TW2020 Optimalisering
|
|
|
- Benjamin de Veer
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 12 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
2 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend duaal probleem. Primaal probleem min max n variabelen m restricties Duaal probleem max min n restricties m variabelen Dualiteit wordt gebruikt om ondergrenzen op de optimale doelfunctiewaarde te berekenen (voor minimaliseringsproblemen) en optimaliteit te verifiëren. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
3 Dieet probleem Een aantal soorten voedsel bevatten elk een bepaalde hoeveelheid van verschillende voedingsstoffen. We willen van elke voedingsstof genoeg binnenkrijgen. Voor zo min mogelijk geld. Hoeveel kun je het beste eten van elke soort voedsel? Voorbeeld chips muesli bitterballen benodigd (ADH) kosten koolhydraten eiwitten vetten Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
4 Dieet probleem Een aantal soorten voedsel bevatten elk een bepaalde hoeveelheid van verschillende voedingsstoffen. We willen van elke voedingsstof genoeg binnenkrijgen. Voor zo min mogelijk geld. Hoeveel kun je het beste eten van elke soort voedsel? Het primale probleem: min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 x 2 +4 x x 1 +8 x 3 9 x 1, x 2, x 3 0 Het duale probleem: max 3 π π 2 +9 π 3 o.d.v. 2 π 1 +4 π 3 3 π 1 + π π 2 +8 π 3 4 π 1, π 2, π 3 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
5 Dualiteit voor algemene LP problemen Het primale probleem (P): min c T x o.d.v. a i x = b i i M a i x b i i M x j 0 j N x j R j N Het duale probleem (D): max b T π o.d.v. π i R i M π i 0 i M π T A j c j j N π T A j = c j j N De duale van het duale probleem is het primale probleem. Zwakke dualiteitsstelling: elke toegelaten oplossing van (D) geeft een ondergrens op de optimale waarde van (P). Sterke dualiteitsstelling: als (P) een optimale oplossing heeft, dan heeft (D) een optimale oplossing met dezelfde waarde. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
6 Vandaag Complementary slackness Karakterisatie van optimaliteit Farkas lemma Karakterisatie van toelaatbaarheid (is er een toegelaten oplossing) Duale Simplex methode Begin met een duaal-toegelaten basisoplossing ( c 0) en zoek naar een oplossing die ook primaal toegelaten is (b 0). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
7 Complementary Slackness Het primale probleem (P): min c T x o.d.v. a i x = b i i M a i x b i i M x j 0 j N x j R j N Het duale probleem (D): max b T π o.d.v. π i R i M π i 0 i M π T A j c j j N π T A j = c j j N Stelling (Complementary Slackness) Laat x een toegelaten oplossing van (P) zijn en π een toegelaten oplossing van (D). Dan zijn x en π beiden optimaal dan en slechts dan als: π i (a i x b i ) = 0 i = 1,..., m (1) x j (c j π T A j ) = 0 j = 1,..., n (2) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
8 Complementary slackness (CS) voorwaarden zijn noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor optimaliteit. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
9 Complementary slackness (CS) voorwaarden zijn noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor optimaliteit. Gegeven een optimale oplossing van (P), kunnen we de CS voorwaarden gebruiken om een optimale oplossing van (D) te vinden, en vice versa. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
10 Complementary slackness (CS) voorwaarden zijn noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor optimaliteit. Gegeven een optimale oplossing van (P), kunnen we de CS voorwaarden gebruiken om een optimale oplossing van (D) te vinden, en vice versa. π i (a i x b i ) = 0 betekent: als π i 0 dan a i x = b i (aan de i-de voorwaarde van (P) wordt voldaan met gelijkheid). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
11 Complementary slackness (CS) voorwaarden zijn noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor optimaliteit. Gegeven een optimale oplossing van (P), kunnen we de CS voorwaarden gebruiken om een optimale oplossing van (D) te vinden, en vice versa. π i (a i x b i ) = 0 betekent: als π i 0 dan a i x = b i (aan de i-de voorwaarde van (P) wordt voldaan met gelijkheid). x j (c j π T A j ) = 0 betekent: als x j 0 dan π T A j = c j (aan de j-de voorwaarde van (D) wordt voldaan met gelijkheid). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
12 Voorbeeld (1. Dieet Probleem) Het primale probleem: min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 x 2 +4 x x 1 +8 x 3 9 x 1, x 2, x 3 0 Het duale probleem: max 3 π π 2 +9 π 3 o.d.v. 2 π 1 +4 π 3 3 π 1 + π π 2 +8 π 3 4 π 1, π 2, π 3 0 Gegeven is een optimale oplossing van het duale probleem: π = 1 met waarde Vind een optimale oplossing van het primale probleem m.b.v. de complementary slackness voorwaarden. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
13 Voorbeeld (2. Dieet Probleem) Het primale probleem: min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 x 2 +4 x x 1 +8 x 3 9 x 1, x 2, x 3 0 Het duale probleem: max 3 π π 2 +9 π 3 o.d.v. 2 π 1 +4 π 3 3 π 1 + π π 2 +8 π 3 4 π 1, π 2, π 3 0 Nu andersom! Gegeven is een optimale oplossing van het primale probleem: x = met waarde Vind een optimale oplossing van het duale probleem m.b.v. de complementary slackness voorwaarden. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
14 Complementary Slackness: Bewijs We gaan voor het gemak uit van een primaal-duaal paar van de volgende vorm: Het primale probleem (P): Het duale probleem (D): min z = c T x o.d.v. Ax b x 0 max w = b T π o.d.v. π T A c T π 0 Stelling (Complementary Slackness) Laat x een toegelaten oplossing van (P) zijn en π een toegelaten oplossing van (D). Dan zijn x en π beiden optimaal dan en slechts dan als: π i (a i x b i ) = 0 i = 1,..., m (1) x j (c j π T A j ) = 0 j = 1,..., n (2) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
15 Meetkundige interpretatie complementary slackness max z = c T x o.d.v. Ax b x R n c P x* c T x = z* P = {x R n Ax b} Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
16 Meetkundige interpretatie complementary slackness max z = c T x o.d.v. Ax b x R n a 1 x = b 1 a 1 c P x* a 2 x = b 2 a 2 c T x = z* P = {x R n Ax b} Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
17 Meetkundige interpretatie complementary slackness c T x = z is een niet-negatieve lineaire combinatie van a i x = b i, i = 1,..., m Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
18 Meetkundige interpretatie complementary slackness c T x = z is een niet-negatieve lineaire combinatie van a i x = b i, i = 1,..., m, oftewel: met π i 0 voor alle i. π 1 a π m a m = c T π 1 b π m b m = z Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
19 Meetkundige interpretatie complementary slackness c T x = z is een niet-negatieve lineaire combinatie van a i x = b i, i = 1,..., m, oftewel: met π i 0 voor alle i. Dit leidt tot het duale probleem: π 1 a π m a m = c T π 1 b π m b m = z max c T x = z = min π T b o.d.v. Ax b o.d.v. π T A = c T x R n π 0 Complementary slackness zegt: als a i x < b i dan π i = 0. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
20 Meetkundige interpretatie complementary slackness c T x = z is een niet-negatieve lineaire combinatie van a i x = b i, i = 1,..., m, oftewel: met π i 0 voor alle i. Dit leidt tot het duale probleem: π 1 a π m a m = c T π 1 b π m b m = z max c T x = z = min π T b o.d.v. Ax b o.d.v. π T A = c T x R n π 0 Complementary slackness zegt: als a i x < b i dan π i = 0. Oftewel c T x = z is een niet-negatieve lineaire combinatie van de restricties waar met gelijkheid aan wordt voldaan in een optimale oplossing. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
21 Toepassing van Complementary Slackness Probleem Kortste Pad Gegeven: gerichte graaf D = (V, A) met lengte c j 0 voor elke pijl e j A en twee speciale punten s, t V. Bepaal: een kortste pad van s naar t. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
22 Toepassing van Complementary Slackness Probleem Kortste Pad Gegeven: gerichte graaf D = (V, A) met lengte c j 0 voor elke pijl e j A en twee speciale punten s, t V. Bepaal: een kortste pad van s naar t. Definieer de node-arc incidence matrix A als volgt: 1 als pijl e j uit punt i vertrekt a ij = 1 als pijl e j in punt i aankomt 0 anders. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
23 Beslissingsvariabelen: { 1 als het pad pijl e j gebruikt f j = 0 anders LP formulering (primale): min c j f j e j A o.d.v. Af = f 0 als s het eerste en t het laatste punt is Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
24 Beslissingsvariabelen: { 1 als het pad pijl e j gebruikt f j = 0 anders LP formulering (primale): min c j f j e j A o.d.v. Af = f 0 als s het eerste en t het laatste punt is Observatie Tenminste één optimale oplossing van dit LP probleem is geheeltallig. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
25 LP formulering (primale): min c j f j e j A o.d.v. Af = f 0 als s het eerste en t het laatste punt is Observatie Één van de gelijkheidsrestricties is overbodig. We kunnen bijvoorbeeld de laatste restrictie, die voor punt t, weglaten. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
26 Primale: min c j f j e j A o.d.v. Af = f Duale: max π s π t o.d.v. π T A c π R m Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
27 Primale: min c j f j e j A o.d.v. Af = f Duale: Oftewel: max π s π t o.d.v. π T A c π R m max π s π t o.d.v. π k π l c [k,l] π R m Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
28 Primale: min c j f j e j A o.d.v. Af = f Duale: Oftewel: max π s π t o.d.v. π T A c π R m max π s π t o.d.v. π k π l c [k,l] π R m Complementary Slackness: f [k,l] > 0 π k π l = c [k,l] π k π l < c [k,l] f [k,l] = 0 Met notatie: als e j = [k, l] dan f [k,l] = f j en c [k,l] = c j. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
29 Complementary Slackness condities: f [k,l] > 0 π k π l = c [k,l] π k π l < c [k,l] f [k,l] = 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
30 Complementary Slackness condities: f [k,l] > 0 π k π l = c [k,l] π k π l < c [k,l] f [k,l] = 0 Interpretatie van CS voor het kortste pad probleem: een s-t pad is optimaal als er waardes π i voor elk punt i gekozen kunnen worden zodanig dat π k π l c [k,l] π k π l = c [k,l] voor elke pijl [k, l] (duale restricties) voor elke pijl [k, l] op het pad (CS). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
31 Complementary Slackness condities: f [k,l] > 0 π k π l = c [k,l] π k π l < c [k,l] f [k,l] = 0 Interpretatie van CS voor het kortste pad probleem: een s-t pad is optimaal als er waardes π i voor elk punt i gekozen kunnen worden zodanig dat π k π l c [k,l] π k π l = c [k,l] voor elke pijl [k, l] (duale restricties) voor elke pijl [k, l] op het pad (CS). Dit wordt gebruikt bij het algoritme van Dijkstra dat volgende week behandeld wordt. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
32 Farkas Lemma Complementary slackness karakteriseert optimaliteit. Farkas lemma karakteriseert toelaatbaarheid. Stelling (Farkas Lemma) Voor elke m n matrix A en vector b R m is precies één van de volgende twee beweringen waar: x R n zodanig dat Ax = b, x 0 y R m zodanig dat y T A 0, y T b < 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
33 De cone(x ) is de verzameling van alle niet-negatieve lineaire combinaties van de vectoren in X. Definitie cone(x ) = {λ 1 x λ t x t x 1,..., x t X ; λ 1,..., λ t 0} a 1 cone{a 1,...,a 5 } a 3 a 4 a 2 a 5 Dit leidt tot een meetkundige interpretatie van Farkas lemma. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
34 Stelling (Farkas Lemma) Precies één van de volgende twee beweringen is waar: x R n zodanig dat Ax = b, x 0 y R m zodanig dat y T A 0, y T b < 0 a 1 cone{a 1,...,a 5 } a 3 a 4 a 2 a 5 met a 1,..., a n de kolommen van A. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
35 Stelling (Farkas Lemma) Precies één van de volgende twee beweringen is waar: b cone(a 1,..., a n ) er is een vector y die een scherpe hoek maakt met alle a i en een stompe hoek met b. a 1 cone{a 1,...,a 5 } a 4 a 3 y a 2 a 5 b Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
36 Duale Simplex Methode (Primale) Simplex methode (voor een minimaliseringsprobleem) Ga van (primaal-)toegelaten basisoplossing (bfs) naar een volgende (niet-slechtere) bfs. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
37 Duale Simplex Methode (Primale) Simplex methode (voor een minimaliseringsprobleem) Ga van (primaal-)toegelaten basisoplossing (bfs) naar een volgende (niet-slechtere) bfs. Stop wanneer cj 0 voor alle j, oftewel totdat een oplossing gevonden is die ook duaal toegelaten is. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
38 Duale Simplex Methode (Primale) Simplex methode (voor een minimaliseringsprobleem) Ga van (primaal-)toegelaten basisoplossing (bfs) naar een volgende (niet-slechtere) bfs. Stop wanneer cj 0 voor alle j, oftewel totdat een oplossing gevonden is die ook duaal toegelaten is. Duale Simplex methode Ga van duaal-toegelaten basisoplossing naar een volgende (niet-slechtere) duaal-toegelaten basisoplossing. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
39 Duale Simplex Methode (Primale) Simplex methode (voor een minimaliseringsprobleem) Ga van (primaal-)toegelaten basisoplossing (bfs) naar een volgende (niet-slechtere) bfs. Stop wanneer cj 0 voor alle j, oftewel totdat een oplossing gevonden is die ook duaal toegelaten is. Duale Simplex methode Ga van duaal-toegelaten basisoplossing naar een volgende (niet-slechtere) duaal-toegelaten basisoplossing. Stop wanneer bi 0 voor alle i, oftewel totdat een oplossing gevonden is die ook primaal toegelaten is. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
40 Duale Simplex Algoritme voor minimaliseringsprobleem: Gegeven is een (primale) basisoplossing, niet noodzakelijk toegelaten, met c j 0 voor alle j. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
41 Duale Simplex Algoritme voor minimaliseringsprobleem: Gegeven is een (primale) basisoplossing, niet noodzakelijk toegelaten, met c j 0 voor alle j. 1 Als b i 0 voor alle i dan is de huidige basisoplossing toegelaten en optimaal. Stop! Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
42 Duale Simplex Algoritme voor minimaliseringsprobleem: Gegeven is een (primale) basisoplossing, niet noodzakelijk toegelaten, met c j 0 voor alle j. 1 Als b i 0 voor alle i dan is de huidige basisoplossing toegelaten en optimaal. Stop! 2 Kies uittredende basisvariabele behorende bij rij i met b i < 0. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
43 Duale Simplex Algoritme voor minimaliseringsprobleem: Gegeven is een (primale) basisoplossing, niet noodzakelijk toegelaten, met c j 0 voor alle j. 1 Als b i 0 voor alle i dan is de huidige basisoplossing toegelaten en optimaal. Stop! 2 Kies uittredende basisvariabele behorende bij rij i met b i < 0. 3 Als ā i j 0 voor alle j dan heeft het probleem geen toegelaten oplossing. Stop! Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
44 Duale Simplex Algoritme voor minimaliseringsprobleem: Gegeven is een (primale) basisoplossing, niet noodzakelijk toegelaten, met c j 0 voor alle j. 1 Als b i 0 voor alle i dan is de huidige basisoplossing toegelaten en optimaal. Stop! 2 Kies uittredende basisvariabele behorende bij rij i met b i < 0. 3 Als ā i j 0 voor alle j dan heeft het probleem geen toegelaten oplossing. Stop! 4 Kies intredende variabele x j waarvoor { } c j cj = max ā i j j < 0. ā i j ā i j Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
45 Duale Simplex Algoritme voor minimaliseringsprobleem: Gegeven is een (primale) basisoplossing, niet noodzakelijk toegelaten, met c j 0 voor alle j. 1 Als b i 0 voor alle i dan is de huidige basisoplossing toegelaten en optimaal. Stop! 2 Kies uittredende basisvariabele behorende bij rij i met b i < 0. 3 Als ā i j 0 voor alle j dan heeft het probleem geen toegelaten oplossing. Stop! 4 Kies intredende variabele x j waarvoor { } c j cj = max ā i j j < 0. ā i j ā i j 5 Pas elementaire rijoperaties toe zodanig dat kolom j een 1 krijgt in rij i en verder alleen 0 en. Ga naar (2). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
46 Uitleg Duale Simplex Methode c = c cb T B 1 A en de duale variabelen zijn π T = cb T B 1 dus c 0 c cb T B 1 A 0 cb T B 1 A c π T A c duaal toegelaten Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
47 Uitleg Duale Simplex Methode c = c cb T B 1 A en de duale variabelen zijn π T = cb T B 1 dus c 0 c cb T B 1 A 0 cb T B 1 A c π T A c duaal toegelaten de keuze voor de intredende variabele x j c j ā i j { cj = max j ā i j zorgt er voor dat c j 0 blijft na de pivot. met } ā i j < 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
48 Toepassing op het Kortste Pad Probleem u s e 1 e e e 2 e 5 v t min z = 2 f f f f 4 + f 5 o.d.v. f 1 + f 2 = 1 (s) f 1 + f 3 + f 4 = 0 (u) f 2 f 3 + f 5 = 0 (v) f 1, f 2, f 3, f 4, f 5 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
49 Toepassing op het Kortste Pad Probleem u s e 1 e e e 2 e 5 v t basis b f 1 f 2 f 3 f 4 f z Stel we proberen als basis {f 2, f 3, f 4 }. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
50 Toepassing op het Kortste Pad Probleem u s e 1 e e e 2 e 5 v t basis b f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f f f z Deze basisoplossing is niet toegelaten maar wel duaal toegelaten. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
51 Toepassing op het Kortste Pad Probleem u s e 1 e e e 2 e 5 v t basis b f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f f f z Dus kunnen we de duale simplex methode toepassen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
52 Toepassing op het Kortste Pad Probleem u s e 1 e e e 2 e 5 v t basis b f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f f f z Dus kunnen we de duale simplex methode toepassen. Haal f 3 uit de basis. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
53 Toepassing op het Kortste Pad Probleem u s e 1 e e e 2 e 5 v t basis b f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f f f z Dus kunnen we de duale simplex methode toepassen. Haal f 3 uit de basis. Dan komt f 5 in de basis. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
54 Toepassing op het Kortste Pad Probleem u s e 1 e e e 2 e 5 v basis b f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f f f z t De nieuwe oplossing is primaal toegelaten en (natuurlijk) nog steeds duaal toegelaten. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
55 Toepassing op het Kortste Pad Probleem u s e 1 e e e 2 e 5 v basis b f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f f f z t De nieuwe oplossing is primaal toegelaten en (natuurlijk) nog steeds duaal toegelaten. Deze oplossing is dus optimaal. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober / 31
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een
Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend
Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk
Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 14 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september 2016 1 / 30 Modelleren van LP en ILP problemen
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 september 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 september 2015 1 / 23 Huiswerk Huiswerk 1 is beschikbaar op
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 6 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 19 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 19 oktober 2016 1 / 20 Deze week Primal-Dual algoritmes voor:
Samenvatting college 1-12
Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen
TU/e 2DD50: Wiskunde 2
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Tussentoets: 26 november, tijdens de instructies Tentamenstof: LP; Simplex; dualiteit (= colleges 1 4) Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare)
l e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren
Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende
Optimalisering en Complexiteit, College 11. Complementaire speling; duale Simplex methode. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 11 Complementaire speling; duale Simplex methode Han Hoogeveen, Utrecht University Duale probleem (P) (D) min c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 max w 1 b 1 + w 2 b 2 +
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning
l e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Branch-and-Bound en Cutting Planes
Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger
TU/e 2DD50: Wiskunde 2
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters
Tentamen: Operationele Research 1D (4016)
UITWERKINGEN Tentamen: Operationele Research 1D (4016) Tentamendatum: 12-1-2010 Duur van het tentamen: 3 uur (maximaal) Opgave 1 (15 punten) Beschouw het volgende lineaire programmeringsprobleem P: max
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje
Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.
Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur
2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:
Stelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
Universiteit Utrecht Departement Informatica
Universiteit Utrecht Departement Informatica Uitwerking Tussentoets Optimalisering 20 december 206 Opgave. Beschouw het volgende lineair programmeringsprobleem: (P) Minimaliseer z = x 2x 2 + x 3 2x 4 o.v.
Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, uur
Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, 14.00-17.00 uur Het tentamen bestaat uit 6 opgaven. Motiveer je antwoorden duidelijk. De normering van de opgaves staat steeds
Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie
Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten
Lineaire programmering
Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2003 1 Docenten Onderdeel a Er zijn 6 vakken V 1, V 2,..., V 6. Vak V j heeft een vraag b j = 1, voor j = 1, 2,...,
Lineaire Optimilizatie Extra sessie. 19 augustus 2010
Lineaire Optimilizatie Extra sessie 19 augustus 2010 De leerstof Handboek: hoofdstuk 2 t.e.m. 8 (incl. errata) Slides (zie toledo) Extra opgaven (zie toledo) Computersessie: Lindo syntax en output Wat
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Universiteit Utrecht Departement Informatica. Examen Optimalisering op dinsdag 29 januari 2019, uur.
Universiteit Utrecht Departement Informatica Examen Optimalisering op dinsdag 29 januari 2019, 17.00-20.00 uur. ˆ Mobieltjes UIT en diep weggestopt in je tas. Wanneer je naar de WC wil, dan moet je je
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150
Netwerkstroming. Algoritmiek
Netwerkstroming Vandaag Netwerkstroming: definitie en toepassing Het rest-netwerk Verbeterende paden Ford-Fulkerson algoritme Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp Toepassing: koppelingen
Basiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper
Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 6 september, 2012
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 6 september, 2012 Algemene informatie College: donderdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft vragenuur Delft Vier verplichte huiswerkopgaven
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T
BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN
BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en
Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 10 Begrensde variabelen Han Hoogeveen, Utrecht University Begrensde variabelen (1) In veel toepassingen hebben variabelen zowel een ondergrens als een bovengrens:
Tie breaking in de simplex methode
Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.
Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Toewijzingsprobleem Bachelorscriptie
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Toewijzingsprobleem Bachelorscriptie Auteur: Veronique Rademaekers (s4155718) Begeleiders: Dr. W. Bosma en dr. H.
Faculteit der Economie en Bedrijfskunde
Faculteit der Economie en Bedrijfskunde Op dit voorblad vindt u belangrijke informatie omtrent het tentamen. Lees dit voorblad voordat u met het tentamen begint! Tentamen: Operational Research 1D (4016)
Uitwerking Tweede Quiz Speltheorie,
Uitwerking Tweede Quiz Speltheorie, 28-11-2012 Attentie! Maak van de onderstaande drie opgaven er slechts twee naar eigen keuze! Opgave 1 [50 pt]. Van het tweepersoons nulsomspel met de 2 4-uitbetalingsmatrix
Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur.
Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, 9.00-12.00 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Hoofdstuk 3 : Determinanten
(A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld
Overzicht. Inleiding. Modellering. Duaal probleem. αβ-algoritme. Maximale stroom probleem. Voorbeeld. Transportprobleem 1
Overzicht Inleiding Modellering Duaal probleem αβ-algoritme Maximale stroom probleem Voorbeeld Transportprobleem 1 Inleiding W 1 b 1 a 1 D 1 W 2 b 2 a 2 D 2 a m Dm W n b n depots warenhuizen c ij zijn
Tie breaking in de simplex methode
Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 6 27 februari 2014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we de rest van hoofdstuk 1.8 en 1.9 Voor de pauze: hoofdstuk 1.8 Na de pauze: hoofdstuk 1.9 2 Transformatie
Er zijn 4 opgaven, daarna volgen blanco bladzijden die u kan gebruiken om te antwoorden.
Examen DH45 Lineaire Optimalizatie (D. Goossens) Vrijdag 29 januari 2010, 9 12u Richtlijnen: Er zijn 4 opgaven, daarna volgen blanco bladzijden die u kan gebruiken om te antwoorden. Lees aandachtig de
1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).
Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist
Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme
Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten
Discrete Wiskunde, College 12. Han Hoogeveen, Utrecht University
Discrete Wiskunde, College 12 Han Hoogeveen, Utrecht University Dynamische programmering Het basisidee is dat je het probleem stap voor stap oplost Het probleem moet voldoen aan het optimaliteitsprincipe
Operationeel Onderzoek Opgave 5: oplossing
Oefening 1- Operationeel Onderzoek Opgave 5: oplossing a. Een correcte voorstelling van het maximum-flow netwerk is hieronder weergegeven. De redenering is als volgt. We beschikken over 32 maanden arbeid
Lineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Opgave 2: Simplex-algoritme - oplossing
Opgave 2: Simplex-algoritme - oplossing Oefening 1- a) Coefficient of x r in Current Row 0 = 0 b) Let x s be the variable entering the basis and x r the variable leaving the basis. Then (Coefficient of
Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden
Bijlage A Simplex-methode
Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste
Ruimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen.
college 4 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 16-17 4 29 maart 217 38 1 2 3.16-17[4] 1 vandaag Vectoren De notatie (x 1, x 2,..., x n ) wordt gebruikt voor het punt P met coördinaten (x 1,
Matrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:
Optimaliseren in Netwerken
Optimaliseren in Netwerken Kees Roos e-mail: C.Roos@tudelft.nl URL: http://www.isa.ewi.tudelft.nl/ roos Kaleidoscoop college Zaal D, Mekelweg 4, TU Delft 11 October, A.D. 2006 Optimization Group 1 Onderwerpen
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica Tentamen Optimalisering (2DD15) Vrijdag 24 juni 2011, 9:00 12:00 uur Het tentamen bestaat uit zeven opgaven. Bij elke opgave staat het
Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :
Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren
Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013
Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen
Modellen en Simulatie Lineare Programmering
Utrecht, 13 juni 2013 Modellen en Simulatie Lineare Programmering Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Optimaliseren Lineaire programmering Voorbeelden Polytopen
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix
Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Definitie (Herinnering) Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant. Notatie Een basis van
2DD50: Tentamen. Tentamen: 26 januari 2016 Hertentamen: 5 april 2016
2DD50: Tentamen Tentamen: 26 januari 2016 Hertentamen: 5 april 2016 Bij het tentamen mag een eenvoudige (niet grafische; niet programmeerbare) rekenmachine meegenomen worden, en 2 tweezijdige A4-tjes met
Lineair programmeren met de TI-84 CE-T
Lineair programmeren met de TI-84 CE-T Harmen Westerveld Oktober 2018 INHOUDSOPGAVE Lineair programmeren met TI-84 PLUS CE-T... 2 Introductie... 3 Voorbeeld 1: maximaliseringsprobleem... 4 De app Inequalz...
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Vectorruimten met inproduct
Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Hebzucht loont niet altijd
Thema Discrete wiskunde Hoe verbind je een stel steden met zo weinig mogelijk kilometers asfalt? Hoe maak je een optimaal computernetwerk met kabels die maar een beperkte capaciteit hebben? Veel van zulke
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Modellen en Simulatie Speltheorie
Utrecht, 20 juni 2012 Modellen en Simulatie Speltheorie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Program Optimaliseren Nul-som matrix spel Spel strategie Gemengde
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6.
Overzicht 1. Definities 2. Basisalgoritme 3. Label setting methoden 4. Label correcting methoden 5. Ondergrenzen 6. Resultaten Kortste Pad Probleem 1 Definities Een graaf G = (V, E) bestaat uit een verzameling