Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005"

Transcriptie

1 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150 ton staal en voor fabriek ton staal. Het totale aanbod komt daarmee op: = 430. De totale vraag naar staal is 300 ton. Om het transportprobleem te balanceren voeren we daarom een dummy vraagknoop in. De vraag bij deze dummy knoop is 130 ton. De kosten van iedere fabriek naar deze vraagknoop is gelijk aan 0. min o.d.v. 3 4 c ij x ij i=1 j=1 4 x ij = a i 1 i 3 j=1 3 x ij = b j 1 j 4 i=1 x ij 0 1 i 3 1 j 4 Waarbij a = (120, 150, 160) en b = (,,, 130). De bijbehorende kostenmatrix c ij is: S1 S2 S3 S3 F F F Onderdeel b We lossen het transport probleem op met behulp van het αβ-algoritme. We starten met de duale oplossing volgens: β j = min i c ij 1 j 3 α i = min j (c ij β j ) 1 i 3 Dus β = (43, 20, 20, 0) en α = (0, 0, 0). In tabel 1 is een overzicht gegeven van c ij α i β j. 1

2 Tabel 1: Iteratie 1: c ij α i β j [0,120] F1 120 S1 60 S2 s [0,150] F2 10 t S3 [0,160] F3 S4 [0,130] Figuur 1: Van boven naar beneden takken verzadigd In figuur 1 is het bijbehorende netwerk N x weergegeven, waarbij van boven naar onder takken verzadigd zijn. Het labelproces wordt gestart vanuit s. Nu kan alleen knoop F2 gelabeld worden (naar F1 en naar F3 zijn geknipt, omdat de capaciteit verbruikt is!). Vanuit knoop F2 kan knoop S4 gelabeld worden. Via de omgekeerde rode tak kan dan F1 gelabeld worden. Hier stopt het labelproces. Er geldt: I + = {1, 2} J + = {4} De grootst mogelijke keuze voor δ is dus (zie tabel 1): δ = min i I +,j / J + c ij α i β j = 7 (1) Op basis van deze keuze voor deze keuze van δ kan een betere duale oplossing gevonden worden volgens: α i = { αi δ i I α i i I + β j = { βj + δ j J β j j J + 2

3 In tabel 2 is c ij α i β j weergegeven voor de verbeterde α en β. Tabel 2: Iteratie 2: c ij α i β j Het bijbehorende netwerk N x is weergegeven in figuur 2. Ten opzichte van figuur 1 is de tak van F2 naar S1 naar er bij gekomen, terwijl de tak van F3 naar S4 verwijderd is (N.B.: dit was dus geen stroomdragende tak!). [0,120] F1 120 S1 60 S2 s [0,150] F2 10 t S3 [0,160] F3 S4 [0,130] Figuur 2: Tweede iteratie Het labelproces zetten we nu voort vanuit F2. Vanuit F2 kan nu ook S1 gelabeld worden. Vanuit S1 kan F3 gelabeld worden. Vanuit F3 kan zowel S2 als S3 gelabeld worden. Vanuit zowel S2 als S3 kan knoop t gelabeld worden. Er zijn dus twee mogelijke doorbraken: s F2 S1 F3 S2 t en s F2 S1 F3 S3 t. Over het eerste pad kan maximaal 40 extra stroom verstuurd worden (dan is de capaciteit bij S2 verbruikt. Over het tweede pad kan vervolgens maximaal 60 extra stroom verstuurd worden (dan is de capaciteit bij S1 verbruikt). In figuur 3 is de resulterende stroom getekend. Het labelproces wordt opnieuw gestart. Vanuit knoop s kan alleen knoop F 2 gelabeld worden. Vanuit knoop F2 kunnen de knopen S1 en S4 gelabeld worden. Vanuit knoop S4 kan knoop F1 gelabeld worden. Hier stopt het labelproces. Er geldt: I + = {1, 3} J + = {1, 4} De grootst mogelijke keuze voor δ is dus (zie tabel 3): δ = min i I +,j / J + c ij α i β j = 1 3

4 [0,120] F1 120 S1 S2 s [0,150] F S3 t [0,160] F3 S4 [0,130] Figuur 3: Iteratie 2, na de doorbraken In tabel 3 zijn de nieuwe duale variabelen gegeven op basis van deze keuze voor δ. Tabel 3: Iteratie 2: c ij α i β j Het bijbehorende netwerk N x is weergegeven in figuur 4. Ten opzichte van figuur 3 is de tak van F1 naar S3 erbij gekomen, terwijl de tak van F3 naar S1 verwijderd is. [0,120] F1 S1 120 S2 s [0,150] F S3 t [0,160] F3 S4 [0,130] Figuur 4: Iteratie 3 Het labelproces kan worden voortgezet. Vanuit knoop F 1 kan knoop S3 gelabeld worden. Vanuit knoop S3 kan knoop t gelabeld worden. Er is sprake van een doorbraak via het pad: s F2 S4 F1 S3 t. Over dit pad kan 40 extra stroom verstuurd worden. Het labelproces kan dan worden voortgezet. Vanuit knoop C kan knoop F gelabeld worden en vanuit knoop F kan t gelabeld worden. Er is een doorbraak: s D E C F t. 4

5 [0,120] F S1 S2 s [0,150] F2 50 t [0,160] F3 60 S3 S4 [0,130] Figuur 5: Optimale stroom Over dit pad kan 4 extra stroom verstuurd worden. In figuur 6 is de resulterende stroom getoond. Alle takken vanuit s zijn nu verzadigd dus is het transport probleem opgelost. [0,9] [0,6] A B 9 6 E [0,15] s [0,7] 3 F [0,13] t C 4 [0,9] D 6 3 G [0,3] Figuur 6: Oplossing van het transportprobleem Fabriek 1 produceert 40 ton staal van type 3. Fabriek 2 produceert ton staal van type 1. Fabriek 3 produceert ton staal van type 2 en 60 ton staal van type 3. De bijbehorende kosten zijn: = Ter controle wordt hier ook de waarde van de doelfunctie van het duale probleem gegeven: 3 4 α i a i + β j b j = = i=1 j=1 5

6 2 Bekabeling van hoofdkantoor en bijkantoren Onderdeel a Dit probleem komt neer op het vinden van een minimale opspannende boom. We doen dit met behulp van het algoritme van Kruskal. We sorteren de takken (niet de diagonaal) op oplopende kosten: (B1, B5) 50 (H, B4) 70 (B1, B3) 80 (B4, B5) (H, B3) 115 (B2, B4) 120 (B3, B4) 140 (H, B1) 160 (B2, B3) 175 (H, B5) 190 (B2, B5) 215 (B1, B4) 220 (B4, B5) 240 (H, B2) 270 (B1, B2) 310 Zij B = We selecteren de takken uit de gesorteerde lijst, waarbij we takken die een circuit vormen met eerder gevonden takken verwerpen, totdat we n 1 = 5 takken gekozen hebben. De eerste vier takken worden gekozen: B = {(B1, B5), (H, B4), (B1, B3), (B4, B5)}. Tak (H, B3) vormt een circuit: H B3 B1 B5 B4 H en wordt dus verworpen. De volgende tak (B2, B4) kan echter worden toegevoegd. De minimale opspannende boom is dus: B = {(B1, B5), (H, B4), (B1, B3), (B4, B5), (B2, B4)}. Er loopt dus een kabel van het hoofdkantoor H naar bijkantoor B4. Vanuit B4 loopt een kabel naar B2, B5. Vanuit B5 loopt een kabel naar B1 en vanuit B1 loopt een kabel naar B3. De kosten zijn: = 420. Onderdeel b Dit probleem komt neer op het oplossen van het handelsreizigersprobleem op de volgende afstandsmatrix. 6

7 We reduceren de kolommen met 0, 50, 120, 80, 70, 50. De ondergrens is dan: Met behulp van (2) bepalen we de mogelijke reducties bij ieder 0-element. p ij = min h j c ih + min h i c hj (2) Hieruit volgt: p 04 = 65, p 10 = 0, p 13 = 35, p 15 = 50, p 20 = 50, p 30 = 30, p 40 = 0, p 42 = 55, p 50 = 0, p 51 = 30. We vertakken dus op p 04. TS-routes zonder (0, 4) hebben dan als ondergrens = 435. Voor TS-routes met (0, 4) geldt: Let op dat (4, 0) nu kosten heeft. Nu volgt: p 10 = 0, p 13 = 60, p 15 = 50, p 20 = 95, p 30 = 30, p 42 = 105, p 50 = 0, p 51 = 30. We vertakken dus op (4, 2). TS-routes met (0, 4) maar zonder (4, 2) kosten dus minimaal = 475. Voor TS-routes met (0, 4) en (4, 2) geldt: 7

8 Om het circuit te voorkomen heeft tak (2, 0) nu kosten. We kunnen rij 2 reduceren met 95, waarmee de ondergrens van deze TS-routes gelijk is aan = 465: Er volgt: p 10 = p 13 = p 50 = 0, p 15 = p 23 = 70 en p 30 = p 51 = 30. We vertakken op (1, 5). TS-routes met (0, 4) en (4, 2), maar zonder (1, 5) kosten dus minimaal = 535. Voor TS-routes met (0, 4), (4, 2) en (1, 5) geldt: Let op tak (5, 1) heeft nu kosten. We kunnen kolom 1 reduceren met 30, waarmee de ondergrens van deze routes gelijk is aan = 495: 8

9 Er is nu een route af te maken op de nul-elementen: Deze route kost dus 495. Nu moeten de volgende bladen in de branch & bound boom nog worden uitgewerkt: De situatie zonder (0, 4) met ondergrens 435 De situatie met (0, 4), zonder (4, 2) met ondergrens 475 De situatie zonder (0, 4) In dit geval is de gereduceerde matrix gelijk aan: Er volgt: p 03 = 75, p 10 = p 13 = p 40 = p 50 = 0, p 15 = 50, p 20 = p 54 = 20, p 30 = p 51 = 30, p 42 = 55. We vertakken op (0, 3). Routes zonder (0, 4) en (0, 3) kosten minstens = 510 en hoeven dus niet verder onderzocht te worden. Voor routes zonder (0, 4) maar met (0, 3) geldt: Omdat (3, 0) nu kost, kan rij 3 gereduceerd worden met 30. De ondergrens komt nu dus op

10 Er is een route te vinden over uitsluitend nul elementen: Deze route kost 465 en is dus goedkoper dan de eerder gevonden route! De situatie met (0, 4), zonder (4, 2) met ondergrens 475 Deze situatie hoeft nu niet meer te worden uitgewerkt omdat er een goedkopere route gevonden is. Conclusie Er loopt een lijn vanuit het hoofdkantoor naar achtereenvolgens bijkantoor 3, 1, 5, 4 en 2. De lengte van deze lijn is 465. Onderdeel c Een Hamilton pad is een restrictie op een minimale opspannende boom. Een Hamilton pad is immers een opspannende boom waarbij elke knoop graad kleiner dan of gelijk aan 2 heeft. 3 Produktieplanning Zonder verlies van algemeenheid mogen we aannemen dat het GANTT diagram de volgende vorm heeft: De deeltaken op M 1 zijn zover mogelijk naar links geschoven, zodat ze aansluitend uitgevoerd kunnen worden en de deeltaken op M 2 zijn zover mogelijk naar rechts geschoven, zodat ook deze deeltaken aansluitend uitgevoerd kunnen worden. Voor wat betreft de taken J i en J j hebben we de volgende situatie: aj ai j i j i xj bj bi Hierin stelt x j de tijd voor die verloopt na het beëindigen van deeltaak J j1 op machine M 1 voordat deeltaak J j2 op machine M 2 gestart wordt. Het is duidelijk dat: 10

11 a i b j + x j (3) Immers: b j + x j = a i + x i en x i 0. Bezien we nu wat er gebeurt als we de volgorde van i en j wisselen: ai aj i j i j aj + xj bi De totale procestijd van het nieuwe schema is nog steeds dezelfde c max. Als dit nieuwe schema toelaatbaar is, dan is het minstens zo goed als het originele schema. Het nieuwe schema is toelaatbaar dan en slechts dan als zowel voor J j en J i de deeltaak op machine M 2 pas wordt gestart als de deeltaak op M 1 uitgevoerd is. Dus x i 0 en x j 0. Dit is het geval indien: { ai a j + x j a i + a j a j + x j + b i (4) Uit i j volgt: min(a i, b j ) min(a j, b i ). Als min(a i, b j ) = a i dan is zeker voldaan aan (4). Als min(a i, b j ) = b j dan volgt b j a j en b j b i. Samen met (3) levert dit: a i b j + x j a j + x j en a i b j + x j x j + b i Waarmee ook voldaan wordt aan (4). Het nieuwe produktieschema is dus toelaatbaar! 4 Vervangingsstrategie auto Onderdeel a Zij V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, waarbij knoop i staat voor het einde van jaar i. Zij de verzameling E = {(i, j) : i, j V, j > i} takken met kosten c ij die het gevolg zijn van het aanschaffen van een wagen aan het einde van jaar i, en die te gebruiken tot het einde van jaar j. In tabel 4 zijn deze kosten weergegeven. Zij G = (V, E). De goedkoopste vervangingsstratie komt neer op het bepalen van het kortste pad van knoop 0 naar knoop 6 in de graaf G. 11

12 Tabel 4: Kosten c ij in $ j = 1 j = 2 j = 3 j = 4 j = 5 j = 6 i = i = i = i = i = i = Het kortste pad probleem luidt: min o.d.v. 6 6 c ij x ij i=0 j=0 6 x 0j = 1 j=0 6 x i6 = 1 i=0 6 x ij 6 x ji = 0 i = 1, 2, 3, 4, 5 j=0 j=0 x ij {0, 1} i, j {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Hierbij zij opgemerkt dat de aanschafskosten van $ aan het begin van jaar 1 al gemaakt zijn. Deze kosten mogen dus van de gevonden oplossing afgetrokken worden. Onderdeel b We lossen dit kortste pad probleem op met behulp van Dijkstra s algoritme. In tabel 5 zijn de verschillende iteraties weergegeven. De kosten zijn in duizenden dollars getoond. Tabel 5: Dijkstra s algoritme Iteratie Kandidaten Spilknoop l(1) l(2) l(3) l(4) l(5) l(6) 1 {0} {1, 2,..., 6} {2, 3,..., 6} {3, 4, 5, 6} {4, 5, 6} {5, 6} {6} Het label van knoop 6 is als laatste aangepast in iteratie 5, uitgaande van spilknoop 4. Het label van knoop 4 is als laatste aangepast in iteratie 3, uitgaande van spilknoop 2. Het label van knoop 2 is als laatste aangepast in iteratie 1 uitgaande van spilknoop 0. Het kortste pad is dus {(0, 2), (2, 4), (4, 6)}. 12

13 Door aan het einde van jaar 2 en aan het einde van jaar 4 een nieuwe auto te kopen, worden de kosten (aanschaf + operationeel - inruilwaarde) om zes jaar lang een auto te bezitten en te gebruiken geminimaliseerd. De kosten hiervoor zijn $ Er van uitgegaan dat er aan het begin van jaar 1 net een nieuwe wagen is gekocht kan gesteld worden dat de kosten $ $ = $ zijn. 13

1 Vervangingsstrategie auto

1 Vervangingsstrategie auto Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2002 1 Vervangingsstrategie auto Onderdeel a Zij V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, waarbij knoop i staat voor het einde

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Modellering. Duaal probleem. αβ-algoritme. Maximale stroom probleem. Voorbeeld. Transportprobleem 1

Overzicht. Inleiding. Modellering. Duaal probleem. αβ-algoritme. Maximale stroom probleem. Voorbeeld. Transportprobleem 1 Overzicht Inleiding Modellering Duaal probleem αβ-algoritme Maximale stroom probleem Voorbeeld Transportprobleem 1 Inleiding W 1 b 1 a 1 D 1 W 2 b 2 a 2 D 2 a m Dm W n b n depots warenhuizen c ij zijn

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende

Nadere informatie

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur

Nadere informatie

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6.

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6. Overzicht 1. Definities 2. Basisalgoritme 3. Label setting methoden 4. Label correcting methoden 5. Ondergrenzen 6. Resultaten Kortste Pad Probleem 1 Definities Een graaf G = (V, E) bestaat uit een verzameling

Nadere informatie

Activiteit 9. Modderstad Minimaal Opspannende Bomen. Samenvatting. Kerndoelen. Leeftijd. Vaardigheden. Materialen

Activiteit 9. Modderstad Minimaal Opspannende Bomen. Samenvatting. Kerndoelen. Leeftijd. Vaardigheden. Materialen Activiteit 9 Modderstad Minimaal Opspannende Bomen Samenvatting Onze maatschappij is verbonden middels heel veel netwerken: telefoonnet, elektriciteitsnet, de riolering, computernetwerk, en het wegennet.

Nadere informatie

Hoofdstuk!7!Kortste!paden!

Hoofdstuk!7!Kortste!paden! oofdstukkortstepaden oofdstukkortstepaden In een gewogen graaf is men soms geïnteresseerd in het kortste pad tussen twee punten: dat is een pad, waarbij de som van de gewichten zo klein mogelijk is..inleiding

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Tiende college algoritmiek 13/1 april 017 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur.

Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur. Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, 9.00-12.00 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen

Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen Algoritmiek 01/10 College 10 Tiende college algoritmiek april 01 Gretige algoritmen 1 Algoritmiek 01/10 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2

Nadere informatie

Transport, Routing- en Schedulingproblemen. ir. H.N. Post

Transport, Routing- en Schedulingproblemen. ir. H.N. Post Transport, Routing- en Schedulingproblemen ir. H.N. Post 1 mei 2006 Inhoudsopgave 1 Kortste pad probleem 7 1.1 Definities...................................... 7 1.2 Basisalgoritme...................................

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30

Nadere informatie

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken). 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten

Nadere informatie

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen. WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,

Nadere informatie

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

Computationele Intelligentie

Computationele Intelligentie Computationele Intelligentie Uitwerking werkcollege Representatie, Ongeïnformeerd zoeken, Heuristisch zoeken 1 lokkenwereld a. De zoekboom die door het dynamische breadth-first search algoritme wordt gegenereerd

Nadere informatie

Tentamen: Operationele Research 1D (4016)

Tentamen: Operationele Research 1D (4016) UITWERKINGEN Tentamen: Operationele Research 1D (4016) Tentamendatum: 12-1-2010 Duur van het tentamen: 3 uur (maximaal) Opgave 1 (15 punten) Beschouw het volgende lineaire programmeringsprobleem P: max

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Tiende college algoritmiek 14 april 2016 Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS 1 Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Houtzaagmolen

Nadere informatie

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur.

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur. Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, 13.30-16.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd

Nadere informatie

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch

Nadere informatie

Twaalfde college algoritmiek. 12 mei Branch & Bound

Twaalfde college algoritmiek. 12 mei Branch & Bound Twaalfde college algoritmiek 12 mei 2016 Branch & Bound 1 Branch and bound -1- Branch & bound is alleen toepasbaar op optimalisatieproblemen genereert oplossingen stap voor stap en houdt de tot dusver

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen

Nadere informatie

Faculteit der Economie en Bedrijfskunde

Faculteit der Economie en Bedrijfskunde Faculteit der Economie en Bedrijfskunde Op dit voorblad vindt u belangrijke informatie omtrent het tentamen. Lees dit voorblad voordat u met het tentamen begint! Tentamen: Operational Research 1D (4016)

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte

Nadere informatie

Grafen deel 2 8/9. Zesde college

Grafen deel 2 8/9. Zesde college Grafen deel 2 8/9 Zesde college 1 Een Eulercircuit is een gesloten wandeling die elke lijn precies één keer bevat. traversable trail all edges distinct 8.5 rondwandeling zeven bruggenprobleem van Köningsbergen

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje

Nadere informatie

OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN VOORJAAR 2003 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 1.1 Wat is Operations Research?.............................. 1 1.2 Overzicht van de te behandelen

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound Algoritmiek 011/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 april 011 Dijkstra en Branch & Bound 1 Algoritmiek 011/11 Kortste paden Gegeven een graaf G met gewichten op de takken, en een beginknoop s. We

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 10 Begrensde variabelen Han Hoogeveen, Utrecht University Begrensde variabelen (1) In veel toepassingen hebben variabelen zowel een ondergrens als een bovengrens:

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, uur.

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, uur. Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, 14.30-17.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd

Nadere informatie

Informatica: C# WPO 10

Informatica: C# WPO 10 Informatica: C# WPO 10 1. Inhoud 2D arrays, lijsten van arrays, NULL-values 2. Oefeningen Demo 1: Fill and print 2D array Demo 2: Fill and print list of array A: Matrix optelling A: Matrix * constante

Nadere informatie

Vijfde college complexiteit. 21 februari Selectie Toernooimethode Adversary argument

Vijfde college complexiteit. 21 februari Selectie Toernooimethode Adversary argument Complexiteit 2017/05 College 5 Vijfde college complexiteit 21 februari 2017 Selectie Toernooimethode Adversary argument 1 Complexiteit 2017/05 Opgave 28 Gegeven twee oplopend gesorteerde even lange rijen

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:

Nadere informatie

De invoer bestaat uit twee lijnen. Op de eerste lijn staat l en op de tweede lijn u, met l, u [1, 500].

De invoer bestaat uit twee lijnen. Op de eerste lijn staat l en op de tweede lijn u, met l, u [1, 500]. Het konijnenhok Bij een foutgelopen experiment van dr. Cedric Parker-Powell (P.P. voor de vrienden) werden zijn proefkonijnen blootgesteld aan een overdosis radio-actieve straling. Op het eerste zicht

Nadere informatie

Zevende college complexiteit. 17 maart Ondergrens sorteren, Quicksort

Zevende college complexiteit. 17 maart Ondergrens sorteren, Quicksort College 7 Zevende college complexiteit 17 maart 2008 Ondergrens sorteren, Quicksort 1 Sorteren We bekijken sorteeralgoritmen gebaseerd op het doen van vergelijkingen van de vorm A[i] < A[j]. Aannames:

Nadere informatie

Duration: 2 hrs; Total points: 100 No documents allowed. Use of electronic devices, such as calculators, smartphones, smartwatches is forbidden.

Duration: 2 hrs; Total points: 100 No documents allowed. Use of electronic devices, such as calculators, smartphones, smartwatches is forbidden. : Computationele Intelligentie (INFOBCI) Midterm Exam Duration: hrs; Total points: No documents allowed. Use of electronic devices, such as calculators, smartphones, smartwatches is forbidden. Question

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend

Nadere informatie

3. Structuren in de taal

3. Structuren in de taal 3. Structuren in de taal In dit hoofdstuk behandelen we de belangrijkst econtrolestructuren die in de algoritmiek gebruikt worden. Dit zijn o.a. de opeenvolging, selectie en lussen (herhaling). Vóór we

Nadere informatie

Het minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve

Het minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve 1 (a) In een B-boom van orde m bevat de wortel minimaal 1 sleutel en maximaal m 1 sleutels De andere knopen bevatten minimaal m 1 sleutels en maximaal m 1 sleutels (b) In een B-boom van orde 5 bevat elke

Nadere informatie

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product

Nadere informatie

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1 Oefeningen voor de oefeningenles Oefening 1 Gegeven een arbitraire binaire zoekboom T met n toppen en een (andere of gelijke) binaire zoekboom T die ook n sleutels bevat. Beschrijf een algoritme dat in

Nadere informatie

Netwerkstroming. Algoritmiek

Netwerkstroming. Algoritmiek Netwerkstroming Vandaag Netwerkstroming: definitie en toepassing Het rest-netwerk Verbeterende paden Ford-Fulkerson algoritme Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp Toepassing: koppelingen

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 5 juni 2007, uur

Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 5 juni 2007, uur Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag juni 00, 0.00.00 uur Opgave. a. Een toestand bestaat hier uit een aantal stapels, met op elk van die stapels een aantal munten (hooguit n per stapel).

Nadere informatie

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0 Voorbeeldtentamen Deterministische Modellen in de OR (158075) Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief argumentatie! Gebruik van de rekenmachine is niet toegestaan.

Nadere informatie

Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 )

Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 ) OI 2010 Finale 12 Mei 2010 Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub VOORNAAM :....................................................... NAAM :..............................................................

Nadere informatie

Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem

Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem Het water van 3 rivieren moet worden verdeeld over 4 steden. Daar zijn kosten aan verbonden per eenheid water (zie tabel). De steden hebben minimumbehoeften

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Classificatie. NP compleetheid. Algoritme van Johnson. Oplossing via TSP. Netwerkalgoritme. Job shop scheduling 1

Overzicht. Inleiding. Classificatie. NP compleetheid. Algoritme van Johnson. Oplossing via TSP. Netwerkalgoritme. Job shop scheduling 1 Overzich Inleiding Classificaie NP compleeheid Algorime van Johnson Oplossing via TSP Newerkalgorime Job shop scheduling 1 Inleiding Gegeven zijn Machines: M 1,,..., M m Taken: T 1, T 2,... T n Per aak

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound Algoritmiek 013/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 mei 013 Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound 1 Algoritmiek 013/11 Voorbeeld -1- A B C D E F G H 9 7 5 A B C D E F G H 0 9 9 7 5 A B C

Nadere informatie

De huwelijksstelling van Hall

De huwelijksstelling van Hall Thema Discrete wiskunde In de vorige twee afleveringen heb je al kennis kunnen maken met het begrip graaf en hoe grafen worden gebruikt door Google s zoekmachine en door de NS bij het maken van een optimale

Nadere informatie

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica Tentamen Optimalisering (2DD15) Vrijdag 24 juni 2011, 9:00 12:00 uur Het tentamen bestaat uit zeven opgaven. Bij elke opgave staat het

Nadere informatie

Algoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens

Algoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Algoritmes in ons dagelijks leven Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Wat is een algoritme? Een algoritme is een eindige reeks instructies die vanuit een gegeven begintoestand naar een beoogd

Nadere informatie

Wetenschappelijk Rekenen

Wetenschappelijk Rekenen Wetenschappelijk Rekenen Examen - Bacheloropleiding informatica Oefeningen 3 september 204. Beschouw de matrix A = 8 6 3 5 7 4 9 2 Deze matrix heeft 5 als dominante eigenwaarde. We proberen deze eigenwaarde

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Module 3. Maximale stromen

Module 3. Maximale stromen Module In november 00 legde een stroomstoring een gedeelte van Europa plat. Overal moesten de kaarsen aan. oordat een gedeelte van het elektriciteitsnet uitviel, was er te weinig capaciteit om aan de vraag

Nadere informatie

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden

Nadere informatie

Containers stapelen. M.L. Koning april 2013

Containers stapelen. M.L. Koning april 2013 Technische Universiteit Eindhoven 2WH03 - Modelleren C Containers stapelen L. van Hees 0769244 M.L. Koning 0781346 2 april 2013 Y.W.A Meeuwenberg 0769217 1 Inleiding De NS vervoert dagelijks grote hoeveelheden

Nadere informatie

1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d.

1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. 1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. een toewijzingsprobleem. 2. Het aantal toegelaten hoekpunten in een

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 14 februari Beslissingsbomen

Vierde college complexiteit. 14 februari Beslissingsbomen College 4 Vierde college complexiteit 14 februari 2017 Restant zoeken Beslissingsbomen 1 Binair zoeken Links := 1; Rechts := n; while Links Rechts do Midden := Links + Rechts 2 ; if X = A[Midden] then

Nadere informatie

Geversduin 3,9. Strand Heemskerk 3,8

Geversduin 3,9. Strand Heemskerk 3,8 PADDESTOELEN In het duinengebied van Noord-Holland staan veel wegwijzers in de vorm van een paddestoel. Op zo n paddestoel staan pijlen die de richting naar een bepaalde plaats aangeven. Ook staat daarop

Nadere informatie

Magidoku s en verborgen symmetrieën

Magidoku s en verborgen symmetrieën Uitwerking Puzzel 92-6 Magidoku s en verborgen symmetrieën Wobien Doyer Lieke de Rooij Een Latijns vierkant van orde n, is een vierkante matrix, gevuld met n verschillende symbolen waarvan elk precies

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

K.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

K.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. K.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je

Nadere informatie

Samenvatting college 1-12

Samenvatting college 1-12 Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van

Nadere informatie

Bijlage A Simplex-methode

Bijlage A Simplex-methode Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste

Nadere informatie

Tweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003

Tweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003 Tweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003 I Doelstelling en testcase In deze programmeeropgave zullen we een drietal numerieke integratiemethoden

Nadere informatie

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden.

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden. Antwoorden Doeboek 4 Grafen.. De middelste en de rechtergraaf.. Een onsamenhangende graaf met vijf punten en vijf lijnen: Teken een vierhoek met één diagonaal. Het vijfde punt is niet verbonden met een

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie