TW2020 Optimalisering

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "TW2020 Optimalisering"

Transcriptie

1 TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

2 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe meten we de performance van algoritmes? Waar ligt de grens tussen een goed en een slecht algoritme? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

3 Problemen Een (algoritmisch) probleem bestaat uit karakterisaties van toegelaten invoer (input) en gewenste uitvoer (output) als functie van de invoer. Een instantie ontstaat als één toegelaten invoer gekozen wordt. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

4 Problemen Een (algoritmisch) probleem bestaat uit karakterisaties van toegelaten invoer (input) en gewenste uitvoer (output) als functie van de invoer. Een instantie ontstaat als één toegelaten invoer gekozen wordt. Voorbeeld Probleem: Travelling Salesman Problem (TSP) Gegeven: een volledige graaf G = (V, E) en een kostenfunctie c : E R +. Gevraagd: een circuit in G dat elk punt precies één keer bevat en minimale kosten heeft. TSP is een optimaliseringsprobleem. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

5 Een beslissingsprobleem vraagt om een ja- of nee-antwoord. Elk optimaliseringsprobleem heeft een bijbehorend beslissingsprobleem. Voorbeeld Probleem: TSP-beslis Gegeven: een volledige graaf G = (V, E), een kostenfunctie c : E R + en een bovengrens B R. Gevraagd: is er een circuit in G dat elk punt precies één keer bevat en waarvan de kosten maximaal B zijn? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

6 Definitie Een algoritme (algorithm) voor een probleem is een reeks van instructies waarmee elke mogelijke instantie van het probleem opgelost kan worden in eindige tijd. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

7 Definitie Een algoritme (algorithm) voor een probleem is een reeks van instructies waarmee elke mogelijke instantie van het probleem opgelost kan worden in eindige tijd. Definitie De (tijds)complexiteit (time complexity) of looptijd (running time) van een algoritme A is de functie f : N N met f (n) het aantal elementaire stappen dat A in het ergste geval ( worst-case ) nodig heeft om een instantie met invoerlengte n op te lossen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

8 Definitie Een algoritme (algorithm) voor een probleem is een reeks van instructies waarmee elke mogelijke instantie van het probleem opgelost kan worden in eindige tijd. Definitie De (tijds)complexiteit (time complexity) of looptijd (running time) van een algoritme A is de functie f : N N met f (n) het aantal elementaire stappen dat A in het ergste geval ( worst-case ) nodig heeft om een instantie met invoerlengte n op te lossen. de invoerlengte van een instantie is het aantal bits dat nodig is om de invoer van de instantie te representeren; elementaire stappen zijn o.a. rekenkundige bewerkingen van getallen (optellen, vermenigvuldigen, enz.), vergelijken van getallen, lezen en schrijven van een geheugenplaats, volgen van pointer. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

9 Om complexiteit (of andere functies) af te schatten wordt vaak de volgende big-o notatie gebruikt: Definitie Laten f en g twee functies van N naar R + zijn, dan is f (n) = O(g(n)) als er c > 0 en n 0 N bestaan zodanig dat f (n) c g(n) voor alle n n 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

10 Om complexiteit (of andere functies) af te schatten wordt vaak de volgende big-o notatie gebruikt: Definitie Laten f en g twee functies van N naar R + zijn, dan is f (n) = O(g(n)) als er c > 0 en n 0 N bestaan zodanig dat f (n) c g(n) voor alle n n 0 f (n) = Ω(g(n)) als als er c > 0 en n 0 N bestaan zodanig dat f (n) c g(n) voor alle n n 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

11 Om complexiteit (of andere functies) af te schatten wordt vaak de volgende big-o notatie gebruikt: Definitie Laten f en g twee functies van N naar R + zijn, dan is f (n) = O(g(n)) als er c > 0 en n 0 N bestaan zodanig dat f (n) c g(n) voor alle n n 0 f (n) = Ω(g(n)) als als er c > 0 en n 0 N bestaan zodanig dat f (n) c g(n) voor alle n n 0 f (n) = Θ(g(n)) als f (n) = O(g(n)) en f (n) = Ω(g(n)) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

12 Om complexiteit (of andere functies) af te schatten wordt vaak de volgende big-o notatie gebruikt: Definitie Laten f en g twee functies van N naar R + zijn, dan is f (n) = O(g(n)) als er c > 0 en n 0 N bestaan zodanig dat f (n) c g(n) voor alle n n 0 f (n) = Ω(g(n)) als als er c > 0 en n 0 N bestaan zodanig dat f (n) c g(n) voor alle n n 0 f (n) = Θ(g(n)) als f (n) = O(g(n)) en f (n) = Ω(g(n)) Nuttige eigenschappen: f (n) als lim n g(n) = 0 dan f (n) = O(g(n)) f (n) als lim n g(n) = c > 0 dan f (n) = Θ(g(n)) f (n) als lim n g(n) = dan f (n) = Ω(g(n)) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

13 Vraag (1) Wat is de invoerlengte als de invoer een getal n is? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

14 Vraag (1) Wat is de invoerlengte als de invoer een getal n is? Vraag (2) Wat is de invoerlengte van een LP? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

15 Vraag (1) Wat is de invoerlengte als de invoer een getal n is? Vraag (2) Wat is de invoerlengte van een LP? Vraag (3) Wat is de invoerlengte als de invoer een graaf is? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

16 Representaties van een ongerichte graaf: Adjacency matrix: Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

17 Representaties van een ongerichte graaf: Adjacency matrix: Incidence matrix: Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

18 Representaties van een ongerichte graaf: Adjacency matrix: Incidence matrix: Adjacency lists: A 1 = [2, 4] A 3 = [2, 4] A 2 = [1, 3, 4] A 4 = [1, 2, 3] Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

19 Representatie van een gerichte graaf: Adjacency matrix: Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

20 Representatie van een gerichte graaf: Adjacency matrix: Incidence matrix: Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

21 Representatie van een gerichte graaf: Adjacency matrix: Incidence matrix: In- ad out-lists: A in 1 = [] Aout 1 = [2, 4] A in 2 = [1, 4] Aout 2 = [3] A in 3 = [2] Aout 3 = [4] A in 4 = [1, 3] Aout 4 = [2] Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

22 Definitie Een algoritme is polynomiaal als het tijdscomplexiteit O(p(n)) heeft met p(n) een polynoom. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

23 Definitie Een algoritme is polynomiaal als het tijdscomplexiteit O(p(n)) heeft met p(n) een polynoom. Definitie Een algoritme is exponentieel als het tijdscomplexiteit Ω(f (n)) heeft met f (n) een exponentiële functie (f (n) = a n voor een constante a > 1). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

24 Definitie Een algoritme is polynomiaal als het tijdscomplexiteit O(p(n)) heeft met p(n) een polynoom. Definitie Een algoritme is exponentieel als het tijdscomplexiteit Ω(f (n)) heeft met f (n) een exponentiële functie (f (n) = a n voor een constante a > 1). Definitie De klasse P is de klasse van alle (beslissings)problemen waarvoor een polynomiaal algoritme bestaat. Problemen in P worden makkelijke problemen genoemd. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

25 Definitie De klasse N P is de klasse van alle beslissingsproblemen waarvoor een ja-antwoord in polynomiale-tijd geverifiëerd kan worden, m.b.v. een certificaat van polynomiale lengte. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

26 Definitie De klasse N P is de klasse van alle beslissingsproblemen waarvoor een ja-antwoord in polynomiale-tijd geverifiëerd kan worden, m.b.v. een certificaat van polynomiale lengte. Voorbeeld TSP-beslis N P. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

27 Definitie De klasse N P is de klasse van alle beslissingsproblemen waarvoor een ja-antwoord in polynomiale-tijd geverifiëerd kan worden, m.b.v. een certificaat van polynomiale lengte. Voorbeeld TSP-beslis N P. Eén van de zeven millennium problemen ($ ): is P = N P? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

28 Definitie De klasse N P is de klasse van alle beslissingsproblemen waarvoor een ja-antwoord in polynomiale-tijd geverifiëerd kan worden, m.b.v. een certificaat van polynomiale lengte. Voorbeeld TSP-beslis N P. Eén van de zeven millennium problemen ($ ): is P = N P? Voor TSP bestaat geen polynomiaal algoritme tenzij P = N P. TSP wordt daarom een moeilijk probleem genoemd. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

29 Schaalbaarheid Polynomiale algoritmes schalen veel beter dan exponentiële algoritmes. Tabel: Groei van polynomiale en exponeniële functies n n log(n) n ,000, n n x x n log(n) x x10 29 n! 3,628, x Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

30 Profijt van technologische ontwikkeling Polynomiale algoritmes profiteren meer van technologische ontwikkelingen. Tabel: Maximale instantiegrootte op te lossen in 1 dag Functie Huidige technologie 10x snellere computer n n log(n) 0.948x x10 12 n x10 6 n x n n n n log(n) n! Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

31 Voorbeeld Wat is de complexiteit van het algoritme van Dijkstra voor het vinden van een kortste pad van s naar t in een gerichte graaf D = (V, A) met een lengte c uv 0 voor elke pijl (u, v) A en met s, t V. Algoritme W := {s} ρ(s) := 0 ρ(v) := c sv voor elk punt v V \ {s} (met c sv = wanneer (s, v) / A) Herhaal totdat W = V : 1 Vind u V \ W met minimale ρ(u) 2 W := W {u} 3 Voor elke v V \ W met (u, v) A ρ(v) := min{ρ(v), ρ(u) + cuv } Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

32 Voorbeeld Wat is de complexiteit van het algoritme van Ford-Fulkerson voor het vinden van een maximum stroom, als alle capaciteiten geheeltallig zijn? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

33 Algoritme (Ford-Fulkerson) 1 Begin met f ij = 0 voor alle (i, j) A 2 Maak een gerichte hulpgraaf D f met dezelfde punten als D en voor elke pijl (i, j) van D: als f ij < b ij dan krijgt D f een pijl (i, j) met capaciteit c ij = b ij f ij als f ij > 0 dan krijgt D f een pijl (j, i) met capaciteit c ji = f ij 3 Geval 1: er bestaat een gericht pad P van s naar t in D f. α := min{c ij (i, j) ligt op P} Vermeerder stroom f als volgt: f ij := f ij + α f ij := f ij α Ga naar (2). als (i, j) op P ligt als (j, i) op P ligt 4 Geval 2: er bestaat geen pad van s naar t in D f. Definieer: U := {u V er bestaat een pad van s naar u in D f } Dan is (U, V \ U) een s-t snede met C(U, V \ U) =waarde(f ). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

34 Voorbeeld Het aantal iteraties van het algoritme van Ford-Fulkerson kan exponentiëel zijn in de invoergrootte. u s 1000 v t Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

35 Voorbeeld Het aantal iteraties van het algoritme van Ford-Fulkerson kan exponentiëel zijn in de invoergrootte. Eerste iteratie: vermeerder stroom over pad (s, u, v, t): u 1/1000 0/1000 s 1/1 t Dit geeft een stroom met waarde 1. 0/1000 1/1000 v Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

36 Voorbeeld Het aantal iteraties van het algoritme van Ford-Fulkerson kan exponentiëel zijn in de invoergrootte. Tweede iteratie: vermeerder stroom over pad (s, v, u, t): u 1/1000 1/1000 s 0/1 t Dit geeft een stroom met waarde 2. 1/1000 1/1000 v Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

37 Voorbeeld Het aantal iteraties van het algoritme van Ford-Fulkerson kan exponentiëel zijn in de invoergrootte. Derde iteratie: vermeerder stroom over pad (s, u, v, t): u 2/1000 1/1000 s 1/1 t Dit geeft een stroom met waarde 3. 1/1000 2/1000 v Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

38 Voorbeeld Het aantal iteraties van het algoritme van Ford-Fulkerson kan exponentiëel zijn in de invoergrootte. Vierde iteratie: vermeerder stroom over pad (s, v, u, t): u 2/1000 2/1000 s 0/1 t Dit geeft een stroom met waarde 4. 2/1000 2/1000 v Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

39 Voorbeeld Het aantal iteraties van het algoritme van Ford-Fulkerson kan exponentiëel zijn in de invoergrootte. Vijfde iteratie: vermeerder stroom over pad (s, u, v, t): u 3/1000 2/1000 s 1/1 t Dit geeft een stroom met waarde 5. 2/1000 3/1000 v Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

40 Voorbeeld Het aantal iteraties van het algoritme van Ford-Fulkerson kan exponentiëel zijn in de invoergrootte. Na 2000 iteraties: 1000/ /1000 u s 0/1 t 1000/ /1000 v Krijgen we eindelijk een optimale stroom met waarde Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

41 Als we 1000 vervangen door N dan hebben we 2N iteraties nodig en is de invoergrootte O(log(N)). Maar N is exponentieel veel groter dan log(n). Dus is het algoritme van Ford-Fulkerson is niet polynomiaal. Vraag Hoe kunnen we het algoritme verbeteren? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

42 Stelling (Dinits en Edmonds-Karp) Het Ford-Fulkerson algoritme heeft polynomiale looptijd als elke iteratie een kortste stroomvermeerderende pad gekozen wordt. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

43 Stelling (Dinits en Edmonds-Karp) Het Ford-Fulkerson algoritme heeft polynomiale looptijd als elke iteratie een kortste stroomvermeerderende pad gekozen wordt. µ(d) := lengte kortste s-t-pad in gerichte graaf D α(d) := verzameling van pijlen die op minstens één kortste s-t-pad liggen α(d) := {(v, u) (u, v) α(d)} Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

44 Stelling (Dinits en Edmonds-Karp) Het Ford-Fulkerson algoritme heeft polynomiale looptijd als elke iteratie een kortste stroomvermeerderende pad gekozen wordt. Lemma µ(d) := lengte kortste s-t-pad in gerichte graaf D α(d) := verzameling van pijlen die op minstens één kortste s-t-pad liggen α(d) := {(v, u) (u, v) α(d)} Als D = (V, A) en D = (V, A α(d)) dan is µ(d) = µ(d ) en α(d) = α(d ). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

45 Simplex algoritme Aantal iteraties kan exponentieel zijn. Minimale voorwaarden voor voorbeeld: Exponentieel aantal hoekpunten. Serie van exponentieel veel hoekpunten met toenemende doelstellingswaarde. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

46 Simplex algoritme Aantal iteraties kan exponentieel zijn. Minimale voorwaarden voor voorbeeld: Exponentieel aantal hoekpunten. Serie van exponentieel veel hoekpunten met toenemende doelstellingswaarde. Opm: Een d-dimensionale kubus heeft 2d facetten en 2 d hoekpunten Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

47 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

48 De Simplex methode is niet polynomiaal (in de worst case). Voor vrijwel alle praktische instanties is het algoritme heel snel. Algoritmes voor LP: Simplex algoritme (1947): niet polynomiaal, snel in praktijk Ellipsoid method (1979): wel polynomiaal, langzaam in praktijk Interior Point Method (1984): wel polynomiaal, snel in praktijk Open vragen: Is er een pivotregel voor de Simplex methode die wel leidt tot een polynomiaal algoritme? Hoe kunnen we het verschil tussen de theoretische en praktische efficiëntie van algoritmes als de Simplex methode verklaren? Wat zijn goede alternatieven voor de worst-case analyse van algoritmes? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober / 28

Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit

Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Vandaag: Hoe meten we de performance van algoritmen? Waar ligt de grens tussen een goed en een slecht algoritme? 22 oktober 2014 1 Vandaag: Hoe meten we de performance

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 20 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

1 Complexiteit. of benadering en snel

1 Complexiteit. of benadering en snel 1 Complexiteit Het college van vandaag gaat over complexiteit van algoritmes. In het boek hoort hier hoofdstuk 8.1-8.5 bij. Bij complexiteitstheorie is de belangrijkste kernvraag: Hoe goed is een algoritme?

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet

Nadere informatie

(On)Doenlijke problemen

(On)Doenlijke problemen Fundamentele Informatica In3 005 Deel 2 College 1 Cees Witteveen Parallelle en Gedistribueerde Systemen Faculteit Informatie Technologie en Systemen Overzicht Inleiding - Relatie Deel 1 en Deel 2 - Doenlijke

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen

Nadere informatie

Fundamentele Informatica

Fundamentele Informatica Fundamentele Informatica (IN3120 en IN3005 DOI nwe stijl) 20 augustus 2004, 9.00 11.00 uur Het tentamen IN3120 bestaat uit 10 meerkeuzevragen en 2 open vragen. Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal 65

Nadere informatie

NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi

NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi NP-Volledigheid Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen Gezien: selectie [O(n)], DFS [O(n + m)], MaxFlow [O nm n + m ], MST [O(n + m)], etc De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is

Nadere informatie

Datastructuren. Analyse van algoritmen. José Lagerberg. FNWI, UvA. José Lagerberg (FNWI, UvA) Datastructuren 1 / 46

Datastructuren. Analyse van algoritmen. José Lagerberg. FNWI, UvA. José Lagerberg (FNWI, UvA) Datastructuren 1 / 46 Datastructuren Analyse van algoritmen José Lagerberg FNWI, UvA José Lagerberg (FNWI, UvA) Datastructuren 1 / 46 Datastructuren en Algoritmen Datastructuren, 6 ECTS eerstejaars Bachelor INF Datastructuren,

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde Een miljoen dollar verdienen in de kerstvakantie? Het enige dat u hoeft te doen, is een polynomiaal algoritme te vinden om een sudoku mee op te lossen. Niels Oosterling schetst waar u dan rekening mee

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2006 2007, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Verzamelingen:

Nadere informatie

Inhoudsopgave. 1 COMPLEXITEITSTHEORIE Inleiding De klassen P en N P Opgaven... 16

Inhoudsopgave. 1 COMPLEXITEITSTHEORIE Inleiding De klassen P en N P Opgaven... 16 Inhoudsopgave 1 COMPLEXITEITSTHEORIE 1 1.1 Inleiding.......................................... 1 1.2 De klassen P en N P................................... 8 1.3 Opgaven..........................................

Nadere informatie

12 september 2012 Complexiteit. Analyse van algoritmen (doelen) Empirische analyse : Voorbeeld Gevolgen

12 september 2012 Complexiteit. Analyse van algoritmen (doelen) Empirische analyse : Voorbeeld Gevolgen Complexiteit van Algoritmen Ferd van Odenhoven Fontys Hogeschool voor Techniek en Logistiek Venlo Software Engineering 12 september 2012 ODE/FHTBM Complexiteit van Algoritmen 12 september 2012 1/41 Efficientie-analyse

Nadere informatie

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

1 Vervangingsstrategie auto

1 Vervangingsstrategie auto Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2002 1 Vervangingsstrategie auto Onderdeel a Zij V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, waarbij knoop i staat voor het einde

Nadere informatie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 31 maart, 9.00 12.00 uur - Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open vragen. - Per meerkeuzevraag kunnen 0 tot 4 alternatieven juist

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

OptimalisereninNetwerken

OptimalisereninNetwerken OptimalisereninNetwerken Kees Roos e-mail: C.Roos@tudelft.nl, croos@otct.eu URL: http://www.isa.ewi.tudelft.nl/ roos HOVO cursus Wiskunde: zuurstof voor de wereld (deel I) 18 februari, A.D. 2009 Optimization

Nadere informatie

Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken

Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken Joost J. Joosten 14 december 2005 Praag en bier Sinds enkele maanden werk ik als post-doc aan de Czech Academy of Sciences in Praag.

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 10 Begrensde variabelen Han Hoogeveen, Utrecht University Begrensde variabelen (1) In veel toepassingen hebben variabelen zowel een ondergrens als een bovengrens:

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

Local search. Han Hoogeveen. 21 november, 2011

Local search. Han Hoogeveen. 21 november, 2011 1 Local search Han Hoogeveen 21 november, 2011 Inhoud vandaag 2 Inhoud: Uitleg methode Bespreking oude opdrachten: ˆ Bezorgen wenskaarten ˆ Roosteren tentamens Slides staan al op het web www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/colleges.html

Nadere informatie

Algoritmiek. 2 februari Introductie

Algoritmiek. 2 februari Introductie College 1 Algoritmiek 2 februari 2017 Introductie 1 Introductie -1- docent: Rudy van Vliet rvvliet@liacs.nl assistent werkcollege: Bart van Strien bartbes@gmail.com website: http://www.liacs.leidenuniv.nl/~vlietrvan1/algoritmiek/

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 2. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 2. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 2 Han Hoogeveen, Utrecht University Inhoud vandaag Inhoud: Uitleg methode Bespreking oude opdracht: Bezorgen wenskaarten Slides staan al op het web www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/colleges.html

Nadere informatie

8. Complexiteit van algoritmen:

8. Complexiteit van algoritmen: 8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel 2 8.1 Complexiteit 4 8.2 NP-problemen 6 8.3 De oplossing 7 8.4 Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42

Nadere informatie

Algoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens

Algoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Algoritmes in ons dagelijks leven Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Wat is een algoritme? Een algoritme is een eindige reeks instructies die vanuit een gegeven begintoestand naar een beoogd

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Determinanten

Hoofdstuk 3 : Determinanten (A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld

Nadere informatie

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk

Nadere informatie

Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle  holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/29764 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Takes, Frank Willem Title: Algorithms for analyzing and mining real-world graphs

Nadere informatie

Vijfde college complexiteit. 21 februari Selectie Toernooimethode Adversary argument

Vijfde college complexiteit. 21 februari Selectie Toernooimethode Adversary argument Complexiteit 2017/05 College 5 Vijfde college complexiteit 21 februari 2017 Selectie Toernooimethode Adversary argument 1 Complexiteit 2017/05 Opgave 28 Gegeven twee oplopend gesorteerde even lange rijen

Nadere informatie

Wiskunde D assignment problem. Hier stonden ooit namen

Wiskunde D assignment problem. Hier stonden ooit namen Wiskunde D assignment problem Hier stonden ooit namen Inhoud Wat? Pagina Het probleem 2 Probleem analyse 3 4 Oplossing adjacency assignment 5 6 Oplossing gerneral assignment via hungarian algorithm Oplossing

Nadere informatie

F. Optimaliseren in netwerken

F. Optimaliseren in netwerken F. Optimaliseren in netwerken Inleiding Optimalisering is het deelgebied van de wiskunde waarbij het gaat het om de ontwikkeling en analyse van algoritmen voor het oplossen van problemen waarbij een functie

Nadere informatie

Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, uur

Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, uur Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, 14.00-17.00 uur Het tentamen bestaat uit 6 opgaven. Motiveer je antwoorden duidelijk. De normering van de opgaves staat steeds

Nadere informatie

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1 Oefeningen voor de oefeningenles Oefening 1 Gegeven een arbitraire binaire zoekboom T met n toppen en een (andere of gelijke) binaire zoekboom T die ook n sleutels bevat. Beschrijf een algoritme dat in

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede kandidatuur Informatica Academiejaar 2004 2005, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Binomiale

Nadere informatie

start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c

start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c Een Minimaal Formalisme om te Programmeren We hebben gezien dat Turing machines beschouwd kunnen worden als universele computers. D.w.z. dat iedere berekening met natuurlijke getallen die met een computer

Nadere informatie

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken). 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten

Nadere informatie

Spider Solitaire is NP-Compleet

Spider Solitaire is NP-Compleet Spider Solitaire is NP-Compleet Kenneth Verstraete 21 april 2016 1 Inleiding Spider Solitaire is een populair kaartspel dat alleen gespeeld wordt. Het werd/wordt standaard bij o.a. Microsoft Windows meegeleverd.

Nadere informatie

Tie breaking in de simplex methode

Tie breaking in de simplex methode Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.

Nadere informatie

Algorithms for Max-Flow

Algorithms for Max-Flow Algorithms for Max-Flow Consider a network with given upper bounds for the capacities of the arcs, and one entry and one exit node. The max-flow problem consists in finding a maximal flow through the network

Nadere informatie

Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms

Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Giso Dal (0752975) Pagina s 5 7 1 Deelverzameling Representatie

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

BESLISKUNDE 1 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

BESLISKUNDE 1 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN BESLISKUNDE 1 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord In het college Besliskunde 1 worden verschillende onderdelen van de discrete wiskunde, de deterministische en de stochastische besliskunde

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten

Nadere informatie

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie College 4. Opsommers versus herkenners (Th. 3.21) Opsommers

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie College 4. Opsommers versus herkenners (Th. 3.21) Opsommers Vorig college College 4 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Vervolg NDTM s Vergelijking rekenkracht TM s en NDTM s Voorbeelden NDTM s 20 april 2009 1 2 Opsommers Opsommers versus herkenners (Th. 3.21)

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

De inverse van een matrix

De inverse van een matrix De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en

Nadere informatie

Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings)

Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings) Verslag ten behoeve van het

Nadere informatie

DEC SDR DSP project 2017 (2)

DEC SDR DSP project 2017 (2) DEC SDR DSP project 2017 (2) Inhoud: DSP software en rekenen Effect van type getallen (integer, float) Fundamenten onder DSP Lezen van eenvoudige DSP formules x[n] Lineariteit ( x functie y dus k maal

Nadere informatie

Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit ( en ) Uitwerkingen

Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit ( en ) Uitwerkingen Universiteit Twente 2009-2010/2 Afdeling Informatica, Faculteit EWI Tentamen dinsdag 19 januari 2010, 8.45-12.15 Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit (214020 en 214025) Uitwerkingen Bij dit tentamen

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters

Nadere informatie

Radboud Universiteit Nijmegen

Radboud Universiteit Nijmegen Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Kubische grafen met integraal spectrum Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Tweede lezer: Daan van Rozendaal

Nadere informatie

Helden van de wiskunde: L.E.J. Brouwer Brouwers visie vanuit een logica-informatica perspectief

Helden van de wiskunde: L.E.J. Brouwer Brouwers visie vanuit een logica-informatica perspectief Helden van de wiskunde: L.E.J. Brouwer Brouwers visie vanuit een logica-informatica perspectief Herman Geuvers Radboud Universiteit Nijmegen Technische Universiteit Eindhoven 1 Helden van de wiskunde:

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden.

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden. Antwoorden Doeboek 4 Grafen.. De middelste en de rechtergraaf.. Een onsamenhangende graaf met vijf punten en vijf lijnen: Teken een vierhoek met één diagonaal. Het vijfde punt is niet verbonden met een

Nadere informatie

en-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast,

en-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast, Kansrekening voor Informatiekunde, 25 Les 8 Proces analyse Veel processen laten zich door netwerken beschrijven, waarin knopen acties aangeven en opdrachten langs verbindingen tussen de knopen verwerkt

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Modellering. Duaal probleem. αβ-algoritme. Maximale stroom probleem. Voorbeeld. Transportprobleem 1

Overzicht. Inleiding. Modellering. Duaal probleem. αβ-algoritme. Maximale stroom probleem. Voorbeeld. Transportprobleem 1 Overzicht Inleiding Modellering Duaal probleem αβ-algoritme Maximale stroom probleem Voorbeeld Transportprobleem 1 Inleiding W 1 b 1 a 1 D 1 W 2 b 2 a 2 D 2 a m Dm W n b n depots warenhuizen c ij zijn

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Quantum computing. Dirk Nuyens. dept. computerwetenschappen KULeuven. [dirk.nuyens@cs.kuleuven.ac.be]

Quantum computing. Dirk Nuyens. dept. computerwetenschappen KULeuven. [dirk.nuyens@cs.kuleuven.ac.be] Quantum computing Dirk Nuyens [dirk.nuyens@cs.kuleuven.ac.be] dept. computerwetenschappen KULeuven qc-sim-intro.tex Quantum computing Dirk Nuyens 18/12/2001 21:25 p.1 Mijn thesis plannen Proberen een zo

Nadere informatie

Bestaat er dan toch een wortel uit 1?

Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Het XOR-Netwerk heeft lokale Minima

Het XOR-Netwerk heeft lokale Minima Het 2-3- XOR-Netwerk heet lokale Minima Ida G. Sprinkhuizen-Kuyper Egbert J.W. Boers Vakgroep Inormatica RijksUniversiteit Leiden Postbus 952 2300 RA Leiden {kuyper,boers}@wi.leidenuniv.nl Samenvatting

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0 Voorbeeldtentamen Deterministische Modellen in de OR (158075) Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief argumentatie! Gebruik van de rekenmachine is niet toegestaan.

Nadere informatie

POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding

POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 2/59 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding Stijn Lievens (Stijn.Lievens@hogent.be) Noemie Slaats (Noemie.Slaats@hogent.be) Lieven Smits (Lieven.Smits@hogent.be) Martine Van Der Weeen

Nadere informatie

Automaten & Complexiteit (X )

Automaten & Complexiteit (X ) Automaten & Complexiteit (X 401049) Inleiding Jeroen Keiren j.j.a.keiren@vu.nl VU University Amsterdam Materiaal Peter Linz An Introduction to Formal Languages and Automata (5th edition) Jones and Bartlett

Nadere informatie

Vectorruimten met inproduct

Vectorruimten met inproduct Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij

Nadere informatie

Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica

Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:

Nadere informatie

Vakgroep CW KAHO Sint-Lieven

Vakgroep CW KAHO Sint-Lieven Vakgroep CW KAHO Sint-Lieven Objecten Programmeren voor de Sport: Een inleiding tot JAVA objecten Wetenschapsweek 20 November 2012 Tony Wauters en Tim Vermeulen tony.wauters@kahosl.be en tim.vermeulen@kahosl.be

Nadere informatie

2 Elementaire bewerkingen

2 Elementaire bewerkingen Hoofdstuk 2 Elementaire bewerkingen 19 2 Elementaire bewerkingen 1 BINAIRE GETALLEN In het vorige hoofdstuk heb je gezien dat rijen bits worden gebruikt om lettertekens, getallen, kleuren, geluid en video

Nadere informatie

We zullen in deze les kijken hoe we netwerken kunnen analyseren, om bijvoorbeeld de volgende vragen te kunnen beantwoorden:

We zullen in deze les kijken hoe we netwerken kunnen analyseren, om bijvoorbeeld de volgende vragen te kunnen beantwoorden: Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 24 Les 5 Proces analyse Veel processen laten zich door netwerken beschrijven, waarin een aantal knopen acties aangeeft en opdrachten langs verbindingen tussen de

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie