Discrete Wiskunde, College 13. Han Hoogeveen, Utrecht University

Transcriptie

1 Discrete Wiskunde, College 13 Han Hoogeveen, Utrecht University

2 Algoritme van Kruskal (1) Sorteer de kanten in E op volgorde van lengte; hernummer de kanten zodanig dat c(e 1 ) c(e 2 )... c(e m ) Bij twee of meer gelijke lengtes zet je deze kanten willekeurig op volgorde. Begin met T en k = 1 (T en k worden steeds aangepast). Indien k m, voer steeds het volgende uit: 1 Voeg e k toe aan T. 2 Controleer of T nu een cykel bevat. Zo ja, verwijder e k uit T. 3 Verhoog k met 1.

3 Algoritme van Kruskal (2) Stelling. Het algoritme van Kruskal vindt een opspannende boom van minimale lengte, en binnen deze verzameling van optimale opspannende bomen de boom waarvoor geldt dat de som van de indices minimaal is. Bewijs met behulp van een tegenspraak argument (wordt vaak gebruikt om de correctheid van het resultaat van een constructief algoritme (bijv. zet de taken in een bepaalde volgorde) te bewijzen. Observatie (bewijs op werkcollege): Wanneer je een extra kant toevoegt aan een opspannende boom, dan krijg je een cykel. Wanneer je uit dit cykel een willekeurige kant weglaat, dan houd je weer een opspannende boom over.

4 Bewijs correctheid Kruskal (1) Stel dat Kruskal boom K oplevert en dat deze niet optimaal; stel dat T een optimale boom is. Vergelijk K en T : stel dat e i de kant is met laagstgenummerde index die wel in K voorkomt, maar niet in T. Voeg e i toe aan T. Dit levert een cykel op, waarna we de hoogstgenummerde kant (noem deze e j ) uit dat cykel uit T verwijderen; dit levert een nieuwe boom T op. Indien j > i, dan geldt dat T beter is dan T ; dit is in tegenspraak met T optimaal. Conclusie j = i: alle kanten in dat cykel hebben index i.

5 Bewijs correctheid Kruskal (2) Situatie: e i is de laagstgenummerde kant in K die niet in T zit. Wanneer je e i aan T toevoegt, dan krijg je een cykel met e i als hoogst genummerde kant. Niet alle kanten in dat cykel (met e i erbij) in T kunnen in K zitten. Stel dat e h de laagst genummerde kant is die wel in T zit, maar niet in K. Er geldt dus h < i. Dit leidt tot een tegenspraak, want...

6 Algoritme van Prim Kies een willekeurig punt v V als beginpunt; de deelboom begint hier. Definieer V als de punten die al in de deelboom zitten; V {v}. Definieer T als de kanten die al zijn gekozen; T. Indien V < n, voer steeds het volgende uit: 1 Bepaal de kortste kant {s, t} waarvoor geldt dat s V en t / V. 2 Voeg t toe aan V en voeg {s, t} toe aan T. Stelling. Het algoritme van Prim vindt ook een opspannende boom van minimale lengte (bewijs is opgave op werkcollege).

7 Kortste pad: Dijkstra s algoritme (1) Het algoritme van Dijkstra werkt op een gerichte graaf G(V, A) (dus met pijlen). Het algoritme bepaalt het kortste pad van een gegeven punt s V naar alle andere punten in V te bepalen (one-to-many). Voorwaarde: de lengte d(v, w) voor iedere (v, w) A is 0.

8 Kortste pad: Dijkstra s algoritme (2) Dijkstra s algoritme is gebaseerd op DP. Gebruik toestandsvariabelen l(v); l(v) is de lengte van het kortste pad van s naar v l(v) wordt steeds aangepast, totdat je zeker weet dat de lengte niet kan worden verlaagd De status van een punt geeft aan of je het kortste pad hebt gevonden (dan settled ) of nog niet (dan unsettled ).

9 Kortste pad: Dijkstra s algoritme (3) Initialisatie: status v is unsettled voor iedere v V ; { 0 als v = s l(v) = + anders Herhaal steeds de volgende stappen zolang er een punt v V is met status unsettled en l(v) < + 1 Bepaal het punt v met status unsettled waarvoor l(v) minimaal is. 2 Pas de status van v aan tot settled. 3 Pas voor alle punten w V met status unsettled l(w) als volgt aan l(w) min{l(w), l(v) + d(v, w)} Bepaal het bijbehorende pad door terug te zoeken.

10 Correctheid Dijkstra s algoritme Stelling. Het algoritme van Dijkstra vindt een pad van minimale lengte van s naar v voor alle v V. Hoe kun je garanderen dat l(v) de waarde van het kortste pad is, wanneer de status van v wordt veranderd in settled? Stel dat S de verzameling van punten is met status settled ; hoe kun je l(v) dan interpreteren?

11 Kortste pad in geval van negatieve lengtes Als d(v, w) < 0 kan zijn, dan kun je niet garanderen dat l(v) niet meer kan worden verbeterd als l(v) minimaal is voor alle punten met status unsettled. Je kunt algoritme van Dijkstra dus niet meer toepassen. Het blijkt dat je wel het kortste pad kunt bepalen, mits G = (V, A) geen cykels bevat met negatieve lengte. Stel dat aan die voorwaarde is voldaan, hoe kun je dan het DP aanpassen?

12 Algoritme van Bellman-Ford (1) Gebruik een extra parameter in het DP: houd het aantal pijlen bij dat je gebruikt (vergelijkbaar met het aantal dagen bij de fietstocht). Definieer l(v, k) als de lengte van het kortste pad van s naar v dat ten hoogste k pijlen gebruikt. Rest?

13 Algoritme van Bellman-Ford (2) Initialisatie: { 0 als v = s en k = 0 l(v, k) = + anders Recurrente betrekking l(v, k + 1) min{ min w:(w,v) A [l(w, k) + d(w, v)], l(v, k)} Hoe bepaal je de optimale oplossing? Hoe kun je nagaan of er een cykel is met negatieve lengte?

14 Max Flow Mogelijke toepassing: Passagiers moeten reizen van s naar t. De passagiers hoeven niet als groep te reizen. De passagiers kunnen via een aantal tussenstations; hier willen ze niet stranden. Voor iedere verbinding is gegeven hoeveel passagiers mee kunnen. Het is een statisch probleem; tijd speelt geen rol. Het doel is om zo veel mogelijk mensen van s naar t te laten reizen.

15 Max Flow als graafprobleem Gegeven een gerichte graaf G = (V, A) met speciale punten s en t. Je zoekt een stroom x van s (bron) naar t (put) van maximale omvang. De omvang van de stroom is gelijk aan de uitstroom bij s minus de instroom bij s; stroom door andere pijlen speelt geen rol. Voor de stroom x ij door pijl (i, j) A moet gelden 0 x ij c ij. Alles wat er aan stroom in v V \ {s, t} binnenkomt moet er ook weer uit gaan.

16 Algoritme Ford-Fulkerson 1 Begin met een toegelaten stroom: de nulstroom. 2 Gegeven een stroom x zoek een manier om extra stroom van s naar t te sturen in de graaf; zo n pad wordt een stroomvermeerderend pad genoemd. 3 Pas de stroom x aan door zoveel mogelijk stroom over dat stroomvermeerderende pad te sturen. 4 Ga net zolang door totdat je geen stroomvermeerderend pad meer kunt vinden. Hoe kun je rechtstreeks extra stroom van i naar j laten stromen?

17 Residule graaf Je kunt extra stroom van punt i naar j sturen indien x ij < c ij ; er kan maximaal c ij x ij extra door pijl (i, j). x ji > 0: er kan maximaal x ji minder door de pijl (j, i). Gebruik een hulpgraaf om het stroomvermeerderende pad te vinden gegeven de huidige stroom x. Deze hulpgraaf wordt de residuele graaf genoemd; notatie G = (V, Ã).

18 Residule graaf Als (i, j) A, dan bevat à de pijl (i, j) (voorwaarts; capaciteit c ij x ij ) en (j, i) (achterwaarts; capaciteit x ij ). Laat pijlen met capaciteit 0 weg uit Ã. Een stroomvermeerderend pad is dan een pad van s naar t in G; de capaciteit van dit pad is gelijk aan de minimale capaciteit over de pijlen in het pad. Wanneer je geen pad van s naar t in G kunt vinden, dan heb je een stroom van maximale omvang gevonden.

19 Bewijs maximaliteit gevonden stroom Definieer S als de deelverzameling van V die s bevat plus de punten in V die je in G kunt bereiken vanuit s; T bevat de overige punten (inclusief t). De snede [S, T ] splitst de graaf op in twee delen; alle stroom van s naar t moet door de pijlen (v, w) A met v S en w T. De capaciteit van de snede is gedefinieerd als de totale capaciteit van alle pijlen (v, w) A met v S en w T ; dit is een bovengrens op de omvang van de stroom. De omvang van de stroom is gelijk aan de capaciteit van de gevonden snede [S, T ], want alle pijlen (v, w) A met v S en w T zitten vol en de pijlen (w, v) A met v S en w T zijn leeg (je kon w niet bereiken vanuit v in de residuele graaf). Dit leidt tot de max-flow-min-cut stelling.

20 Dinic Het aantal iteraties van het algoritme van Ford-Fulkerson is niet polynomiaal. Aanpassing Dinic: gebruik steeds een stroomvermeerderend pad met zo min mogelijk kanten. Claim: het aantal iteraties is dan O( V A ).

21 Bewijs Dinic (2) Definieer D i als de residuele graaf in iteratie i. Definieer ϕ(d i ) als de afstand van s naar t in D i (iedere pijl heeft lengte 1). Definieer ψ(d i ) als het aantal pijlen dat in tenminste één kortste pad in D i van s naar t voorkomt; (v, w) en (w, v) kunnen niet beide in een kortste pad voorkomen. Het bewijs volgt uit de volgende twee claims: 1. ϕ(d i+1 ) ϕ(d i ) (paden worden niet korter); 2. als ϕ(d i+1 ) = ϕ(d i ), dan geldt ψ(d i+1 ) < ψ(d i ).

22 Bewijs Dinic (3) Definieer α v als de afstand (aantal pijlen) van s naar v in D i. Hulpresultaat: voor iedere pijl (v, w) D i+1 geldt: α w α v + 1 α w α v 1 als (v, w) D i als (w, v) D i } α w α v 1. Als (v, w) D i, dan α w α v + 1 (want (s v)(v, w) is een mogelijk pad). Als (w, v) D i en (v, w) / D i, dan was (w, v) deel van het stroomvermeerderende pad (s w)(w, v)(v t), dus α w = α v 1.

23 Dinic (4): bewijs Claim 1 Stel ϕ(d i+1 ) = k; kortste pad van s naar t in D i+1 is (s, v 1,..., v k 1, t). Gebruik het hulpresultaat met (s, v 1 ),..., (v k 1, t) D i+1, dus α t α vk 1 1,, α v1 α s 1 ϕ(d i+1 ) = k 1 (α t α vk 1 ) + (α vk 1 α vk 2 )+ + (α v1 α s ) = α t α s = ϕ(d i ).

24 Dinic (5): bewijs Claim 2 Uit ϕ(d i+1 ) = ϕ(d i ) volgt α t α vk 1 = 1,, α v1 α s = 1. Dit kan alleen indien alle pijlen (s, v 1 ),..., (v k 1, t) in D i zitten, en dit moet voor ieder kortste pad in D i+1 gelden. Iedere pijl in een kortste pad in D i+1 zit ook in een kortste pad in D i. Minstens één pijl in een kortste pad in D i is verdwenen in D i+1 (volgetankt), dus als ϕ(d i+1 ) = ϕ(d i ), dan geldt ψ(d i+1 ) < ψ(d i ).