Elfde college algoritmiek. 10 mei Algoritme van Dijkstra, Gretige Algoritmen

Transcriptie

1 lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra lfde college algoritmiek 10 mei 019 lgoritme van ijkstra, Gretige lgoritmen 1

2 lgoritmiek 019/ynamisch programmeren Programmeeropdracht 3 Lange Reis

3 lgoritmiek 019/ynamisch programmeren Programmeeropdracht 3 Lange Reis Minimale kosten = 31 Tank: 10, 0, 30, 3

4 lgoritmiek 019/ynamisch programmeren Programmeeropdracht 3 Lange Reis Minimale kosten = 31 Tank: 10, 0, 30, ynamisch programmeren kosten[i][j] =... kosten[3][] =... kosten[3][10] =...

5 lgoritmiek 019/ynamisch programmeren Programmeeropdracht 3 Lange Reis Met twee jokers: Minimale kosten = 13,0 Tank:, 0 (joker), 1, 3 (joker) ynamisch programmeren kosten[i][j][k] =...

6 lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra Uit college 10: Voorb. -1- G H 9 7 G H G H G H

7 lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra Uit college 10: Voorb. -- G H G H G H G H

8 lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra Uit college 10: Voorb G H G H Het algoritme is klaar: alle knopen gehad lle kortste paden vanuit met hun lengtes

9 lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra Pseudo-ce // invoer: samenhangende gewogen graaf G = (V,) en startknoop s // uitvoer: array dat de lengtes van de kortste paden vanuit s bevat; // na afloop is pad[v] = de lengte van een kortste pad van s naar v for v V do pad[v] := ; pad[s] := 0; U := ; while ( U V ) do vind knoop v V \U met pad[v ] minimaal; U := U {v }; for alle knopen v aangrenzend aan v do if pad[v ]+gewicht(v,v) < pad[v] then pad[v] := pad[v ]+gewicht(v,v); fi omplexiteit (met adjacency matrix):... 9

10 lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra Pseudo-ce // invoer: samenhangende gewogen graaf G = (V,) en startknoop s // uitvoer: array dat de lengtes van de kortste paden vanuit s bevat; // na afloop is pad[v] = de lengte van een kortste pad van s naar v for v V do pad[v] := ; pad[s] := 0; U := ; while ( U V ) do vind knoop v V \U met pad[v ] minimaal; U := U {v }; for alle knopen v aangrenzend aan v do if pad[v ]+gewicht(v,v) < pad[v] then pad[v] := pad[v ]+gewicht(v,v); fi omplexiteit (met adjacency matrix): Θ(n+1+n(n+1+n)) = Θ(n ) 10

11 lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra Pseudo-ce // invoer: samenhangende gewogen graaf G = (V,) en startknoop s // uitvoer: array dat de lengtes van de kortste paden vanuit s bevat; // na afloop is pad[v] = de lengte van een kortste pad van s naar v for v V do pad[v] := ; pad[s] := 0; U := ; while ( U V ) do vind knoop v V \U met pad[v ] minimaal; U := U {v }; for alle knopen v aangrenzend aan v do if pad[v ]+gewicht(v,v) < pad[v] then pad[v] := pad[v ]+gewicht(v,v); fi omplexiteit (met adjacency list en priority queue):... 11

12 lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra Priority Queue ij ijkstra: kies knoop buiten boom met laagste kandidaatwaarde ij ranch & ound (volgende week): kies deeloplossing met beste ondergrens/bovengrens Priority Queue: objecten met prioriteit (en info), b.v. { (,9), (,), (H,11) } insert findmax (findmin) deletemax (deletemin) (optioneel) changepriority 1

13 lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra Priority Queue ij ijkstra: kies knoop buiten boom met laagste kandidaatwaarde ij ranch & ound (volgende week): kies deeloplossing met beste ondergrens/bovengrens Priority Queue: objecten met prioriteit (en info), b.v. {(,9),(,),(H,11)} insert: heap: O(log n) findmax (findmin): heap: O(1) deletemax (deletemin): heap: O(log n) (optioneel) changepriority: heap: O(log n) 13

14 lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra Pseudo-ce // invoer: samenhangende gewogen graaf G = (V,) en startknoop s // uitvoer: array dat de lengtes van de kortste paden vanuit s bevat; // na afloop is pad[v] = de lengte van een kortste pad van s naar v for v V do pad[v] := ; pad[s] := 0; U := ; while ( U V ) do vind knoop v V \U met pad[v ] minimaal; U := U {v }; for alle knopen v aangrenzend aan v do if pad[v ]+gewicht(v,v) < pad[v] then pad[v] := pad[v ]+gewicht(v,v); fi omplexiteit (met adjacency list en heap):... 1

15 lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra Pseudo-ce // invoer: samenhangende gewogen graaf G = (V,) en startknoop s // uitvoer: array dat de lengtes van de kortste paden vanuit s bevat; // na afloop is pad[v] = de lengte van een kortste pad van s naar v for v V do pad[v] := ; pad[s] := 0; U := ; while ( U V ) do vind knoop v V \U met pad[v ] minimaal; U := U {v }; for alle knopen v aangrenzend aan v do if pad[v ]+gewicht(v,v) < pad[v] then pad[v] := pad[v ]+gewicht(v,v); fi omplexiteit (met adjacency list en heap): O(n+1+n+nlogn+mlogn) 1

16 lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra Toelichting In het algoritme bevat U steeds alle knopen waarvan de definitieve kortste afstand vanaf s reeds bepaald is. Voor deze knopen geeft het label pad[v] al de definitieve kortste afstand aan. Moet bewezen worden. Voor de andere knopen w geldt na elke ronde (= doorgang door de while): it volgt direct uit het algoritme. (#) pad[w] = min u U {pad[u]+gewicht(u,w)} e volgende dichtstbijzijnde knoop v wordt gekozen uit de knopen uit V \ U die direct grenzen aan U. Nadat deze gekozen is worden de labels aangepast, zat (#) ook geldt voor de nieuwe U. Het is niet zo moeilijk dit algoritme aan te passen zat ook de kortste paden zelf worden berekend. Sla direct na het aanpassen van het label van knoop v de nieuwe kandidaattak (v,v) op: if pad[v ]+gewicht(v,v) < pad[v] then pad[v] := pad[v ]+gewicht(v,v); nieuwe kandidaattak voor v: (v,v) fi it betekent dat pad[w] voor deze knopen w / U de lengte van een kortste pad van s naar w aangeeft via uitsluitend knopen van U. 1

17 lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra orrectheid Na elke ronde (dus ook na de laatste, wanneer U = V) van het algoritme van ijkstra geldt: U bevat alle knopen waarvan de definitieve kortste afstand vanaf s reeds bepaald is. Voor elke v U geeft het label pad[v] die kortste afstand aan. Om dit te bewijzen moet je laten zien dat: wanneer v wordt toegevoegd aan U, pad[v ] inderdaad de lengte van het kortste pad van s naar v bevat 17

18 lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra ssentie van het bewijs pad[v ] is daadwerkelijk lengte van een pad van s naar v : (#) pad[v ] = min u U {pad[u]+gewicht(u,v )} x y s U lengte: pad[v*] X v* it betekent dat pad[v ] de lengte van een kortste pad van s naar v aangeeft via uitsluitend knopen van U. 1

19 lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra ssentie van het bewijs ekijk, behalve het pad ter lengte pad[v ] van s naar v via U een willekeurig ander pad van s naar v. Stel dat x de eerste knoop op dat pad is buiten U, en y de laatste knoop daarvóór. (eze x kán gelijk zijn aan v.) Zij d(s,y,x,v ) de lengte van dat pad. x y s U lengte: pad[v*] X v* an geldt: d(s,y,x,v ) d(s,y,x) = d(s,y) + gewicht(y,x) pad[y] + gewicht(y,x) pad[x] pad[v ] omdat respectievelijk alle gewichten van de takken 0 zijn, pad[y] volgens inductiehypothese kortste afstand is naar y, (#) geldt voor x, en v gekozen was in deze ronde als minimale knoop. Q 19

20 lgoritmiek 019/Gretige lgoritmen Minimale opspannende boom Gegeven een samenhangende, ongerichte graaf G met gewichten op de takken. Gevraagd: een opspannende boom van G met minimaal totaal gewicht

21 lgoritmiek 019/Gretige lgoritmen lgoritme van Prim

22 lgoritmiek 019/Gretige lgoritmen lgoritme van Prim

23 lgoritmiek 019/Gretige lgoritmen Pseudo-ce // invoer: samenhangende, ongerichte gewogen graaf G = (V, ) en startknoop s // uitvoer: T, verzameling takken van minimale opspannende boom T van G for v V do tak[v] := ; tak[s] := 0; U := ; T := ; while ( U V ) do vind knoop v V \U met tak[v ] minimaal; U := U {v }; voeg bijbehorende tak naar v toe aan T (als v s); for alle knopen v aangrenzend aan v do if gewicht(v,v) < tak[v] then tak[v] := gewicht(v,v); fi omplexiteit: zie ijkstra 3

24 lgoritmiek 019/Gretige lgoritmen lgoritme van Prim ls je gewoon wilt doortekenen in één plaatje... ctie 0 egin met 3 Kies, vanaf 1 Kies, vanaf Kies, vanaf Kies, vanaf Kies, vanaf 3 1 en rij in de tabel komt overeen met het array tak in pseudo-ce op vorige slide.

25 lgoritmiek 019/Gretige lgoritmen lgoritme van Kruskal 3 1

26 lgoritmiek 019/Gretige lgoritmen lgoritme van Kruskal // invoer: samenhangende, ongerichte gewogen graaf G = (V, ) // uitvoer: T, verzameling takken van minimale opspannende boom T van G sorteer op gewicht (in oplopende volgorde): e i1,e i,...,e im ; T = ; takteller = 0; k = 0; while takteller < V 1 do k = k+1; if T {e ik } is acyclisch then T = T {e ik }; takteller = takteller+1; fi do

27 lgoritmiek 019/Gretige lgoritmen lgoritme van Kruskal // invoer: samenhangende, ongerichte gewogen graaf G = (V, ) // uitvoer: T, verzameling takken van minimale opspannende boom T van G sorteer op gewicht (in oplopende volgorde): e i1,e i,...,e im ; T = ; takteller = 0; k = 0; while takteller < V 1 do k = k+1; if T {e ik } is acyclisch then T = T {e ik }; takteller = takteller+1; fi do omplexiteit... 7

28 lgoritmiek 019/Gretige lgoritmen lgoritme van Kruskal // invoer: samenhangende, ongerichte gewogen graaf G = (V, ) // uitvoer: T, verzameling takken van minimale opspannende boom T van G sorteer op gewicht (in oplopende volgorde): e i1,e i,...,e im ; T = ; takteller = 0; k = 0; while takteller < V 1 do k = k+1; if T {e ik } is acyclisch then T = T {e ik }; takteller = takteller+1; fi do omplexiteit (met herhaald S of S): Θ(m n)

29 lgoritmiek 019/Gretige lgoritmen lgoritme van Kruskal omplexiteit Kruskal, m.b.v. Union-ind bstract data type van een collectie disjuncte deelverzamelingen van een eindige verzameling makeset(x) find(x) union(x,y) 3 1 9

30 lgoritmiek 019/Gretige lgoritmen lgoritme van Kruskal Twee implementaties Union-ind...(zie werkcollege 1) bstract data type van een collectie disjuncte deelverzamelingen van een eindige verzameling makeset(x) find(x) union(x,y)

31 lgoritmiek 019/Gretige lgoritmen lgoritme van Kruskal omplexiteit Kruskal, m.b.v. Union-ind (boomimplementatie) bstract data type van een collectie deelverzamelingen van een eindige verzameling makeset(x): O(1) find(x): O(logn) union(x,y): O(1), als

32 lgoritmiek 019/Gretige lgoritmen lgoritme van Kruskal // invoer: samenhangende, ongerichte gewogen graaf G = (V, ) // uitvoer: T, verzameling takken van minimale opspannende boom T van G sorteer op gewicht (in oplopende volgorde): e i1,e i,...,e im ; T = ; takteller = 0; k = 0; while takteller < V 1 do k = k+1; if T {e ik } is acyclisch then T = T {e ik }; takteller = takteller+1; fi do omplexiteit... 3

33 lgoritmiek 019/Gretige lgoritmen lgoritme van Kruskal // invoer: samenhangende, ongerichte gewogen graaf G = (V, ) // uitvoer: T, verzameling takken van minimale opspannende boom T van G sorteer op gewicht (in oplopende volgorde): e i1,e i,...,e im ; T = ; takteller = 0; k = 0; while takteller < V 1 do k = k+1; if T {e ik } is acyclisch then T = T {e ik }; takteller = takteller+1; fi do omplexiteit: O(m log n) 33

34 lgoritmiek 019/Gretige lgoritmen lgoritme van Kruskal orrectheid: Voor de eerste iteratie, en na elke iteratie van de while-lus is T nog bevat in (uit te breiden tot) een minimale opspannende boom. ewijs:... 3

35 lgoritmiek 019/Gretige lgoritmen (Werk)college Lezen/leren bij dit college: paragraaf 9.1, 9. (inclusief implementatie van Union ind), 9.3, slides Practicumbijeenkomst: vanmiddag, , in computerzalen: derde programmeeropdracht (dynamisch programmeren) Volgend (laatste!) college: 17 mei 019, , e Sitterzaal (met s middags werkcollege) aarna: mei 019: tentamen oefenen 3