Bijlage A Simplex-methode

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Bijlage A Simplex-methode"

Transcriptie

1 Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste computerfirma s hebben wel een programmapakket ontwikkeld dat is gebaseerd op dee Simplex-methode. Daarmee kunnen ook de grootste LP-modellen worden opgelost. Een beetje LP-model voor een praktijkprobleem heeft al gauw enkele tientallen tot honderden variabelen en enkele honderden tot soms duienden restricties. Vooral de LP-modellen uit de olie-industrie ijn bekend om hun enorme grootte. Wij bespreken in dee bijlage aan de hand van eenvoudige voorbeelden eerst een elementaire vorm van het Simplex-algoritme, het ogenoemde standaard Simplexalgoritme. Hiermee kunnen maximaliseringsproblemen worden opgelost die uitsluitend kleiner/gelijk-restricties hebben met positieve rechterleden. Dit algoritme wordt behandeld in deel. In deel wordt de tweefasen-methode behandeld, waarmee ook de algemene LP-problemen kunnen worden opgelost. Ten slotte wordt in deel ingegaan op een meer wiskundige aanpak van de gevoeligheidsanalyse. Deel Standaard Simplex-algoritme Het Simplex-algoritme wordt uitgelegd aan de hand van een planningsprobleem, waar twee producten worden gemaakt onder drie beperkende voorwaarden. De bijdrage aan de winst moet worden gemaximaliseerd. Het bij dit probleem behorende wiskundige model is: Maximaliseer = x + x m.b.t. x + x [boren] x + x 6 [draaien] [I] x + x [freen] x, x De eerste stap is dat we de drie ongelijkheidsrestricties gaan schrijven als gelijkheden. We kunnen dit bereiken door aan elke restrictie een extra variabele toe te voegen. Dit LP-probleem kan dan op de volgende manier worden herschreven (waarbij ook de doelfunctie op nul is herleid): x x = x + x + x = [II] x + x + x = 6 x + x + x = De variabelen x, x en x worden spelingsvariabelen genoemd, in het Engels slack variables. Men ou e kunnen interpreteren als niet-gebruikte capaciteitseenheden van de diverse capaciteitssoorten. Ook aan dee spelingsvariabelen stellen we de eis dat e niet-negatief mogen ijn. Het stelsel [II] is een stelsel van vier lineaire vergelijkingen met es onbekenden, en daarmee dus onbepaald. Dat wil eggen dat er in principe oneindig veel oplossingen bestaan. Wij oeken nu díe oplossing waarvoor o groot mogelijk is. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten

2 Eén oplossing is vrij gemakkelijk te bepalen: stelt men x = x =, dan vinden we: x =, x = 6, x = en =. Zo n oplossing van het stelsel, die men vindt door de echte variabelen gelijk aan nul te kieen, heet een basisoplossing. We kunnen het stelsel [II] in een ogenoemd eerste Simplex-tableau schrijven, ie tabel. Tabel Eerste Simplex-tableau Basis x x x x x RL x x x * 6 De eerste kolom wordt de basis genoemd, hierin staan de basisvariabelen die geamenlijk de basisoplossing vormen. De meest rechtse kolom bevat de getalswaarden van die oplossing en wordt het rechterlid (RL) genoemd, in het Engels: right-hand-side. De variabelen die niet in de basis itten, ijn per definitie gelijk aan nul. In dit voorbeeld dus x en x. Een basisoplossing heeft altijd naast de variabele nog oveel variabelen ongelijk aan nul als er beperkingen ijn. De volgende stap is nu een andere basisoplossing te oeken die aan twee eisen moet voldoen: de nieuwe basisoplossing levert een -waarde die niet lager is dan de huidige; de nieuwe basisoplossing moet ook een toelaatbare oplossing ijn. Als we de -rij bekijken, ien we dat we de waarde van groter kunnen maken door óf x, óf x positief te maken. De grootste bijdrage levert natuurlijk x ; dat wil eggen dat we x in de basis ouden willen opnemen en dat dus een van de huidige basisvariabelen daaruit moet verdwijnen. Om een toelaatbare oplossing te handhaven en daarmee dus aan de tweede eis te voldoen, kunnen we x niet verder 6 verhogen dan het minimum van, en. Zie de x -kolom in het eerste Simplex-tableau. Dat wil dus eggen dat we x met eenheden kunnen vergroten en ook dat x uit de basis verdwijnt: in de x -rij vinden we immers dat minimum. Op dee manier vinden we op het kruispunt van de x -kolom en de x -rij een element dat we het pivot-element noemen. Het is in het eerste Simplex-tableau van een sterretje (*) voorien. Om een nieuwe basisoplossing te krijgen, met een hogere -waarde en waar x in de basis it ten koste van x, gaan we pivoten om het pivot-element heen. Dit komt erop neer dat we met behulp van de pivot-rij de pivot-kolom gaan schoonvegen, odanig dat het pivot-element de waarde krijgt en de overige kolom-elementen de waarde krijgen. De bewerkingen hiervoor ijn dan: Vermenigvuldig de x -rij met. Vermenigvuldig vervolgens de x -rij met en tel dee op bij de -rij. Vermenigvuldig de x -rij met en tel dee op bij de x -rij. Vermenigvuldig de x -rij met en tel dee op bij de x -rij. Na dit pivoten krijgen we een tweede Simplex-tableau, ie tabel. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten

3 Tabel Tweede Simplex-tableau Basis x x x x x RL x x x * We vragen ons nu af of we de optimale oplossing hebben gevonden of dat we de - waarde van nog verder kunnen verhogen. In de -rij ien we dat de -waarde nog verder kan worden verhoogd door x te verhogen. Om aan de eis van toelaatbaarheid van de oplossing te blijven voldoen, kan x niet verder verhoogd worden dan het minimum van, en, dus. Dat wil ook eggen dat x de basis dient te verlaten ten gunste van x. Pivoten betekent nu de volgende bewerkingen uitvoeren: Vermenigvuldig de x -rij met. Vermenigvuldig de x -rij met en tel dee op bij de -rij. Vermenigvuldig de x -rij met en tel dee op bij de x -rij. Vermenigvuldig de x -rij met en tel dee op bij de x -rij. Hierna ontstaat het derde Simplex-tableau, ie tabel. Tabel Derde Simplex-tableau Basis x x x x x RL x x x In de -rij ien we dat introductie van één van de niet-basisvariabelen, x of x, in de basis niet meer leidt tot een verdere verhoging van de -waarde, immers de getallen ijn niet meer negatief. Dat wil eggen dat de oplossing die we nu hebben verkregen de optimale oplossing is. Dee optimale oplossing is dus: x = en x =, met als -waarde: =. Verder geldt nog: x = x = en x =. Voor problemen in de standaardvorm, met positieve rechterleden, kan de Simplexmethode als volgt worden samengevat: Stap Maak van alle kleiner/gelijk-restricties gelijkheden door ogenoemde spelingsvariabelen toe te voegen. Stel daarna het eerste Simplex-tableau op. Stap Als alle elementen in de -rij niet-negatief ijn, dan is de basisoplossing die bij dit tableau hoort de optimale oplossing. Als één of meer elementen in de -rij negatief ijn, ga dan naar stap. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten

4 Stap Selectie van de variabele die in de basis gaat Kies die variabele waarvan de coëfficiënt in de -rij het meest negatief is. Stap Selectie van de variabele die uit de basis gaat Deel de elementen in het rechterlid door de overeenkomstige positieve elementen uit de kolom van de variabele die in de basis gaat. Kies de kleinste breuk. De noemer van dee kleinste breuk is het pivot-element. De basisvariabele in de rij waarin het pivot-element voorkomt, is de variabele die de basis verlaat. Stap Pivoten om het pivot-element Dat wil eggen de kolom van de variabele die in de basis gaat, schoonvegen met de rij van de variabele die uit de basis gaat. Ga terug naar stap. Een basisoplossing met alle variabelen positief heet niet-gedegenereerd. Een basisoplossing met één of meer variabelen gelijk aan nul heet gedegenereerd. In beide gevallen, eventueel door het aanbrengen van kleine wijigingen, leidt de Simplex-methode in een eindig aantal stappen tot de optimale oplossing. Het optimale Simplex-tableau kan als volgt worden geïnterpreteerd: a De bij de basisvariabelen behorende optimale oplossing staat in de meest rechtse kolom. b In de -rij ijn de coëfficiënten van de spelingsvariabelen tevens de schaduwprijen van de betreffende restricties. c In de kolommen van de niet-basisvariabelen staat het aantal eenheden dat men moet opofferen (van de basisvariabelen) om één eenheid van de betreffende niet-basisvariabele in de oplossing te kunnen introduceren. d De coëfficiënten van de spelingsvariabelen in de -rij ijn tevens de optimale waarden van het overeenkomstige duale probleem. We illustreren het voorgaande aan de hand van het volgende LP-model, waarin de winst van vier producten moet worden gemaximaliseerd onder drie beperkende voorwaarden. Maximaliseer = x + x + x + x m.b.t. x + x + x + x x + x + x + x x + x + x + x x, x, x, x Het overeenkomstige duale probleem is: Minimaliseer = y + y + y m.b.t. y + y + y y + y + y y + y + y y + y + y y, y, y Het bij het primale probleem behorende laatste en dus optimale Simplex-tableau is weergegeven in tabel. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten

5 Tabel Optimaal Simplex-tableau Basis x x x x x x 6 x RL x x x a De optimale oplossing is dus: x =, x =, x = en x =, met = 6. Verder is: x =, x 6 = en x =. In de optimale situatie worden dus de producten x en x niet gemaakt. b De schaduwprijen ijn: van de eerste restrictie (coëfficiënt van x in de - rij); van de tweede restrictie (coëfficiënt van x 6 in de -rij); van de derde restrictie (coëfficiënt van x in de -rij). c Als we toch één eenheid x willen maken, dan kost ons dat. We offeren dan op: eenheid x, eenheid x en 6 eenheid x 6, ie de x -kolom. Als we toch één eenheid x willen maken, dat wil dus eggen dat de beschikbaarheid in de derde restrictie geen is, maar, dan kost dat. We offeren dan op: eenheid x, eenheid x en eenheid x 6. d De coëfficiënten van de spelingsvariabelen in de -rij bepalen de optimale oplossing van het duale probleem, dus: y =, y = en y =. Dee oplossing voldoet inderdaad aan de beperkingen van het duale probleem: + + = + + = + + = = De waarde van de duale doelfunctie is deelfde als van de primale doelfunctie: + + = 6 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten

6 Deel Tweefasen-methode In deel is het Simplex-algoritme alleen toegepast op LP-problemen die kleiner/gelijk-restricties bevatten en waarvan de doelfunctie moest worden gemaximaliseerd. De LP-problemen die groter/gelijk-restricties bevatten of gelijkheidsrestricties, of die moeten worden geminimaliseerd, kunnen niet onder meer worden opgelost met het standaard Simplex-algoritme. We latenaan de hand van een drietal LP-problemen ien hoe, via de ogenoemde tweefasenmethode, het Simplex-algoritme als oplossingsmethode kan worden gebruikt. Eerst gaan we het op te lossen LP-probleem transformeren in een gelijkwaardig LPprobleem, als volgt: Restricties met negatief rechterlid vermenigvuldigen we met ; het teken keren we om. De groter/gelijk-restricties etten we om in gelijkheidsrestricties door ogenoemde surplus-variabelen, s j, af te trekken van het linkerlid. Voor vrije variabelen x j substitueren we x j = x + j x j, met x + j en x j. Als een variabele x j is, dan substitueren we x j = x ' ' j, met x j. We voeren weer een variabele in, waarvoor moet gelden: Σc j x j = als we maximaliseren; + Σc j x j = als we moeten minimaliseren. Het o ontstane LP-probleem heeft alleen kleiner/gelijk-restricties en gelijkheidsrestricties. Vervolgens voeren we voor de kleiner/gelijk-restricties spelingsvariabelen in, oals we dat al eerder hebben gedaan. Voor de gelijkheidsrestricties voeren we ogenoemde kunstmatige variabelen, k j, in (Engels: artificial variables), waarvoor eveneens geldt: k j. Dee kunstmatige variabelen moeten we weer ien kwijt te raken, en dat lukt via de ogenoemde tweefasenmethode. Ten slotte voeren we nog een -rij in van de vorm: + Σk j =. In de eerste fase creëren we een toelaatbare oplossing, waarin alle hulpvariabelen nul ijn. Dit doen we door (= Σk j ) te maximaliseren (natuurlijk rekening houdend met de restricties). Dee eerste fase eindigt als de hulpvariabelen uit de basis ijn vertrokken (dan ijn e immers nul!). Overigens, als dit niet lukt, heeft het oorspronkelijke LP-probleem geen oplossing. In de tweede fase optimaliseren we de oorspronkelijke doelfunctie, startend met de toelaatbare oplossing van de eerste fase. We verduidelijken de tweefasenmethode door een drietal LP-problemen op te lossen. Probleem Gegeven het volgende LP-probleem: Maximaliseer = x + x m.b.t. x x x x + x x, x Als we dit probleem volgens de genoemde regels ometten, krijgen we: + k = x x = x x + x = x + x = x + x s + k = 6 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten

7 Na eliminatie van de kunstmatige variabele k uit de -rij, krijgen we: x x + s = x x = x x + x = x + x = x + x s + k = Het eerste tableau (met * = pivot-element en weglating van de -kolom) wordt dan weergegeven door tabel. Tabel Eerste tableau Basis x x x x s k RL x x k * In de eerste fase gebruiken we de -rij om het pivot-element te bepalen (we maximaliseren dus inderdaad ). Elke keer als een kunstmatige variabele uit de basis gaat, mogen we de bijbehorende kolom weglaten. De eerste fase eindigt als alle kunstmatige variabelen uit de basis ijn vertrokken. Zo kan, met behulp van het pivot-element op de kruising van de x -kolom en de k-rij, het tweede tableau worden bepaald, ie tabel 6. Tabel 6 Tweede tableau (e versie) Basis x x x x s k RL x x x 6 De (enige) k-kolom mag nu worden weggelaten, want de kunstmatige variabele k is uit de basis vertrokken. Bovendien ijn er geen andere kunstmatige variabelen meer in de basis aanweig, dus is tevens de eerste fase beëindigd. De -rij mag ook worden geschrapt, want + k = betekent immers k =. Het tableau aan het begin van de tweede fase, een vereenvoudiging dus van het tweede tableau, wordt dan oals weergegeven in tabel. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten

8 Tabel Tweede tableau (tweede versie) Basis x x x x s RL 6 x x x * Als we de regels van het Simplex-algoritme op de gewone manier toepassen, krijgen we het derde tableau, ie tabel. Tabel Derde tableau Basis x x x x s RL x s x * En het vierde tableau, tevens eindtableau, iet er als volg uit, ie tabel. Tabel Vierde tableau (eindtableau) Basis x x x x s RL x s 6 x De oplossing is dus: x =, x =, met als maximum =. Probleem We beschouwen het volgende LP-probleem: Minimaliseer = x + x m.b.t. x + x x x 6 x, x Na herschrijven ontstaat het volgende stelsel vergelijkingen: + k = x x + s = + x + x = x + x s + k = x + x = x + x = 6 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten

9 Na eliminatie van k uit de -rij wordt het eerste tableau gegeven in tabel. Tabel Eerste tableau Basis x x x x s k RL k x x * 6 Verder toepassen van het Simplex-algoritme geeft het tweede tableau, ie tabel. Tabel Tweede tableau Basis x x x x s k RL k x x * 6 Vervolgens komt x in de basis ten koste van k. De kunstmatige variabele k gaat dus uit de basis, odat de k-kolom mag worden weggelaten. Het derde tableau wordt dan oals weergegeven in tabel. Tabel Derde tableau Basis x x x x s RL x x x De eerste fase is hiermee afgelopen, maar de tweede fase ook, want er ijn geen negatieve coëfficiënten in de -rij. Dit derde tableau is dus tevens het optimale tableau. De oplossing is dus: x =, x =, met als minimum =. Probleem Gevraagd wordt het volgende LP-probleem op te lossen: Minimaliseer = x + x + 6x + x m.b.t. x + x x + x + x + x x + x + x + x x + x + 6x + x x, x, x, x Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten

10 Herschrijven geeft het volgende stelsel vergelijkingen: + k + k + k = + x + x + 6x + x = x + x + x + x s + k = x + x + x + x s + k = x + x + 6x + x s + k = Na eliminatie van de kunstmatige variabelen k, k en k uit de -rij kan het eerste tableau worden opgesteld, ie tabel. Tabel Eerste tableau Basis x x x x s s s k k k RL 6 k k k * 6 + Verder toepassen van het Simplex-algoritme geeft het tweede tot en met het vijfde tableau, ie de tabellen tot en met. Tabel Tweede tableau Basis x x x x s s s k k RL 6 k x k * Tabel Derde tableau Basis x x x x s s s k RL k x x Tabel 6 Vierde tableau * 6 6 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten

11 Basis x x x x s s s k RL k x x * Tabel Vijfde tableau Basis x x x x s s s RL s x x 6 6 * De eerste fase is hiermee beëindigd. De -rij kan worden weggelaten. Verdere toepassing van het Simplex-algoritme geeft het optimale tableau, ie tabel. Tabel Zesde (optimale) tableau Basis x x x x s s s RL s x x De optimale oplossing is dus: x =, x =, x =, x =, =. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten

12 Deel Gevoeligheidsanalyse met behulp van de Simplex-methode Als het aantal beslissingsvariabelen in een LP-probleem groter dan wordt, moet voor de gevoeligheidsanalyse een wiskundiger aanpak worden gekoen. Behalve de Simplex-methode speelt ook de duale vorm van LP-problemen een rol. Dee aanpak wordt besproken aan de hand van het volgende probleem. Een bedrijf maakt vier producten. De opbrengst per eenheid bedraagt respectievelijk,, en euro. Het capaciteitsbeslag per eenheid product is weergegeven in tabel. Tabel Capaciteitsbeslag Personeel Grondstof (kg) Grondstof (kg) A B C D Beschikbaar maximaal Gevraagd wordt een odanige productmix, dat de opbrengst o groot mogelijk is. Als beslissingsvariabelen definiëren we: x i = aantal producten te maken van product i, i =,,,. Het LP-model heeft dan de volgende vorm: Maximaliseer: = x + x + x + x m.b.t. x + x + x + x [personeelsrestrictie] x + x + x + x [grondstof--restrictie] x + x + x + x [grondstof--restrictie] x, x, x, x Het overeenkomstige duale probleem is, met y, y en y als beslissingsvariabelen: Mimimaliseer: = y + y + y met betrekking tot: m.b.t. y + y + y y + y + y y + y + y y + y + y y, y, y Het eerste tableau en het optimale eindtableau van het primale probleem worden weergegeven in tabel en. Tabel Eerste tableau Basis x x x x x x 6 x RL x x 6 x Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten

13 Tabel Eindtableau (optimale tableau) Basis x x x x x x 6 x RL x x 6 6 x 6 6 De optimale oplossing is dus: x =, x =, x = x =, met = 6. De producten en worden dus niet gemaakt. Alle personeelsleden ijn ingeschakeld. Alle grondstof is opgebruikt. Van grondstof is nog kilogram over. We beginnen de gevoeligheidsanalyse weer met de coëfficiënten van de doelfunctie en maken daarbij onderscheid tussen niet-basisvariabelen en basisvariabelen. Niet-basisvariabelen x en x Het is intuïtief duidelijk dat als de opbrengst per eenheid van de producten en lager wordt, de huidige oplossing optimaal blijft. Verhogen we de opbrengst per eenheid echter, dan kan de huidige oplossing mogelijk worden verbeterd. De vraag is dan, hoe hoog de opbrengst per eenheid moet worden opdat de huidige oplossing niet meer optimaal is. Veronderstel dat we de opbrengst per eenheid van x verhogen tot c. Wil de huidige oplossing optimaal blijven, dan moeten ook de huidige duale beperkingen blijven gelden. Dus ook de tweede duale beperking moet blijven gelden. In dee beperking hebben we in het rechterlid de huidige waarde van vervangen door c : y + y + y c. Substitutie van de optimale duale oplossing geeft dan: + + c. Hieruit volgt: c We kunnen dus de opbrengst per eenheid voor product met maximaal = verhogen, onder dat de huidige oplossing verandert. We noemen het getal van de grenswaarde. Op deelfde manier kunnen we ook de grenswaarde berekenen voor de coëfficiënt van x. De vierde duale beperking moet blijven gelden, dus: y + y + y c. Na substitutie van de optimale duale oplossing, vinden we: c. De grenswaarde wordt dan: =. Dee grenswaarden van en vinden we terug in het optimale Simplex-tableau als de coëfficiënten van respectievelijk x en x in de -rij. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten

14 Algemeen geldt: De grenswaarden van de niet-basisvariabelen ijn gelijk aan de coëfficiënten van de niet-basisvariabelen in de -rij van het optimale tableau. Basis-variabelen x en x Het is aannemelijk dat als de opbrengst per eenheid van de producten en maar voldoende lager wordt, de huidige oplossing niet meer optimaal blijft. Minder duidelijk is dat als de opbrengst per eenheid groter wordt, de huidige oplossing ook niet optimaal hoeft te blijven. Binnen welke grenen kunnen we nu schuiven met de coëfficiënten van x en x onder dat de optimale oplossing verandert? We beantwoorden dee vraag voor de coëfficiënt van x. Veronderstel: de coëfficiënt van x is ( + p ) in plaats van, met p niet negatief. De -rij van het laatste Simplex-tableau wordt dan: 6 px + x + x + x + x = De oplossing kan nu nog worden verbeterd, want er is in de -rij nog een negatieve coëfficiënt, namelijk die van x. We gaan dus verder pivoten. Vermenigvuldig de tweede rij met p en tel dee rij op bij de -rij. Dee -rij wordt dan: p x + p x + + p x + p x = + p De oplossing is optimaal als alle coëfficiënten niet-negatief ijn. Voor p betekent dit: p. De huidige oplossing blijft dus optimaal voor voorgaande waarden van p. De opbrengst per eenheid van product kan dus variëren van, tot 6, onder dat de oplossing verandert. We kunnen ook een gevoeligheidsanalyse plegen op de rechterleden van de restricties. Het wijigen van de rechterleden van de restricties komt neer op het meer of minder ter beschikking hebben van personeel en/of grondstoffen. We merken eerst op dat als we een rechterlid wijigen en de basis blijft een toelaatbare oplossing, dee oplossing ook optimaal is, omdat de coëfficiënten in de -rij onveranderd ijn gebleven. Veronderstel dat we in de grondstof--restrictie in het eerste Simplex-tableau het rechterlid veranderen in + G. Voor dee rij hebben we x 6 als spelingsvariabele ingevoerd. Uit het laatste Simplex-tableau blijkt echter dat x 6 in de basis it, dus verandert de waarde van x 6 ook met G en wordt dus + G. De huidige oplossing blijft toelaatbaar olang G + is, odat moet gelden: G. Veronderstel nu dat we in de personeelsrestrictie het rechterlid in het eerste tableau vervangen door + P. Welke waarden kan P nu aannemen, odanig dat de oplossing toch toelaatbaar blijft? Om dee vraag te beantwoorden merken we op dat gedurende de Simplex-iteraties de manipulaties met dit rechterlid deelfde ijn als met de coëfficiënt van x in het rechterlid. Het laatste Simplex-tableau komt er dan dus uit te ien oals weergegeven in tabel. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten

15 Tabel Laatste tableau Basis x x x x x x 6 x RL x x 6 6 x P + P 6P P Voor een toelaatbare oplossing moet gelden dat de rechterleden allemaal nietnegatief ijn. Voor de waarde van P vinden we dan: P. 6 Als we dus met ons personeelsbestand tussen en blijven, dan produceren we in de optimale situatie toch alleen nog maar de producten en. Merk op dat als P =, de waarde van de doelfunctie met stijgt. We hebben dee waarde leren kennen als de schaduwprijs van de betreffende restrictie, hier in dit voorbeeld dus de schaduwprijs van de personeelsrestrictie. Ook de coëfficiënten van de restricties kunnen natuurlijk worden gevarieerd. Dee coëfficiënten eggen iets over de efficiency waarmee wordt geproduceerd. Gevoeligheidsanalyse op dee coëfficiënten is niet moeilijk, olang het maar nietbasisvariabelen betreft, in dit voorbeeld dus de variabelen x en x. Veronderstel dat we de coëfficiënt van x in de grondstof--restrictie veranderen van in + A, met A opnieuw niet-negatief. Dit betekent dus eigenlijk dat we veronderstellen meer grondstof nodig te hebben per eenheid x die we produceren. Wil de huidige oplossing optimaal blijven, dan moet ook de bijbehorende duale beperking geldig blijven, dus moet gelden: y + y + ( + A)y. Na substitutie van de optimale duale oplossing in voorgaande relatie vinden we dan: A. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3.

1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3. 1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3. Een LP probleem heeft n>2 variabelen en n+2 constraints.

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

Lineaire Optimilizatie Extra sessie. 19 augustus 2010

Lineaire Optimilizatie Extra sessie. 19 augustus 2010 Lineaire Optimilizatie Extra sessie 19 augustus 2010 De leerstof Handboek: hoofdstuk 2 t.e.m. 8 (incl. errata) Slides (zie toledo) Extra opgaven (zie toledo) Computersessie: Lindo syntax en output Wat

Nadere informatie

Tie breaking in de simplex methode

Tie breaking in de simplex methode Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.

Nadere informatie

Voorbeeld simplexmethode. Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0.

Voorbeeld simplexmethode. Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0. Voorbeeld simplexmethode Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0. Voer slackvariabelen (x 4, x 5 ) in: Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x

Nadere informatie

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen? In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.

Nadere informatie

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0 Voorbeeldtentamen Deterministische Modellen in de OR (158075) Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief argumentatie! Gebruik van de rekenmachine is niet toegestaan.

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:

Nadere informatie

Lineaire programmering

Lineaire programmering Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum

Nadere informatie

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d.

1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. 1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. een toewijzingsprobleem. 2. Het aantal toegelaten hoekpunten in een

Nadere informatie

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Digitaal Proefstuderen Econometrie en Operationele Research Universiteit van Tilburg

Digitaal Proefstuderen Econometrie en Operationele Research Universiteit van Tilburg Digitaal Proefstuderen Econometrie en Operationele Research Universiteit van Tilburg 1 Voorwoord Welkom bij de cursus Digitaal Proefstuderen van de opleiding Econometrie en Operationele Research aan de

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Tussentoets: 26 november, tijdens de instructies Tentamenstof: LP; Simplex; dualiteit (= colleges 1 4) Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare)

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt Bijlage bij Inversie Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt In dee paragraaf gaan we op een andere manier kijken naar inversie. We doen dat met behulp van de complexe getallen. We veronderstellen

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN VOORJAAR 2003 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 1.1 Wat is Operations Research?.............................. 1 1.2 Overzicht van de te behandelen

Nadere informatie

Vergelijkingen en hun oplossingen

Vergelijkingen en hun oplossingen Vergelijkingen en hun oplossingen + 3 = 5 is een voorbeeld van een wiskundige vergelijking: er komt een = teken in voor, en een onbekende of variabele: in dit geval de letter. Alleen als we voor de variabele

Nadere informatie

Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen

Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen!! "#$ #!%!& " %'!& " #!' " # ( # )' * # ' #*" # + '!#*" ' ' + + ' '!, %' &% &%& % -&. = / +. = / + * 0 #!*" 0 $! 1 = ' + 1 = - 0 " "!$ *# 2 1 = # '2 = ' + 2

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen bladzijde a Twee ons bonbons kost, euro. Er blijft,, =, euro over. Doris kan daarvan, = ons drop kopen., b d is het aantal ons gemengde drop (, euro per

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Faculteit der Economie en Bedrijfskunde

Faculteit der Economie en Bedrijfskunde Faculteit der Economie en Bedrijfskunde Op dit voorblad vindt u belangrijke informatie omtrent het tentamen. Lees dit voorblad voordat u met het tentamen begint! Tentamen: Operational Research 1D (4016)

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Matrices toepassen

Hoofdstuk 6 Matrices toepassen Hoofdstuk Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel Lesliematries ladijde a Van de dieren in de leeftijdsgroep van - jaar komen er, in de leeftijdsgroep - jaar Van de dieren in de leeftijdsgroep

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Speltheorie 29-10-2003

Tentamen Inleiding Speltheorie 29-10-2003 entamen Inleiding Speltheorie 9-0-003 Dit tentamen telt 5 opgaven die in 3 uur moeten worden opgelost. Het maximaal te behalen punten is 0, uitgesplitst naar de verschillende opgaven. Voor het tentamencijfer

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 10 Begrensde variabelen Han Hoogeveen, Utrecht University Begrensde variabelen (1) In veel toepassingen hebben variabelen zowel een ondergrens als een bovengrens:

Nadere informatie

Mengen van scheikundige stoffen en het oplossen van scheikundige reacties, een wiskundig model. Wiskens&co Yoeri Dijkstra en Loes Knoben

Mengen van scheikundige stoffen en het oplossen van scheikundige reacties, een wiskundig model. Wiskens&co Yoeri Dijkstra en Loes Knoben Mengen van scheikundige stoffen en het oplossen van scheikundige reacties, een wiskundig model Wiskens&co Yoeri Dijkstra en Loes Knoben oktober 9 Inleiding In dit rapport zal gekeken worden naar verschillende

Nadere informatie

Basiskennistoets wiskunde

Basiskennistoets wiskunde Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Verslaglegging van de opdracht: Chemie in de Wiskunde. Lisanne van der Breggen en Jette Wielaard

Verslaglegging van de opdracht: Chemie in de Wiskunde. Lisanne van der Breggen en Jette Wielaard Verslaglegging van de opdracht: Chemie in de Wiskunde Lisanne van der Breggen en Jette Wielaard October 23, 29 Een woord vooraf Na aanleiding van het gesprek met het ingenieursbureau Wiskens&co hebben

Nadere informatie

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica Tentamen Optimalisering (2DD15) Vrijdag 24 juni 2011, 9:00 12:00 uur Het tentamen bestaat uit zeven opgaven. Bij elke opgave staat het

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven In het vak Meetkunde voor Bouwkunde kom je stelsels lineaire vergelijkingen tegen en matrices tegen.

Nadere informatie

Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar

Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar 24/04/2013 Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar Sint-Ursula-Instituut Rekenprocedures eerste leerjaar Rekenen, hoe doe ik dat? 1. E + E = E 2 + 5 = 7 Ik heb er 2. Er komen er 5 bij. Dat is

Nadere informatie

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

ffl een willekeurige LP in standaard vorm kan omzetten ffl het bij een basis toebehorend tableau en de basisoplossing kan berekenen ffl de simplex alg

ffl een willekeurige LP in standaard vorm kan omzetten ffl het bij een basis toebehorend tableau en de basisoplossing kan berekenen ffl de simplex alg Grafentheorie en Operationele Research 158070 Handout Operationele Research gedeelte 1 Inleiding 1.1 Inhoud Het Operationele Research gedeelte van het vak 'Grafentheorie en Operationele Research' houdt

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat. 92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,

Nadere informatie

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429)

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) - een lijst met operationele en concrete doelen van de lessenserie, indien mogelijk gerelateerd

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie)

Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie) Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie) Tijdstip: Vrijdag 3 februari 2012 vanaf 09.00 uur tot 12.00 uur Er zijn vier opgaven. Achter de opgaven zitten de bladzijden die u kunt gebruiken om uw antwoord

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

kwadratische vergelijkingen

kwadratische vergelijkingen kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

Optimalisering WI 2608

Optimalisering WI 2608 Optimalisering WI 2608 Docent: Hans Melissen, EWI kamer 7.080 e-mail: j.b.m.melissen@ewi.tudelft.nl tel: 015-2782547 Studiemateriaal op : http://www.isa.ewi.tudelft.nl/~melissen (kijk bij onderwijs WI

Nadere informatie

WISo. Handleiding breukendoos. www.zwiso.be. Inhoud breukendoos. Gebruik van de breukendoos. Inzicht in breuken

WISo. Handleiding breukendoos. www.zwiso.be. Inhoud breukendoos. Gebruik van de breukendoos. Inzicht in breuken Handleiding breukendoos Inhoud breukendoos De breukendoos bevat: - metalen breukenbord met vermelding van het geheel en de stambreuken van t.e.m. en ruimte voor de kommagetallen- en de procentstrook -

Nadere informatie

Enkele uitbreidingen op het simplexalgoritme

Enkele uitbreidingen op het simplexalgoritme Enkele uitbreidingen op het simplexalgoritme Stageverslag Rovecom Moniek Messink 2 oktober 2014 Enkele uitbreidingen op het simplexalgoritme Stageverslag Rovecom Masterscriptie Wiskunde 2 oktober 2014

Nadere informatie

Elementaire rekenvaardigheden

Elementaire rekenvaardigheden Hoofdstuk 1 Elementaire rekenvaardigheden De dingen die je niet durft te vragen, maar toch echt moet weten Je moet kunnen optellen en aftrekken om de gegevens van de patiënt nauwkeurig bij te kunnen houden.

Nadere informatie

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken). 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk

Nadere informatie

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek WERKBOEK REKENVAARDIGHEID Voeding en Diëtetiek 11 INHOUDSOPGAVE ACHTERGROND 3 1. Elementaire bewerkingen 4 2. Voorrangsregels (bewerkingsvolgorde) 8 3. Bewerkingen met machten 11 4. Rekenen met breuken

Nadere informatie

ANTWOORDEN PLAN B KORTE ANTWOORDEN EN UITWERKING

ANTWOORDEN PLAN B KORTE ANTWOORDEN EN UITWERKING ANTWOORDEN PLAN B KORTE ANTWOORDEN EN UITWERKING Korte antwoorden Eerste jaar 1) x = ) x = 3) 4) 83 = 83 7 17 119 5 6 5) 3 8 6) + 7) 8) 3 10 6 9) 3 7 14 10) 13 11) Bij de vermenigvuldiging van machten

Nadere informatie

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint.

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint. Training Vergelijkingen met logaritmen WISNET-HBO update jan. 0 Inleiding Voor deze training heb je nodig: de rekenregels van machten de rekenregels van de logaritmen Zorg dat je het lijstje met rekenregels

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Op hoeveel verschillende manieren kun je drie zwarte pionnen verdelen over de 32 zwarte velden van een schaakbord? (Neem aan dat op elk veld hooguit één pion staat.)

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

De MEETKUNDE BOEK 1 Over de problemen die geconstrueerd kunnen worden zonder er iets anders voor te gebruiken dan cirkels en rechte lijnen.

De MEETKUNDE BOEK 1 Over de problemen die geconstrueerd kunnen worden zonder er iets anders voor te gebruiken dan cirkels en rechte lijnen. Fragmenten uit René Descartes, la Géométrie (De Meetkunde), (Leiden 1637). Een facsimile van de oorspronkelijke Franse tekst van la Géométrie, met een Engelse vertaling, is verschenen in D.E. Smith en

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: optimaliseren

Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: optimaliseren Wiskunde D Keuzevak beslissen onderdeel: optimaliseren Samenstelling Jan Essers ism Kerngroep Wiskunde D Eindhoven Fontys bewerking van Ferdy van der Werf op 16 juli 2008 voorkennis: lineaire vergelijkingen

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

handleiding ontbinden

handleiding ontbinden handleiding ontbinden inhoudsopgave inhoudsopgave de grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 met gegeven product 4 ontbinden van getallen 4 3 vergelijkingen 5 4 onderzoek 6 tijdpad 9 materialen

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

xxii Handleiding Maple 10

xxii Handleiding Maple 10 xxii Handleiding Maple 10 dat geval kun je van de vectorvergelijking een stelsel vergelijkingen maken in de vorm van een verzameling of een lijst naar keuze en dit stelsel te lijf gaan met solve of andere

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking 5. Vergelijkingen 5.1. Vergelijkingen met één variabele 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking Probleem : We willen x oplossen uit de lineaire vergelijking p x+q=r met p. Maxima biedt daartoe in

Nadere informatie

Vergelijkingen met breuken

Vergelijkingen met breuken Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek

Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek Enkele baimodellen uit operationeel onderzoek Roel Leu Roel.Leu@econ.kuleuven.be Studiedag Wikunde e graad ASO 6 mei Inleiding Operationeel onderzoek (O.O.) = het gebruik van wikundige technieken voor

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

5.1 Lineaire formules [1]

5.1 Lineaire formules [1] 5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie