l e x e voor alle e E

Transcriptie

1 Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met tenminste één terminal in S en tenminste één terminal buiten S moet gelden dat er tenminste één lijn van de boom S verlaat. x e voor alle S V, S T, T \ S e δ(s) met δ(s) de verzameling lijnen met één eindpunt in S en één eindpunt in V \S. Let op: dit zijn exponentieel veel voorwaarden! Tenslotte hebben we de geheeltalligheidsvoorwaarden: x e {0, } voor alle e E Het is niet nodig om een restrictie op te nemen die eist dat er geen circuits zijn, aangezien we de totale lengte van de de lijnen in de boom minimaliseren en alle lengtes positief zijn. Een oplossing met circuits kan dus nooit optimaal zijn. Werkcollege Opgave 5. O n = {x R n c T x voor alle c {, } n }

2 Werkcollege 3 Starttableaux eerste fase: min w = x a. basis b x x x 3 s s s 3 x a s x a s w Trek tweede rij af van doelstellingsrij om een 0 te creeëren in de kolom van basisvariabele x a. basis b x x x 3 s s s 3 x a s x a s w Breng x in de basis. min{5/, /} = / dus x a verlaat de basis (min ratio test). Trek rij af van rij en tel rij op bij doelstellingsrij. basis b x x x 3 s s s 3 x a s x s w Gereduceerde doelstellingscoëfficienten zijn niet-negatief dus een optimale oplossing van de eerste fase is gevonden. x a zit niet in de basis, dus we kunnen de kolom van x a verwijderen en de orginele doelstellingsfunctie terugplaatsen.

3 basis b x x x 3 s s s 3 s x s z Trek rij van doelstellingsrij af om een nul te creëren in de kolom van basisvariabele x. basis b x x x 3 s s s 3 s x s z Breng x in de basis. s 3 verlaat de basis (min ratio test). basis b x x x 3 s s s 3 s 0 0 x x z Optimale oplossing gevonden (gereduceerde doelstellingscoëfficienten nietnegatief) x =, x =, x 3 = 0. We kunnen echter nog meer optimale oplossingen vinden door x 3 de basis in te brengen (gereduceerde doelstellingscoëfficient nul). x verlaat dan de basis. 3

4 basis b x x x 3 s s s 3 s x x z Andere optimale oplossing gevonden: x = 0, x =, x 3 =. Dit zijn de enige optimale toegelaten basisoplossingen. Alle optimale oplossingen kunnen verkregen worden door convexe combinaties van deze twee oplossingen te nemen: 0 Alle optimale oplossingen: λ + ( λ) met 0 λ. 0 Werkcollege 4 Opgave. (a) Niet waar! Het duale probleem kan ook niet-toegelaten zijn. (b) Waar. Werkcollege 5 Pas Farkas lemma toe op A = [A A] en x = lemma dat precies één van de volgende twee uitspraken waar is: (a) x, x + R n zodanig dat A(x + x ) = b en x +, x 0; (b) π R m zodanig dat π T A 0 en π T A 0 en π T b < 0. [ x + x ]. Dan zegt Farkas () (a): neem x + = x, x = 0 als x 0, en neem x = x, x + = 0 als x < 0. 4

5 (a) (): neem x = x + x. () (b): neem π = y. (b) (): neem y = π T b π. Werkcollege 6 Zeg dat de waarde van ρ(v) correct is als die gelijk is aan de lengte van een kortste pad van s naar v dat alleen punten uit W gebruikt. De initiële waarden van ρ zijn duidelijk correct. Beschouw nu een iteratie van het algoritme. Stel dat punt u toegevoegd wordt aan W. Dus ρ(u) ρ(v) voor alle v V \ W. Merk op dat ρ(u) ρ(w) voor alle w W want anders was u al in een eerdere iteratie toegevoegd aan W. Beschouw eerst een punt w W. Dan kan een kortste s-w pad dat alleen punten uit W {u} gebruikt nooit via u gaan want ρ(u) ρ(w). Dus is de lengte van een kortste s-w-pad dat alleen punten uit W gebruikt gelijk aan de lengte van een kortste s-w-pad dat alleen punten uit W {u} gebruikt. Dus blijft de waarde van ρ(w) correct. Beschouw nu een punt v V \ W waarvoor er geen pijl (u, v) is. Dan is de lengte van een kortste s-v-pad dat alleen punten uit W gebruikt gelijk aan de lengte van een kortste s-v-pad dat alleen punten uit W {u} gebruikt. Dus blijft de waarde van ρ(v) correct. Beschouw nu een punt v V \ W waarvoor er wel een pijl (u, v) is. Stel eerst dat een kortste s-v pad dat alleen punten uit W {u} gebruikt niet door u komt. Dan blijft de waarde van ρ(v) correct. Stel nu dat een kortste s-v pad dat alleen punten uit W {u} gebruikt door u komt. Dan bestaat dit uit een s-u pad dat alleen punten uit W gebruikt plus de pijl (u, v). Dus is ρ(v) = ρ(u) + c uv correct. Dus is de nieuwe waarde van ρ(v) correct. 5

6 Werkcollege 7 (a) Merk eerst op dat je nooit twee keer door dezelfde gang in dezelfde richting loopt. Dus in eindige tijd zul je ofwel de uitgang vinden of vast komen te zitten. Stel dat je vast komt te zitten. Dan bevind je je in de beginkamer, want in elke andere kamer kun je elke keer dat je aankomt een andere uitgang nemen. We bewijzen nu met inductie naar i dat van de i-de bezochte kamer al alle aanliggende gangen in beide richtingen doorlopen zijn. Voor i = (de beginkamer) is dit zeker waar want als je vast komt te zitten in de beginkamer dan heb je die kamer al door elke gang een keer verlaten, en je bent dus al even vaak de kamer binnengelopen. Stel nu dat je van de i-de bezochte kamer al alle aanliggende gangen in beide richtingen doorlopen hebt. Dan heb je ook de gang naar de (i + )-de kamer in beide richtingen doorlopen. Dus heb je de (i + )-de kamer verlaten door de gang met een. Dus heb je de (i + )-de kamer door elke gang verlaten, en dus ben je de (i + )-de kamer door elke gang binnengekomen. De claim volgt nu met inductie. Dus als je vast komt te zitten, dan zijn alle gangen die bereikbaar zijn vanuit de beginkamer al in beide richtingen doorlopen. Als er een weg naar de uitgang zou zijn dan had je die dus moeten vinden. (b) Je loopt maximaal twee keer door elke gang, dus is de looptijd O(g) met g het aantal gangen. Elke keer dat je een kamer bezoekt heb je ook een gang doorlopen, dus hoeven we het aantal kamers niet in de looptijd te noemen. 6