Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search"

Transcriptie

1 Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1

2 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a e d Route a b c d e a kost 206. Route a b e c d a kost 89. c Een route is een cyclische permutatie π van de steden. π(i) = j betekent: stad j volgt na stad i. De kosten van een route zijn: n c iπ(i) i=1 De matrix C = (c ij ) is de afstandsmatrix van het gegeven TSP. Als er geen weg loopt van stad i naar stad j, dan nemen we c ij =. Een TSP heet symmetrisch als c ij = c ji voor alle i, j. Anders heet het TSP asymmetrisch. Handelsreizigersprobleem 2

3 Een moeilijk probleem Er is geen polynomiaal algoritme bekend om het TSP op te lossen. Alle algoritmen zijn exponentieel in het aantal steden n. Brute force Het aantal routes is bij een symmetrisch TSP: (n 1)! 2. Als n = 50 dan geldt (n 1)! = 6, Een 1000 Ghz PC heeft daar 1, jaar voor nodig. Jaar Land Steden 1998 VS Duitsland Zweden Handelsreizigersprobleem 3

4 Toepassingen Vehicle routing Hierbij gaat het om de bevoorrading van winkels vanuit een depot d.m.v. vrachtwagens. De vraag is welke vrachtwagen welke winkels, en in welke volgorde, moet bevoorraden, zo dat de totale kosten worden geminimaliseerd. Computer bedrading Gegeven zijn n pinnen die moeten worden verbonden door één, zo kort mogelijke, draad. Met een dummy pin 0 (c i0 = c 0i = 0 i) heb je een TSP met n + 1 steden. Taak volgorde Een machine moet n taken uitvoeren. Als taak j direct na taak i wordt uitgevoerd is een zekere omsteltijd c ij nodig. De tijd nodig voor het uitvoeren van taak j is p j. De omsteltijden vanuit de begintoestand en naar de begintoestand zijn c 0i en c i0. Introduceer een dummy taak 0, met p 0 = 0. Minimaliseer: n ( ) n n ciπ(i) + p π(i) = c iπ(i) + i=0 i=0 p i i=1 Handelsreizigersprobleem 4

5 Kortste Hamilton pad Zij C = (c ij ) een n n afstandsmatrix. Een pad door het netwerk dat elke knoop precies éénmaal bevat heet een Hamilton pad. Vrije begin en eindknoop Dit kan worden herleid tot een TSP op n + 1 knopen, door de introductie van een dummyknoop 0 met: c i0 = c 0i = 0 1 i n. Vaste begin en vaste eindknoop Stel nu dat we een gegeven beginknoop s en een gegeven eindknoop t hebben. Vervang dan s en t door een enkele knoop u en definieer een nieuwe afstandsmatrix: c ij = c sj c it c ij als i = u als j = u anders Alleen een vaste beginknoop Als alleen s wordt gespecificeerd, neem dan c js = 0. Los het TSP op voor de n steden. Handelsreizigersprobleem 5

6 Herhaling van steden Stel dat we elke stad minstens eenmaal moeten bezoeken, in plaats van precies eenmaal, zoals bij het TSP. Dit probleem kan worden herleid tot een TSP. Daartoe dient de gegeven afstandsmatrix C = (c ij ) vervangen te worden door een nieuwe afstandsmatrix C = (c ij ) waarbij c ij de lengte van het kortste pad van i naar j voorstelt. Omgekeerd, stel dat we een algoritme hebben voor de minstens eenmaal versie van het TSP. Dan kunnen we daarmee ook het gewone TSP oplossen. Tel daartoe een vast getal M op bij alle afstanden. Daardoor wordt elk Hamilton circuit nm langer. Een route die sommige steden meermalen bezoekt bevat meer dan n takken en wordt dus met meer dan nm verhoogd. Bijgevolg, als we M voldoende groot kiezen zal de oplossing van de minstens eenmaal versie elke stad precies eenmaal bezoeken. Handelsreizigersprobleem 6

7 Minimale opspannende boom Een opspannende boom van een graaf met n knopen is een deelnetwerk met n 1 takken dat alle knopen verbindt. Algoritme van Kruskal: 1. Initialisatie Sorteer de takken (i, j) op oplopende c ij. Zij q = 1, zij B =. 2. Takselectie Kies tak q uit de gesorteerde lijst met takken. Wanneer tak q geen circuit oplevert met de takken in B, ga dan naar stap 3. Verhoog q anders met 1 en doe stap Stopcriterium Voeg tak q toe aan B. Als B < n 1, verhoog dan q met 1 en doe stap 2. Elk Hamilton pad is een opspannende boom en omgekeerd is een opspannende boom een Hamilton pad als voldaan is aan de voorwaarde: elke knoop van de boom heeft graad 2. Handelsreizigersprobleem 7

8 Modellering x ij = { 1 stad j komt onmiddellijk na stad i 0 anders Dan is het toewijzingsprobleem: Min z.d.d. n n i=1 j=1 n i=1 n j=1 c ij x ij x ij = 1 x ij = 1 j = 1,..., n i = 1,..., n Subroutes Als n = 4 dan voldoet x 12 = x 21 = x 34 = x 43 = 1 en x ij = 0 anders. Deze toelaatbare oplossing van het toewijzingsprobleem correspondeert met de twee subroutes en niet met een Hamilton circuit Handelsreizigersprobleem 8

9 Geen subroutes: 3 formuleringen i S j S i S j S x ij S 1 S V, S =, S = x ij 1 S V, S =, S = Voer hulpvariabelen u i, 2 i n, in met de volgende restricties: u i u j + nx ij n 1, 2 i, j n Als er subroutes zijn, dan zijn er geen u i te vinden die hieraan voldoen! Want er is een subroute die stad 1 niet bevat. Tel voor de k takken op die subroute de restricties op en je vindt: nk (n 1)k. Omgekeerd, bij elk Hamilton circuit bestaan getallen u i die wel voldoen. Zij namelijk i de p-de stad op het Hamilton circuit, geteld vanuit 1, dan voldoet u i = p: Als x ij = 0 dan geldt: max(u i u j ) = n 2 < n 1 Als x ij = 1 dan geldt: u i u j + n = 1 + n n 1 Dit zijn (n 1) 2 restricties i.p.v. 2 n 2. Handelsreizigersprobleem 9

10 Branch & Bound B&B maakt gebruik van een zoekboom Q. Een knoop k Q representeert een verzameling van handelsreizigersroutes, die bepaalde takken E k niet ( exclude ) en andere takken I k wel ( include ) bevatten. Branching Een knoop k wordt vertakt door de verzameling van handelsreizigersroutes in knoop k verder te splitsen in deelverzamelingen. Bounds Na het vertakken worden ondergrenzen berekend voor de lengtes van de handelsreizigersroutes in elk van de nieuw gevormde knopen. Zoekproces Vertak een nog niet eerder vertakte knoop, totdat een Hamilton-circuit wordt gevonden. Nu hoeven alleen nog knopen te worden vertakt waarvan de ondergrens lager is dan de lengte van het kortste gevonden circuit. Handelsreizigersprobleem 10

11 Implementatie Het niveau van knoop k is de afstand (gemeten in tussenliggende knopen) tot de wortelknoop. Welke knoop k Q wordt vertakt? Depth First Search (stack) Knoop k met het hoogste niveau in de boom wordt gekozen. Breath First Search (queue) De boom wordt niveau voor niveau doorgelopen. Per niveau wordt meestal van links naar rechts gewerkt. Best First Search (priority queue) Knoop k met de laagste l k in de boom wordt gekozen. Best First Search is aantrekkelijk, omdat de kans bestaat dat er snel een handelsreizigersroute met lage kosten gevonden wordt. De benodigde opslagruimte bij deze methode is vaak groter dan bij Depth First Search. Handelsreizigersprobleem 11

12 B&B met reductie TSP met 6 steden (120 mogelijke routes): C = Reductie Als we van alle elementen in een rij (of kolom) van C een constante q aftrekken, wordt de lengte van elke TS-route q lager. Per kolom wordt de minimale waarde in die kolom afgetrokken van alle elementen in die kolom. Evenzo in de rijen. Dan is er in iedere rij en kolom minstens een 0 te vinden. De som van alle afgetrokken constanten is een ondergrens voor de lengte van elke TS-route. In het voorbeeld is deze ondergrens: = 79 Handelsreizigersprobleem 12

13 Gereduceerde matrix en vertakking Start met knoop 0, l 0 = 79 en I 0 = E 0 =. Zij p ij = min h j c ih + min h i c hj p 12 = 14 p 21 = 4 p 46 = 36 p 61 = 0 p 14 = 2 p 35 = 18 p 56 = 2 p 63 = 52 Vertakkingsregel Vertak knoop k op basis van tak (r, s), met: p rs = max { p ij c ij = 0 } Er ontstaan dan twee opvolgers van knoop k, de knopen k1 en k2 met: E k1 = E k {(r, s)} E k2 = E k I k1 = I k I k2 = I k {(r, s)} Handelsreizigersprobleem 13

14 De eerste vertakking alle TS-routes ondergrens = 79 routes zonder (6,3) o.g=79+52=131 routes met (6,3) o.g= De linkermatrix wordt na reductie: Handelsreizigersprobleem 14

15 We vertakken rechts verder: De tweede vertakking p 12 = 14 p 21 = 11 p 46 = 36 p 14 = 2 p 35 = 18 p 56 = 2 routes met (6,3) o.g.=79 routes met (6,3), zonder (4,6) o.g.=79+36=115 routes met (6,3) en (4,6) o.g=79+2= In de rechterknoop geldt: p 12 = 14 p 21 = 9 p 54 = 5 p 14 = 0 p 35 = 18 Handelsreizigersprobleem 15

16 Derde en vierde vertakking routes met (6,3), (4,6), zonder (3,5) o.g.=81+18=99 routes met (6,3) en (4,6) o.g.=81 routes met (6,3), (4,6) en (3,5) o.g.=81+5= In de rechterknoop geldt: p 12 = 18, p 14 = 28, p 21 = 28 en p 51 = 18. routes met (6,3), (4,6) en (3,5) o.g.=86 met (6,3), (4,6), (3,5), zonder (2,1) o.g.=86+28=114 met (6,3), (4,6), (3,5) en (2,1) o.g=86+18=104 Rechts volgt: Handelsreizigersprobleem 16

17 Zoekboom alle routes o.g. 79 (6, 3) o.g. 131 (6,3) o.g. 79 (4, 6) o.g. 115 (4,6) o.g. 81 (3, 5) o.g. 99 (3,5) o.g. 86 (2, 1) o.g. 114 (2,1) b.g. 104 Voor de knoop met o.g. 99 geldt: p 12 = 0 p 21 = 5 p 32 = 28 p 14 = 0 p 25 = 13 p 54 = 5 Handelsreizigersprobleem 17

18 Vijfde en laatste vertakking met (6,3), (4,6), zonder (3,5), (3,2) o.g=99+28=127 routes met (6,3), (4,6), zonder (3,5) o.g.=99 met (6,3), (4,6), (3,2), zonder (3,5) o.g= In de rechterknoop geldt: p 14 = 13, p 21 = 5, p 25 = 13 en p 54 = 5. met (6,3), (4,6), (3,2), zonder (3,5) o.g.=99 (6,3), (4,6), (3,2), (3, 5), (1, 4) o.g.=99+13=112 (6,3), (4,6), (3,2), (1, 4), (3, 5) b.g.=99+5=104 Route: In totaal zijn er slechts 13 knopen doorzocht. Handelsreizigersprobleem 18

19 B&B op basis van toewijzingsprobleem Definieer E 0 = I 0 = en stel k = 0. Los het toewijzingsprobleem op voor C = (c ij ). Zijn er subroutes, bepaal dan de subroute met de minste steden. Zij S de verzameling steden op deze subroute. Zij V de verzameling van alle steden. We moeten dan zodanig vertakken dat in de kinderen van knoop k deze subroute S = (s 1, s 2,..., s S ) niet meer voorkomt. Vertak knoop k in S kinderen. Kind r (r = 1,2,..., S ) heeft als verzameling verboden en verplichte takken: E kr I kr = E k {(s 1, i) i V\S}... {(s r 1, i) i V\S} {(s r, i) i S} = I k Elke verboden tak (i, j) krijgt c ij = waarna het toewijzingsprobleem opnieuw kan worden opgelost. Handelsreizigersprobleem 19

20 Branch & Cut Het handelsreizigersprobleem bestaat uit het toewijzingsprobleem, een restrictie om subroutes te voorkomen en x ij moet 0 of 1 zijn. Wanneer de laatste eis vervangen wordt door 0 x ij 1 resteert een lineair programmerings probleem (LP-probleem). Voor LP-problemen bestaan efficiënte oplosmethoden. Wanneer de oplossing van het LP-probleem een fractionele x ij bevat, moet er vertakt worden op basis van deze tak. Eén knoop krijgt x ij = 0, de ander x ij = 1. Cuts Wanneer een geheeltallige oplossing van het LP-probleem een subroute bevat, wordt er pas een restrictie toegevoegd, om die bewuste subroute te voorkomen. Een eenmaal toegevoegde cut wordt in de rest van de zoekboom steeds gebruikt. Handelsreizigersprobleem 20

21 Insertie heuristieken 1. Initialisatie Zij s V. Zet V T = {s}. De subroute is s s. 2. Selectie van een stad Kies uit V\V T een stad p. 3. Insertie Voeg de nieuwe stad p op de goedkoopste manier in de subroute in. 4. Stopcriterium Als V\V T, ga dan naar stap 2. Verschillende selectie methoden (stap 2): Arbitrary insertion Nearest insertion Cheapest insertion Farthest insertion Handelsreizigersprobleem 21

22 Voorbeeld: Nearest & Farthest insertion Nearest Insertion (kosten 1364) Farthest Insertion (kosten 1264) Afstandslabel Route 1,1 1,3,1 1,4,3,1 1,4,3,2,1 1,5,4,3,2,1 1,5,4,7,3,2,1 1,5,4,6,7,3,2,1 Afstandslabel Route 1,1 1,5,1 1,7,5,1 1,2,7,5,1 1,2,7,5,4,1 1,3,2,7,5,4,1 1,3,2,7,6,5,4,1 Handelsreizigersprobleem 22

23 Heuristiek van Kruskal 1. Initialisatie Sorteer alle takken op oplopende kosten. Zet T = en k = Selectiestap k k + 1. Kies de k e tak (i, j) uit de gesorteerde lijst. Als i of j al twee keer voorkomt in T ga dan naar stap Controle op circuits Als T < n 1 en tak (i, j) levert een circuit op binnen T, ga dan naar stap Stopcriterium T T (i, j). Als T < n ga dan naar Takken: (6,7), (1,3), (1,4), (2,3), (4,5), (7,2), (6,5) Route: (kosten 1264) Handelsreizigersprobleem 23

24 Local search: r-modificaties Begin met een willekeurig Hamilton circuit T. Verwijder r takken uit T (r 2), Verbindt de losse stukken door r andere takken, zodanig dat een nieuw Hamilton circuit T ontstaat. Als de lengte l(t ) kleiner is dan l(t ) wordt T vervangen door T. Dit proces blijven we herhalen tot er geen verbetering meer gevonden kan worden: T r-optimaal. Het aantal mogelijke r-modificaties is: ( n r ) = n! r!(n r)! Het genereren van alle r-modificaties van een Hamilton circuit vergt dus O(n r ) rekentijd. Handelsreizigersprobleem 24

25 Het 2-optimale algoritme Stel dat T bestaat uit de takken x 1, x 2,..., x n. We vervangen x i en x j door y p en y q indien dit tot een kortere route leidt. de takken x i en x j zijn niet naburig gegeven x i en x j, liggen y p en y q vast Het aantal 2-modificaties is dus: n(n 3) 2 In het symmetrische geval is de verbetering van een 2-modificatie als volgt te berekenen: δ = l(h) l(h ) = c(x i ) + c(x j ) c(y p ) c(y q ) We zoeken naar een 2-modificatie, waarvoor δ maximaal is. T is 2-optimaal als δ 0 voor alle 2-modificaties van T. Handelsreizigersprobleem 25

26 Lexicografische zoekmethode Bij x i = (u, v) horen c(x i ) = c uv, c(x i ) = c vu. 1. Initialisatie Zij T de route met x 1, x 2,..., x n. Zet δ max = 0 en i = Nieuw om te keren pad Zet j i + 2 en c + = c(x i+1 ) en c = c(x i+1 ). 3. Een 2-modificatie Zij δ = c(x i ) + c(x j ) + c + c(y p ) c(y q ) c. Als δ > δ max, zet dan δ max δ. 4. Volgende x j Zet c + c + + c(x j ) en c c + c(x j ). Zet j j + 1. Als j i 1 mod n, herhaal dan stap Volgende x i Als i < n dan i i + 1 en doe stap Stopcriterium Als δ max = 0, dan klaar. Voer anders de 2-modificatie behorend bij δ max uit en ga naar stap 1. Handelsreizigersprobleem 26

27 Kwaliteitsgarantie: factor 2 Stel dat de (symmetrische) afstandsmatrix voldoet aan de driehoeksongelijkheid: c ik + c kj c ij Een minimale opspannende boom B is korter dan of gelijk aan de kortste TS-route Depth First Order is 2 de lengte van B: (2,3,1,4,5,4,1,3,7,6,7,3,2) Shortcuts: Dit (1339) is 2 de beste route. Handelsreizigersprobleem 27

28 Kwaliteitsgarantie: factor 3 2 (Christofides) Maak een minimale matching op de knopen met oneven graad in B (2,3,5,6). Er geldt: de minimale matching is kleiner dan (of gelijk aan) 1 2 de kortste TS-route. De Euler tour telt precies het aantal takken in B en de takken van de matching: (2,3,1,4,5,6,7,3,2) Shortcuts: Dit (1264) is 3 2 de beste route. Handelsreizigersprobleem 28

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

1 Vervangingsstrategie auto

1 Vervangingsstrategie auto Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2002 1 Vervangingsstrategie auto Onderdeel a Zij V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, waarbij knoop i staat voor het einde

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Tiende college algoritmiek 13/1 april 017 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten

Nadere informatie

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen

Nadere informatie

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende

Nadere informatie

Twaalfde college algoritmiek. 12 mei Branch & Bound

Twaalfde college algoritmiek. 12 mei Branch & Bound Twaalfde college algoritmiek 12 mei 2016 Branch & Bound 1 Branch and bound -1- Branch & bound is alleen toepasbaar op optimalisatieproblemen genereert oplossingen stap voor stap en houdt de tot dusver

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Modellering. Insertie heuristieken. Voorbeeld: CVV. Local Search. Meta heuristieken. Vehicle Routing Problem 1

Overzicht. Inleiding. Modellering. Insertie heuristieken. Voorbeeld: CVV. Local Search. Meta heuristieken. Vehicle Routing Problem 1 Overzicht Inleiding Modellering Insertie heuristieken Voorbeeld: CVV Local Search Meta heuristieken Vehicle Routing Problem 1 Inleiding Gegeven Depot-knoop 0 Klant-knopen i met vraag q i, i = 1,..., n

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen

Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen Algoritmiek 01/10 College 10 Tiende college algoritmiek april 01 Gretige algoritmen 1 Algoritmiek 01/10 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag

Nadere informatie

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6.

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6. Overzicht 1. Definities 2. Basisalgoritme 3. Label setting methoden 4. Label correcting methoden 5. Ondergrenzen 6. Resultaten Kortste Pad Probleem 1 Definities Een graaf G = (V, E) bestaat uit een verzameling

Nadere informatie

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken). 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Tiende college algoritmiek 14 april 2016 Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS 1 Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Houtzaagmolen

Nadere informatie

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren

Nadere informatie

Transport, Routing- en Schedulingproblemen. ir. H.N. Post

Transport, Routing- en Schedulingproblemen. ir. H.N. Post Transport, Routing- en Schedulingproblemen ir. H.N. Post 1 mei 2006 Inhoudsopgave 1 Kortste pad probleem 7 1.1 Definities...................................... 7 1.2 Basisalgoritme...................................

Nadere informatie

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen. WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound Algoritmiek 013/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 mei 013 Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound 1 Algoritmiek 013/11 Voorbeeld -1- A B C D E F G H 9 7 5 A B C D E F G H 0 9 9 7 5 A B C

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

Computationele Intelligentie

Computationele Intelligentie Computationele Intelligentie Uitwerking werkcollege Representatie, Ongeïnformeerd zoeken, Heuristisch zoeken 1 lokkenwereld a. De zoekboom die door het dynamische breadth-first search algoritme wordt gegenereerd

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede kandidatuur Informatica Academiejaar 2004 2005, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Binomiale

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound Algoritmiek 011/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 april 011 Dijkstra en Branch & Bound 1 Algoritmiek 011/11 Kortste paden Gegeven een graaf G met gewichten op de takken, en een beginknoop s. We

Nadere informatie

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1 Oefeningen voor de oefeningenles Oefening 1 Gegeven een arbitraire binaire zoekboom T met n toppen en een (andere of gelijke) binaire zoekboom T die ook n sleutels bevat. Beschrijf een algoritme dat in

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur.

Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur. Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, 9.00-12.00 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM)

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) CPM (Critical Path Method) Activiteiten met afhankelijkheden en vaste duur zijn gegeven. CPM bepaalt de minimale doorlooptijd van het project. PERT (Program

Nadere informatie

Samenvatting college 1-12

Samenvatting college 1-12 Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van

Nadere informatie

INHOUD MODULE voor WISKUNDE D voor het vwo

INHOUD MODULE voor WISKUNDE D voor het vwo INHOUD MODULE voor WISKUNDE D voor het vwo DISCRETE WISKUNDE Hoofdstuk 1 Minimaal opspannende bomen blz 2 Hoofdstuk 2 Kortste pad (nog toe te voegen) blz 14 Hoofdstuk 3 TSP-probleem blz 15 3.1 Inleiding

Nadere informatie

8. Complexiteit van algoritmen:

8. Complexiteit van algoritmen: 8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel 2 8.1 Complexiteit 4 8.2 NP-problemen 6 8.3 De oplossing 7 8.4 Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het

Nadere informatie

Modellen en Simulatie Simulated Annealing

Modellen en Simulatie Simulated Annealing Utrecht, 14 juni 2012 Modellen en Simulatie Simulated Annealing Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ In deze les een toepassing van Markov ketens: p n+1 =

Nadere informatie

Activiteit 9. Modderstad Minimaal Opspannende Bomen. Samenvatting. Kerndoelen. Leeftijd. Vaardigheden. Materialen

Activiteit 9. Modderstad Minimaal Opspannende Bomen. Samenvatting. Kerndoelen. Leeftijd. Vaardigheden. Materialen Activiteit 9 Modderstad Minimaal Opspannende Bomen Samenvatting Onze maatschappij is verbonden middels heel veel netwerken: telefoonnet, elektriciteitsnet, de riolering, computernetwerk, en het wegennet.

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur.

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur. Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, 13.30-16.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

Duration: 2 hrs; Total points: 100 No documents allowed. Use of electronic devices, such as calculators, smartphones, smartwatches is forbidden.

Duration: 2 hrs; Total points: 100 No documents allowed. Use of electronic devices, such as calculators, smartphones, smartwatches is forbidden. : Computationele Intelligentie (INFOBCI) Midterm Exam Duration: hrs; Total points: No documents allowed. Use of electronic devices, such as calculators, smartphones, smartwatches is forbidden. Question

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit

Nadere informatie

Het minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve

Het minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve 1 (a) In een B-boom van orde m bevat de wortel minimaal 1 sleutel en maximaal m 1 sleutels De andere knopen bevatten minimaal m 1 sleutels en maximaal m 1 sleutels (b) In een B-boom van orde 5 bevat elke

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

Tentamen: Operationele Research 1D (4016)

Tentamen: Operationele Research 1D (4016) UITWERKINGEN Tentamen: Operationele Research 1D (4016) Tentamendatum: 12-1-2010 Duur van het tentamen: 3 uur (maximaal) Opgave 1 (15 punten) Beschouw het volgende lineaire programmeringsprobleem P: max

Nadere informatie

Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 5 juni 2007, uur

Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 5 juni 2007, uur Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag juni 00, 0.00.00 uur Opgave. a. Een toestand bestaat hier uit een aantal stapels, met op elk van die stapels een aantal munten (hooguit n per stapel).

Nadere informatie

1 Complexiteit. of benadering en snel

1 Complexiteit. of benadering en snel 1 Complexiteit Het college van vandaag gaat over complexiteit van algoritmes. In het boek hoort hier hoofdstuk 8.1-8.5 bij. Bij complexiteitstheorie is de belangrijkste kernvraag: Hoe goed is een algoritme?

Nadere informatie

Kortste Paden. Algoritmiek

Kortste Paden. Algoritmiek Kortste Paden Toepassingen Kevin Bacon getal Six degrees of separation Heeft een netwerk de small-world eigenschap? TomTom / Google Maps 2 Kortste paden Gerichte graaf G=(N,A), en een lengte L(v,w) voor

Nadere informatie

Geheeltallige programmering

Geheeltallige programmering Geheeltallige programmering In een LP probleem zijn alle variabelen reëel. In een geheeltallig probleem blijven doelfunctie en constraints lineair, maar zijn de variabelen geheeltallig. LP: IP: BIP: MIP:

Nadere informatie

Kosten. Zoekalgoritmen ( ) College 5: Zoeken met kosten. Een zoekprobleem met stapkosten. Een voorbeeld: het vinden van een route

Kosten. Zoekalgoritmen ( ) College 5: Zoeken met kosten. Een zoekprobleem met stapkosten. Een voorbeeld: het vinden van een route Kosten Zoekalgoritmen (00 00) ollege 5: Zoeken met kosten Peter de Waal, Tekst: Linda van der aag Veel zoekproblemen omvatten kosten: een afstand in kilometers; een geldbedrag; een hoeveelheid tijd; ongemak;...

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten

Nadere informatie

Grafen deel 2 8/9. Zesde college

Grafen deel 2 8/9. Zesde college Grafen deel 2 8/9 Zesde college 1 Een Eulercircuit is een gesloten wandeling die elke lijn precies één keer bevat. traversable trail all edges distinct 8.5 rondwandeling zeven bruggenprobleem van Köningsbergen

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

(On)Doenlijke problemen

(On)Doenlijke problemen Fundamentele Informatica In3 005 Deel 2 College 1 Cees Witteveen Parallelle en Gedistribueerde Systemen Faculteit Informatie Technologie en Systemen Overzicht Inleiding - Relatie Deel 1 en Deel 2 - Doenlijke

Nadere informatie

Local search. Han Hoogeveen. 21 november, 2011

Local search. Han Hoogeveen. 21 november, 2011 1 Local search Han Hoogeveen 21 november, 2011 Inhoud vandaag 2 Inhoud: Uitleg methode Bespreking oude opdrachten: ˆ Bezorgen wenskaarten ˆ Roosteren tentamens Slides staan al op het web www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/colleges.html

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi

NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi NP-Volledigheid Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen Gezien: selectie [O(n)], DFS [O(n + m)], MaxFlow [O nm n + m ], MST [O(n + m)], etc De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

OptimalisereninNetwerken

OptimalisereninNetwerken OptimalisereninNetwerken Kees Roos e-mail: C.Roos@tudelft.nl, croos@otct.eu URL: http://www.isa.ewi.tudelft.nl/ roos HOVO cursus Wiskunde: zuurstof voor de wereld (deel I) 18 februari, A.D. 2009 Optimization

Nadere informatie

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen

Nadere informatie

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde Een miljoen dollar verdienen in de kerstvakantie? Het enige dat u hoeft te doen, is een polynomiaal algoritme te vinden om een sudoku mee op te lossen. Niels Oosterling schetst waar u dan rekening mee

Nadere informatie

Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit

Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Vandaag: Hoe meten we de performance van algoritmen? Waar ligt de grens tussen een goed en een slecht algoritme? 22 oktober 2014 1 Vandaag: Hoe meten we de performance

Nadere informatie

Fundamentele Informatica

Fundamentele Informatica Fundamentele Informatica (IN3120 en IN3005 DOI nwe stijl) 20 augustus 2004, 9.00 11.00 uur Het tentamen IN3120 bestaat uit 10 meerkeuzevragen en 2 open vragen. Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal 65

Nadere informatie

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch

Nadere informatie

Tie breaking in de simplex methode

Tie breaking in de simplex methode Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.

Nadere informatie

5 Automatische partitionering van softwaresystemen

5 Automatische partitionering van softwaresystemen 26 Proceedings of the 52 nd European Study Group with Industry 5 Automatische partitionering van softwaresystemen Rob Bisseling, Jarosław Byrka, Selin Cerav-Erbas, Nebojša Gvozdenović, Mathias Lorenz,

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, uur.

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, uur. Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, 14.30-17.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd

Nadere informatie

Overzicht. Lineaire vergelijkingen. Onderwerpen & Planning. Doel. VU Numeriek Programmeren 2.5

Overzicht. Lineaire vergelijkingen. Onderwerpen & Planning. Doel. VU Numeriek Programmeren 2.5 VU Numeriek Programmeren 25 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam Tinbergen Institute csbos@vunl, A40 Onderwerpen & Planning Practicum Literatuur Taal Terugblik & Huiswerk 2 april 202 /26 2/26 Onderwerpen

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 2. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 2. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 2 Han Hoogeveen, Utrecht University Inhoud vandaag Inhoud: Uitleg methode Bespreking oude opdracht: Bezorgen wenskaarten Slides staan al op het web www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/colleges.html

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

Algoritmiek. 2 februari Introductie

Algoritmiek. 2 februari Introductie College 1 Algoritmiek 2 februari 2017 Introductie 1 Introductie -1- docent: Rudy van Vliet rvvliet@liacs.nl assistent werkcollege: Bart van Strien bartbes@gmail.com website: http://www.liacs.leidenuniv.nl/~vlietrvan1/algoritmiek/

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 14. Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 14. Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 14 Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch Han Hoogeveen, Utrecht University Branch-and-bound voor algemene ILPs (1) Neem even aan dat je een minimaliseringsprobleem

Nadere informatie

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden.

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden. Antwoorden Doeboek 4 Grafen.. De middelste en de rechtergraaf.. Een onsamenhangende graaf met vijf punten en vijf lijnen: Teken een vierhoek met één diagonaal. Het vijfde punt is niet verbonden met een

Nadere informatie

Tentamen IN3105. Complexiteitstheorie. 16 april 2012, uur

Tentamen IN3105. Complexiteitstheorie. 16 april 2012, uur Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Ti Delft Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 16 april 2012, 9.00-12.00 uur Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open

Nadere informatie

Elke groep van 3 leerlingen heeft een 9 setje speelkaarten nodig: 2 t/m 10, bijvoorbeeld alle schoppen, of alle harten kaarten.

Elke groep van 3 leerlingen heeft een 9 setje speelkaarten nodig: 2 t/m 10, bijvoorbeeld alle schoppen, of alle harten kaarten. Versie 16 januari 2017 Sorteren unplugged Sorteren gebeurt heel veel. De namen van alle leerlingen in de klas staan vaak op alfabetische volgorde. De wedstrijden van een volleybal team staan op volgorde

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in

Nadere informatie

Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms

Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Giso Dal (0752975) Pagina s 5 7 1 Deelverzameling Representatie

Nadere informatie

1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d.

1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. 1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. een toewijzingsprobleem. 2. Het aantal toegelaten hoekpunten in een

Nadere informatie

Containers stapelen. M.L. Koning april 2013

Containers stapelen. M.L. Koning april 2013 Technische Universiteit Eindhoven 2WH03 - Modelleren C Containers stapelen L. van Hees 0769244 M.L. Koning 0781346 2 april 2013 Y.W.A Meeuwenberg 0769217 1 Inleiding De NS vervoert dagelijks grote hoeveelheden

Nadere informatie

Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren

Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren Daniel von Asmuth Inleiding Er zijn in de vakliteratuur verschillende manieren beschreven om alle permutaties van een verzameling te generen. De methoden

Nadere informatie

public boolean equaldates() post: returns true iff there if the list contains at least two BirthDay objects with the same daynumber

public boolean equaldates() post: returns true iff there if the list contains at least two BirthDay objects with the same daynumber Tentamen TI1310 Datastructuren en Algoritmen, 15 april 2011, 9.00-12.00 TU Delft, Faculteit EWI, Basiseenheid Software Engineering Bij het tentamen mag alleen de boeken van Goodrich en Tamassia worden

Nadere informatie

Zevende college complexiteit. 17 maart Ondergrens sorteren, Quicksort

Zevende college complexiteit. 17 maart Ondergrens sorteren, Quicksort College 7 Zevende college complexiteit 17 maart 2008 Ondergrens sorteren, Quicksort 1 Sorteren We bekijken sorteeralgoritmen gebaseerd op het doen van vergelijkingen van de vorm A[i] < A[j]. Aannames:

Nadere informatie

De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden.

De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden. . a) Een Fibonacci boom (niet te verwarren met een Fibonacci queue) van hoogte h is een AVL-boom van hoogte h met zo weinig mogelijk knopen. i. Geefvoorh =,,,,eenfibonacciboomvanhoogteh(eenboombestaande

Nadere informatie

ALGORITMIEK. Keuzemodule Wiskunde B/D. Mark de Berg TU Eindhoven

ALGORITMIEK. Keuzemodule Wiskunde B/D. Mark de Berg TU Eindhoven ALGORITMIEK Keuzemodule Wiskunde B/D Mark de Berg TU Eindhoven Voorwoord Algoritmiek is het gebied binnen de informatica dat zich bezig houdt met het ontwerpen en analyseren van algoritmen en datastructuren.

Nadere informatie

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten

Nadere informatie

Tie breaking in de simplex methode

Tie breaking in de simplex methode Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.

Nadere informatie

Modellen en Simulatie Speltheorie

Modellen en Simulatie Speltheorie Utrecht, 20 juni 2012 Modellen en Simulatie Speltheorie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Program Optimaliseren Nul-som matrix spel Spel strategie Gemengde

Nadere informatie

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk van Russell/Norvig = [RN] Genetische algoritmen. voorjaar 2016 College 11, 3 mei 2016

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk van Russell/Norvig = [RN] Genetische algoritmen. voorjaar 2016 College 11, 3 mei 2016 AI Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 4.1.4 van Russell/Norvig = [RN] Genetische algoritmen voorjaar 2016 College 11, 3 mei 2016 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/ai/ 1 Introductie Er zijn allerlei

Nadere informatie

Oefententamen in2505-i Algoritmiek

Oefententamen in2505-i Algoritmiek TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Oefententamen in2505-i Algoritmiek Maart 2007 Het gebruik van boek of aantekeningen tijdens dit tentamen is niet toegestaan.

Nadere informatie