Branch-and-Bound en Cutting Planes

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Branch-and-Bound en Cutting Planes"

Transcriptie

1 Branch-and-Bound en Cutting Planes

2 Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme dat niet-optimale oplossing geeft 19 november

3 Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft (VANDAAG) 2 Polynomiaal algoritme dat niet-optimale oplossing geeft (College 12) 19 november

4 Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft (VANDAAG) 2 Polynomiaal algoritme dat niet-optimale oplossing geeft (College 12) Vandaag 2 methoden: 1 Branch-and-Bound 2 Cutting planes (geldige ongelijkheden) 19 november

5 Branch-and-Bound Idee: ILP s zijn moeilijk, LP s zijn makkelijk. We gebruiken LP om ILP op te lossen. Belangrijke relatie: Z TOEG Z IP Z LP Z LP Z IP Z TOEG (Maximalisatie) (Minimalisatie) Branchen: Het probleem opsplitsen in deelproblemen, zdd elke toegelaten oplossing bevindt zich in exact één deelprobleem. Bounden: Boven- en ondergrens bijhouden voor oplossing. Gebruik deze grenzen voor het snoeien van zoekboom. Snoeien: Concluderen dat een deelprobleem niet verder onderzocht hoeft te worden 19 november

6 Branch-and-Bound (Minimalisatie) Lijst met nog te beschouwen deelproblemen Bovengrens voor hele boom Ondergrens per deelprobleem In geval van geheeltallige doelstellingscoëfficiënten: ondergrens naar boven afronden 19 november

7 Voorbeeld Branch-and-Bound Z IP = min 4x 1 + x 2 odv 7x 1 2x 2 14 x 2 3 2x 1 2x 2 3 x 1, x 2 0, geheeltallig 19 november

8 Wanneer kunnen we snoeien? (Maximalisatie) 1 Niet-toegelaten LP-relaxatie deelprobleem Geen geheeltallige oplossingen in dit deelprobleem 2 Geheeltallige LP-relaxatie in deelprobleem Toegelaten (integer) oplossing gevonden. Globale ondergrens updaten 3 Bovengrens deelprobleem kleiner dan globale ondergrens Er is geen betere oplossing in dit deelprobleem dan de al gevonden integer oplossing Merk op: Ondergrenzen zijn globaal, terwijl bovengrenzen alleen geldig in deelprobleem 19 november

9 Wanneer kunnen we snoeien? (Minimalisatie) 1 Niet-toegelaten LP-relaxatie deelprobleem Geen geheeltallige oplossingen in dit deelprobleem 2 Geheeltallige LP-relaxatie in deelprobleem Toegelaten (integer) oplossing gevonden. Globale bovengrens updaten 3 Ondergrens deelprobleem kleiner dan globale bovengrens Er is geen betere oplossing in dit deelprobleem dan de al gevonden integer oplossing Merk op: Bovengrenzen zijn globaal, terwijl ondergrenzen alleen geldig in deelprobleem 19 november

10 Implementatieaspecten 1 Welke variabele kiezen we om te branchen? Fractie het dichtst bij Welke deelprobleem beschouwen we eerst? Depth-first search: Deelprobleem zo diep mogelijk in de boom Best-node first: Deelprobleem met beste waarde van de LP-relaxatie Vaak mengsel van beide 19 november

11 Rekentijd Branch-and-Bound Stel alle variabelen zijn 0-1 variabelen. Maximaal aantal eindpunten: 2 n Maximaal aantal knopen/deelproblemen: n = 1 2n = 2 n+1 1 Exponentiëel aantal deelproblemen Werkcollege: voorbeeld waarin inderdaad exponentiëel veel deelproblemen opgelost moeten worden 19 november

12 Cutting Planes z IP = min odv c T x Ax b x 0, geheeltallig Laat S de verzameling toegelaten punten zijn. Definitie: Een polyeder P = {x R n 0 A x b } noemen we een formulering voor S als geldt P Z n = S. Vorige week gezien dat er meerdere formuleringen bestaan voor een gegeven verzameling S. Er bestaan zelfs oneindig veel formuleringen voor S 19 november

13 Sterkte van een formulering Een formulering P is tenminste even sterk als een formulering P als geldt P P Definitie: Een ongelijkheid αx β is geldig voor S als αx β voor iedere x S. Het toevoegen van een geldige ongelijkheid aan P resulteert in een formulering P die tenminste even sterk is. Wat is de sterkst mogelijke formulering? Conv(S), het convexe omhulsel van de toegelaten punten S. Merk op: Met een expliciete omschrijving van Conv(S) kunnen we ILP oplossen met LP. Het vinden van conv(s) kan echter niet in polynomiale tijd 19 november

14 Gomory s cutting planes We zoeken niet het volledige convexe omhulsel Fractioneel deel van optimale oplossing LP-relaxatie geeft geldige ongelijkheid Stop wanneer LP-relaxatie geheeltallig optimum heeft Alle snedes zijn geldig, dus ook optimum voor IP 19 november

15 Voorbeeld Gomory s cutting planes Z IP = max 4x 1 x 2 odv 7x 1 2x 2 14 x 2 3 2x 1 2x 2 3 x 1, x 2 0, geheeltallig (Zelfde voorbeeld als voor Branch-and-Bound) 19 november

16 Duale simplex algoritme Zowel bij B&B als bij cutting planes moet herhaaldelijk een LP-relaxatie worden opgelost Moeten we iedere keer opnieuw beginnen met simplex? Nee, we gebruiken duale simplex algoritme Oude oplossing blijft duaal toegelaten na toevoeging van extra voorwaarde. 19 november

17 Voorbeeld duale simplex 19 november

18 Duale simplex algoritme Initialisatie: Basisoplossing, niet-noodzakelijk toegelaten, met c j 0 j (maximalisatie) c j 0 j (minimalisatie) Uittredende variabele: x B(i ) zdd b i = min{ b i b i < 0} Als b i 0 optimaal. i, STOP, huidige basisoplossing is toegelaten en Intredende variabele: x j zdd c j ā = min{ c j i j ā : ā i j i j < 0} Als ā i j 0 j, STOP, probleem heeft geen toegelaten oplossing. Anders, voer pivot uit en ga naar 1 19 november

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek

Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek Enkele baimodellen uit operationeel onderzoek Roel Leu Roel.Leu@econ.kuleuven.be Studiedag Wikunde e graad ASO 6 mei Inleiding Operationeel onderzoek (O.O.) = het gebruik van wikundige technieken voor

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

Een voorbeeld. Computationele Intelligentie Zoeken met een tegenstander. Een voorbeeld vervolg. Een zoekprobleem met een tegenstander

Een voorbeeld. Computationele Intelligentie Zoeken met een tegenstander. Een voorbeeld vervolg. Een zoekprobleem met een tegenstander Computationele Intelligentie Zoeken met een tegenstander Beschouw het boter-kaas-en-eieren spel: een probleemtoestand is een plaatsing van i kruisjes en j nulletjes in de vakjes van het raam, met i j en

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

De Branch-and-Bound methode

De Branch-and-Bound methode De Branch-and-Bound methode Een eigenschap van het ILP probleem is dat er meestal maar een eindig aantal mogelijke oplossingen toegelaten zijn, of op zijn slechtst zijn de oplossingen aftelbaar (eventueel

Nadere informatie

Optimalisering WI 2608

Optimalisering WI 2608 Optimalisering WI 2608 Docent: Hans Melissen, EWI kamer 7.080 e-mail: j.b.m.melissen@ewi.tudelft.nl tel: 015-2782547 Studiemateriaal op : http://www.isa.ewi.tudelft.nl/~melissen (kijk bij onderwijs WI

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1 Oefeningen voor de oefeningenles Oefening 1 Gegeven een arbitraire binaire zoekboom T met n toppen en een (andere of gelijke) binaire zoekboom T die ook n sleutels bevat. Beschrijf een algoritme dat in

Nadere informatie

Inhoud voor vandaag. Knapzak probleem (2) Knapzak probleem. Geheeltallige lineaire programmeringsproblemen en hun toepassingen

Inhoud voor vandaag. Knapzak probleem (2) Knapzak probleem. Geheeltallige lineaire programmeringsproblemen en hun toepassingen Inhoud voor vandaag Geheeltallige lineaire programmeringproblemen en hun toepaingen Inleiding geheeltallig lineaire programmering Modellen: Toewijzing Depot locatie Inkoop met kwantum korting Marjan van

Nadere informatie

8. Complexiteit van algoritmen:

8. Complexiteit van algoritmen: 8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel 2 8.1 Complexiteit 4 8.2 NP-problemen 6 8.3 De oplossing 7 8.4 Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het

Nadere informatie

Optimalisering WI 2608

Optimalisering WI 2608 Optimalisering WI 2608 Docent: Hans Melissen, EWI kamer 4.150 e-mail: j.b.m.melissen@tudelft.nl tel: 015-2782547 Het project is een verplicht onderdeel van het vak Het project start in week 5. Nadere informatie

Nadere informatie

Personeelsplanning en Kolomgeneratie

Personeelsplanning en Kolomgeneratie Personeelsplanning en Kolomgeneratie BWI Werkstuk Annemieke van Dongen Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen De Boelelaan 1081a 1081 HV Amsterdam Amsterdam, 1 december 2005 Begeleider:

Nadere informatie

Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem

Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem Het water van 3 rivieren moet worden verdeeld over 4 steden. Daar zijn kosten aan verbonden per eenheid water (zie tabel). De steden hebben minimumbehoeften

Nadere informatie

Crew Rostering: Een Rooster Probleem voor de Rondvaart Wouter Radder

Crew Rostering: Een Rooster Probleem voor de Rondvaart Wouter Radder Crew Rostering: Een Rooster Probleem voor de Rondvaart Wouter Radder BWI Werkstuk Crew Rostering: Een Rooster Probleem voor de Rondvaart Wouter Radder BWI Werkstuk Vrije Universiteit Faculteit der Exacte

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00 Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten

Nadere informatie

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6.

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6. Overzicht 1. Definities 2. Basisalgoritme 3. Label setting methoden 4. Label correcting methoden 5. Ondergrenzen 6. Resultaten Kortste Pad Probleem 1 Definities Een graaf G = (V, E) bestaat uit een verzameling

Nadere informatie

Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken

Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken Joost J. Joosten 14 december 2005 Praag en bier Sinds enkele maanden werk ik als post-doc aan de Czech Academy of Sciences in Praag.

Nadere informatie

1 Vervangingsstrategie auto

1 Vervangingsstrategie auto Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2002 1 Vervangingsstrategie auto Onderdeel a Zij V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, waarbij knoop i staat voor het einde

Nadere informatie

OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN VOORJAAR 2003 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 1.1 Wat is Operations Research?.............................. 1 1.2 Overzicht van de te behandelen

Nadere informatie

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015 AI Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/ai/ 1 Introductie

Nadere informatie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 31 maart, 9.00 12.00 uur - Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open vragen. - Per meerkeuzevraag kunnen 0 tot 4 alternatieven juist

Nadere informatie

Programming a CNC-machine using ILP

Programming a CNC-machine using ILP Programming a CNC-machine using ILP Maarten Bos Discrete Mathematics and Mathematical Programming Department of Applied Mathematics University of Twente Date: 15-12-2011 Graduation committee: dr. W. Kern

Nadere informatie

Normering en schaallengte

Normering en schaallengte Bron: www.citogroep.nl Welk cijfer krijg ik met mijn score? Als je weet welke score je ongeveer hebt gehaald, weet je nog niet welk cijfer je hebt. Voor het merendeel van de scores wordt het cijfer bepaald

Nadere informatie

Wiskunde achter het Spoorboekje

Wiskunde achter het Spoorboekje Wiskunde achter het Spoorboekje Lex Schrijver Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) en Universiteit van Amsterdam 1 Spoorboekje 2007 In december 2006 werd bij de Nederlandse Spoorwegen het Spoorboekje

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N460) op donderdag 23 juni 2011, 1400-1700 uur Deel 1: Van 1400 uur tot uiterlijk

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Samenvatting Optimalisatietechnieken

Samenvatting Optimalisatietechnieken Samenvatting Optimalisatietechnieken Dumon Willem - Van Haute Tom 2009-2010 1 Terminologie Feasible = oplosbaar, voldoen a alle harde beperkingen Harde beperking = beperking wr e oplossing aan moet voldoen

Nadere informatie

INHOUDSOPGAVE LEERGANG BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

INHOUDSOPGAVE LEERGANG BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN INHOUDSOPGAVE LEERGANG BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN TEN GELEIDE Deze Leergang Besliskunde bevat de dictaten die ik heb geschreven voor de diverse besliskundecolleges die door mij

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Convexe functies op R (niet in het boek)

Convexe functies op R (niet in het boek) Convee uncties op R (niet in het boe Een unctie : R R heet conve, als voor alle, R en ele λ [0,] geldt dat (λ + (-λ λ( + (-λ(. Voor een unctie op R beteent dit dat als je twee willeeurige punten op de

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

2 Recurrente betrekkingen

2 Recurrente betrekkingen WIS2 1 2 Recurrente betrekkingen 2.1 Fibonacci De getallen van Fibonacci Fibonacci (= Leonardo van Pisa), 1202: Bereken het aantal paren konijnen na één jaar, als 1. er na 1 maand 1 paar pasgeboren konijnen

Nadere informatie

Algorithms for Max-Flow

Algorithms for Max-Flow Algorithms for Max-Flow Consider a network with given upper bounds for the capacities of the arcs, and one entry and one exit node. The max-flow problem consists in finding a maximal flow through the network

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde Een miljoen dollar verdienen in de kerstvakantie? Het enige dat u hoeft te doen, is een polynomiaal algoritme te vinden om een sudoku mee op te lossen. Niels Oosterling schetst waar u dan rekening mee

Nadere informatie

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM)

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) CPM (Critical Path Method) Activiteiten met afhankelijkheden en vaste duur zijn gegeven. CPM bepaalt de minimale doorlooptijd van het project. PERT (Program

Nadere informatie

Uitwerkingen Wiskunde A HAVO

Uitwerkingen Wiskunde A HAVO Uitwerkingen Wiskunde A HAVO Nederlands Mathematisch Instituut December 28, 2012 Supersize me Opgave 1. De formule voor de dagelijkse energiebehoefte is E b = 33,6 G. Als we dit invullen dan krijgen we

Nadere informatie

Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1.

Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1. LIMIETGEDRAG VAN REDUCIBELE MARKOV KETEN In het voorgaande hebben we gezien hoe we de limietverdeling van een irreducibele, aperiodieke Markov keten kunnen berekenen: Voorbeeld 1: Zoek de unieke oplossing

Nadere informatie

Datastructuren. Analyse van algoritmen. José Lagerberg. FNWI, UvA. José Lagerberg (FNWI, UvA) Datastructuren 1 / 46

Datastructuren. Analyse van algoritmen. José Lagerberg. FNWI, UvA. José Lagerberg (FNWI, UvA) Datastructuren 1 / 46 Datastructuren Analyse van algoritmen José Lagerberg FNWI, UvA José Lagerberg (FNWI, UvA) Datastructuren 1 / 46 Datastructuren en Algoritmen Datastructuren, 6 ECTS eerstejaars Bachelor INF Datastructuren,

Nadere informatie

Bijlage A Simplex-methode

Bijlage A Simplex-methode Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste

Nadere informatie

Beveiliging van museum Kempenland

Beveiliging van museum Kempenland Beveiliging van museum Kempenland Irene Man 0721206 Richard Kuijstermans 0720436 31 maart 2011 Inhoudsopgave 1 Probleembeschrijving 3 1.1 Vereenvoudiging van het probleem............... 4 1.1.1 Geheeltallige

Nadere informatie

3 De stelling van Kleene

3 De stelling van Kleene 18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde A Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Supersize me Opgave 1. De formule voor de dagelijkse energiebehoefte is E b = 33,6 G. Als

Nadere informatie

T.A. Horsmeier. Hoeken en kromming. In genormeerde ruimten zonder inprodukt. Bachelorscriptie, 25 augustus 2009

T.A. Horsmeier. Hoeken en kromming. In genormeerde ruimten zonder inprodukt. Bachelorscriptie, 25 augustus 2009 T.A. Horsmeier Hoeken en kromming In genormeerde ruimten zonder inprodukt Bachelorscriptie, 25 augustus 2009 Scriptiebegeleider: Dr. O.W. van Gaans Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Toepassingen van Operationeel Onderzoek Samenvatting

Toepassingen van Operationeel Onderzoek Samenvatting Toepassingen van Operationeel Onderzoek Samenvatting 18-1-2011 KUL, Prof. Spieksma Lynn.gyselen@student.kuleuven.be, indien u aanpassingen, opmerkingen, extra opgaven of oplossingen heeft, gelieve deze

Nadere informatie

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3 Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 2 april 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 3 5 Data-analyse 4 5.1 Data-analyse: per product.............................

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

B².DNA Strategische GedragsVerbetering

B².DNA Strategische GedragsVerbetering Onderhandelen met Resultaat! Krachtig voeren van onderhandelingen USP s kennen, voelen én uitstralen! Vertrouwen in eigen toegevoegde waarde Uitstekende voorbereiding Passende strategie Controle over het

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

Datastructuren college 10

Datastructuren college 10 we hadden Backtracking verbetering i i Datastructuren college 0 0: : : 0: : : P r r r r r b r b r P r r r b r b r backtracking we hoeven vaak de kandidaat niet helemaal af te maken om hem te kunnen verwerpen

Nadere informatie

Oplossen van problemen na een foutieve update van Panda

Oplossen van problemen na een foutieve update van Panda Oplossen van problemen na een foutieve update van Panda Dit document beschrijft het oplossen van problemen na een foutieve update van de detectie in Panda Antivirus beveiliging op 11 maart 2015. Oorzaak

Nadere informatie

Les 15 : updaten van gegevens in de database (deel2).

Les 15 : updaten van gegevens in de database (deel2). Les 15 : updaten van gegevens in de database (deel2). In de volgende reeks lessen zal alle vorige leerstof uitgebreid aan het bod komen. Zie ook de vorige lessen en documenten om informatie op te zoeken

Nadere informatie

9. Strategieën en oplossingsmethoden

9. Strategieën en oplossingsmethoden 9. Strategieën en oplossingsmethoden In dit hoofdstuk wordt nog even terug gekeken naar alle voorgaande hoofdstukken. We herhalen globaal de structuren en geven enkele richtlijnen voor het ontwerpen van

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 15 juni 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 4

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 15 juni 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 4 Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 15 juni 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 4 5 Deterministische aanpak 4 5.1 Populariteit van

Nadere informatie

Filebestrijding middels Speltheorie

Filebestrijding middels Speltheorie Speltheorie p. 1/3 Filebestrijding middels Speltheorie Krzysztof R. Apt (dus niet Krzystof en zeker niet Krystof) CWI & Universiteit van Amsterdam DEPOT1 DEPOT2 Speltheorie p. 2/3 Voorbeeld 1: Kilometerheffing

Nadere informatie

Toepassingen op discrete dynamische systemen

Toepassingen op discrete dynamische systemen Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch

Nadere informatie

TDI V2 Social objects design patterns voor creators. Marije ten Brink Interaction design week 2 (36)

TDI V2 Social objects design patterns voor creators. Marije ten Brink Interaction design week 2 (36) TDI V2 Social objects design patterns voor creators Marije ten Brink Interaction design week 2 (36) Vorige week ʻZoekenʼ is één van de meest ingrijpende innovaties van onze tijd. Zoeken is een conversatie:

Nadere informatie

ˆ het voorkomen van bepaalde woorden in de body van de mail,

ˆ het voorkomen van bepaalde woorden in de body van de mail, Opdracht 1: Bayesiaanse Spam Filter Het doel van deze opdracht is het ontwerpen van een eenvoudige spam filter op basis van een Bayesiaans Netwerk. Je zal het model implementeren in Netica en het toepassen

Nadere informatie

HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE. 1. Inleiding

HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE. 1. Inleiding HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE IGNACE VAN DE WOESTYNE. Inleiding In zowel de theorie van het consumentengedrag als in de arbeidstheorie, beiden gesitueerd in

Nadere informatie

Ervaringen met zorg bij diabetes: samenvatting op zorggroepniveau

Ervaringen met zorg bij diabetes: samenvatting op zorggroepniveau Ervaringen met zorg bij diabetes: samenvatting op zorggroepniveau Analyse ZorgDNA Amstelland Zorg Versie 1.0 drs. J.J.A. Stavenuiter dr. H.G. van der Roest dr. D.H.M. Frijters Utrecht, december 2012 ZorgDNA

Nadere informatie

Beveiliging Museum Kempenland

Beveiliging Museum Kempenland Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Wiskunde Den Dolech 2, 5612 AZ Eindhoven P.O. Box 513, 5600 MB Eindhoven The Netherlands www.tue.nl Author Kevin ten Braak (0740805) Joost Jorritsma (0748615)

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002 - 0 - WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2 maar en hoe nu verder? 29 november 2002 De Wiskunde B-dag wordt gesponsord door Texas Instruments - 1 - Inleiding Snel machtverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen.

Nadere informatie

Belevingsonderzoek hoorcollege. BOZ HOND Week 1.1

Belevingsonderzoek hoorcollege. BOZ HOND Week 1.1 Belevingsonderzoek hoorcollege BOZ HOND Week 1.1 Programma Praktische informatie Toelichting modules BOZ PRO en BOZ OND Briefing en debriefing Praktische informatie Docent: Renée van Os Bereikbaar: Renee.vanOs@han.nl

Nadere informatie

Pagina 1 van 5. Maart 2014. Q & A Elektronisch meten Inzichten, reclamebereik en ambitie NLO voor de toekomst

Pagina 1 van 5. Maart 2014. Q & A Elektronisch meten Inzichten, reclamebereik en ambitie NLO voor de toekomst Maart 2014 Q & A Elektronisch meten Inzichten, reclamebereik en ambitie NLO voor de toekomst Het NLO is continu bezig met het verbeteren en het verder professionaliseren van het Nationaal LuisterOnderzoek,

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Modellering. Duaal probleem. αβ-algoritme. Maximale stroom probleem. Voorbeeld. Transportprobleem 1

Overzicht. Inleiding. Modellering. Duaal probleem. αβ-algoritme. Maximale stroom probleem. Voorbeeld. Transportprobleem 1 Overzicht Inleiding Modellering Duaal probleem αβ-algoritme Maximale stroom probleem Voorbeeld Transportprobleem 1 Inleiding W 1 b 1 a 1 D 1 W 2 b 2 a 2 D 2 a m Dm W n b n depots warenhuizen c ij zijn

Nadere informatie

Publieke Database. Verslag modelleren 4 (2H144) Finbar Bogerd (s474580) & Judy van Sambeek (s476368)

Publieke Database. Verslag modelleren 4 (2H144) Finbar Bogerd (s474580) & Judy van Sambeek (s476368) Publieke Database Verslag modelleren 4 (2H144) Finbar Bogerd (s474580) & Judy van Sambeek (s476368) Technische Universiteit Eindhoven Faculteit: Technische Wiskunde & Informatica 28 augustus 2002 Inhoudsopgave

Nadere informatie

Correctievoorschrift HAVO 2014

Correctievoorschrift HAVO 2014 Correctievoorschrift HAVO 04 tijdvak wiskunde A Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie

Actualiseren van offertes.

Actualiseren van offertes. VERO Actualiseren van offertes. 1. Releases. Versie Beschikbaar Vanaf VERO-Vng VERO-Vxp Ja Nee Herfst 2014 (84) 2. Van toepassing op: VERO-Admin, module Offertes. 3. Omschrijving van de functie. Bestaande

Nadere informatie

gegevens analyseren Welk onderzoekmodel gebruik je? Quasiexperiment ( 5.5) zonder controle achtergronden

gegevens analyseren Welk onderzoekmodel gebruik je? Quasiexperiment ( 5.5) zonder controle achtergronden een handreiking 71 hoofdstuk 8 gegevens analyseren Door middel van analyse vat je de verzamelde gegevens samen, zodat een overzichtelijk beeld van het geheel ontstaat. Richt de analyse in de eerste plaats

Nadere informatie

Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding. G.J.E. Rutten

Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding. G.J.E. Rutten 1 Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding G.J.E. Rutten Introductie In dit artikel wil ik het argument van de Amerikaanse filosoof Alvin Plantinga voor

Nadere informatie

Sudoku s en Wiskunde

Sudoku s en Wiskunde Non impeditus ab ulla scientia Sudoku s en Wiskunde K. P. Hart 3 februari, 2006 Programma Tellen Makkelijk, medium, moeilijk Hoeveel zaadjes? Een miljoen dollar verdienen? Puzzels Tellen Vooralsnog onbegonnen

Nadere informatie

Het duivenhokprincipe

Het duivenhokprincipe Tijdens de sneeuwstormen van 5 november j.l. hebben duizenden leerlingen zich gebogen over de opdracht in het kader van de wiskunde B-dag. Op het Jac P Thijsse College worden de werkstukken beoordeeld

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Over versnijden, volgorde s en veilingen: combinatorisch optimaliseren in de praktijk

Over versnijden, volgorde s en veilingen: combinatorisch optimaliseren in de praktijk Tijdschrift voor Economie en Management Vol. XLVIII, 1, 2003 Over versnijden, volgorde s en veilingen: combinatorisch optimaliseren in de praktijk door F.C.R. SPIEKSMA Frits C.R. Spieksma KULeuven, Departement

Nadere informatie

Handleiding. Visual Planning. Visual Planning Pagina: 1 Versie: 06031402

Handleiding. Visual Planning. Visual Planning Pagina: 1 Versie: 06031402 Handleiding Visual Planning Visual Planning Pagina: 1 INHOUDSOPGAVE Hoofdstuk Pagina 1. Introductie. 5 1.1. Hartelijk Welkom. 5 1.2. Configuratie van Planning. 6 2. Planning. 7 2.1. Planbord inrichten.

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Handleiding: Hoe gebruik je Coen?

Handleiding: Hoe gebruik je Coen? 1. Startscherm Handleiding: Hoe gebruik je Coen? Op het startscherm vind je een overzicht van alle functies:! Klanten inzien of aanmaken! Projecten inzien of aanmaken! Uren inzien of registreren! Ritten

Nadere informatie

Vergelijkingen en hun oplossingen

Vergelijkingen en hun oplossingen Vergelijkingen en hun oplossingen + 3 = 5 is een voorbeeld van een wiskundige vergelijking: er komt een = teken in voor, en een onbekende of variabele: in dit geval de letter. Alleen als we voor de variabele

Nadere informatie

OPLOSSEN VAN TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

OPLOSSEN VAN TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN OPLOSSEN VAN TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN Het bestaan van reële oplossingen of wortels van een tweedegraadsvergelijking van de vorm ax²+bx+c = 0 waarbij x de onbekende is en a, b, c reële parameters zijn,

Nadere informatie

O&O-competentietest. Ben je een onderzoeker of een ontwerper, een denker of een doener? O&O-competentietest van: Ingevuld door: Datum:

O&O-competentietest. Ben je een onderzoeker of een ontwerper, een denker of een doener? O&O-competentietest van: Ingevuld door: Datum: O&O-competentietest Ben je een onderzoeker of een ontwerper, een denker of een doener? O&O-competentietest van: Ingevuld door: Datum: Ontwikkeld door Expertisecentrum technasium Januari 007 Vormgeving

Nadere informatie

Afsluitende les. Leerlingenhandleiding. De Reizende DNA Rechter

Afsluitende les. Leerlingenhandleiding. De Reizende DNA Rechter Afsluitende les Leerlingenhandleiding De Reizende DNA Rechter Dossier HER2 cellijn Achtergrond informatie Mevrouw X is een borstkankerpatiënt. Voor onderzoek zijn bij haar tumorcellen afgenomen en op kweek

Nadere informatie

Backlog. De openstaande stories. Studenten. Clermond de Hullu Wiebren Wolthuis Simon Wels Maik Gosenshuis. MDL- referentie D09

Backlog. De openstaande stories. Studenten. Clermond de Hullu Wiebren Wolthuis Simon Wels Maik Gosenshuis. MDL- referentie D09 Backlog De openstaande stories Studenten Clermond de Hullu Wiebren Wolthuis Simon Wels Maik Gosenshuis MDL- referentie D09 Versiebeheer Versie Datum Wijzigingen Door wie 0.1 06-10- 09 Eerste opzet voor

Nadere informatie

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten

Nadere informatie

2. Een eerste kennismaking met Maxima

2. Een eerste kennismaking met Maxima . Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen

Nadere informatie

Het koppelen van de u-remote aan de AC500-eco via Modbus TCP. A quick start guide. Jaap Ruiten

Het koppelen van de u-remote aan de AC500-eco via Modbus TCP. A quick start guide. Jaap Ruiten Het koppelen van de u-remote aan de AC500-eco via Modbus TCP. A quick start guide Jaap Ruiten Het koppelen van Weidmüller u-remote aan een AC500-eco plc. Thema: u-remote Modbus TCP Bladzijde 1 Inhoudsopgave

Nadere informatie

Chinese postbodeprobleem

Chinese postbodeprobleem Chinese postbodeprobleem Dorthe Van Waarden 9 juli 2010 Eindverslag Bachelorproject Begeleiding: dr. Marcel van de Vel KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis.

S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis. HET POISSON PROCES In veel praktische toepassingen kan het aaankomstproces van personen, orders,..., gemodelleerd worden door een zogenaamd Poisson proces. Definitie van een Poisson proces: Een Poisson

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Speltheorie 29-10-2003

Tentamen Inleiding Speltheorie 29-10-2003 entamen Inleiding Speltheorie 9-0-003 Dit tentamen telt 5 opgaven die in 3 uur moeten worden opgelost. Het maximaal te behalen punten is 0, uitgesplitst naar de verschillende opgaven. Voor het tentamencijfer

Nadere informatie