Fundamentele Informatica

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Fundamentele Informatica"

Transcriptie

1 Fundamentele Informatica (IN3120 en IN3005 DOI nwe stijl) 20 augustus 2004, uur Het tentamen IN3120 bestaat uit 10 meerkeuzevragen en 2 open vragen. Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal 65 punten behalen, voor de open vragen maximaal 35 punten. Notationele conventies: A B betekent dat er een polynomiale-tijd reductie van A naar B bestaat. A c is het complement van het probleem A. Er wordt steeds vanuit gegaan, dat P NP en NP co-np, tenzij uitdrukkelijk het tegendeel wordt vermeld. Meerkeuzevragen Nb per vraag kunnen 0 tot 4 alternatieven juist zijn Vraag 1. Het SIMPELE SURVEILLANCE probleem bestaat uit een verzameling L van n locaties v i, i =1,...,n, een tijdmatrix T = [t ij ] nxn waarin t ij de tijd in gehele minuten is die het kost om vanuit locatie v i de locatie v j te bereiken, en een positieve integer B. Het probleem is na te gaan of er een surveillanceschema bestaat voor de locaties in L, zodat elke locatie v i uit L bezocht wordt en er volgens het surveillanceschema nooit meer dan B minuten verstrijken tussen twee opeenvolgende bezoeken van v i. Het inspecteren van een locatie tijdens de surveillance kost 1 minuut per locatie. Voor dit probleem geldt dat a. (L, T, B) een yes-instantie is dan en slechts dan als (L, D, B-n+1) een yesinstantie is van het TSP-probleem, waarin D=T de afstandenmatrix tussen de locaties is. b. in tegenstelling tot het TSP-probleem, dit probleem in polynomiale tijd oplosbaar is. c. dit probleem een NP-probleem is. d. het probleem oplosbaar is in polynomiale tijd als de matrix T positieve gehele getallen t ij bevat die kleiner dan of gelijk zijn aan 2. Antwoord: a. en c. zijn juist: om een tijd tussen twee opeenvolgende bezoeken te realiseren voor alle locaties die niet groter is dan B moet voor elke locatie v gelden dat de (totaal verstreken tijd voor een tsp tour langs alle locaties) + (n-1 inspectie minuten voor de overige locaties) B. Dit is alleen te realiseren als (L,D,B-n+1) een yes-instantie van TSP is. Alternatief c. is natuurlijk juist, omdat de oplossing (het bestaan van zo n surveillance tour) in polynomiale tijd kan worden geverifieerd. Alternatief d. is niet juist: Ook TSP-instanties met alleen afstanden in {1,2} vormen een NP-compleet probleem. Daarmee is tevens alternatief b. beantwoord.

2 Vraag 2. Neem de volgende twee problemen: i. Gegeven een graaf G=(V, E), heeft G een vertex cover ter grootte van V -1? ii. Gegeven een graaf G=(V, E), heeft G een vertex cover ter grootte van V /2? Er geldt: a. i. en ii. zijn NP-volledig problemen. b. i. heeft een polynomiaal algoritme. c. het VERTEX COVER probleem is polynomiale-tijd reduceerbaar naar het probleem ii. d. i. is polynomiale-tijd reduceerbaar naar ii. Antwoord Alternatief b., c. en d. zijn juist. Voor probleem i. bestaat immers een polynomiaal algoritme: test alle V mogelijke deelverzamelingen ter grootte van V -1 van V of zij een vertex cover vormen. Alternatief a. is hiermee als onjuist afgedaan. Probleem ii. is NP-compleet: eenzelfde constructie als voor HALF-CLIQUE (college) volstaat om dit aan te tonen. Hieruit volgt dan de juistheid van c. Alternatief d. is juist, omdat alle problemen in NP reduceerbaar zijn naar een NPC-probleem. Vraag 3. Neem de klassen NP NP, NP co-np en co-np NP. Er geldt: a. Al deze klassen zijn identiek. b. De klasse NP NP is gelijk aan de klasse NP co-np. c. Alle drie de klassen omvatten de klasse NP. d. de klasse co-np NP omvat de klassen NP NP en NP co-np. Antwoord Alternatief b. en c. zijn juist. Omdat in NP NP, NP co-np gebruik wordt gemaakt van turingreducties, zijn deze klassen niet onderscheidbaar. Vanzelfsprekend omvatten zij de klasse NP. Ook de klasse co-np NP omvat de klasse NP: de eerste klasse omvat immers P NP. Deze laatste klasse omvat natuurlijk ook de klasse NP. Omdat NP NP, alle problemen bevat die complement zijn van NP co-np problemen zijn deze klassen ongelijk, (tenzij de polynomiale hierarchie in elkaar stort op het tweede niveau) Vraag 4. Er zijn 3 beslissingsproblemen A, B en C. Het probleem A is een co-np probleem, B is een NP-probleem en C is een NP-hard probleem. Er geldt nu a. Als A C, dan geldt NP = co-np. b. Als C A, dan geldt P = NP. c. A B of B A. d. B C. Antwoord Alternatief a. is onjuist, want A kan bv. een P-probleem zijn. Alternatief b. is ook onjuist: alleen NP = co-np zou kunnen volgen als C A. Ook alternatief c. is onwaar: neem maar eens voor A een probleem zonder yesinstanties en B een probleem zonder no-instanties. Alternatief d. is juist.

3 Vraag 5. We noemen een optimaliseringsprobleem A ε-benaderbaar als A een approximatiedrempel heeft die kleiner of gelijk is aan ε>0. Dan geldt: a. Er bestaat minstens één NPO-probleem dat niet 1-benaderbaar is. b. Alle APX-problemen zijn ε-benaderbaar voor elke 0 < ε 1. c. Alle FPTAS-problemen zijn benaderbaar voor elke 0 < ε 1. d. Als een NPO-probleem 1-benaderbaar is, dan ligt het in de klasse PTAS. Antwoord Alternatief a. is juist, want APX NPO. Alternatief b. is onjuist. Alternatief c. is juist en alternatief d. is onjuist. Vraag 6. Het probleem om, gegeven een ongerichte graaf G = (V, E) en een positieve integer K, te bepalen of G geen unieke clique heeft ter grootte van K, (dwz. er bestaat geen clique ter grootte van K of er bestaat meer dan een clique ter grootte van K ) is een probleem in a. NP b. co-np c. P NP d. NP co-np Antwoord Alternatief c. is juist: raadpleeg eerst een NP-orakel om na te gaan of G een clique ter grootte van K bevat; als het antwoord nee is geef dan ja als output; anders als er zo n clique bestaat, construeer dan met de zelf-reduceerbaarheidsconstructie (met een aantal NP-orakel aanroepen) een clique C; voor zo n clique C bepaal je nu voor alle knopen v in C de graaf G(v) die ontstaat door een knoop v te isoleren. Voor elke knoop v uit C ga je vervolgens na of G(v) een clique ter grootte van K bevat (NP-orakel aanroep); als er zo n v bestaat waarvoor G(v) een clique ter groote van K heeft, dan heeft G tenminste een andere clique dan C ter grootte van K (immers v kan er niet in voorkomen) en is C derhalve niet uniek; in het andere geval is C uniek. De overige alternatieven zijn niet juist. Vraag 7. Het TAUTOLOGIE probleem is het volgende probleem: Gegeven een satisfiability instantie (U,C) bestaat er geen enkele waarheidstoekenning τ : U {0,1} die een clause uit C onwaar maakt? Dit probleem is a. oplosbaar in polynomiale tijd. b. een NP-compleet probleem. c. een co-np-compleet probleem. d. een probleem in NP co-np. Antwoord Alternatief a. en d. zijn juist. Je kunt checken of zo n waarheidstoekenning bestaat door na te gaan of voor alle clauses geldt dat zij een literal x en zijn ontkenning x bevatten. Alleen als dat zo is, bestaat zo n waarheidstoekenning niet, in alle overige gevallen wel. Omdat het probleem in P is, is d. ook juist.

4 Vraag 8. Het BRANDWEERKAZERNE probleem bestaat uit een graaf G=(V, E), een afstand d Z + en een budget B Z +. De vraag is of er een subset V van V (locaties van brandweerkazernes) bestaat met V B, zodat voor geen enkele knoop v uit V de afstand tot alle brandweerkazernes in V groter is dan d, d.w.z. voor iedere knoop v V is er een element v V te vinden zodanig dat er een pad van v naar v in G bestaat ter lengte van hoogstens d. Voor dit probleem geldt het volgende: a. instanties van dit probleem met d 1 zijn in polynomiale tijd oplosbaar; b. instanties van dit probleem met d = V zijn in polynomiale tijd oplosbaar; c. instanties van dit probleem met d=1 zijn vertex cover instanties; d. instanties van dit probleem met B 3 zijn in polynomiale tijd oplosbaar. Antwoord Alternatief a. is niet juist: dit zijn precies alle vertex-cover instanties; alternatief c. is dus ook juist. Alternatief b. is juist: je kunt voor alle paren van knopen (v,w) de lengte van het kortste pad tussen v en w bepalen. Deze lengte is ofwel of < V. Beschouw nu een willekeurige opsomming (v 1, v 2,..., v n ) van de knopen in V en beschouw ze alle als vrij. Zolang B > 0 is, wijs je een brandweer aan de eerste vrije knoop toe, schrap je alle locaties die op afstand < V van deze locatie liggen, en verlaag je B met 1. Als alle locaties geschrapt zijn heb je een ja-instantie, anders een nee-instantie. Alternatief d. is juist: er zijn in totaal O( V 3 ) verzamelingen van drie locaties te checken; zo n check kan in polynomiale tijd plaatsvinden. Vraag 9. Als A een probleem in (NP co-np) P is, dan geldt dat a. A geen polynomiaal algoritme heeft. b. yes-instanties of no-instanties van A polynomiaal verifieerbaar zijn. c. A geen P probleem is, tenzij NP = co-np. d. voor elk (co)-np probleem B geldt B A. Antwoord Alternatief a. is per definitie juist. Alternatief b. is ook juist. Alternatief c. is niet juist: NP = co-np impliceert niet P = NP. Alternatief d. is ook niet juist, omdat A geen co-np-compleet probleem hoeft te zijn. Vraag 10. Laat A r B betekenen dat er een reductie van een beslissingsprobleem A naar een beslissingsprobleem B bestaat waarbij de tijd die de reductie kost verwaarloosd mag worden. Dan geldt dat: a. voor iedere A NP is er een B P zodat A r B. b. NP is naar beneden gesloten onder r. c. ieder probleem in EXP is r -reduceerbaar tot een NP-probleem. d. Elk NP-probleem is r -reduceerbaar tot ieder ander NP-probleem. Antwoord Alternatief a. is juist: neem een exponentieel algoritme X A dat A oplost en een willekeurig probleem B dat zowel een ja-instantie B yes als een nee-instanties B no bevat. Construeer nu een reductie f als volgt: als X A (I) = yes dan een f(i) = B yes anders f(i) = B no. Alternatief b. is niet juist: er zijn ook EXP-problemen r -reduceerbaar tot een NPprobleem. Alternatief c. is juist; zie de constructie voor a. Alternatief d. is niet juist. NP-problemen met uitsluitend yes-instanties zijn niet reduceerbaar naar NP-problemen met uitsluitend no-instanties.

5 OPEN VRAGEN Vraag A. Het LUIE TOERIST probleem bestaat uit een ongerichte graaf G = (V, E) waarin V een verzameling locaties en E een verzameling kanten, twee positieve integers B en C, een afstandenmatrix D = [d ij ] van afstanden d ij Z + tussen locaties v i en v j in V. Als {u,v} een kant in E is dan is u zichtbaar vanuit v en omgekeerd. De vraag is of er een tour met totale afstand C bestaat langs een subset V van V met V B bestaat, zodat voor alle locaties v in V geldt dat ofwel v zichtbaar is vanuit een locatie in V ofwel v V. a. Welke restricties moeten aan instanties van dit probleem opgelegd worden om instanties van het VERTEX COVER-probleem te krijgen? Antwoord: VERTEX COVER instanties krijg je door d ij = 1 te kiezen voor elk paar knopen v i en v j en C = V te kiezen. b. Welke restricties moeten aan instanties van dit probleem opgelegd worden om instanties van het TSP-probleem te verkrijgen? Antwoord: TSP- instanties krijg je door E = en B = V te kiezen. Vraag B. Een plan P kan worden beschouwd als een geordende verzameling acties die een deelverzameling I R van input resources vereisen om een verzameling O R van output resources te creëren. We zullen zo n plan P dan ook eenvoudig beschouwen als een tuple P = (I, O) waarin I de input resources van P zijn en O de output resources van P. Zo n plan P = (I, O) kan worden uitgevoerd als alle input resources I aanwezig zijn. In dat geval worden alle output resources in O opgeleverd. Het BLOKKERINGS probleem is nu het volgende probleem Gegeven een verzameling van n plannen P j = ( I j, O j ), j = 1,... n, een verzameling R van resources waarvoor voor elke j geldt I j, O j R, een verzameling V R van ongewenste resources en een positieve integer K; Gevraagd bestaat er een verzameling van resources R R met R K, zodat geen enkel plan P j = ( I j, O j ) uitgevoerd kan worden dat een ongewenste resource oplevert, i.e., bestaat er een R met R K, en voor elke j =1,..., n geldt: als V O j dan I j R. a. Laat zien dat dit probleem een NP-probleem is. b. Bewijs dat dit probleem een NP-compleet probleem is; U moet hierbij gebruik maken van een reductie van een van de volgende NPC-problemen: HAMPAD, TSP, SAT, VERTEX COVER, CLIQUE, PARTITION, SUBSETSUM.

6 Antwoord: (Schets): Als je een verzameling R = {r} W kiest zodanig dat r niet in W voorkomt en plannen laat bestaan uit tuples ({w,w }, r) waarbij w en w elementen uit W zijn, dan is het probleem identiek aan het vertex cover probleem. Met andere woorden: dit probleem bevat een deelprobleem dat NP-compleet is. Omdat het totale probleem een NP-probleem is, volgt NPC.

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 31 maart, 9.00 12.00 uur - Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open vragen. - Per meerkeuzevraag kunnen 0 tot 4 alternatieven juist

Nadere informatie

Tentamen IN3105. Complexiteitstheorie. 16 april 2012, uur

Tentamen IN3105. Complexiteitstheorie. 16 april 2012, uur Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Ti Delft Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 16 april 2012, 9.00-12.00 uur Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open

Nadere informatie

Tentamen TI3300 / IN3105 Complexiteitstheorie

Tentamen TI3300 / IN3105 Complexiteitstheorie Tentamen TI3300 / IN3105 Complexiteitstheorie 24 juni 2013, 9.00-12.00 uur - Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open vragen. - Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen

Nadere informatie

(On)Doenlijke problemen

(On)Doenlijke problemen Fundamentele Informatica In3 005 Deel 2 College 1 Cees Witteveen Parallelle en Gedistribueerde Systemen Faculteit Informatie Technologie en Systemen Overzicht Inleiding - Relatie Deel 1 en Deel 2 - Doenlijke

Nadere informatie

NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi

NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi NP-Volledigheid Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen Gezien: selectie [O(n)], DFS [O(n + m)], MaxFlow [O nm n + m ], MST [O(n + m)], etc De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

Onderwerpen Fundamentele Informatica IN 3120

Onderwerpen Fundamentele Informatica IN 3120 Onderwerpen Fundamentele Informatica IN 3120 Probabilistische Turing Machines - Probabilistisch beslissen - de klasse en PP College 7 Cees Witteveen witt@cs.tudelft.nl Quantum Turing Machines - Quantum

Nadere informatie

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem

Nadere informatie

Netwerkstroming. Algoritmiek

Netwerkstroming. Algoritmiek Netwerkstroming Netwerkstroming Toepassingen in Logistiek Video-streaming Subroutine in algoritmen 2 Vandaag Netwerkstroming: wat was dat ook alweer? Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp

Nadere informatie

Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit

Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Vandaag: Hoe meten we de performance van algoritmen? Waar ligt de grens tussen een goed en een slecht algoritme? 22 oktober 2014 1 Vandaag: Hoe meten we de performance

Nadere informatie

Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken

Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken Joost J. Joosten 14 december 2005 Praag en bier Sinds enkele maanden werk ik als post-doc aan de Czech Academy of Sciences in Praag.

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

1 Complexiteit. of benadering en snel

1 Complexiteit. of benadering en snel 1 Complexiteit Het college van vandaag gaat over complexiteit van algoritmes. In het boek hoort hier hoofdstuk 8.1-8.5 bij. Bij complexiteitstheorie is de belangrijkste kernvraag: Hoe goed is een algoritme?

Nadere informatie

Automaten & Complexiteit (X )

Automaten & Complexiteit (X ) Automaten & Complexiteit (X 401049) Inleiding Jeroen Keiren j.j.a.keiren@vu.nl VU University Amsterdam Materiaal Peter Linz An Introduction to Formal Languages and Automata (5th edition) Jones and Bartlett

Nadere informatie

Samenvatting college 1-12

Samenvatting college 1-12 Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur.

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur. Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, 13.30-16.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd

Nadere informatie

Stelling. SAT is NP-compleet.

Stelling. SAT is NP-compleet. Het bewijs van de stelling van Cook Levin zoals gegeven in het boek van Sipser gebruikt niet-deterministische turing machines. Het is inderdaad mogelijk de klasse NP op een alternatieve wijze te definiëren

Nadere informatie

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen. WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Tiende college algoritmiek 13/1 april 017 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten

Nadere informatie

8. Complexiteit van algoritmen:

8. Complexiteit van algoritmen: 8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel 2 8.1 Complexiteit 4 8.2 NP-problemen 6 8.3 De oplossing 7 8.4 Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het

Nadere informatie

TENTAMEN Basismodellen in de Informatica VOORBEELDUITWERKING

TENTAMEN Basismodellen in de Informatica VOORBEELDUITWERKING TENTAMEN Basismodellen in de Informatica vakcode: 211180 datum: 2 juli 2009 tijd: 9:00 12:30 uur VOORBEELDUITWERKING Algemeen Bij dit tentamen mag gebruik worden gemaakt van het boek van Sudkamp, van de

Nadere informatie

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde Een miljoen dollar verdienen in de kerstvakantie? Het enige dat u hoeft te doen, is een polynomiaal algoritme te vinden om een sudoku mee op te lossen. Niels Oosterling schetst waar u dan rekening mee

Nadere informatie

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee

Nadere informatie

Inleiding Programmeren 2

Inleiding Programmeren 2 Inleiding Programmeren 2 Gertjan van Noord November 28, 2016 Stof week 3 nogmaals Zelle hoofdstuk 8 en recursie Brookshear hoofdstuk 5: Algoritmes Datastructuren: tuples Een geheel andere manier om te

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:

Nadere informatie

IN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, uur

IN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4 2628 CD Delft IN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, 14.00-17.00 uur BELANGRIJK Beschikbare

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)

Nadere informatie

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten opgaven formele structuren deterministische eindige automaten Opgave. De taal L over het alfabet {a, b} bestaat uit alle strings die beginnen met aa en eindigen met ab. Geef een reguliere expressie voor

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, uur.

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, uur. Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, 14.30-17.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd

Nadere informatie

De Resolutiemethode (Logica, hoofdstuk 15) Robinson (1965) TI1300 Redeneren en Logica

De Resolutiemethode (Logica, hoofdstuk 15) Robinson (1965) TI1300 Redeneren en Logica De Resolutiemethode (Logica, hoofdstuk 15) Robinson (1965) TI1300 Redeneren en Logica College 7: Resolutie Tomas Klos Algoritmiek Groep De Resolutiemethode De resolutiemethode is een methode waarmee je

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren

Nadere informatie

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten

Nadere informatie

1 Vervangingsstrategie auto

1 Vervangingsstrategie auto Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2002 1 Vervangingsstrategie auto Onderdeel a Zij V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, waarbij knoop i staat voor het einde

Nadere informatie

Spider Solitaire is NP-Compleet

Spider Solitaire is NP-Compleet Spider Solitaire is NP-Compleet Kenneth Verstraete 21 april 2016 1 Inleiding Spider Solitaire is een populair kaartspel dat alleen gespeeld wordt. Het werd/wordt standaard bij o.a. Microsoft Windows meegeleverd.

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie

Nadere informatie

Netwerkstroming. Algoritmiek

Netwerkstroming. Algoritmiek Netwerkstroming Vandaag Netwerkstroming: definitie en toepassing Het rest-netwerk Verbeterende paden Ford-Fulkerson algoritme Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp Toepassing: koppelingen

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden

Nadere informatie

Het minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve

Het minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve 1 (a) In een B-boom van orde m bevat de wortel minimaal 1 sleutel en maximaal m 1 sleutels De andere knopen bevatten minimaal m 1 sleutels en maximaal m 1 sleutels (b) In een B-boom van orde 5 bevat elke

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede kandidatuur Informatica Academiejaar 2004 2005, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Binomiale

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit ( en ) Uitwerkingen

Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit ( en ) Uitwerkingen Universiteit Twente 2009-2010/2 Afdeling Informatica, Faculteit EWI Tentamen dinsdag 19 januari 2010, 8.45-12.15 Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit (214020 en 214025) Uitwerkingen Bij dit tentamen

Nadere informatie

Logica voor Informatica. Propositielogica. Normaalvormen en Semantische tableaux. Mehdi Dastani

Logica voor Informatica. Propositielogica. Normaalvormen en Semantische tableaux. Mehdi Dastani Logica voor Informatica Propositielogica Normaalvormen en Semantische tableaux Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Literals Een literal is een propositieletter, of de

Nadere informatie

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

Oefententamen in2505-i Algoritmiek

Oefententamen in2505-i Algoritmiek TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Oefententamen in2505-i Algoritmiek Maart 2007 Het gebruik van boek of aantekeningen tijdens dit tentamen is niet toegestaan.

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende

Nadere informatie

Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema

Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................

Nadere informatie

Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312

Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Je mag de syllabus en aantekeningen gebruiken, maar geen rekenmachine. Je mag opgaven 2.46, 2.49 en 8.13

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur Technische Universiteit Delft Mekelweg Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 8 CD Delft Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni, 9.. uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 20 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

Radboud Universiteit Nijmegen

Radboud Universiteit Nijmegen Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Kubische grafen met integraal spectrum Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Tweede lezer: Daan van Rozendaal

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug

Nadere informatie

INHOUD MODULE voor WISKUNDE D voor het vwo

INHOUD MODULE voor WISKUNDE D voor het vwo INHOUD MODULE voor WISKUNDE D voor het vwo DISCRETE WISKUNDE Hoofdstuk 1 Minimaal opspannende bomen blz 2 Hoofdstuk 2 Kortste pad (nog toe te voegen) blz 14 Hoofdstuk 3 TSP-probleem blz 15 3.1 Inleiding

Nadere informatie

Twaalfde college algoritmiek. 12 mei Branch & Bound

Twaalfde college algoritmiek. 12 mei Branch & Bound Twaalfde college algoritmiek 12 mei 2016 Branch & Bound 1 Branch and bound -1- Branch & bound is alleen toepasbaar op optimalisatieproblemen genereert oplossingen stap voor stap en houdt de tot dusver

Nadere informatie

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,

Nadere informatie

Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle  holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/29764 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Takes, Frank Willem Title: Algorithms for analyzing and mining real-world graphs

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30

Nadere informatie

Ontwerp van Algoritmen: opgaven weken 3 en 4

Ontwerp van Algoritmen: opgaven weken 3 en 4 0 Ontwerp van Algoritmen: opgaven weken 3 en 4 Voor alle volgende opgaven over programmaatjes geldt de spelregel: formuleer altijd eerst alle bewijsverplichtingen. selectie 45. (tail distribution)(prima

Nadere informatie

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 14 februari Beslissingsbomen

Vierde college complexiteit. 14 februari Beslissingsbomen College 4 Vierde college complexiteit 14 februari 2017 Restant zoeken Beslissingsbomen 1 Binair zoeken Links := 1; Rechts := n; while Links Rechts do Midden := Links + Rechts 2 ; if X = A[Midden] then

Nadere informatie

III.3 Supremum en infimum

III.3 Supremum en infimum III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2006 2007, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Verzamelingen:

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Opgave 1. (4 punten) Inleiding: Vraag: Hints: (maximaal 2 bonuspunten) Tentamen Algoritmiek voor Biologen

Opgave 1. (4 punten) Inleiding: Vraag: Hints: (maximaal 2 bonuspunten) Tentamen Algoritmiek voor Biologen Opgave 1. (4 punten) Elk jaar verliest een boom al z'n bladeren. Een boom begint op dag D met B bladeren. Op de eerste dag is voor elk blad dat aan de boom zit de kans op afvallen 0.03. Voor elke volgende

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Oplossingen Datamining 2II15 Juni 2008

Oplossingen Datamining 2II15 Juni 2008 Oplossingen Datamining II1 Juni 008 1. (Associatieregels) (a) Zijn de volgende beweringen juist of fout? Geef een korte verklaring voor alle juiste beweringen en een tegenvoorbeeld voor alle foute be-weringen:

Nadere informatie

Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4

Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4 Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4 Jonathan K. Vis 1 Inleiding (blz. 70 72) In dit essay behandelen we bladzijden 70 75 van Donald E. Knuth

Nadere informatie

Tweede Huiswerk Security 26 of 28 oktober, 11.00, Nabespreken op Werkcollege.

Tweede Huiswerk Security 26 of 28 oktober, 11.00, Nabespreken op Werkcollege. Tweede Huiswerk Security 26 of 28 oktober, 11.00, Nabespreken op Werkcollege. Kijk het huiswerk van je collega s na en schrijf de namen van de nakijkers linksboven en het totaalcijfer rechts onder de namen

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0 Voorbeeldtentamen Deterministische Modellen in de OR (158075) Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief argumentatie! Gebruik van de rekenmachine is niet toegestaan.

Nadere informatie

Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings)

Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings) Verslag ten behoeve van het

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Tiende college algoritmiek 14 april 2016 Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS 1 Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Houtzaagmolen

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen

Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen Algoritmiek 01/10 College 10 Tiende college algoritmiek april 01 Gretige algoritmen 1 Algoritmiek 01/10 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag

Nadere informatie

Programmeren A. Genetisch Programma voor het Partitie Probleem. begeleiding:

Programmeren A. Genetisch Programma voor het Partitie Probleem. begeleiding: Programmeren A Genetisch Programma voor het Partitie Probleem begeleiding: Inleiding Het Partitie Probleem luidt als volgt: Gegeven een verzameling van n positieve integers, vindt twee disjuncte deelverzamelingen

Nadere informatie

De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden.

De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden. . a) Een Fibonacci boom (niet te verwarren met een Fibonacci queue) van hoogte h is een AVL-boom van hoogte h met zo weinig mogelijk knopen. i. Geefvoorh =,,,,eenfibonacciboomvanhoogteh(eenboombestaande

Nadere informatie

Inleiding logica Inleveropgave 3

Inleiding logica Inleveropgave 3 Inleiding logica Inleveropgave 3 Lientje Maas 30 september 2013 Ik (Rijk) heb verbeteringen in rood vermeld. Deze verbeteringen meegenomen zijn dit correcte uitwerkingen van de derde inleveropgaven. 1

Nadere informatie

Het Steiner boom probleem

Het Steiner boom probleem Het Steiner boom probleem Enkele gangbare algoritmes en heuristieken Roy Visser, BSc. Werkstuk Bedrijfswiskunde en Informatica Vrije Universiteit, Amsterdam Faculteit Exacte Wetenschappen Bedrijfswiskunde

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

-SAMENVATTING- Fundamenten voor de Informatica

-SAMENVATTING- Fundamenten voor de Informatica -SAMENVATTING- Fundamenten voor de Informatica Samenvatting van Hoofdstuk 4.4: Analyse van algoritmen tot Hoofdstuk 5: Netwerkmodellen Maxwell Szymanski Bachelor Informatica KULeuven 2016-2017 Chapter

Nadere informatie

Beslisbare talen (1) IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Beslisbare talen (2) Beslisbare talen (3) De talen: College 7

Beslisbare talen (1) IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Beslisbare talen (2) Beslisbare talen (3) De talen: College 7 Beslisbare talen (1) College 7 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft 10 mei 2009 De talen: A DFA = { M, w M is een DFA die w accepteert} A NFA = { M, w M is een NFA die w accepteert} E DFA = { M M is

Nadere informatie

Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4

Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4 Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4 28 oktober 2016 Vraag 1: Toon aan dat de klasse van context vrije talen gesloten is onder concatenatie en ster. Antwoord Meerdere manieren zijn mogelijk:

Nadere informatie

V.2 Limieten van functies

V.2 Limieten van functies V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de

Nadere informatie

Practicumopgave 3: SAT-solver

Practicumopgave 3: SAT-solver Practicumopgave 3: SAT-solver Modelleren en Programmeren 2015/2016 Deadline: donderdag 7 januari 2016, 23:59 Introductie In het vak Inleiding Logica is onder andere de propositielogica behandeld. Veel

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 11 augustus 2011, uur

Tentamen Inleiding Kansrekening 11 augustus 2011, uur Mathematisch Instituut Niels Bohrweg Universiteit Leiden 2 CA Leiden Delft Tentamen Inleiding Kansrekening augustus 20, 09.00 2.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een evt. grafische) rekenmachine

Nadere informatie

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke

Nadere informatie

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 8 december 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]

Nadere informatie