 Vijfde college complexiteit 21 februari 2017 Selectie Toernooimethode Adversary argument 1 Complexiteit 2017/05 Opgave 28 Gegeven twee oplopend gesorteerde even lange rijen
Toewijzingsprobleem Bachelorscriptie
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Toewijzingsprobleem Bachelorscriptie Auteur: Veronique Rademaekers (s4155718) Begeleiders: Dr. W. Bosma en dr. H.
Tentamen Discrete Wiskunde
Discrete Wiskunde (WB011C) 22 januari 2016 Tentamen Discrete Wiskunde Schrijf op ieder ingeleverd blad duidelijk leesbaar je naam en studentnummer. De opgaven 1 t/m 6 tellen alle even zwaar. Je hoeft slechts
Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search
Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Examen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2010 2011, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 6 september, 2012
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 6 september, 2012 Algemene informatie College: donderdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft vragenuur Delft Vier verplichte huiswerkopgaven
Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie
Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen
Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound
Algoritmiek 013/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 mei 013 Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound 1 Algoritmiek 013/11 Voorbeeld -1- A B C D E F G H 9 7 5 A B C D E F G H 0 9 9 7 5 A B C
Het minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve
1 (a) In een B-boom van orde m bevat de wortel minimaal 1 sleutel en maximaal m 1 sleutels De andere knopen bevatten minimaal m 1 sleutels en maximaal m 1 sleutels (b) In een B-boom van orde 5 bevat elke
2 beslissen in netwerken. Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken. versie 4 vrijdag 16 november 2007
eslissen beslissen in netwerken Wiskunde Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken versie vrijdag november 00 Samenstelling Jan ssers ism Kerngroep Wiskunde indhoven ontys voorkennis: optimaliseren.
Greedy algoritmes. Algoritmiek
Greedy algoritmes Algoritmiek Algoritmische technieken Trucs, methoden, paradigma s voor het ontwerpen van algoritmen Dynamisch Programmeren Divide & Conquer Greedy 2 Greedy algoritme Bouwt de oplossing
Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend
Examen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke
Tweede college algoritmiek. 12 februari Grafen en bomen
College 2 Tweede college algoritmiek 12 februari 2016 Grafen en bomen 1 Grafen (herhaling) Een graaf G wordt gedefinieerd als een paar (V,E), waarbij V een eindige verzameling is van knopen (vertices)
Radboud Universiteit Nijmegen
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der natuurwetenschappen, wiskunde en informatica juli 07 Matchingtheorie op grafen Jorrit Bastings S6556 Begeleider: Wieb Bosma Inhoudsopgave Het huwelijksprobleem