Hoofdstuk 17: Approximation Algorithms

Transcriptie

1 Hoofdstuk 17: Approximation Algorithms

2 Overzicht: Vorige week: Π NP-volledig Π waarschijnlijk niet polynomiaal oplosbaar 2 opties: 1 Optimaal oplossen, niet in polynomiale tijd (B&B, Cutting planes) 2 Benaderen Polynomiaal met kwaliteitsgarantie: Approximatiealgoritme Anders, bijv Local search, heuristieken 3 december

3 Approximatiealgoritme Definitie: Een algoritme A is een ρ-approximatiealgoritme voor probleem Π als A voor iedere toegelaten instantie I van Π in polynomiale tijd een oplossing produceert van waarde z A (I ) zdd: z A (I ) ρ z OPT (I ) (minimalisatie) z A (I ) ρ z OPT (I ) (maximalisatie) 3 december

4 Approximatiealgoritme Definitie: Een algoritme A is een ρ-approximatiealgoritme voor probleem Π als A voor iedere toegelaten instantie I van Π in polynomiale tijd een oplossing produceert van waarde z A (I ) zdd: z A (I ) ρ z OPT (I ) (minimalisatie) z A (I ) ρ z OPT (I ) (maximalisatie) ρ is de prestatiegarantie ρ 1 voor minimalisatie ρ 1 voor maximalisatie 3 december

5 Approximatiealgoritme Definitie: Een algoritme A is een ρ-approximatiealgoritme voor probleem Π als A voor iedere toegelaten instantie I van Π in polynomiale tijd een oplossing produceert van waarde z A (I ) zdd: z A (I ) ρ z OPT (I ) (minimalisatie) z A (I ) ρ z OPT (I ) (maximalisatie) ρ is de prestatiegarantie ρ 1 voor minimalisatie ρ 1 voor maximalisatie ρ = 1 Π P 3 december

6 Approximatiealgoritme 3 stappen om te bewijzen dat algoritme approximatiealgoritme is: 1 Heeft het algoritme polynomiale rekentijd? 2 Retourneert het algoritme een toegelaten oplossing? 3 Wat is de prestatiegarantie van het algoritme? 3 december

7 VERTEX COVER - Algoritme 1 Input: Een graaf G = (V, E) Output: Een Vertex Cover Initialisatie: V := V, E := E, C := ; while E do kies v V met hoogste graad; V := V \{v}; C := C {v}; E := E \{alle kanten grenzend aan v}; end return C 3 december

8 VERTEX COVER - Algoritme 1 Input: Een graaf G = (V, E) Output: Een Vertex Cover Initialisatie: V := V, E := E, C := ; while E do kies v V met hoogste graad; V := V \{v}; C := C {v}; E := E \{alle kanten grenzend aan v}; end return C ρ ln( V ) 3 december

9 VERTEX COVER - algoritme 2 Input: Een graaf G = (V, E) Output: Een Vertex Cover Initialisatie: E := E, C := ; while E do kies een {u, v} E willekeurig; C := C {u} {v}; E := E \{alle kanten grenzend aan u of v}; end return C 3 december

10 VERTEX COVER - algoritme 2 Input: Een graaf G = (V, E) Output: Een Vertex Cover Initialisatie: E := E, C := ; while E do kies een {u, v} E willekeurig; C := C {u} {v}; E := E \{alle kanten grenzend aan u of v}; end return C Stelling: Algoritme 2 is een 2-approximatiealgoritme voor VERTEX COVER 3 december

11 VERTEX COVER - algoritme 3 Kunnen we de LP-relaxatie gebruiken om een approximatiealgoritme te vinden? 3 december

12 VERTEX COVER - algoritme 3 Kunnen we de LP-relaxatie gebruiken om een approximatiealgoritme te vinden? Input: Een graaf G = (V, E) Output: Een Vertex Cover Step 1: Los LP-relaxatie op x LP, z LP; Step 2: C := {v V : x v 1 2 }; return C 3 december

13 VERTEX COVER - algoritme 3 Kunnen we de LP-relaxatie gebruiken om een approximatiealgoritme te vinden? Input: Een graaf G = (V, E) Output: Een Vertex Cover Step 1: Los LP-relaxatie op x LP, z LP; Step 2: C := {v V : x v 1 2 }; return C Stelling: Het Afrond-algoritme is een 2-approximatiealgoritme 3 december

14 Symmetrisch TSP Stelling: Er bestaat geen ρ-approximatiealgoritme voor TSP voor enige ρ > 1, tenzij P = NP. 3 december

15 Symmetrisch TSP Stelling: Er bestaat geen ρ-approximatiealgoritme voor TSP voor enige ρ > 1, tenzij P = NP. Bestaat er voor speciale gevallen van TSP wel een approximatiealgoritme? 3 december

16 Metric TSP Definitie: Een afstandenmatrix [d ij ] voldoet aan de driehoeksongelijkheid als d ik d ij + d jk i, j, k Definitie: Het probleem TSP is de versie van TSP waarbij de afstandenmatrix moet voldoen aan de driehoeksongelijkheid. Opmerking: Ook TSP is NP-volledig 3 december

17 Euleriaanse graaf Definitie: Een multigraaf is een graaf waarin repetities van kanten zijn toegestaan. Definitie: Een multigraaf is Euleriaans als er een gesloten wandeling bestaat in de graaf waarbij elke knoop tenminste één keer voorkomt en elke kant precies één keer voorkomt. 3 december

18 Euleriaanse graaf Stelling (1736): Een multigraaf G=(V,E) is Euleriaans dan en slechts dan als (i) G samenhangend is (ii) De graad van elke knoop v V even is. 3 december

19 TSP - boomalgoritme Input: Een graaf G = (V, E) en een symmetrische afstandsmatrix [d ij ] die voldoet aan driehoeksongelijkheid Output: Een TSP-tour in de graaf G Step 1: Bepaal kortste opspannende boom G T = (V, T ) in G; Step 2: Verdubbel kanten in T multigraaf met even graad voor elke knoop; Step 3: Bepaal een Euleriaanse wandeling in de multigraaf. Shortcut al bezochte knopen; return Gevonden wandeling 3 december

20 TSP - boomalgoritme Input: Een graaf G = (V, E) en een symmetrische afstandsmatrix [d ij ] die voldoet aan driehoeksongelijkheid Output: Een TSP-tour in de graaf G Step 1: Bepaal kortste opspannende boom G T = (V, T ) in G; Step 2: Verdubbel kanten in T multigraaf met even graad voor elke knoop; Step 3: Bepaal een Euleriaanse wandeling in de multigraaf. Shortcut al bezochte knopen; return Gevonden wandeling Stelling: Het boomalgoritme is een 2-approximatiealgoritme voor TSP 3 december

21 Volgende week: Samenvatting Specifieke aandacht voor een onderwerp? Stuur even een mail 3 december