Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel."

Transcriptie

1 Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee punten lopen. Een pijl is gericht, en kan alleen volgens de richting van de pijl worden doorlopen; een kant is ongericht en kan dus in beide richtingen worden doorlopen. Een graaf wordt genoteerd als G = (V, E) of G = (V, A). Hierbij is G de naam van de graaf; V geeft de verzameling punten aan; E de verzameling kanten; en A de verzameling pijlen. Officieel wordt een pijl van punt v naar punt w genoteerd als (v, w) en een kant tussen v en w als {v, w}. Een graaf kan gemakkelijk worden opgeslagen in de computer door de punten en kanten/pijlen op te slaan; dit kan bijvoorbeeld door middel van een stel nullen en enen in een matrix (of tweedimensionale array): een 0 geeft aan dat de kant/pijl niet bestaat. De ingraad van een punt v in een gerichte graaf is gedefinieerd als het aantal pijlen in A dat naar v toewijst (dus van de vorm (w, v)). De uitgraad van een punt v in een gerichte graaf is gedefinieerd als het aantal pijlen in A dat uit v wijst (dus van de vorm (v, w)). De graad van een punt v in een ongerichte graaf is gedefinieerd als het aantal kanten in E dat v bevat. Een pad is gedefinieerd als een verzameling opeenvolgende pijlen/kanten, waarbij de volgende pijl/kant uit het punt gaat waar de vorige pijl/kant naar toe wees. Een pad kan ook worden gerepresenteerd door middel van de punten die op het pad liggen (en dan uiteraard in de volgorde waarin de punten worden bezocht). Bijv. het pad (v 0, v 1,..., v k 1, v k ) komt overeen met de verzameling pijlen (v 0, v 1 ), (v 1, v 2 ),..., (v k 1, v k ). Indien het begin- en eindpunt gelijk zijn, dan spreekt men van een cykel. Wanneer een graaf geen cykel bevat, dan wordt de graaf acyclisch genoemd. Er gelden de volgende stellingen: Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de graad van ieder punt 2 is, dan bevat de graaf een cykel. De bovenstaande stellingen vallen gemakkelijk in te zien door te bedenken dat je, bijv. in het eerste geval, steeds naar een volgend punt kunt lopen, zodat je dus na verloop van tijd een keer in een punt moet komen dat je al eerder hebt gehad. Een punt t heet bereikbaar vanuit punt s indien er een pad van s naar t bestaat in die graaf. Een graaf heet samenhangend indien ieder punt vanuit ieder ander punt bereikt kan worden. Je kunt simpel nagaan of een graaf samenhangend is (of dat t bereikbaar is vanuit s) met behulp van een labelings-algoritme (dit lijkt sterk op het kortste-pad algoritme van Dijkstra). Gegeven een samenhangende, ongerichte graaf G = (V, E) dan kun je een opspannende boom construeren door een deelverzameling E van E te kiezen zodanig dat de resulterende graaf G = (V, E ) samenhangend is, waarbij de cardinaliteit van E minimaal is; dit komt erop neer dat G geen cykels bevat, want uit zo n cykel zou je dan een kant weg kunnen laten. Een boom 1

2 is een deelverzameling van een opspannende boom die bestaat uit één component (wanneer je de losse punten uit V verwijdert, dan houd je een opspannende boom over). Stelling Voor een opspannende boom B = (V, E) geldt E = V 1. Bewijs. Het bewijs van de stelling is gebaseerd op inductie naar het aantal elementen in E. Hier geldt dat de stelling waar is voor E = 1: er is maar één kant, en omdat de opspannende boom samenhangend is zijn er niet meer dan de twee punten waar de kant tussen loopt. Neem nu aan dat de stelling voor een gegeven waarde n 0 van E klopt. We gaan nu bewijzen dat hieruit volgt dat de stelling ook geldt voor E = n 0 + 1: dit is de zogenaamde inductiehypothese. Bewijs inductiehypothese. Neem aan dat E = n We willen graag bewijzen dat V = n Aangezien de opspannende boom geen cykel bevat, moet er een punt zijn met graad 1 (zie eerdere stelling). Wanneer we dit punt verwijderen met de bijbehorende kant, dan houden we een opspannende boom over met één kant en één punt minder, dus E = n 0. Aangezien iedere opspannende boom met E = n 0 precies n punten bevat (volgens onze aannamen), moet de oorspronkelijke opspannende boom met E = n precies V = n punten gehad moeten hebben. Kruskal s algoritme voor een mimimale opspannende booom Gegeven een ongerichte graaf G(V, E) moet je een opspannende boom van G maken van minimale lengte. Een opspannende boom (spanning tree) bestaat uit een deelverzameling E van de kanten uit E met E = V 1 zodanig dat de graaf G = (V, E ) samenhangend is; hieruit volgt dat G dan acyclisch is. Noteer de lengte van kant e E als l(e). Er zijn twee algoritmen bekend om de minimale opspannende boom te construeren: het algoritme van Kruskal en het algoritme van Prim (ook Prim-Dijkstra genoemd). Algoritme van Kruskal Sorteer de kanten in E in volgorde van lengte en nummer ze overeenkomstig (dus l(e 1 ) l(e 2 )...). Voeg één voor één de kanten toe aan E in volgorde van index. Wanneer het toevoegen van een kant e aan E leidt tot het ontstaan van een cykel, dan verwijder je e (en gaat door met de volgende). Je stopt zodra je een opspannende boom hebt gekregen. Stelling: Het algoritme van Kruskal construeert een opspannende boom van minimale lengte. Bewijs. Het bewijs is gebaseerd op het bereiken van een tegenspraak. Stel dat het algoritme van Kruskal niet tot een opspannende boom van minimale lengte leidt. Dat kan alleen het geval zijn indien er een betere oplossing bestaat (want het algoritme van Kruskal construeert een opspannende boom). Neem dus aan dat de totale lengte van de optimale opspannende boom (noem deze OP T ) kleiner is dan de totale lengte van de boom van Kruskal (noem deze K). Vergelijk OP T en K; laat kant e i K de laagstgenummerde kant zijn die wel in K voorkomt maar niet in OP T. Laat verder e h de laagstgenummerde kant in OP T zijn die niet in K voorkomt. 2

3 Claim 1. De index h is groter dan de index i. Bewijs Claim 1. Wederom met een tegenspraak argument. Stel dat h < i. Dat betekent dat alle kanten uit {e 1,..., e h 1 } die in K zitten ook in OP T zitten en omgekeerd. Aangezien e h niet is toegevoegd door Kruskal, betekent dit dat het toevoegen van e h aan de verzameling kanten uit {e 1,..., e h 1 } die eerder zijn gekozen tot een cykel moet hebben geleid. Maar dan zou OP T dat cykel moeten bevatten: tegenspraak, want OP T is een opspannende boom. We voegen de kant e i toe aan OP T. Dit levert een cykel op. Claim 2. Dit cykel bevat een kant e j met j > i. Bewijs Claim 2. Wederom met een tegenspraak argument. Indien alle kanten in dit cykel een index i zouden hebben, dan zouden ze ook allemaal aanwezig zijn in K (want e i is de laagstgenummerde kant in K die niet in OP T zit en in OP T zitten geen kant e h die niet in K zit met index h < i), maar K bevat geen cykel. Tegenspraak.. Wanneer we nu die kant e j uit dat cykel verwijderen, dan krijgen we een opspannende boom; deze heeft een lengte gelijk aan die van OP T plus l(e i ) l(e j ). Aangezien i < j geldt dus l(e i ) l(e j ). Indien l(e i ) < l(e j ), dan hebben we een betere opspannende boom gevonden: beter dan optimaal is niet mogelijk, dus dan kunnen we concluderen dat Kruskal een optimale oplossing vindt. Indien l(e i ) = l(e j ), dan vervangen we e j door e i in OP T en herhalen onze analyse. In iedere stap vinden we dan een optimale opspannende boom die meer lijkt op de opspannende boom van Kruskal: de index van de eerste kant die wel in K zit maar niet in OP T stijgt iedere keer. Na een eindig aantal van dit soort operaties hebben we dan OP T in K getransformeerd zonder een stijging van de lengte. Maar dan kan de lengte van OP T niet lager zijn dan die van K: tegenspraak. Het algoritme van Prim werkt als volgt (zonder bewijs van correctheid; dat is een opgave voor het werkcollege): Algoritme van Prim 1. Kies een willekeurig punt v V als beginpunt. Begin met V = {v} en E =. 2. Bepaal de kant {x, y} met minimale lengte waarvoor geldt dat x V en y / V. Voeg {x, y} toe aan E en voeg y toe aan V. 3. Indien V V, ga door met (2). Een nuttige toepassing van een opspannende boom is dat het gebruikt kan worden om een cykelbasis te bepalen. Wanneer er tijd is, dan komt het terug in het college; zo niet, dan kan ik het terug laten komen in het werkcollege. Dijkstra s kortste pad algoritme Gegeven een ongerichte graaf G(V, A) en een speciaal punt s moet je het kortste pad bepalen in G van s naar ieder punt in V dat uit s bereikbaar is (je kunt ook alleen het kortste pad van s naar t zoeken, maar de overige kortste paden krijg je er gratis bij). Noteer de lengte van de pijl (v, w) als d(v, w). Ik ben hier uitgegaan van een gerichte graaf, maar voor een ongerichte graaf 3

4 werkt onderstaande ook. Noodzakelijke voorwaarde: alle lengtes zijn 0. Het algoritme gebruikt labels l(v) die de lengte aangeven van het kortste pad van s naar v dat tot nu toe gevonden is. Dit pad gebruikt uitsluitend tussenpunten die gesettled zijn; dit zijn de punten waarvan het kortste pad gevonden is (zie algoritme). Algoritme van Dijkstra (1). Ieder punt v V krijgt l(v) en status unsettled. Punt s krijgt label l(s) = 0. (2). Bepaal het punt v met status unsettled waarvoor geldt dat l(v) minimaal is. Verander de status van v in settled. Pas voor alle unsettled punten w V het label l(w) aan als l(w) min{l(w), l(v) + d(v, w)} (3). Indien er een punt v V is met status unsettled en l(v) <, ga door met (2). Stelling: Het algoritme van Dijkstra vindt voor ieder punt het kortste pad vanaf s. Bewijs. We hernummeren de punten die gesettled zijn overeenkomstig de iteratie waarin ze worden gesettled: v k is het punt dat in iteratie k wordt gesettled (dus v 1 = s); de overige punten worden generiek aangeduid met v, w, enz. We herformuleren de stelling tot in iedere iteratie k is punt v k het unsettled punt met de laagste afstand tot s, en deze afstand is gelijk aan l(v k ). Wanneer we het hieronder over de stelling hebben, dan wordt deze herformulering bedoeld. We maken gebruik van inductie om de herformulering van de stelling te bewijzen. Het geldt voor k = 1, want v 1 = s en met l(s) = 0 klopt de stelling, want alle pijlen hebben een lengte 0. Nu bewijzen we de inductiehypothese: aannemende dat de stelling geldt voor alle k = 1,..., k 0 1, dan geldt de stelling ook voor k = k 0. We nemen dus aan dat voor de punten v 1, v 2,..., v k0 1 geldt dat de waarde van hun label gelijk is aan de lengte van het kortste pad vanuit s naar dit punt. Bewijs van de inductiehypothese. Uit het algoritme volgt dat voor ieder unsettled punt v geldt dat de waarde van l(v) gelijk is aan de lengte van het kortste pad van s naar v dat bestaat uit het kortste pad naar een gesettled punt w plus de pijl (w, v). Stel dat er een unsettled punt q is waarvoor geldt dat de lengte van het kortste pad van s naar q kleiner is dan l(v k ). Laat w het eerste unsettled punt op het pad zijn (dit moet bestaan, want q is ook unsettled). Dan geldt dat de lengte van dit pad gelijk is aan de som van de lengtes van de paden van s naar w en van w naar q. Het eerste stuk heeft als lengte l(w ), en daarvan weten we dat l(w ) l(v k ) (want v k had het kleinste label); de lengte van het tweede stuk is 0. Tegenspraak, dus we weten dat voor alle unsettled punten v geldt dat de lengte van het kortste pad van s naar v een lengte heeft dat l(v k ) is. Dit geldt ook voor v k, dus l(v k ) moet gelijk zijn aan de lengte van het kortste pad van s naar v k. Het kortste pad van s naar w kan gevonden worden door de labels na te lopen. Wanneer v het laatste punt op dit pad is voor w, dan moet gelden l(w ) = l(v) + d(v, w), enz. Zoals reeds opgemerkt werkt het algoritme van Dijkstra in theorie goed, maar in geval van een graaf met veel punten en pijlen duurt het erg lang. Tegenwoordig zijn er slimmere implementaties ontwikkeld gebaseerd op het opdelen van de graaf in hiërarchische lagen (bijv. zandpaden, landweggetjes t/m snelwegen), waardoor de graaf veel kleiner wordt gemaakt, zonder dat de optimaliteit verloren gaat. 4

5 Uitbreidingen Zoals eerder opgemerkt werkt het algoritme van Dijkstra alleen correct indien alle kanten een lengte 0 hebben. Stel nu dat er ook kanten zijn met negatieve lengte. Indien de graaf een cykel bevat met negatieve lengte, dan kun je de lengte van een kortste pad dat via dat cykel loopt zo klein maken als je wilt. Wanneer de graaf echter geen cykel bevat met negatieve lengte, dan kunnen we het kortste pad probleem, waarbij we de lengte van het kortste pad zoeken van s naar alle andere punten, oplossen met het algoritme van Bellman-Ford; dit is gebaseerd op DP. We gebruiken hierbij toestandsvariabelen f(v, k); deze geven de lengte aan van het kortste pad van s naar v dat uit maximaal k kanten bestaat. De initialisatie is simpel: we definiëren f(v, 0) = voor alle v s, en f(s, 0) = 0. Wanneer we de labels f(v, k) hebben bepaald voor alle v V, dan bepalen we de labels f(v, k + 1) met behulp van de volgende recurrente betrekking: f(v, k + 1) = min{ min w:(w,v) A [f(w, k) + d(w, v)], f(v, k)} De eerste term geeft aan dat we de lengte van het kortste pad naar w dat uit ten hoogste k kanten bestaat nemen, waarna we kant k + 1 gebruiken om van w naar v te gaan; de tweede term geeft aan dat we de mogeijkheid om de extra kant te gebruiken niet nemen. Ga zelf na wat de looptijd is van dit algoritme, en hoe we dit algoritme kunnen gebruiken om te checken of er een cykel bestaat met negatieve lengte. Indien er een cykel bestaat met negatieve lengte, dan kunnen we proberen om het probleem op te lossen van het bepalen van het kortste pad van s naar v dat ieder punt ten hoogste één keer bezoekt. Dit probleem is echter N P-lastig. In sommige applicaties wil je niet alleen de lengte weten van het kortste pad van s naar ieder ander punt, maar de lengten van de kortste paden van ieder punt naar ieder ander punt. Dit kan met behulp van een zogenaamd all-pairs shortest path algoritme. Een goed algoritme hiervoor is het algoritme van Floyd-Warshall, dat is gebaseerd op DP. Dit is het onderwerp van een opgave bij het werkcollege. Een tweede algoritme is het algoritme van Johnson, dat eveneens bij het werkcollege aan de orde komt. 5

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB136) Uitwerkingen proeftentamen.

Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB136) Uitwerkingen proeftentamen. Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB6) Uitwerkingen proeftentamen. Docent: Rob H. Bisseling april 202. Begin met een matching M = {x y, x y, x 6 y 6 } aangegeven door de vette lijnen. x De

Nadere informatie

1.2 Bomen Algemeen 1.2. BOMEN 7

1.2 Bomen Algemeen 1.2. BOMEN 7 1.2. BOMEN 7 1.2 Bomen 1.2.1 Algemeen Beschouw eerst een niet-gerichte graaf. Een boom is een samenhangende graaf die geen kringen bevat. Een boom wordt meestal genoteerd met de letter T (tree). Een bos

Nadere informatie

definities recursieve datastructuren college 13 plaatjes soorten Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten

definities recursieve datastructuren college 13 plaatjes soorten Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten recursieve datastructuren college graphs definities Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten E edges, arcs, kanten, pijlen, lijnen verbinding tussen knopen Voorbeelden steden en verbindingswegen

Nadere informatie

Lijstkleuring van grafen

Lijstkleuring van grafen C.J. Meerman Lijstkleuring van grafen Bachelorscriptie 10 juni 2010 Email: cjmeerman@gmail.com Scriptiebegeleider: Dr. D. C. Gijswijt Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding

Nadere informatie

Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven

Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven (1) Gegeven het 4 4 grid bestaande uit de 16 punten (i, j) met i, j = 0,..., 3. Bepaal het aantal driehoeken dat je kunt vinden zodanig dat ieder hoekpunt samenvalt

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden.

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden. Antwoorden Doeboek 4 Grafen.. De middelste en de rechtergraaf.. Een onsamenhangende graaf met vijf punten en vijf lijnen: Teken een vierhoek met één diagonaal. Het vijfde punt is niet verbonden met een

Nadere informatie

1 Vervangingsstrategie auto

1 Vervangingsstrategie auto Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2002 1 Vervangingsstrategie auto Onderdeel a Zij V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, waarbij knoop i staat voor het einde

Nadere informatie

De huwelijksstelling van Hall

De huwelijksstelling van Hall Thema Discrete wiskunde In de vorige twee afleveringen heb je al kennis kunnen maken met het begrip graaf en hoe grafen worden gebruikt door Google s zoekmachine en door de NS bij het maken van een optimale

Nadere informatie

Activiteit 9. Modderstad Minimaal Opspannende Bomen. Samenvatting. Kerndoelen. Leeftijd. Vaardigheden. Materialen

Activiteit 9. Modderstad Minimaal Opspannende Bomen. Samenvatting. Kerndoelen. Leeftijd. Vaardigheden. Materialen Activiteit 9 Modderstad Minimaal Opspannende Bomen Samenvatting Onze maatschappij is verbonden middels heel veel netwerken: telefoonnet, elektriciteitsnet, de riolering, computernetwerk, en het wegennet.

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound Algoritmiek 011/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 april 011 Dijkstra en Branch & Bound 1 Algoritmiek 011/11 Kortste paden Gegeven een graaf G met gewichten op de takken, en een beginknoop s. We

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie

Nadere informatie

De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden.

De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden. . a) Een Fibonacci boom (niet te verwarren met een Fibonacci queue) van hoogte h is een AVL-boom van hoogte h met zo weinig mogelijk knopen. i. Geefvoorh =,,,,eenfibonacciboomvanhoogteh(eenboombestaande

Nadere informatie

Minimaal opspannende bomen

Minimaal opspannende bomen Dit studiemateriaal is ontwikkeld door de kerngroep wiskunde D Delft en mag gratis gebruikt worden in het wiskundeonderwijs in het vo. Kerngroep wiskunde D Delft Liesbeth Bos Scala College Wim Caspers

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Tiende college algoritmiek 14 april 2016 Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS 1 Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Houtzaagmolen

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden

Nadere informatie

Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms

Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Giso Dal (0752975) Pagina s 5 7 1 Deelverzameling Representatie

Nadere informatie

Chinese postbodeprobleem

Chinese postbodeprobleem Chinese postbodeprobleem Dorthe Van Waarden 9 juli 2010 Eindverslag Bachelorproject Begeleiding: dr. Marcel van de Vel KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Nadere informatie

3 De stelling van Kleene

3 De stelling van Kleene 18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Lijst-kleuringen in de grafentheorie

Lijst-kleuringen in de grafentheorie Lijst-kleuringen in de grafentheorie Berrie Bottelier 16 juli 2014 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Guus Regts 4 5 6 1 2 3 Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,

Nadere informatie

9. Strategieën en oplossingsmethoden

9. Strategieën en oplossingsmethoden 9. Strategieën en oplossingsmethoden In dit hoofdstuk wordt nog even terug gekeken naar alle voorgaande hoofdstukken. We herhalen globaal de structuren en geven enkele richtlijnen voor het ontwerpen van

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound Algoritmiek 013/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 mei 013 Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound 1 Algoritmiek 013/11 Voorbeeld -1- A B C D E F G H 9 7 5 A B C D E F G H 0 9 9 7 5 A B C

Nadere informatie

Grafen. Grafen, toppen en bogen

Grafen. Grafen, toppen en bogen Grafen Het zijn configuraties van knoppen en verbindingen, waar we de knoppen toppen noemen en de verbindingen tussen 2 toppen noemen we een boog. Toppen en bogen kunnen bijkomende attributen hebben, zoals

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje

Nadere informatie

Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders!

Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! Grafen Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! 1. Inleiding Een (ongerichte) graaf (graph) G = (V, E) bestaat uit een eindige, nietlege verzameling V van punten (vertices),

Nadere informatie

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6.

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6. Overzicht 1. Definities 2. Basisalgoritme 3. Label setting methoden 4. Label correcting methoden 5. Ondergrenzen 6. Resultaten Kortste Pad Probleem 1 Definities Een graaf G = (V, E) bestaat uit een verzameling

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

Uitwerkingen Sum of Us

Uitwerkingen Sum of Us Instant Insanity Uitwerkingen Sum of Us Opgave A: - Opgave B: Voor elk van de vier kubussen kun je een graaf maken die correspondeert met de desbetreffende kubus. Elk van deze grafen bevat drie lijnen.

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 10 Begrensde variabelen Han Hoogeveen, Utrecht University Begrensde variabelen (1) In veel toepassingen hebben variabelen zowel een ondergrens als een bovengrens:

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 4. Grafen. Introductie 45. Leerkern 47. Samenvatting 75 Zelftoets 76

Inhoud leereenheid 4. Grafen. Introductie 45. Leerkern 47. Samenvatting 75 Zelftoets 76 Inhoud leereenheid 4 Grafen Introductie 45 Leerkern 47 4.1 Enkele grafische structuren 47 4.2 Wat is een graaf? 49 4.3 De verbindingsmatrix en een algemener graafbegrip 54 4.4 Wandelen in een graaf 58

Nadere informatie

2 beslissen in netwerken. Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken. versie 4 vrijdag 16 november 2007

2 beslissen in netwerken. Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken. versie 4 vrijdag 16 november 2007 eslissen beslissen in netwerken Wiskunde Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken versie vrijdag november 00 Samenstelling Jan ssers ism Kerngroep Wiskunde indhoven ontys voorkennis: optimaliseren.

Nadere informatie

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken). 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten

Nadere informatie

Effectieve Weerstand en Robuustheid

Effectieve Weerstand en Robuustheid C.W.P. Huibers Effectieve Weerstand en Robuustheid Bachelorscriptie Scriptiebegeleider: Dr. F. Spieksma Datum Bachelorexamen: 10 juli 2015 Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe

Nadere informatie

Oefeningen Discrete Wiskunde - Hoofdstuk 6 - Peter Vandendriessche Fouten, opmerkingen of alternatieve methodes? me:

Oefeningen Discrete Wiskunde - Hoofdstuk 6 - Peter Vandendriessche Fouten, opmerkingen of alternatieve methodes?  me: Oefeningen Discrete Wiskunde - Hoofdstuk 6 - Peter Vandendriessche Fouten, opmerkingen of alternatieve methodes? Email me: peter.vdd@telenet.be 1. Het aantal knoop-tak overgangen is altijd even. De totaalsom

Nadere informatie

Deeltentamen 1 sociale netwerk analyse

Deeltentamen 1 sociale netwerk analyse Deeltentamen 1 sociale netwerk analyse Voor dit tentamen krijg je maximaal 2 uur. Als je eerder klaar bent, ga dan stil weg en lever je antwoordenvel, kladpapier en tentamenvragen bij de examinator in.

Nadere informatie

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem PLANETENSTELSELS - WERKCOLLEGE 3 EN 4 Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem In de vorige werkcolleges heb je je pythonkennis opgefrist. Je hebt een aantal fysische constanten ingelezen,

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten opgaven formele structuren deterministische eindige automaten Opgave. De taal L over het alfabet {a, b} bestaat uit alle strings die beginnen met aa en eindigen met ab. Geef een reguliere expressie voor

Nadere informatie

Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle  holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/29764 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Takes, Frank Willem Title: Algorithms for analyzing and mining real-world graphs

Nadere informatie

Local search. Han Hoogeveen. 21 november, 2011

Local search. Han Hoogeveen. 21 november, 2011 1 Local search Han Hoogeveen 21 november, 2011 Inhoud vandaag 2 Inhoud: Uitleg methode Bespreking oude opdrachten: ˆ Bezorgen wenskaarten ˆ Roosteren tentamens Slides staan al op het web www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/colleges.html

Nadere informatie

GO x40, GO x30, GO x20, GO x10, GO,XXL IQ Routes, XL IQ Routes, XL,ONE, ONE 2nd edition, Urban Rider, Rider Pro

GO x40, GO x30, GO x20, GO x10, GO,XXL IQ Routes, XL IQ Routes, XL,ONE, ONE 2nd edition, Urban Rider, Rider Pro Ritten rijden met de TomTom Is uw TomTom geschikt om ritten te rijden? Met ritten bedoelen we routes, langs meerdere zogenaamde routepunten, uitgezet door iemand en opgeslagen als een geschikt digitaal

Nadere informatie

Tree traversal. Bomen zijn overal. Ferd van Odenhoven. 15 november 2011

Tree traversal. Bomen zijn overal. Ferd van Odenhoven. 15 november 2011 15 november 2011 Tree traversal Ferd van Odenhoven Fontys Hogeschool voor Techniek en Logistiek Venlo Software Engineering 15 november 2011 ODE/FHTBM Tree traversal 15 november 2011 1/22 1 ODE/FHTBM Tree

Nadere informatie

1 Inleiding in Functioneel Programmeren

1 Inleiding in Functioneel Programmeren 1 Inleiding in Functioneel Programmeren door Elroy Jumpertz 1.1 Inleiding Aangezien Informatica een populaire minor is voor wiskundestudenten, leek het mij nuttig om een stukje te schrijven over een onderwerp

Nadere informatie

start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c

start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c Een Minimaal Formalisme om te Programmeren We hebben gezien dat Turing machines beschouwd kunnen worden als universele computers. D.w.z. dat iedere berekening met natuurlijke getallen die met een computer

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Derde college complexiteit. 7 februari Zoeken

Derde college complexiteit. 7 februari Zoeken College 3 Derde college complexiteit 7 februari 2017 Recurrente Betrekkingen Zoeken 1 Recurrente betrekkingen -1- Rij van Fibonacci: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,... Vanaf het derde element: som van de voorgaande

Nadere informatie

Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema

Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................

Nadere informatie

HP Prime: Meetkunde App

HP Prime: Meetkunde App HP Prime Graphing Calculator HP Prime: Meetkunde App Meer over de HP Prime te weten komen: http://www.hp-prime.nl De Meetkunde-App op de HP Prime Meetkunde is een van de oudste wetenschappen op aarde,

Nadere informatie

Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings)

Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings) Verslag ten behoeve van het

Nadere informatie

en-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast,

en-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast, Kansrekening voor Informatiekunde, 25 Les 8 Proces analyse Veel processen laten zich door netwerken beschrijven, waarin knopen acties aangeven en opdrachten langs verbindingen tussen de knopen verwerkt

Nadere informatie

Notatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren

Notatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren Overzicht TI1300: Redeneren en Logica College 10: Verzamelingenleer Tomas Klos Algoritmiek Groep Colleges 1 2: Bewijstechnieken Colleges 3 9: Propositielogica Vandaag en morgen: Verzamelingenleer Colleges

Nadere informatie

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

1 Complexiteit. of benadering en snel

1 Complexiteit. of benadering en snel 1 Complexiteit Het college van vandaag gaat over complexiteit van algoritmes. In het boek hoort hier hoofdstuk 8.1-8.5 bij. Bij complexiteitstheorie is de belangrijkste kernvraag: Hoe goed is een algoritme?

Nadere informatie

buren in Europa 1 tp://commons.wikimedia.org/wiki/file:member_states_of_the_european_union_(polar_stereographic_projection)_en.svg

buren in Europa 1 tp://commons.wikimedia.org/wiki/file:member_states_of_the_european_union_(polar_stereographic_projection)_en.svg buren in Europa 1 tp://commons.wikimedia.org/wiki/file:member_states_of_the_european_union_(polar_stereographic_projection)_en.svg buren in Europa FI SE EE PT IE GB DK NL BE DE LU AT FR IT ES CZ SI HR

Nadere informatie

Module 3. Maximale stromen

Module 3. Maximale stromen Module In november 00 legde een stroomstoring een gedeelte van Europa plat. Overal moesten de kaarsen aan. oordat een gedeelte van het elektriciteitsnet uitviel, was er te weinig capaciteit om aan de vraag

Nadere informatie

GO x40, GO x30, GO x20, GO x10, GO,XXL IQ Routes, XL IQ Routes, XL,ONE, ONE 2nd edition, Urban Rider, Rider Pro

GO x40, GO x30, GO x20, GO x10, GO,XXL IQ Routes, XL IQ Routes, XL,ONE, ONE 2nd edition, Urban Rider, Rider Pro Ritten rijden met de TomTom 1. Is uw TomTom geschikt om ritten te rijden? Met ritten bedoelen we routes, langs meerdere zogenaamde routepunten, uitgezet door iemand en opgeslagen als een geschikt digitaal

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Informatica: C# WPO 10

Informatica: C# WPO 10 Informatica: C# WPO 10 1. Inhoud 2D arrays, lijsten van arrays, NULL-values 2. Oefeningen Demo 1: Fill and print 2D array Demo 2: Fill and print list of array A: Matrix optelling A: Matrix * constante

Nadere informatie

Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4

Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4 Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4 Jonathan K. Vis 1 Inleiding (blz. 70 72) In dit essay behandelen we bladzijden 70 75 van Donald E. Knuth

Nadere informatie

Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4

Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4 Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4 28 oktober 2016 Vraag 1: Toon aan dat de klasse van context vrije talen gesloten is onder concatenatie en ster. Antwoord Meerdere manieren zijn mogelijk:

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede kandidatuur Informatica Academiejaar 2004 2005, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Binomiale

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 8 december 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]

Nadere informatie

ALGORITMIEK. Keuzemodule Wiskunde B/D. Mark de Berg TU Eindhoven

ALGORITMIEK. Keuzemodule Wiskunde B/D. Mark de Berg TU Eindhoven ALGORITMIEK Keuzemodule Wiskunde B/D Mark de Berg TU Eindhoven Voorwoord Algoritmiek is het gebied binnen de informatica dat zich bezig houdt met het ontwerpen en analyseren van algoritmen en datastructuren.

Nadere informatie

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde

Nadere informatie

Tree traversal. Ferd van Odenhoven. 15 november Fontys Hogeschool voor Techniek en Logistiek Venlo Software Engineering. Doorlopen van bomen

Tree traversal. Ferd van Odenhoven. 15 november Fontys Hogeschool voor Techniek en Logistiek Venlo Software Engineering. Doorlopen van bomen Tree traversal Ferd van Odenhoven Fontys Hogeschool voor Techniek en Logistiek Venlo Software Engineering 15 november 2011 ODE/FHTBM Tree traversal 15 november 2011 1/22 1 ODE/FHTBM Tree traversal 15 november

Nadere informatie

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 2. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 2. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 2 Han Hoogeveen, Utrecht University Inhoud vandaag Inhoud: Uitleg methode Bespreking oude opdracht: Bezorgen wenskaarten Slides staan al op het web www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/colleges.html

Nadere informatie

Beveiliging van museum Kempenland

Beveiliging van museum Kempenland Beveiliging van museum Kempenland Irene Man 0721206 Richard Kuijstermans 0720436 31 maart 2011 Inhoudsopgave 1 Probleembeschrijving 3 1.1 Vereenvoudiging van het probleem............... 4 1.1.1 Geheeltallige

Nadere informatie

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling

Nadere informatie

Het XOR-Netwerk heeft lokale Minima

Het XOR-Netwerk heeft lokale Minima Het 2-3- XOR-Netwerk heet lokale Minima Ida G. Sprinkhuizen-Kuyper Egbert J.W. Boers Vakgroep Inormatica RijksUniversiteit Leiden Postbus 952 2300 RA Leiden {kuyper,boers}@wi.leidenuniv.nl Samenvatting

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester

SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN Prof. dr. Ronald Meester Inleiding In dit college onderzoeken we symmetrie-eigenschappen van ruimtelijke figuren zoals driehoeken, vierkanten, kubussen en andere veelvlakken

Nadere informatie

Appendix B: Complexe getallen met Cabri Geometry II 1

Appendix B: Complexe getallen met Cabri Geometry II 1 Appendix B: Complexe getallen met Cabri Geometry II 1 1. Macro s in Cabri Indien een constructie geregeld uitgevoerd moet worden, is het interessant deze constructie op te slaan in een macro. Het definiëren

Nadere informatie