2WO12: Optimalisering in Netwerken

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "2WO12: Optimalisering in Netwerken"

Transcriptie

1 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

2 Overzicht Tot nog toe: grafen, kleuren en routeren graafrepresentaties en complexiteit kortste pad algoritmes minimum opspannende bomen Vandaag matchings vertex covers edge covers Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

3 Matchings Definitie Een matching (koppeling) in een graaf G = (V, E) is een M E zodat voor alle e, e M met e e geldt dat e e =. Een punt v is overdekt door een matching M als v e voor een zekere e M. Een matching M is een perfecte matching als elk punt van de graaf door M overdekt wordt, oftewel als M = 1 2 V. In een lijnkleuring van een graaf vorming de lijnen met dezelfde kleur een matching. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

4 Voorbeeld Voorbeelden van een matching en een perfecte matching: een matching een perfecte matching Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

5 Probleem Matching Gegeven: G = (V, E) Bepaal: een matching M E in G van maximale cardinaliteit. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

6 Voorbeeld Wat is de maximale cardinaliteit van een matching in de onderstaande grafen? Voorbeeld Wat is de maximale cardinaliteit van een matching in K n,m? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

7 Probleem Bipartiete Matching Stelling Gegeven: een bipartiete graaf G = (V, E) Bepaal: een matching M E in G van maximale cardinaliteit. Er is een algoritme met looptijd O( V E ) voor Bipartiete Matching. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

8 Definitie Laat M een matching zijn in graaf G. Een M-vermeerderend pad (augmenting path) in G is een pad tussen twee punten die niet door M overdekt zijn, zodanig dat de lijnen van het pad afwisselend wel en niet in M zitten. Symmetrisch verschil: X Y := (X Y ) \ (X Y ) = (X \ Y ) (Y \ X ) Observatie (1) Als P een M-vermeerderend pad is in een graaf G, dan is M := M E(P) een matching met M = M + 1. s t s t Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

9 Voorbeeld In de onderstaande graaf is (a, b, c, d, e, f ) een M-vermeerderend pad voor de blauwe matching. a f a f b e b e c d c d Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

10 Lemma (1) Als M en N twee matchings zijn in een graaf G = (V, E), dan is elke component van de graaf (V, M N) een pad of een even circuit. Voorbeeld De lijnen van de blauwe en rode matching vormen een pad en een even circuit. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

11 Stelling Als G = (V, E) een graaf is en M een matching, dan is precies één van de volgende uitspraken waar: (i) M is een matching van maximale cardinaliteit; (ii) er bestaat een M-vermeerderend pad in G. Bewijs (ii) niet (i) Stel dat er een M-vermeerderend pad P bestaat. Dan is M E(P) een matching met grotere cardinaliteit dan M (Observatie 1). niet (i) (ii) Stel M is een matching met M > M. Elk component van (V, M M ) is een pad of even circuit (Lemma 1). Tenminste één zo n pad bevat meer lijnen van M dan van M omdat M > M. Dit pad is een M-vermeerderend pad. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

12 Algoritme om een M-vermeerderend pad te vinden in een bipartiete graaf G = (U W, E): Algoritme U is de verzameling van punten in U die niet door M overdekt worden. W is de verzameling van punten in W die niet door M overdekt worden. Voor elke lijn e = {u, w} (met u U en w W ) van G: als e M, richt e van w naar u; als e / M, richt e van u naar w. Vind een gericht pad van een punt in U naar een punt in W. Als zo n pad bestaat dan is dit een M-vermeerderend pad. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

13 Voorbeeld Gegeven is de graaf links met de blauwe matching. Richt eerst de pijlen volgens het algoritme. Dit geeft de rechter graaf. u 1 w 1 u 1 w 1 u 2 w 2 u 2 w 2 u 3 w 3 u 3 w 3 u 4 u 5 w 4 w 5 u 4 u 5 w 4 w 5 u 6 w 6 u 6 w 6 u 7 w 7 u 7 w 7 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

14 Voorbeeld Vind een gericht pad vanuit een punt in U = {u 1 } naar een punt in W = {w 5 }. u 1 w 1 u 1 w 1 u 2 w 2 u 2 w 2 u 3 w 3 u 3 w 3 u 4 u 5 w 4 w 5 u 4 u 5 w 4 w 5 u 6 w 6 u 6 w 6 u 7 w 7 u 7 w 7 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

15 Voorbeeld Verbeter de matching op het pad. u 1 w 1 u 1 w 1 u 2 w 2 u 2 w 2 u 3 w 3 u 3 w 3 u 4 u 5 w 4 w 5 u 4 u 5 w 4 w 5 u 6 w 6 u 6 w 6 u 7 w 7 u 7 w 7 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

16 Definitie Een vertex cover (punt-overdekking) in een graaf G = (V, E) is een X V zodat voor alle e E geldt dat e X. Dus een vertex cover is een verzameling punten die alle lijnen raakt τ(g) := de cardinaliteit van een kleinste vertex cover in G Voorbeeld Wat is τ(g) voor de onderstaande grafen? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

17 ν(g) := de cardinaliteit van een grootste matching in G τ(g) := de cardinaliteit van een kleinste vertex cover in G Observatie (2) Voor elke graaf G, ν(g) τ(g) Stelling (König) Voor elke bipartiete graaf G, ν(g) = τ(g) Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

18 Probleem Gewogen Bipartiete Matching Stelling Gegeven: bipartiete graaf G = (V, E) en gewichtsfunctie w : E R. Bepaal: een matching M E in G van maximaal gewicht. Er is een algoritme met looptijd O( V 2 E ) voor Gewogen Bipartiete Matching. (Hungarian method) Definitie Een matching M heet extreem als M maximaal gewicht heeft over alle matchings met cardinaliteit M. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

19 Probleem Gegeven: bipartiete graaf G = (V, E), gewichtsfunctie w : E R en extreme matching M. Bepaal: (zo mogelijk) een extreme matching M E met M = M + 1. Definieer lengtefunctie l : E R door l(e) := w(e) als e M; l(e) := w(e) als e / M. Lemma (Opgave 3.22) Als P een M-vermeerderend pad is van minimale lengte (m.b.t. l), dan is M := M E(P) een extreme matching (met M = M + 1). Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

20 Vinden van een M-vermeerderend pad van minimale lengte in een bipartiete graaf G = (U W, E): Stelling Laat D de gerichte hulpgraaf zijn door de lijnen van G te richten als voorheen (als e M, richt e van w naar u, als e / M, richt e van u naar w). Vind een kortste pad van een punt in U naar een punt in W. Dit kan met het Bellman-Ford algoritme dankzij de volgende stelling: Als M een extreme matching is, dan heeft de gerichte hulpgraaf D geen gericht circuit van negatieve lengte. Vinden van een matching van maximaal gewicht in een bipartiete graaf G = (U W, E): Vind extreme matching met cardinaliteit 0, 1, 2,... Van al deze matchings, kies de matching met grootste gewicht. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

21 Stelling Als M een extreme matching is, dan heeft de gerichte hulpgraaf D geen gericht circuit van negatieve lengte. Bewijs Stel C is een gericht circuit met l(c) < 0. Zeg C = (u 0, w 1, u 1,..., w t, u t = u 0 ). Dan {w 1, u 1 },..., {w t, u t } M En {u 0, w 1 }, {u 1, w 2 },..., {u t 1, w t } / M Laat M := M E(C) Dan is M een matching van cardinaliteit M. En w(m ) = w(m) l(c) > w(m). Dit is een tegenspraak want M is een extreme matching. u 0 u 1 u 2 u 3 w 1 w 2 w 3 w 4 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

22 Definitie Een coclique (of independent set) van een graaf G = (V, E), is een verzameling C V zodanig dat e C voor alle e E. Dus een coclique is een verzameling punten die paarsgewijs niet met een lijn verbonden zijn. Definitie α(g) := de cardinaliteit van een grootste coclique in G. Een vertex cover (punt-overdekking) in een graaf G = (V, E) is een X V zodat voor alle e E geldt dat e X. Dus een vertex cover is een verzameling punten die alle lijnen raakt. τ(g) := de cardinaliteit van een kleinste vertex cover in G. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

23 Observatie (3) Voor elke U V, U is een coclique V \ U is een vertex cover Voorbeeld In de onderstaande graaf vormen de blauwe punten een coclique en de rode punten een vertex cover. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

24 Definitie Een matching (koppeling) in een graaf G = (V, E) is een M E zodat voor alle e, e M met e e geldt dat e e =. Dus een matching is een verzameling lijnen die elkaar paarsgewijs niet raken in een punt. Definitie ν(g) := de cardinaliteit van een grootste matching in G. Een edge cover (lijn overdekking) van een graaf G = (V, E), is een verzameling F E zodanig dat voor elke v V er een e F is met v e. Dus een edge cover is een verzameling lijnen die alle punten overdekt. ρ(g) := de cardinaliteit van een kleinste edge cover in G. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

25 Voorbeeld In de onderstaande grafen vormen de blauwe lijnen edge covers. Observatie (4) Voor elke graaf G: α(g) ρ(g). Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

26 α(g) := de cardinaliteit van een grootste coclique in G. τ(g) := de cardinaliteit van een kleinste vertex cover in G. ν(g) := de cardinaliteit van een grootste matching in G. ρ(g) := de cardinaliteit van een kleinste edge cover in G. Een geïsoleerd punt is een punt met graad nul. Stelling (Gallai) Voor elke graaf G zonder geïsoleerde punten: α(g) + τ(g) = V = ν(g) + ρ(g). Stelling (König) Voor elke bipartiete graaf G = (V, E) zonder geïsoleerde punten: ν(g) = τ(g) α(g) = ρ(g). Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

27 Probleem Bipartiete Vertex Cover Gegeven: bipartiete graaf G = (U W, E). Bepaal: een vertex cover van G van minimale cardinaliteit. Probleem Bipartiete Coclique Stelling Gegeven: bipartiete graaf G = (U W, E). Bepaal: een coclique van G van maximale cardinaliteit. Er is een algoritme met looptijd O( V E ) voor Bipartiete Vertex Cover en voor Bipartiete Coclique. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

28 Probleem Gegeven: bipartiete graaf G = (U W, E) en een matching M. Bepaal: ofwel een matching met cardinaliteit groter dan M, ofwel een vertex cover van cardinaliteit M. Algoritme U is de verzameling van punten in U die niet door M overdekt worden W is de verzameling van punten in W die niet door M overdekt worden Voor elke lijn e = {u, w} (met u U en w W ) van G: als e M, richt e van w naar u als e / M, richt e van u naar w Vind gericht pad van punt in U naar punt in W. Als zo n pad bestaat dan is M := M E(P) een matching met M > M Als zo n pad niet bestaat: Y := {y V er is een gericht pad van een punt in U naar y} dan is (U \ Y ) (W Y ) een vertex cover van cardinaliteit M. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

29 Voorbeeld Vind een kleinste vertex cover in de onderstaande graaf. Voorbeeld Vind ook een grootste coclique in deze graaf. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

30 Lemma Als Y := {y V er is een gericht pad van een punt in U naar y} dan is (U \ Y ) (W Y ) een vertex cover. Bewijs Stel lijn {u, w} wordt niet overdekt door (U \ Y ) (W Y ). Dan is u Y en w / Y. Dus is {u, w} gericht van w naar u. Dus {u, w} M. Dus u / U. Maar u Y, dus er is een gericht pad van een punt in U naar u. Laat v W het laatste punt op dit pad zijn voor u. Dan is {u, v} gericht van v naar u, dus {u, v} M. En v w want v Y en w / Y. Dus zijn er twee lijnen incident met u die in de matching zitten ({u, w} en {u, v}), een tegenspraak. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

31 Lemma Als Y := {y V er is een gericht pad van een punt in U naar y} dan is (U \ Y ) (W Y ) = M. Bewijs Laat X := (U \ Y ) (W Y ). U Y dus X U =. Er is geen gericht pad van een punt in U naar een punt in W. Dus Y W =, dus X W =. Dus elk punt in X wordt overdekt door een lijn van M. Stel dat een lijn {u, w} M twee punten uit X overdekt. Dan u X U en w X W. Dus is u / Y en w Y. Maar {u, w} zit in M en is dus gericht van w naar u: een tegenspraak. Dus elke lijn in M overdekt hoogstens één punt uit X. Dus X M. Bovendien X M voor elke vertex cover X en matching M. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

32 Vertex covers in niet-bipartiete grafen τ(g) := de cardinaliteit van een kleinste vertex cover in G. Stelling Er is een algoritme met looptijd O( E ) dat, gegeven een graaf G = (V, E), een vertex cover van G vindt met cardinaliteit hoogstens 2τ(G). Definitie Een matching M in een graaf G = (V, E) is een maximale matching als er geen matching M M bestaat van G. Lemma Laat G = (V, E) een graaf zijn en M een maximale matching van G. Laat K de verzameling zijn van punten die overdekt worden door M. (i) Dan is K een vertex cover en (ii) K 2τ(G). Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

33 Voorbeeld Vind een maximale matching en een bijbehorende vertex cover van de Petersen graaf. Vraag Wat is de minimale cardinaliteit van een vertex cover in deze graaf? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

34 Voorbeeld Vind een maximale matching en een bijbehorende vertex cover van de ster graaf. Vraag Wat is de minimale cardinaliteit van een vertex cover in deze graaf? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 10 maart / 34

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor

Nadere informatie

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 20 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe

Nadere informatie

Netwerkstroming. Algoritmiek

Netwerkstroming. Algoritmiek Netwerkstroming Netwerkstroming Toepassingen in Logistiek Video-streaming Subroutine in algoritmen 2 Vandaag Netwerkstroming: wat was dat ook alweer? Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 14 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september 2016 1 / 30 Modelleren van LP en ILP problemen

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren

Nadere informatie

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2006 2007, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Verzamelingen:

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 september 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 september 2015 1 / 23 Huiswerk Huiswerk 1 is beschikbaar op

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur.

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur. Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, 13.30-16.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd

Nadere informatie

Workshop DisWis, De Start 13/06/2007 Bladzijde 1 van 7. Sudoku. Sudoku

Workshop DisWis, De Start 13/06/2007 Bladzijde 1 van 7. Sudoku. Sudoku DisWis DisWis is een lessenserie discrete wiskunde die De Praktijk vorig jaar in samenwerking met prof.dr. Alexander Schrijver heeft opgezet. Gedurende vier weken komt een wiskundestudent twee blokuren

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30

Nadere informatie

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden.

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden. Antwoorden Doeboek 4 Grafen.. De middelste en de rechtergraaf.. Een onsamenhangende graaf met vijf punten en vijf lijnen: Teken een vierhoek met één diagonaal. Het vijfde punt is niet verbonden met een

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Tiende college algoritmiek 13/1 april 017 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten

Nadere informatie

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen. WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie

Nadere informatie

De huwelijksstelling van Hall

De huwelijksstelling van Hall Thema Discrete wiskunde In de vorige twee afleveringen heb je al kennis kunnen maken met het begrip graaf en hoe grafen worden gebruikt door Google s zoekmachine en door de NS bij het maken van een optimale

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

Lijst-kleuringen in de grafentheorie

Lijst-kleuringen in de grafentheorie Lijst-kleuringen in de grafentheorie Berrie Bottelier 16 juli 2014 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Guus Regts 4 5 6 1 2 3 Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,

Nadere informatie

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen

Nadere informatie

Netwerkstroming. Algoritmiek

Netwerkstroming. Algoritmiek Netwerkstroming Vandaag Netwerkstroming: definitie en toepassing Het rest-netwerk Verbeterende paden Ford-Fulkerson algoritme Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp Toepassing: koppelingen

Nadere informatie

Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB136) Uitwerkingen proeftentamen.

Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB136) Uitwerkingen proeftentamen. Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB6) Uitwerkingen proeftentamen. Docent: Rob H. Bisseling april 202. Begin met een matching M = {x y, x y, x 6 y 6 } aangegeven door de vette lijnen. x De

Nadere informatie

Grafen deel 2 8/9. Zesde college

Grafen deel 2 8/9. Zesde college Grafen deel 2 8/9 Zesde college 1 Een Eulercircuit is een gesloten wandeling die elke lijn precies één keer bevat. traversable trail all edges distinct 8.5 rondwandeling zeven bruggenprobleem van Köningsbergen

Nadere informatie

Kortste Paden. Algoritmiek

Kortste Paden. Algoritmiek Kortste Paden Toepassingen Kevin Bacon getal Six degrees of separation Heeft een netwerk de small-world eigenschap? TomTom / Google Maps 2 Kortste paden Gerichte graaf G=(N,A), en een lengte L(v,w) voor

Nadere informatie

1.2 Bomen Algemeen 1.2. BOMEN 7

1.2 Bomen Algemeen 1.2. BOMEN 7 1.2. BOMEN 7 1.2 Bomen 1.2.1 Algemeen Beschouw eerst een niet-gerichte graaf. Een boom is een samenhangende graaf die geen kringen bevat. Een boom wordt meestal genoteerd met de letter T (tree). Een bos

Nadere informatie

Tentamen IN3105. Complexiteitstheorie. 16 april 2012, uur

Tentamen IN3105. Complexiteitstheorie. 16 april 2012, uur Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Ti Delft Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 16 april 2012, 9.00-12.00 uur Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen

Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen Algoritmiek 01/10 College 10 Tiende college algoritmiek april 01 Gretige algoritmen 1 Algoritmiek 01/10 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, uur.

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, uur. Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, 14.30-17.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd

Nadere informatie

Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings)

Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings) Verslag ten behoeve van het

Nadere informatie

Chinese postbodeprobleem

Chinese postbodeprobleem Chinese postbodeprobleem Dorthe Van Waarden 9 juli 2010 Eindverslag Bachelorproject Begeleiding: dr. Marcel van de Vel KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden

Nadere informatie

Hoofdstuk!7!Kortste!paden!

Hoofdstuk!7!Kortste!paden! oofdstukkortstepaden oofdstukkortstepaden In een gewogen graaf is men soms geïnteresseerd in het kortste pad tussen twee punten: dat is een pad, waarbij de som van de gewichten zo klein mogelijk is..inleiding

Nadere informatie

(On)Doenlijke problemen

(On)Doenlijke problemen Fundamentele Informatica In3 005 Deel 2 College 1 Cees Witteveen Parallelle en Gedistribueerde Systemen Faculteit Informatie Technologie en Systemen Overzicht Inleiding - Relatie Deel 1 en Deel 2 - Doenlijke

Nadere informatie

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken). 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten

Nadere informatie

Grafen: Kleuren en Routeren

Grafen: Kleuren en Routeren Grafen: Kleuren en Routeren door Alexander Schrijver. Inleiding Grafen.. Wat zijn grafen?.. Graden en reguliere grafen 5.. Volledige grafen 8.. Volledig bipartiete grafen 8.5. Complement 9.6. De lijngraaf

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,

Nadere informatie

Het Chromatische Polynoom. N.C. A Campo

Het Chromatische Polynoom. N.C. A Campo Het Chromatische Polynoom N.C. A Campo 1 juli 01 Hoofdstuk 1 Inleiding Stel de universiteit wilt nog meer maatregelen zodat men sneller gaat studeren en vraagt de netwerkbeheerder om het sociale media

Nadere informatie

Notatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren

Notatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren Overzicht TI1300: Redeneren en Logica College 10: Verzamelingenleer Tomas Klos Algoritmiek Groep Colleges 1 2: Bewijstechnieken Colleges 3 9: Propositielogica Vandaag en morgen: Verzamelingenleer Colleges

Nadere informatie

Radboud Universiteit Nijmegen

Radboud Universiteit Nijmegen Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Kubische grafen met integraal spectrum Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Tweede lezer: Daan van Rozendaal

Nadere informatie

Oefeningen Discrete Wiskunde - Hoofdstuk 6 - Peter Vandendriessche Fouten, opmerkingen of alternatieve methodes? me:

Oefeningen Discrete Wiskunde - Hoofdstuk 6 - Peter Vandendriessche Fouten, opmerkingen of alternatieve methodes?  me: Oefeningen Discrete Wiskunde - Hoofdstuk 6 - Peter Vandendriessche Fouten, opmerkingen of alternatieve methodes? Email me: peter.vdd@telenet.be 1. Het aantal knoop-tak overgangen is altijd even. De totaalsom

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Grafen: Kleuren en Routeren

Grafen: Kleuren en Routeren Grafen: Kleuren en Routeren door Alexander Schrijver. Inleiding Grafen.. Wat zijn grafen?.. Graden en reguliere grafen 5.. Volledige grafen 8.. Volledig bipartiete grafen 8.5. Complement 9.6. De lijngraaf

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet

Nadere informatie

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde Een miljoen dollar verdienen in de kerstvakantie? Het enige dat u hoeft te doen, is een polynomiaal algoritme te vinden om een sudoku mee op te lossen. Niels Oosterling schetst waar u dan rekening mee

Nadere informatie

Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders!

Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! Grafen Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! 1. Inleiding Een (ongerichte) graaf (graph) G = (V, E) bestaat uit een eindige, nietlege verzameling V van punten (vertices),

Nadere informatie

Oefententamen in2505-i Algoritmiek

Oefententamen in2505-i Algoritmiek TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Oefententamen in2505-i Algoritmiek Maart 2007 Het gebruik van boek of aantekeningen tijdens dit tentamen is niet toegestaan.

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties

Nadere informatie

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur

Nadere informatie

Lijstkleuring van grafen

Lijstkleuring van grafen C.J. Meerman Lijstkleuring van grafen Bachelorscriptie 10 juni 2010 Email: cjmeerman@gmail.com Scriptiebegeleider: Dr. D. C. Gijswijt Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding

Nadere informatie

Fundamentele Informatica

Fundamentele Informatica Fundamentele Informatica (IN3120 en IN3005 DOI nwe stijl) 20 augustus 2004, 9.00 11.00 uur Het tentamen IN3120 bestaat uit 10 meerkeuzevragen en 2 open vragen. Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal 65

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke

Nadere informatie

NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi

NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi NP-Volledigheid Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen Gezien: selectie [O(n)], DFS [O(n + m)], MaxFlow [O nm n + m ], MST [O(n + m)], etc De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is

Nadere informatie

b) Niet geldig. Zij π(n)(p) = 1 als n is even, anders π(n)(p) = 0. Schrijf

b) Niet geldig. Zij π(n)(p) = 1 als n is even, anders π(n)(p) = 0. Schrijf opgave 2.1 a) Geldig. Zij n N en π een willekeurige valuatie. Schrijf T = (N, π). Stel, T, n p. Dan bestaat m > n zodat T, m p. Dus voor k > m geldt altijd T, k p. Nu geldt T, n p, want voor alle x > n

Nadere informatie

Locatie 1 Locatie 2 Locatie 3 Locatie 4 Park 1 90 75 75 80 Park 2 35 85 55 65 Park 3 125 95 90 105 Park 4 45 110 95 115.

Locatie 1 Locatie 2 Locatie 3 Locatie 4 Park 1 90 75 75 80 Park 2 35 85 55 65 Park 3 125 95 90 105 Park 4 45 110 95 115. P1 P2 P3 P4 90 35 115 L1 L2 L3 L4 Park 1 90 75 75 80 Park 2 35 85 55 65 Park 3 125 95 90 105 Park 4 45 110 95 115 Wiskunde D Keuzevak beslissen onderdeel: koppelen versie 4 vrijdag 16 november 2007 Samenstelling

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke

Nadere informatie

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 4. Grafen. Introductie 45. Leerkern 47. Samenvatting 75 Zelftoets 76

Inhoud leereenheid 4. Grafen. Introductie 45. Leerkern 47. Samenvatting 75 Zelftoets 76 Inhoud leereenheid 4 Grafen Introductie 45 Leerkern 47 4.1 Enkele grafische structuren 47 4.2 Wat is een graaf? 49 4.3 De verbindingsmatrix en een algemener graafbegrip 54 4.4 Wandelen in een graaf 58

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid

Nadere informatie

Activiteit 9. Modderstad Minimaal Opspannende Bomen. Samenvatting. Kerndoelen. Leeftijd. Vaardigheden. Materialen

Activiteit 9. Modderstad Minimaal Opspannende Bomen. Samenvatting. Kerndoelen. Leeftijd. Vaardigheden. Materialen Activiteit 9 Modderstad Minimaal Opspannende Bomen Samenvatting Onze maatschappij is verbonden middels heel veel netwerken: telefoonnet, elektriciteitsnet, de riolering, computernetwerk, en het wegennet.

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Tiende college algoritmiek 14 april 2016 Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS 1 Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Houtzaagmolen

Nadere informatie

De regels van het spel

De regels van het spel Het bordspel hex De regels van het spel I Er zijn twee spelers, die om beurten een steen in één van de lege zeshoekjes plaatsen; De regels van het spel I Er zijn twee spelers, die om beurten een steen

Nadere informatie

IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017

IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017 IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Gegeven is cirkel ω met middellijn AK. Punt M ligt binnen de cirkel, niet op lijn AK. De lijn AM snijdt

Nadere informatie

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6.

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6. Overzicht 1. Definities 2. Basisalgoritme 3. Label setting methoden 4. Label correcting methoden 5. Ondergrenzen 6. Resultaten Kortste Pad Probleem 1 Definities Een graaf G = (V, E) bestaat uit een verzameling

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2

Nadere informatie

2 beslissen in netwerken. Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken. versie 4 vrijdag 16 november 2007

2 beslissen in netwerken. Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken. versie 4 vrijdag 16 november 2007 eslissen beslissen in netwerken Wiskunde Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken versie vrijdag november 00 Samenstelling Jan ssers ism Kerngroep Wiskunde indhoven ontys voorkennis: optimaliseren.

Nadere informatie

Drie problemen voor de prijs van één

Drie problemen voor de prijs van één Drie problemen voor de prijs van één Of: één probleem voor de prijs van drie K. P. Hart Faculty EEMCS TU Delft Delft, 30 oktober, 2012: 10:15 10:45 Eenvoudig begin Opgave Bewijs dat voor m, n N het volgende

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound Algoritmiek 011/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 april 011 Dijkstra en Branch & Bound 1 Algoritmiek 011/11 Kortste paden Gegeven een graaf G met gewichten op de takken, en een beginknoop s. We

Nadere informatie

Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema

Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede kandidatuur Informatica Academiejaar 2004 2005, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Binomiale

Nadere informatie

Uitwerkingen Sum of Us

Uitwerkingen Sum of Us Instant Insanity Uitwerkingen Sum of Us Opgave A: - Opgave B: Voor elk van de vier kubussen kun je een graaf maken die correspondeert met de desbetreffende kubus. Elk van deze grafen bevat drie lijnen.

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Afspraken en notaties

Hoofdstuk 1. Afspraken en notaties Hoofdstuk 1 Afspraken en notaties In deze tekst onderzoeken we een eenvoudig dobbelspel: twee spelers hebben een dobbelsteen, gooien deze, en wie het hoogst aantal ogen gooit wint. Er blijken setjes dobbelstenen

Nadere informatie

Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle  holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/29764 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Takes, Frank Willem Title: Algorithms for analyzing and mining real-world graphs

Nadere informatie

Deeltentamen 1 sociale netwerk analyse

Deeltentamen 1 sociale netwerk analyse Deeltentamen 1 sociale netwerk analyse Voor dit tentamen krijg je maximaal 2 uur. Als je eerder klaar bent, ga dan stil weg en lever je antwoordenvel, kladpapier en tentamenvragen bij de examinator in.

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie

Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Tentamen: Convexe Analyse en Optimalisering Opleiding: Bacheloropleiding Econometrie Vakcode: 64200 Datum:

Nadere informatie

Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie

Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Tentamen: Convexe Analyse en Optimalisering Opleiding: Bacheloropleiding Econometrie Vakcode: 64200 Datum:

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:

Nadere informatie

TENTAMEN Basismodellen in de Informatica VOORBEELDUITWERKING

TENTAMEN Basismodellen in de Informatica VOORBEELDUITWERKING TENTAMEN Basismodellen in de Informatica vakcode: 211180 datum: 2 juli 2009 tijd: 9:00 12:30 uur VOORBEELDUITWERKING Algemeen Bij dit tentamen mag gebruik worden gemaakt van het boek van Sudkamp, van de

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

Stabiele Koppelingen

Stabiele Koppelingen Laura Brandwacht Stabiele Koppelingen Bachelorscriptie, 9 juni 2010 Scriptiebegeleider: Dr. D.C. Gijswijt Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave Voorwoord 3 1 Stabiele Koppelingen 5

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE 2015 Uitwerkingen

WISKUNDE-ESTAFETTE 2015 Uitwerkingen WISKUNDE-ESTAFETTE 2015 Uitwerkingen 1 (20 punten) Omdat de som van a en c deelbaar is door 4 en kleiner is dan 12, is deze som 4 of 8. Daarom zijn a en c ofwel de getallen 1 en 3 ofwel de getallen 3 en

Nadere informatie