A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken)."

Transcriptie

1 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten tussen i en k die via j loopt = het minimum aantal takken in een keten tussen i en j plus het minimum aantal takken in een keten tussen j en k = d(i, j)+d(j, k). De n getallen d(i) zitten alle in de verz. {, 2,...,n }. Er zijn dus minstens twee getallen met dezelfde waarde. Vraag. Uit de samenhang volgt dat er een keten is tussen ieder tweetal knooppunten. Er is dus een keten tusssen i en, tussen en 2, etc., met als laatste een keten tussen n en j. Dit tezamen is een wandeling tussen i en j waar alle knooppunten op liggen. Vraag.4 Neem i en j. Als (i, j) / E, dan (i, j) E, duseriseenketentusseni en j in G. Als (i, j) E: Kies k in een andere component dan de component van i en j: (i, k) en(k, j) behoren tot E, zodat {i, k, j} een keten tussen i en j is in G. Het omgekeerde is niet waar. Hieronder staat een voorbeeld van een G en G die beide samenhangend zijn. Vraag. 2 4 G 2 4 G a. Neem een graaf met knooppunten; verbind knooppunt met alle andere en laten er verder de takken (2,) en (4,) zijn. Dit is een Euler graaf, want {, 2,,, 4,, } is een Euler kring. Het is geen Hamilton graaf, want om een kring te maken die alle knooppunten bevat, moeten we 2 keer langs knooppunt. b. De volledige graaf met 4 knooppunten is een Hamilton graaf ({, 2,, 4} is een Hamilton kring, maar geen Euler graaf (in ieder knooppunt zijn takken, en als alle takken een kring vormen, A.. GRAFENTHEORIE 6 dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken). Vraag.6 Omdat we toelaten dat het aantal pijlen op een pad 0 is, is het begrip communicerend reflexief. Uit de definitie volgt direct de eigenschap symmetrisch. De relatie is ook transitief, want als er paden zijn van i naar j (en terug) en van j naar k (en terug), dan geven deze een pad van i naar k (en terug). Vraag.7 a. Als alle knooppunten minstens graad 2 hebben, dan is er een kring (overal waar je voor het eerst komt kan je weer weg): er is minstens één knooppunt van de graad, zeg knooppunt i, dat verbonden is met j. Veronderstel dat i het enige knooppunt van graad is. Dan kunnen we vanuit i naar steeds een nieuw knooppunt lopen. Omdat er eindig veel knooppunten zijn stoppen we na een eindig aantal stappen. Dit laatste knooppunt is dan verbonden met een eerder bezocht knooppunt: er is een kring, wat de gewenste tegenspraak oplevert, b. Omdat een boom n takken heeft is n oneven. Volgens Lemma. is i V d(i) =2m. De som van een oneven aantal getallen is dus even: er is minstens één even getal. Vraag.8 We passen inductie naar n toe. De bewering klopt voor n = 2. Beschouw nu een boom T met n knooppunten. Er is een knooppunt i met graad, dat verbonden is met een knooppunt j. Laat i met bijbehorende tak weg, dan is dit weer een boom T. Volgens de inductieveronderstelling is T bipartiet, d.w.z. er is een disjuncte partitie van de knooppunten in V en V 2. Als j V, dan nemen we in T : V = V,V 2 = V2 {i}; als j V 2, dan nemen we in T : V = V {i}, V 2 = V2. Vraag.9 a. Stel S F = voor een co-kring S. Dan bevat de graaf zonder S een boom, wat een tegenspraak oplevert. b. Stel C (E\F = voor een kring C. Dan bevatten de takken van F een kring, wat een tegenspraak oplevert. Vraag.0 De frequenties van de diverse letters zijn: j en d: x; r, l, i, k en n: 2x; h: x; e: 7x. In onderstaande stappen wordt het eerste kind links en het tweede rects geplaatst. Eerste stap: j en d krijgen gemeenschappelijke ouder A met gewicht 2. Tweede stap: r en l krijgen gemeenschappelijke ouder B met gewicht 4. Derde stap: i en k krijgen gemeenschappelijke ouder C met gewicht 4. Vierde stap: A en n krijgen gemeenschappelijke ouder D met gewicht 4. Vijfde stap: B en h krijgen gemeenschappelijke ouder E met gewicht 7. Zesde stap: D en C krijgen gemeenschappelijke ouder F met gewicht 8.

2 66 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN Zevende stap: e en E krijgen gemeenschappelijke ouder G met gewicht 4. Achtste stap: F en G krijgen gemeenschappelijke ouder H met gewicht 22. Dit geeft een binaire boom met op ieder niveau van links naar rechts de knooppunten: niveau 0: H. niveau : F en G. niveau 2: D, C, e en E. niveau : A, n, i, k, B en h. niveau 4: j, d, r en l. Dit geeft voor de letters de codes: j = 0000; d = 000; n = 00; i = 00; k = 0; e = 0; r = 00; l = 0; h =. Hiermee is de tekst op te schrijven. Vraag. a. Neem eerst f en h: knooppunt fh met gewicht 0.2 met linksonder f en rechtsonder h. Neem q en u: knooppunt qu met gewicht 0.7 met links daaronder q en rechts daaronder u. Neem fh en m: knooppunt fhm met gewicht 0.26 met links daaronder de deelboom van fh en rechts daaronder m. Neem qu en fhm: knooppunt qufhm met gewicht 0.4 met links daaronder de deelboom van qu en rechts daaronder de deelboom van fhm. Neem a en n: knooppunt an met gewicht 0.6 met links daaronder a en rechts daaronder n. Neem qufhm en an: knooppunt qufhman met gewicht.06 met links daaronder de deelboom van qufhm en rechts daaronder de deelboom van an. b. geeft n en dit wordt 4x gedaan; 0 geeft h; geeft n; 0 geeft h; geeft n; 0 geeft a; geeft n; 0 geeft a en dit wordt 2x gedaan. Dit geeft het woord nnnnhnhnanaa. A.. GRAFENTHEORIE 67 Vraag.2 Als er geen toewijzing aan F of B is, dan noteren we niets. F = B = ; k = 0; i = ; N[j] =pred[j] = 0 voor j =, 2,...,. j = ; k = VISIT() : N[] = ; i = 2; l = 2; pred[2] = ; F = {(, 2)}. VISIT(2) : N[2] = 2; i = ; l = ; pred[] = 2; F = {(, 2), (2, )}. VISIT() : N[] = ; i = 4; l = ; B = {(, )}. l = ; B = {(, ), (, )}. l = 4; pred[4] = ; F = {(, 2), (2, ), (, 4)}; VISIT(4) : N[4] = 4; i = ; l = 2; B = {(, ), (, ), (4, 2)}. l = ; pred[] = ; F = {(, 2), (2, ), (, 4), (, )}; VISIT() : N[] = ; i = 6; l = ; B = {(, ), (, ), (4, 2), (, )}. Vraag. Het algoritme verloopt als volgt. F = I = D = C = ; k = r = 0; i = ; N[j] =pred[j] =R[j] = 0 voor j =, 2,...,9. j = ; k =. VISIT() : N[] = ; i = 2; l = 2; pred[2] = ; F = {(, 2)}. VISIT(2) : N[2] = 2; i = ; l = ; pred[] = 2; F = {(, 2), (2, )}. VISIT() : N[] = ; i = 4; l = ; D = {(, )}; r = ; R[] =. ga verder met VISIT(2) : l = 4; pred[4] = ; F = {(, 2), (2, ), (2, 4)}. VISIT(4) : N[4] = 4; i = ; l = ; D = {(, ), (4, )}. l = 6; pred[6] = 4; F = {(, 2), (2, ), (2, 4), (4, 6)}. VISIT(6: N[6] = ; i = 6; r = 2; R[6] = 2. ga verder met VISIT(4) : r = ; R[4] =. ga verder met VISIT(2) : r = 4; R[2] = 4. ga verder met VISIT() : r = ; R[] =. j = ; k =2. VISIT() : N[] = 6; i = 7; l = 2; C = {(, 2)}; l = 6; C = {(, 2), (, 6)}; l =9. pred[9] = ; F = {(, 2), (2, ), (2, 4), (4, 6), (, 9)}. VISIT(9) : N[9] = 7; i = 8; l = 7; pred[7] = 9; F = {(, 2), (2, ), (2, 4), (4, 6), (, 9), (9, 7)}. VISIT(7) : N[7] = 8; i = 9; l =6; C = {(, 2), (, 6), (7, 6)}; l = 8; pred[8] = 7. F = {(, 2), (2, ), (2, 4), (4, 6), (, 9), (9, 7), (7, 8)}. VISIT(8) : N[8] = 9; i = 0; l = 4; C = {(, 2), (, 6), (7, 6), (8, 4)}; r = 6; R[6] = 8. ga verder met VISIT(7) : r = 7; R[7] = 7. ga verder met VISIT(9) : l = 8; I = {(9, 8)}; r = 8; R[9] = 8. ga verder met VISIT() : r = 9; R[] = 9. Vraag.4. F = ; Q = {}; d[j] =pred[j] =, j=, 2,, 4, 6; d[] = 0; pred[] = 0.

3 68 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN 2. Q = ; i =. j = : d[] = ; pred[] = ; F = {(, )}; Q = {}. j = 2: d[2] = ; pred[2] = ; F = {(, )(, 2)}; Q = {, 2}. j = 6: d[6] = ; pred[6] = ; F = {(, ), (, 2), (, 6)}; Q = {, 2, 6}. 2. Q = {2, 6}; i =. j = : d[] = 2; pred[] = ; F = {(, ), (, 2), (, 6), (, )}; Q = {2, 6, }. j = 4: d[4] = 2; pred[4] = ; F = {(, ), (, 2), (, 6), (, ), (, 4)}; Q = {2, 6,, 4}. 2. Q = {6,, 4}; i = 2. j =. 2. Q = {, 4}; i = 6. j = Q = {4}; i =. j = Q = ; i = 4. j = 2. Vraag. Veronderstel dat G streng samenhangend is en neem een pijl (i, j). Uit de strenge samenhang volgt dat er een pad is van j naar i. Dit pad, tezamen met de pijl (i, j), geeft een ronde. Omgekeerd, neem aan dat iedere pijl tot een ronde behoort. Veronderstel dat er er een streng samenhangende component bestaat die niet de hele graaf bevat. Omdat de graaf samenhangend is, is er een verbinding tussen de streng samenhangengende component en de rest van de graaf, zeg via de pijl (i, j). Omdat er een ronde is die (i, j) bevat, behoren ook alle knooppunten van de ronde tot de streng samenhangende component: tegenspraak. Vraag.6 Stel T is een opspannende boom met minimale lengte en e/ T.Voege aan T toe, dan ontstaat een kring. Iedere tak uit deze kring weglaten geeft een opspannende boom, en als deze tak niet e is, dan geeft dit een opspannende boom met kleinere lengte dan die van T : tegenspraak. Vraag.7 a. De takken worden in de volgende volgorde gekozen: (, 4), (4, 8), (8, 9), (9, 6), (6, 0), (6, ), (0, 7), (7, ), (6, 2). De lengte is 68. b. De takken worden in de volgende volgorde gekozen: (6, 0), (8, 9), (, 4), (6, 9), (, 6), (7, 0), (4, 8), (, 7), (2, 6). De lengte is 68. Vraag.8 De knooppunten van V hebben graad q en de knooppunten van V 2 hebben graad p. Ermoetdus gelden dat zowel p als q even zijn. Vraag.9 2m = v V d(v) =n r. Omdat n en r beide even zijn (r omdat de graaf Eulers is), is n r door 4 deelbaar, dus m is even. A.. GRAFENTHEORIE 69 Vraag.20 Neem voor ieder van de zeven zalen en de daaromheen liggende gang en knooppunt. Verbind twee knooppunten door een tak voor iedere doorgang die er is tussen de desbetreffende ruimtes. Dit levert een Euler graaf op omdat iedere ruimte een even aantal doorgangen heeft. Door het algoritme tot te passen krijgen we de oplossing, bijv. gang zaal zaal zaal 6 zaal 2 zaal zaal 7 zaal zaal 4 gang zaal 6 zaal 7 gang zaal gang. Vraag.2 Voeg k pijlen van w naar v toe. De graaf wordt daarmee een Euler graaf, zodat de pijlen ervan één ronde vormen. Laat de toegevoegde pijlen weg. Omdat deze niet aangrenzend in de ronde kunnen zijn (ze lopen namelijk alle van w naar v), valt de ronde uiteen in k paden van v naar w. Ieder pad is een enkelvoudig pad plus eventuele rondes. Vraag.22 a. Neem twee driehoeken (de K ) en knoop die in één hoekpunt, zeg v, aan elkaar tot een graaf met knooppunten. Ieder knooppunt heeft een even graad (2 of 4), dus de graaf is Eulers. De graaf is niet Hamilton, want ieder kring door alle knooppunten moet 2x langs v en dat is niet toegestaan. b. Neem de K 4. Deze heeft een Hamilton kring [, 2,, 4, ]. De graaf is niet Eulers, want iedere graad is oneven, namelijk. Vraag.2 a. Het beginpunt doet niet ter zaken, dus start in v. Daarna geven alle (n )! permutaties van 2,,...,n een Hamilton keten, die met een laatste tak naar v een Hamilton kring opleveren. Omdat iedere kring in twee richtingen kan worden doorlopen is het aantal 2 (n )! b. Als n = m, dan is er geen Hamilton kring, dus het aantal is 0. Als n = m: Ook nu doet het beginpunt niet ter zake, dus start in v V. Neem een willekeurige permutatie van de andere knooppunten van V en dit zijn er (n )!. Neem ook een willekeurige permutatie van alle knooppunten van V 2 en dit zijn er n!. Maak nu als volgt een kring: begin in v en neem daarna om en om een element van de permutatie van V 2 resp. V. Omdat iedere kring in beide richtingen kan worden doorlopen is het aantal verschillende Hamilton kringen 2 (n )! n! Vraag.24 Het is duidelijk dat voor een tegenvoorbeeld n oneven moet zijn. Het kleinste tegenvoorbeeld is met n =, de graad moet dan mistens zijn. Neem een keten met knooppunten. De uiteinden hebben graad en het tussenpunt graad 2, terwijl er geen Hamilton kring is. Vraag.2 a. Veronderstel dat G geen Hamilton graaf is. Dan is er volgens Stelling. een tweetal niet-

4 70 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN aangrenzende knooppunten v en w met d(v)+d(w) n. Het aantal takken van de graaf is dan hoogstens het aantal takken in G {v, w} plus (n ), d.w.z. tegenspraak. 2 (n )(n 2) + (n ) = 2 (n2 n + 4) < 2 (n2 n + 6) : b. Voeg knooppunt v n+ toe en verbind dit met alle andere knooppunten. Dit geeft een graaf met n + knooppunten waarvoor geldt d(v)+d(w) n + voor ieder tweetal niet aangrenzende knooppunten. Volgens Stelling. is er dus een Hamilton kring. Laat v n+ weg, dan geeft dit een Hamilton keten in de oorspronkelijke graaf. A.2. LINEIARE MODELLEN 7 A.2 Lineiare Modellen Vraag 2. Beschouw de matrix van de beperkingen met de kolommen in de volgorde y, x,x 2,...,x m. De eerste kolom heeft in rij één een + en in de rijen 2 t/m m+ een ; de kolommen van x i hebben één niet-nul element, namelijk een + in rij i +, i =, 2,...,m. Als we deze matrix spiegelen, dan heeft de eerste kolom één niet-nul element en de overige hebben twee niet-nul elementen: één + en één. Volgens Stelling 2.4 is de matrix totaal unimodulair, zodat alle hoekpunten geheeltallig zijn. Vraag.26 Volgens Stelling.42 is er een Hamilton pad, zeg [v,v 2,...,v n ]. Als (v n,v ) A, dan is de graaf streng samenhangend; anders is er een pijl (v,v n ) A, en als er deze omdraaien krijgen we de pijl (v n,v ) en is de graaf streng samenhangend. Vraag.27 Veronderstel dat er twee Hamilton paden zijn, zeg P =[v,v 2,...,v n ]enp 2 =[w,w 2,...,w n ]. Laat k zdd. v i = w i, i k en v k = w k. Dan is er een p en een q met k + p, q n zdd. w p = v k en v q = w k. Maar dan bevat de graaf een ronde, namelijk [v k,...,v q = w k,...,w p = v k ], waarbij het eerste stuk een deel van P is en het tweede deel een stuk van P 2. Vraag 2.2 G is een boom, dus bipartiet, zodat volgens Stelling 2. A(G) totaal unimodulair is. Hieruit volgt dat det(a ) {0, +, }. Volgens Stelling 2.9 is de rang van A(G) gelijk aan n. Dus elk (n )-tal rijen van A(G) is lineair onafhankelijk, d.w.z. det(a ) = 0, zodat det(a )=±. Vraag 2. a. Neem een extra depot voor de boetes. Laat ( ) (40 + 0) = 20 de voorraad in depot zijn. De kosten per eenheid naar de drie klanten zijn 90, 80 resp. 0. Nu is dit een gewoon transportprobleem dat de som van de transport- en de boetekosten minimaliseert. b. Voor iedere klant kunnen we een eventueel tekort òfwel vanuit depot, òfwel uit depot 2 aanvullen. Omdat de vaste aanvullingskosten hetzelfde zijn (00) en het verschil zit in de transportkosten, nemen voor aaanvulling van een klant het depot met de kleinste transportkosten, d.w.z. klant vanuit depot 2 en de klanten 2 en vanuit depot. Voor deze aanvulling kunnen we een extra depot met voorraad 20 nemen. Dan zijn de transportkosten : voor klant = 0, voor klant = en voor klant = 2.

5 72 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN Vraag 2.4 Onderdeel a: Neem voor iedere maand twee depots: één voor het reguliere productieproces en één voor overwerk. De totale capaciteit is hiermee 4 ( ) = 6000, terwijl er = 2000 nodig is: we nemen een dummy klant die 4000 nodig heeft. De kosten zijn direct gegeven. Onderdeel b: Het tableau dat bij dit probleem hoort is (op de lege plaatsten is de waarde 0 en de hoeveelheden staan in duizendtallen ): Kosten: c = = Vraag 2. Uitgaande van de startoplossing volgens de minimale-kosten regel wordt de oplossing als volgt verkregen c = 4 d = 0. c = 8 optimaal Vraag 2.6 Onderdeel a: We passen de Noord-West regel toe en krijgen dan het volgende: c = = 0. optimaal A.2. LINEIARE MODELLEN 7 Onderdeel b: () Omdat plaats (,) hoort bij een niet basisvariabele en de nieuwe c = u + v = 2 is de huidige oplossing nog steeds optimaal. (2) Omdat c een basisvariabele is krijgen we een nieuwe (u, v)-oplossing, namelijk: Dit tableau is weer optimaal met kosten 0. () Plaats (2,) hoort bij een niet basisvariabele en de nieuwe c 2 =8>u 2 +v = 0 is de huidige oplossing niet meer optimaal. Als volgt wordt nu een optimaal tableau verkregen: c = 0. c = 0 2 = 20 en het tableau is optimaal. Onderdeel c: () Plaats (,) hoort bij een basisvariabele: x := 0 + =, de overige varabelen blijven ongewijzigd en de kosten worden = 4. (2) Plaats (,) hoort bij een niet-basisvariabele. De route van depot naar bestemming via basisvariabelen is: (,2), (2,2) en (2,). Dit geeft x 2 =+=6,x 22 = =4,x 2 = 0+ = (x blijft ongewijzigd op 0). Vraag 2.7 Het gegeven vervoersschema hoort niet bij een opspannende boom, want er is een verbinding te weinig voor een opspannende boom. Maak hiervan een vervoersschema dat wel hoort bij een opspannende boom, bijvoorbeeld door van tussenstation de hoeveelheid 0 naar bestemming 7 te vervoeren. Dit geeft onderstaand schema, waaruit na een iteratie een optimaal tableau volgt Kosten: c = Kosten: c = 4 = = 4. De optimale oplossing is dus: vervoer 0 van depot naar bestemming 6; vervoer 20 van depot 2 naar tussenstation 4, waarvan doorgaat naar bestemming 6 en naar bestemming 7; vervoer van depot via tussenstation naar bestemming 7.

6 74 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN Vraag 2.8 a. Koppel eerst vrouw aan man. Dan vrouw 2 aan man 2, daarna vrouw aan man en vervolgens vrouw 4 aan man. Passen we weer de constructie van het bewijs van de Huwelijkstelling toe, dan krijgen we: v 0 = vrouw ; m = man ; v = vrouw ; m 2 = man 2; v 2 = vrouw 2; m = man ; v = vrouw 4 en nu kunnen we niet verder. Er kunnen dus maximaal 4 vrouwen gekoppeld worden. b. De reden is dat de vrouwen, 2, 4 en tezamen met slechts mannen zijn bevriend, namelijk met de mannen, 2 en. Vraag 2.9 a. Nee, want de vereniging van S,S 2,S en S 4 bevat maar elementen. b. Ja, want {, 2, 4, } is een stelsel representanten. A.2. LINEIARE MODELLEN s = ; d =2 Optimaal tableau De optimale toewijzing is: persoon doet werk, persoon 2 werk 2 en persoon werk. De totale kosten zijn. Vraag a. Er zijn 4 onafhankelijke en (aangegeven met een *): en met 4 strepen (rijen of kolommen) kunnen uiteraard ook alle en gevangen worden b. Er zijn maar 4 onafhankelijke en (aangegeven met een *): en alle en zijn te vangen met 4 strepen (de eerste drie kolommen en de laatste rij). Vraag 2. Na reductie van in de rijen, 2, 4 en en in kolom krijgen we (de 0 s geven de s onafhankelijke nullen aan en een u i of v j geeft aan dat rij i resp. kolom j wordt doorgestreept): s = 4; d = s = ; optimaal De optimale oplossing luidt: x 2 = x 2 = x = x 44 = x = (de overige variabele zijn 0) met waarde 7. Vraag 2.2 Voeg twee dummy werkzaamheden toe die geen geld kosten. Dit geeft onderstaande matrix met daarnaast het eerste tableau na reductie en als laatste het optimale tableau.

7 76 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Complexiteitstheorie A.4. GEHEELTALLIGE LINEAIRE PROGRAMMERING 77 A.4 Geheeltallige Lineaire Programmering Vraag. a. f(n) =Θ(n log 2 n), want n log 2 n 4n + n log 2 n n log 2 n voor alle n 2. b. f(n) =Θ(2 n ), want 2 n 2 n + 0n 2 2 n voor n 2. Vraag.2 a. Waar, want f(n) n 2. b. Waar, want f(n) g(n) omdat voor oneven niet-priemgetallen g(n) =n n 2 = f(n). c. Niet waar, want er zijn oneindig veel oneven niet-priemgetallen en daarvoor geldt niet dat f(n) c g(n). Vraag. a. Stel de input op computer II is m. Dan geldt 00 n 2 = m 2,d.w.z.m = 0n = 000. b. Nu geldt 00 2 n =2 m : m = log 2 (00 2 n ) = log log 2 2 n = log n 07. c. Nu geldt 00 n! =m!, d.w.z. (n + )(n + 2) m = 00, d.w.z. m 0. Vraag.4 Als certificaat nemen we de functie φ van de --correspondentie tussen de knooppunten. We moeten nu voor ieder ongeordend paar (i, j) nagaan of φ{(i, j)} een tak is van G 2 d.e.s.d. als (i, j) een tak is van G. Dit is polynomiaal, want heeft complexiteit O(n 2 ). Vraag. a. De zin is waar, want x = x 2 = x = x 4 = voldoet. b. C =(x x z ) (x x z ) (x x 4 z 2 ) (x x 4 z 2 ) (x 2 x x 4 ) (x x 2 z ) (z x x 4 ). Merk op dat x = x 2 = x = x 4 = z = z 2 = z = z 4 = voldoet. Vraag 4. a. Beschouw het IP-probleem max{x x 2x 2 0; 2x +x 2 ; x,x 2 0 en geheel}. De oplossing van het bijbehorende LP-probleem is x = 6,x 2 = 9, terwijl de enige toelaatbare geheeltallige punten x =0,x 2 =0enx =0,x 2 =zijn. b. Beschouw het IP-probleem max{x + x 2 2x 7; 2x + x 2 8; x,x 2 0 en geheel}. De oplossing van het bijbehorende LP-probleem is x = 7 2,x 2 =. De enige toelaatbare afronding is x =,x 2 = met waarde 0. Het punt x =,x 2 = 2 is echter de optimale oplossing. Vraag 4.2 Voer twee (0,)-variabelen in: y en y 2 met de betekenis y i = 0 d.e.s.d. als x i, i=, 2 en eis dat y = y 2 = mag niet. Dit geeft: Vraag 4. 0 x 0; x +y ; y + y 2 = ; 0 x 2 0; x 2 +y 2 ; y,y 2 {0, }. Dit probleem kan worden opgelost door de volgende variabelen te introduceren: y j {0, }, waarbij y j = 0 () betekent dat doos j niet (wel) wordt gebruikt. x ij {0, }, waarbij x ij = 0 () betekent dat voorwerp i niet (wel) in doos j wordt verpakt. De doelfunctie luidt: min n j= y j. Verder hebben we de beperkingen n x ij =, i n, j= d.w.z. dat ieder voorwerp in precies één doos wordt gestopt, en tenslotte de beperking n a i x ij y j, j n, j= d.w.z. als de j-de doos niet wordt gebruikt (y j = 0), dan kan er ook niets in (x ij = 0 voor alle i) en als deze wel wordt gebruikt (y j = ), dan kan er maximaal volume in ( i xij= a i, ofwel n i= a ix ij ). Het probleem is dus te formuleren als: n n j= min y x ij =, i n; y j {0, }, j n j n j= i= a ix ij y j, j n; x ij {0, }, i, j n.

8 78 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN Vraag 4.4 Dit probleem kan worden opgelost door de volgende variabelen te introduceren: A.4. GEHEELTALLIGE LINEAIRE PROGRAMMERING 79 Vraag 4.6 We krijgen de volgende tableaus (voor de oplossing van het LP-probleem zie Voorbeeld 4.8). y j {0, } met y j = 0 () als kleur j niet (wel) wordt gebruikt. x ij {0, } met x ij = 0 () als het i-de knooppunt niet (wel) met kleur j wordt gekleurd. De doelfunctie luidt: min n j= y j. Verder hebben we de beperkingen n j= x ij =, i n, d.w.z. dat ieder knooppunt precies één kleur krijgt, en de beperkingen x ij y j, i, j n, d.w.z. als de j-de kleur niet wordt gebruikt (y j = 0), dan kan er ook niets mee worden gekleurd (x ij = 0 voor alle i). Tenslotte de beperkingen x ij + x kj als (i, k) E. Het probleem is dus te formuleren als: Vraag 4. Initialisatie: n j= x ij =, i n x ij y j, i, j n n min y j x ij + x kj, j n, (i, k) E. j= y j {0, }, j n x ij {0, }, i, j n L = {P 0 } (het oorspronkelijke probleem); z 0 =+ ; z = ; t = 0. Iteratie : Kies P 0 ; L = ; los de LP-relaxatie op: x 0 = 2,x0 2 = 4, z 0 = 9 2 = 9. Kies als splitsingsvariabele x en beschouw de deelproblemen: P : P 0 met toegevoegd x ; P 2 : P 0 met toegevoegd x 2; z = z 2 = 9; L = {P,P 2 }. Iteratie 2: Kies deelprobleem P ; L = {P 2 }; los de LP-relaxatie op: x =,x 2 = 2, z = 9 = 9. Kies als splitsingsvariabele x 2 en beschouw de deelproblemen: P : P met toegevoegd x 2 ; P 4 : P 0 met toegevoegd x 2 2; z = z 4 = 9; L = {P 2,P,P 4 }. Iteratie : Kies deelprobleem P 2 ; L = {P,P 4 }; los de LP-relaxatie op: x 2 2 =2,x2 2 =4, z 2 = 8 = 8. x =2,x 2 = 4; z = 8 en t =. Iteratie 4: Kies deelprobleem P ; L = {P 4 }; los de LP-relaxatie op: ontoelaatbaar, dus z =. Iteratie : Kies deelprobleem P 4 ; L = ; los LP-relaxatie op: x 4 = 6, x4 2 =2, z 4 = 7 = 7 z = 8: afgehandeld. Iteratie 8: Omdat L = zijn we klaar en is de optimale oplossing: x =2,x 2 = 4 met waarde 8. 0 x 0 7 x 7 x y y y De kolommen zijn lexicografisch positief. De bovenste rij wordt de bronrij en genereert de snede: s = y + 7 y. Voeg deze snede toe, dit geeft het volgende tableau. s y x x 9 7 x y 2 2 y 7 7 s 2 4 De pivotkolom wordt de kolom van y. Dit geeft het volgende tableau. y 2 s x x 0 x y y s De kolom van y 2 wordt de pivotkolom, waarna we het volgende tableau krijgen. 0 x 0 7 x 7 x y y y s Volgens de duale simplex methode wordt 7 als pivot genomen, wat het volgende tableau geeft. s s 2 x x 0 0 x y y -2-2 y 4 - Verder pivoten met de rij van y 2 als pivotrij en -4 als pivotelement. Dit geeft het volgende tableau (we laten de rij van s weg). s s 2 x 0 4 x 0 x y y - y 2-4 Dit tableau is optimaal met oplossing: x =,x 2 = 2 ; de waarde van het optimum is. s y x x 9 7 x y 2 2 y 7 7 Vervolgens wordt de rij van x de bronrij met als bijbehorende snede: s 2 = 4 + s + y. Voeg deze snede toe, dit geeft het volgende tableau. y 2 s x x 0 x y y De bovenste rij is weer de bronrij met als bijbehorende snede: s = y s 2. Voeg deze snede toe, dit geeft het volgende tableau.

9 80 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN Vraag 4.7 We voeren verschilvariabelen y en y 2 in en nemen de volgende stappen om een optimaal LPtableau te krijgen. x x 2 x y 6 - y 2 7 x y x x y 2 - y 2 y 28 x x x De rij van x is de bronrij, wat de snede 22 y y 2 oplevert. Deze voegen we aan het tableau toe en we voeren een pivotstap uit. y 2 y 28 x x x s Vraag 4.8 s y 2 x x 2 x 4 - y 2-22 De reducties zijn: eerste rij: 24; tweede rij: 2; derde rij: 2; vierde rij: 4; vijfde rij: 2. Vervolgens in de eerste kolom: ; tweede kolom: 9; derde kolom: 0; vierde kolom 22; vijfde kolom 0. De totale reductie is 79. Hiernaast staat de gereduceerde matrix met bij de 0 en de reductiegetallen. Iteratie Iteratie 2 Het nevenstaande tableau is optimaal. De optimale oplossing luidt: x =4, x 2 = 0 met waarde L = Het grootste reductiegetal is 2 bij het element (, ). Dit geeft de splitsing in de volgende twee deelproblemen: P :(, ) behoort wel tot de tour; ondergrens is = 200 (immers: als -de rij en -de kolom worden weggelaten kan in -ste rij 2 worden gereduceerd). P 2 :(, ) behoort niet tot de tour; ondergrens = 200. Kies deelprobleem P. Na het weglaten van de -de rij en -ste kolom en na het reduceren, wordt de tabel: Het grootste reductiegetal is 7 bij het element (4, ). Dit geeft de splitsing in de volgende twee deelproblemen: P : voeg aan P toe: (4, ) behoort wel tot de tour; ondergrens is 207 (als (,4) niet is toegestaan, dan kan in de 2-de rij worden gereduceerd en daarna in kolom 4 nog eens 4). P 4 : voeg aan P toe: (4, ) behoort niet tot de tour; ondergrens = 207. A.4. GEHEELTALLIGE LINEAIRE PROGRAMMERING 8 Iteratie Kies deelprobleem P. Na het weglaten van rij 4 en kolom en het verbieden van (, 4) wordt de tabel: Dit laat zich als volgt optimaal afmaken: (, 2, 4,,, ) met lengte Hierdoor bevat deelprobleem P geen betere rondreis. Over blijft dus nog deelprobleem P Iteratie 4 Kies deelprobleem P 2. Neem de eerste tabel en verbied (, ) en voer de reductie uit. Dit geeft de volgende tabel: Het grootste reductiegetal is 2 bij het element (, ) Dit geeft de splitsing in de volgende twee deelproblemen: P : voeg aan P 2 toe: (, ) behoort wel tot de tour; ondergrens is P : voeg aan P 2 toe: (, ) behoort niet tot de tour; ondergrens = 22 en dit probleem kan buiten beschouwing blijven. Iteratie Kies deelprobleem P. Vanwege de symmetrie zitten we in hetzelfde geval als bij P toen we (,) in de tour namen. We kunnen nu dus stoppen. Een optimale oplossing van het TSP is dus de rondreis (, 2, 4,,, ) met lengte 207. Vraag 4.9 Algoritme 4.6 start met S = {}. Vervolgens krijgen we: k =: l min (2) = ; l min () = 4; l min (4) = 2; l min () = ; l min (6) = 9. j= ; S = {, }. k =2: l min (2) = ; l min (4) = 2; l min () = ; l min (6) = 9. j= 2; S = {, 2, }. k =: l min (4) = 2; l min () = 2; l min (6) = 9. j= 4; S = {, 2,, 4}. k =4: l min () = 2; l min (6) = 7. j= ; S = {, 2,,, 4}. k =: l min (6) = 7. j= 6; S = {, 2, 6,,, 4}. Approximatie [, 2, 6,,, 4, ] met lengte 6. Vraag 4.0 Algoritme 4.7 start met S = {}. Vervolgens krijgen we: k =: b min (2) = 70; b min () = 86; b min (4) = 46; b min () = 66; b min (6) = 8. j= 6; S = {, 6}. k =2: b min (2) = 42; b min () = 4; b min (4) = 2; b min () = 9. j= 4; S = {, 6, 4}. k =: b min (2) = 42; b min () = 49; b min () = 9. j= 2; S = {, 2, 6, 4}. k =4: b min () = 49; b min () = 9. j= ; S = {,, 2, 6, 4}. k =: b min () = 4. j= 6; S = {,,, 2, 6, 4}. Approximatie [,,, 2, 6, 4, ] met lengte 6.

10 82 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN Vraag 4. De eerste keten kunnen we willekeurig nemen. De overige ketens zijn op (r )! manieren te rangschikken. Elke verbinding van het einde van keten k naar keten k + kan naar het beginpunt of naar het eindpunt van deze keten worden genomen: dus steeds twee mogelijkheden: in totaal 2 r (r )! mogelijkheden.

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten

Nadere informatie

1.2 Bomen Algemeen 1.2. BOMEN 7

1.2 Bomen Algemeen 1.2. BOMEN 7 1.2. BOMEN 7 1.2 Bomen 1.2.1 Algemeen Beschouw eerst een niet-gerichte graaf. Een boom is een samenhangende graaf die geen kringen bevat. Een boom wordt meestal genoteerd met de letter T (tree). Een bos

Nadere informatie

OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN VOORJAAR 2003 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 1.1 Wat is Operations Research?.............................. 1 1.2 Overzicht van de te behandelen

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden.

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden. Antwoorden Doeboek 4 Grafen.. De middelste en de rechtergraaf.. Een onsamenhangende graaf met vijf punten en vijf lijnen: Teken een vierhoek met één diagonaal. Het vijfde punt is niet verbonden met een

Nadere informatie

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

1 Complexiteit. of benadering en snel

1 Complexiteit. of benadering en snel 1 Complexiteit Het college van vandaag gaat over complexiteit van algoritmes. In het boek hoort hier hoofdstuk 8.1-8.5 bij. Bij complexiteitstheorie is de belangrijkste kernvraag: Hoe goed is een algoritme?

Nadere informatie

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1 Oefeningen voor de oefeningenles Oefening 1 Gegeven een arbitraire binaire zoekboom T met n toppen en een (andere of gelijke) binaire zoekboom T die ook n sleutels bevat. Beschrijf een algoritme dat in

Nadere informatie

Bijlage A Simplex-methode

Bijlage A Simplex-methode Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem

Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem Het water van 3 rivieren moet worden verdeeld over 4 steden. Daar zijn kosten aan verbonden per eenheid water (zie tabel). De steden hebben minimumbehoeften

Nadere informatie

Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven

Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven (1) Gegeven het 4 4 grid bestaande uit de 16 punten (i, j) met i, j = 0,..., 3. Bepaal het aantal driehoeken dat je kunt vinden zodanig dat ieder hoekpunt samenvalt

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 10 Begrensde variabelen Han Hoogeveen, Utrecht University Begrensde variabelen (1) In veel toepassingen hebben variabelen zowel een ondergrens als een bovengrens:

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

Faculteit der Economie en Bedrijfskunde

Faculteit der Economie en Bedrijfskunde Faculteit der Economie en Bedrijfskunde Op dit voorblad vindt u belangrijke informatie omtrent het tentamen. Lees dit voorblad voordat u met het tentamen begint! Tentamen: Operational Research 1D (4016)

Nadere informatie

Inhoudsopgave. 1 COMPLEXITEITSTHEORIE Inleiding De klassen P en N P Opgaven... 16

Inhoudsopgave. 1 COMPLEXITEITSTHEORIE Inleiding De klassen P en N P Opgaven... 16 Inhoudsopgave 1 COMPLEXITEITSTHEORIE 1 1.1 Inleiding.......................................... 1 1.2 De klassen P en N P................................... 8 1.3 Opgaven..........................................

Nadere informatie

1 Vervangingsstrategie auto

1 Vervangingsstrategie auto Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2002 1 Vervangingsstrategie auto Onderdeel a Zij V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, waarbij knoop i staat voor het einde

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Lijstkleuring van grafen

Lijstkleuring van grafen C.J. Meerman Lijstkleuring van grafen Bachelorscriptie 10 juni 2010 Email: cjmeerman@gmail.com Scriptiebegeleider: Dr. D. C. Gijswijt Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding

Nadere informatie

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1) Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen

Nadere informatie

Oefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar?

Oefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.

Nadere informatie

Tie breaking in de simplex methode

Tie breaking in de simplex methode Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.

Nadere informatie

Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings)

Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings) Verslag ten behoeve van het

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch

Nadere informatie

2 Recurrente betrekkingen

2 Recurrente betrekkingen WIS2 1 2 Recurrente betrekkingen 2.1 Fibonacci De getallen van Fibonacci Fibonacci (= Leonardo van Pisa), 1202: Bereken het aantal paren konijnen na één jaar, als 1. er na 1 maand 1 paar pasgeboren konijnen

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Dossier 3 PRIEMGETALLEN

Dossier 3 PRIEMGETALLEN Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede kandidatuur Informatica Academiejaar 2004 2005, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Binomiale

Nadere informatie

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen!

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen! Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 480 punten) Zeven gebieden Drie cirkels omheinen zeven gebieden. We verdelen de getallen 1 tot en met 7 over de zeven gebieden, in elk gebied één getal. De getallen

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A Puzzelvierkanten Werkblad 1 Vierkant linksboven Zoek eerst uit hoeveel één hartje waard is. Daarna kun je ook berekenen hoeveel een rondje waard is. Vierkant

Nadere informatie

Lijst-kleuringen in de grafentheorie

Lijst-kleuringen in de grafentheorie Lijst-kleuringen in de grafentheorie Berrie Bottelier 16 juli 2014 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Guus Regts 4 5 6 1 2 3 Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,

Nadere informatie

3 De stelling van Kleene

3 De stelling van Kleene 18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB136) Uitwerkingen proeftentamen.

Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB136) Uitwerkingen proeftentamen. Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB6) Uitwerkingen proeftentamen. Docent: Rob H. Bisseling april 202. Begin met een matching M = {x y, x y, x 6 y 6 } aangegeven door de vette lijnen. x De

Nadere informatie

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM)

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) CPM (Critical Path Method) Activiteiten met afhankelijkheden en vaste duur zijn gegeven. CPM bepaalt de minimale doorlooptijd van het project. PERT (Program

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

De huwelijksstelling van Hall

De huwelijksstelling van Hall Thema Discrete wiskunde In de vorige twee afleveringen heb je al kennis kunnen maken met het begrip graaf en hoe grafen worden gebruikt door Google s zoekmachine en door de NS bij het maken van een optimale

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

Geheeltallige programmering

Geheeltallige programmering Geheeltallige programmering In een LP probleem zijn alle variabelen reëel. In een geheeltallig probleem blijven doelfunctie en constraints lineair, maar zijn de variabelen geheeltallig. LP: IP: BIP: MIP:

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking oefenopgaven 4 VWO blok 1 les 1

Wiskunde D Online uitwerking oefenopgaven 4 VWO blok 1 les 1 Paragraaf 1 Wegendiagrammen en bomen Opgave 1 a) Een mogelijkheid is om 6 stukjes papier te nemen en daar de cijfers 1 tot en met 6 op te zetten. Schudt de papiertjes door elkaar. Pak één voor één de papiertjes

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen

Nadere informatie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 31 maart, 9.00 12.00 uur - Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open vragen. - Per meerkeuzevraag kunnen 0 tot 4 alternatieven juist

Nadere informatie

OPDRACHT Opdracht 2.1 Beschrijf in eigen woorden wat het bovenstaande PSD doet.

OPDRACHT Opdracht 2.1 Beschrijf in eigen woorden wat het bovenstaande PSD doet. Les C-02: Werken met Programma Structuur Diagrammen 2.0 Inleiding In deze lesbrief bekijken we een methode om een algoritme zodanig structuur te geven dat er gemakkelijk programmacode bij te schrijven

Nadere informatie

Het eenzame vierkant van Khajuraho!

Het eenzame vierkant van Khajuraho! Het eenzame vierkant van Khajuraho! Stephan Berendonk 19-12-2006 ii Contents 1 De Lo Shu vii 2 Het vierkant van Khajuraho xi iv Contents Voorwoord Het stuk is vooral gericht op middelbare scholieren, die

Nadere informatie

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten opgaven formele structuren deterministische eindige automaten Opgave. De taal L over het alfabet {a, b} bestaat uit alle strings die beginnen met aa en eindigen met ab. Geef een reguliere expressie voor

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Lineaire Optimilizatie Extra sessie. 19 augustus 2010

Lineaire Optimilizatie Extra sessie. 19 augustus 2010 Lineaire Optimilizatie Extra sessie 19 augustus 2010 De leerstof Handboek: hoofdstuk 2 t.e.m. 8 (incl. errata) Slides (zie toledo) Extra opgaven (zie toledo) Computersessie: Lindo syntax en output Wat

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Modellering. Duaal probleem. αβ-algoritme. Maximale stroom probleem. Voorbeeld. Transportprobleem 1

Overzicht. Inleiding. Modellering. Duaal probleem. αβ-algoritme. Maximale stroom probleem. Voorbeeld. Transportprobleem 1 Overzicht Inleiding Modellering Duaal probleem αβ-algoritme Maximale stroom probleem Voorbeeld Transportprobleem 1 Inleiding W 1 b 1 a 1 D 1 W 2 b 2 a 2 D 2 a m Dm W n b n depots warenhuizen c ij zijn

Nadere informatie

Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders!

Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! Grafen Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! 1. Inleiding Een (ongerichte) graaf (graph) G = (V, E) bestaat uit een eindige, nietlege verzameling V van punten (vertices),

Nadere informatie

Module 3. Maximale stromen

Module 3. Maximale stromen Module In november 00 legde een stroomstoring een gedeelte van Europa plat. Overal moesten de kaarsen aan. oordat een gedeelte van het elektriciteitsnet uitviel, was er te weinig capaciteit om aan de vraag

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE 2013 Uitwerkingen

WISKUNDE-ESTAFETTE 2013 Uitwerkingen WISKUNDE-ESFEE 2013 Uitwerkingen 1 We geven twee oplossingen. De eerste oplossing ligt meer voor de hand. De tweede oplossing is rekentechnisch iets eenvoudiger. Oplossing 1: Er zijn 9 getallen met 1 cijfer,

Nadere informatie

Oefeningen Discrete Wiskunde - Hoofdstuk 6 - Peter Vandendriessche Fouten, opmerkingen of alternatieve methodes? me:

Oefeningen Discrete Wiskunde - Hoofdstuk 6 - Peter Vandendriessche Fouten, opmerkingen of alternatieve methodes?  me: Oefeningen Discrete Wiskunde - Hoofdstuk 6 - Peter Vandendriessche Fouten, opmerkingen of alternatieve methodes? Email me: peter.vdd@telenet.be 1. Het aantal knoop-tak overgangen is altijd even. De totaalsom

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie