8. Complexiteit van algoritmen:

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "8. Complexiteit van algoritmen:"

Transcriptie

1 8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel Complexiteit NP-problemen De oplossing Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het duidelijk dat er problemen zijn waarvoor er geen volledig correct antwoord te berekenen is. Met een voorbeeld wordt duidelijk gemaakt dat het verstandig is om eerst de orde van grootte van je probleem te analyseren en pas daarna het algoritme te bedenken. Je maakt kennis met NP-problemen en NP-volledige problemen en hun oplossingen. Voorbeeld: Een gevaarlijk spel In het volgende voorbeeld gaan we een spel spelen met twee sluipwespen. De sluipwespen worden om de beurt in een bakje met twee drosophila poppen gezet. Er wordt gewacht totdat de wesp in het bakje twee eitjes gelegd heeft. Wanneer de wesp haar 2 eitjes gelegd heeft, is de beurt aan de andere sluipwesp. Deze mag ook 2 eitjes leggen. Dit spel gaat door totdat in beide drosophila poppen 5 eitjes gelegd zijn.we nemen aan dat de wespen kunnen waarnemen hoeveel eitjes van haarzelf en hoeveel eitjes van een andere wesp in de pop aanwezig zijn. De wesp die het meeste eitjes in een pop heeft, heeft de grootste kans dat de uiteindelijke wesp die uit de pop ontstaat een kind van

2 Pagina 8-2 haar is en heeft een punt gewonnen. Bij 2 poppen kan een wesp dus met 2-0 winnen of 1-1 gelijk spelen. Stel dat de wespen de namen w1 en w2 krijgen en de drosophila poppen de namen pop1 en pop2. W1 mag met het spel beginnen. Er zou dan een volgend spelverloop kunnen zijn: pop1 pop2 w1 w2 w1 w2 w1 legt 2 eitjes in pop w2 legt 1 eitje in pop1 en 1 eitje in pop w1 legt 1 eitje in pop1 en 1 eitje in pop w2 legt 2 eitjes in pop w1 legt 1 eitje in pop1 en 1 eitje in pop Allebei de poppen zitten nu vol, w1 heeft pop1 gewonnen en w2 heeft pop2 gewonnen de eindstand is dus 1-1. De 5 rijen met cijfers geven de toestand aan waar het spel zich op dat moment in bevindt. Hier zijn slechts 5 toestanden te zien,in totaal zijn er echter veel meer. Om een overzicht te krijgen van het aantal toestanden, is het handig om een spelboom te maken. Hieronder zie je een voorbeeld van zo'n spelboom Wesp Wesp Wesp Wesp 1 Wesp Wesp 1 wint Gelijkspel Wesp 1 wint Spelboom voor het wespenspel Door ruimte gebrek is deze spelboom niet helemaal afgemaakt. De toestanden zijn de knopen van de boom en de getallen die erbij staan (00 00, enz.) zijn weergaven van de stand (net zoals in de tabel). Als je vanuit een knoop naar links gaat dan leg je in pop1 2 eitjes, als je vanuit een knoop de middelste tak neemt dan leg je in pop2 2 eitjes,als je de rechter tak neemt dan legt de wesp 1 eitje in pop1 en 1 eitje in pop2. Er zijn ook knopen die illegale toestanden afbeelden. Dit zijn toestanden die niet voor mogen komen. In zo n geval zouden er meer dan 5 eitjes in een pop gelegd worden. (Zoek ze op en geef ze met een kruis aan).

3 Pagina 8-3 Wanneer je nu wilt weten welke zet je bij een bepaalde toestand moet doen, kan je voor elke mogelijke zet door de spelboom naar beneden wandelen en kijken wat de kans op winst is bij die bepaalde zet.welke zet zou jij b.v. doen wanneer je wesp1 was en de toestand is 22 00? Bij 2 poppen is deze boom nog redelijk te overzien. Het spel kan echter ook met 4 of 5 poppen gespeeld worden. De spelboom zal in die gevallen groter worden. De vraag is echter: Hoe groot worden die bomen? De diepte van de boom is gelijk aan het aantal eieren gedeeld door 2. Als er 2 poppen zijn dan moeten er 10 eieren gelegd worden. Omdat er per beurt 2 eieren gelegd worden, zijn er 10/2 = 5 beurten nodig voordat de poppen vol zijn. De diepte van de spelboom is dus 5. In het algemeen kan je zeggen dat voor n poppen de diepte 5n/2 = 2.5n zal zijn. Het aantal mogelijkheden waarop de wesp haar n eieren kan leggen neemt ook bij het toenemen van het aantal toe. Bij 1 pop kan het maar op 1 manier. Bij 2 poppen kan het op = 3 manieren. Bij 3 poppen kan het op = 6 manieren Bij n poppen kan het op n manieren. Wanneer je alle punten (alle toestanden) wilt berekenen moet je voor elk niveau berekenen hoeveel toestanden er per niveau zijn. Bij n = 2 zijn er op het eerste niveau 3 toestanden, op het tweede niveau zijn er 9, op het derde niveau zijn er 27, op het vierde niveau zijn er 81 en op het vijfde niveau zijn er 243 toestanden; in totaal zijn er dus 363 toestanden (voor het gemak zijn de onmogelijke toestanden meegerekend, het gaat namelijk om de orde van grootte). In het algemeen geldt: (1+2+ +n) n voor n=1 tot 2.5a Waarbij a het aantal poppen voorstelt. Voor a = 2 geldt dus: (1+2) n voor n=1 tot 5 Dit is = 363 toestanden Als we voor een aantal poppen het aantal toestanden berekenen dan komen we tot de volgende tabel: aantal poppen aantal toestanden tijdsduur sec sec minuten x jaar 5 2 x jaar Bij tijdsduur hebben we aangenomen dat de computer ongeveer 0.01 seconde nodig heeft om een toestand te berekenen.

4 Pagina Complexiteit Je ziet dat de tijd die nodig is schrikbarend toeneemt met het aantal poppen. Bij 5 poppen is de oplossing voor het probleem al onuitvoerbaar (ook al zou je een duizend keer zo snelle computer hebben). We spreken in zo n geval van een onhandelbaar probleem. Voor dergelijke problemen is geen redelijk algoritme beschikbaar. Wat verstaan we dan onder een redelijk algoritme? Om te kunnen beoordelen of er voor een probleem een redelijk algoritme mogelijk is moeten we kijken naar de samenhang tussen de omvang van de invoer van een probleem en de hoeveelheid tijd en geheugenruimte die nodig is om een oplossing van het probleem te berekenen. Die twee factoren bepalen de complexiteit van een algoritme. Complexe algoritmen vragen veel van een computer in termen van beschikbaar geheugen en vereiste rekentijd door de centrale processor (CPU). Complexiteit kunnen we beschrijven door te kijken naar het aantal handelingen en/of vergelijkingen dat nodig is om van input naar gewenste output te komen. Daarbij gaat het niet om het precieze aantal handelingen maar om de orde van grootte van het aantal handelingen. Die orde van grootte geven we aan met de hoofdletter O. We spreken daaarom ook wel van de grote-o-notatie. Wanneer we van een probleem zeggen dat het in de klasse O(n) ligt dan betekent dat dat er een lineair verband is tussen de omvang van het probleem, i.e., het aantal te verrichten handelingen of vergelijkingen dat nodig is om de input om te zetten in een oplossing van het probleem, en de hoeveelheid tijd die daar voor nodig is. We onderscheiden verschillende klassen van problemen al naar gelang de relatie tussen omvang en tijd: O(log n) O(n) O(n 2 ) : logaritmisch : lineair O(2 n ) : exponentieel : kwadratisch (i.h.a., polynomiaal) Problemen die tot de eerste drie klassen behoren noemen we handelbaar. Voor dergelijke problemen zijn redelijke algoritmen mogelijk. Zodra de relatie tussen omvang van het probleem en de benodigde rekentijd exponentieel van karakter wordt noemen we het probleem onhandelbaar, en is er geen redelijk algoritme mogelijk. In het algemeen geldt dus dat het asymptotisch gedrag (hoe snel verandert de rekentijd met

5 Pagina 8-5 de grootte van het probleem) bepaalt of een probleem uitvoerbaar is of niet. Een voorbeeld van een handelbaar probleem is bijvoorbeeld het zogenaamd lineair zoeken in een lijst (met namen bijvoorbeeld). Van de lijst is bekend dat er N namen in staan. Het is onbekend of de lijst is geordend, d.w.z. we weten niet van te voren of de namen alfabetisch zijn gerangschikt. We zoeken naar de naam X en we weten zeker dat de naam in de lijst voorkomt. De vraag is nu: hoe complex is dit probleem? Om die vraag te kunnen beantwoorden moeten we ons een idee vormen over hoeveel namen uit de lijst we moeten vergelijken met de naam die we zoeken. We weten dat als de gezochte naam X als eerste op de lijst voorkomt er maar 1 vergelijking nodig is geweest. Staat X op plaats 2 dan zijn er 2 vergelijkingen nodig, en staat X op plaats N dan zijn er N vergelijkingen nodig. Dat wil zeggen dat voor dit probleem in het algemene geval voor het aantal te verrichten handelingen geldt: ( N)/N = 0.5N (N+1)/N = 0.5 (N+1) = O(N) De orde van grootte van het lineaire zoek probleem is dus recht evenredig met de omvang van de lijst waarin we moeten zoeken. We mogen dus verwachten dat er een redelijk algoritme bestaat om dit zoek-probleem op te lossen. Het is zelfs zo dat er een beter algoritme te formuleren is als we iets aan de eigenschappen van de lijst kunnen sleutelen. Een beter algoritme wil in dit geval zeggen dat het een gunstiger relatie tussen probleem-omvang en benodige rekentijd bezit. Om dit te kunnen bereiken is het nodig dat de lijst is gesorteerd, d.w.z. alfabetisch is geordend (om zover te komen met die lijst is op zich zelf natuurlijk ook weer een probleem, een zg. sorteer probleem, waar in de literatuur zeer veel oplossingen voor worden aangereikt). We hebben dus weer een lijst L met N namen waarin we op zoek zijn naar naam X. L is alfabetisch geordend, en X komt voor in L. Hoe complex is dit probleem, m.a.w. hoeveel vergelijkingen zijn er globaal nodig om X te vinden? Herhaal M := middelste element uit L

6 Pagina 8-6 Als X KLEINER DAN M Dan L := bovenste helft van L Anders L := onderste helft van L Eindals Totdat X IS_GELIJK M Eindherhaal Stel dat N = 2 k - 1, en k = 3. N is dan gelijk aan 7 Als X gelijk is aan het middelste element (nummer 4) dan is er 1 vergelijking nodig geweest. Indien dat niet het geval is wordt L gelijk aan of de bovenste of de onderste helft van L (met nog maar drie namen). Indien X gelijk is aan de middelste naam (de tweede) dan zijn er 2 vergelijkingen nodig geweest. Indien niet, dan breken we L weer op in of de bovenste of de onderste helft. Hier zit dan nog maar 1 naam in die per definitie (want we hebben afgesproken dat X in de lijst zit) gelijk moet zijn aan de gezochte naam. Dat wil zeggen dat voor dit probleem in het algemene geval voor het aantal te verrichten handelingen geldt: (1x1 + 2x2 + 4x3 + + (2 k-1 x k))/n = ((k-1)x 2 k +1)/N = (N+1) x (( 2 log(n+1)-1)/n) + 1/N = 2log (N+1) - 1 = O(logN) De logaritme van N is duidelijker kleiner dan N zelf. We hebben om dit probleem op te lossen bij een gelijke omvang van de lijsten dus minder rekentijd nodig dan met het lineaire zoek probleem. 8.2 NP-problemen In het algemeen geldt dus dat de tijd die nodig is om een probleem op te lossen een functie is van de omvang van het probleem. Bij een probleem dat in polynomiale tijd uitvoerbaar is, een P-probleem, hoort een functie waarbij n (aantal) het grondtal is, b.v. f(n) = n of f(n) = n + n 2. Bij een probleem dat niet in een polynomiale tijd te berekenen is, hoort een

7 Pagina 8-7 functie waarbij n in de macht staat, b.v. f(n) = e n of f(n) = n + 4 2n. Een bijzondere klasse van problemen wordt gevormd door gevallen waarvan de status onbekend is. Er bestaan wel algoritmen voor de afzonderlijke gevallen uit deze categorie, maar deze oplossingen zijn geen van alle redelijk. Maar van deze gevallen is daarentegen ook nog niet bewezen dat ze tot de categorie van onhandelbare problemen behoren. Ze zijn in polynomiale tijd te berekenen als we zouden kunnen raden (in plaats van van te voren exact bepalen = determineren) hoe de berekening moet gaan. We noemen een probleem wat tot deze categorie behoort een NP-probleem (NP = Nondeterministisch Polynomiaal). Voorbeelden van NP problemen zijn: Het berekenen van de beste zet bij schaken een lesrooster maken; het bepalen van de kortste weg, als je een gegeven aantal plaatsen moet bezoeken. 8.3 De oplossing Toch willen we voor de NP problemen een oplossing hebben. Dit kan, maar dan moeten we met iets minder tevreden zijn. In veel gevallen kan er namelijk een vuistregel, of een andere truc bedacht worden die [vaak] een goed antwoord geeft. We spreken in zo n geval van een heuristische (heuriskein grieks voor ontdekken ) in plaats van een exacte oplossingsmethode. We noemen een methode heuristisch als het op basis van ervaring of logisch redeneren redelijk aannemelijk te maken is dat die methode een goede oplossing voor een probleem oplevert, echter zonder dat we kunnen garanderen dat die oplossing optimaal is. Er zijn talrijke voorbeelden van dergelijke op ervaring berustende vuistregels. Voor de 3 problemen die we boven noemden zouden we met de volgende compromissen tevreden kunen zijn: Bij schaken wordt maar een aantal zetten vooruit bedacht en worden standaard regels gebruikt. Bij lesroosters wordt een rooster gemaakt waar iedereen mee kan leven, het bevat dan nog tussen-uren en lange dagen.

8 Pagina 8-8 Bij het vinden van de kortste weg worden de eisen iets verzwakt en wordt gezocht naar een acceptabel korte weg. 8.4 Een vuistregel Even terug naar het probleem waar we dit hoofstuk mee begonnen. Bij onze voorstelling van de eileg competitie tussen twee wespen als spel, zou de beste zet berekend kunnen worden door het uitrekenen van de komplete spelboom. Bij 5 poppen zou het berekenen van de beste zet dan jaar in beslag nemen. We kunnen echter ook een vuistregel verzinnen die in de meeste gevallen wel voor winst zorgt. Een voorbeeld van een vuistregel is: 1. Zoek naar poppen met 4 eitjes waarvan er 2 van jezelf zijn en leg er 1 eitje bij. 2. Zoek naar poppen met 3 eitjes waarvan er 1 van jezelf is en leg er 2 eitjes bij. 3. Zoek naar poppen met 1 eitje en leg er 1 eitje bij. 4. Zoek naar een lege pop en leg alle overige eieren. 5. Leg 1 eitje bij poppen met 2 eigen eieren. 6. Leg 1 eitje bij poppen met 2 andere eieren. 7. Leg willekeurig ergens een eitje. Voor alle duidelijkheid: Dit is één vuistregel die uit 7 regels bestaat welke in volgorde van belangrijkheid gerangschikt zijn. Misschien is er een betere vuistregel te vinden, maar deze vuistregel zal het in de praktijk aardig doen. Het grote voordeel van deze vuistregel is de tijdswinst. Bij 5 poppen zijn er 13 speelbeurten. 13 keer moeten er dus (maximaal) 7 regels over 5 poppen toegepast worden. Er moeten dus 13x7x5 = 455 handelingen verricht worden. Stel dat ook dit keer elke handeling 0.01 seconde duurt, dan zou het spel in 4.55 seconden gespeeld zijn.

9 Pagina 8-9 Een ander groot voordeel is de hoeveelheid geheugen die de computer aan moet spreken om het probleem op te lossen. Bij de vuistregel levert dit geen enkel probleem op, terwijl bij het berekenen van een hele spelboom er waarschijnlijk een geheugen probleem ontstaat.

10 Pagina 8-10

1 Complexiteit. of benadering en snel

1 Complexiteit. of benadering en snel 1 Complexiteit Het college van vandaag gaat over complexiteit van algoritmes. In het boek hoort hier hoofdstuk 8.1-8.5 bij. Bij complexiteitstheorie is de belangrijkste kernvraag: Hoe goed is een algoritme?

Nadere informatie

9. Strategieën en oplossingsmethoden

9. Strategieën en oplossingsmethoden 9. Strategieën en oplossingsmethoden In dit hoofdstuk wordt nog even terug gekeken naar alle voorgaande hoofdstukken. We herhalen globaal de structuren en geven enkele richtlijnen voor het ontwerpen van

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen

Nadere informatie

Activiteit 13. De arme cartograaf - kaarten kleuren. Samenvatting. Kerndoelen. Vaardigheden. Leeftijd. Materiaal

Activiteit 13. De arme cartograaf - kaarten kleuren. Samenvatting. Kerndoelen. Vaardigheden. Leeftijd. Materiaal Activiteit 13 De arme cartograaf - kaarten kleuren Samenvatting Veel optimalisatieproblemen hebben te maken met situaties waar bepaalde gebeurtenissen niet op hetzelfde moment mogen of kunnen gebeuren

Nadere informatie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 31 maart, 9.00 12.00 uur - Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open vragen. - Per meerkeuzevraag kunnen 0 tot 4 alternatieven juist

Nadere informatie

Spider Solitaire is NP-Compleet

Spider Solitaire is NP-Compleet Spider Solitaire is NP-Compleet Kenneth Verstraete 21 april 2016 1 Inleiding Spider Solitaire is een populair kaartspel dat alleen gespeeld wordt. Het werd/wordt standaard bij o.a. Microsoft Windows meegeleverd.

Nadere informatie

Een objectief Ranglijst Systeem. ontworpen door. Martien Maas

Een objectief Ranglijst Systeem. ontworpen door. Martien Maas Een objectief Ranglijst Systeem ontworpen door Martien Maas Nijmegen, Nederland, Augustus 2014 1 Eigenschappen van het Ranglijst Systeem: Het Maas Ranglijst Systeem is objectief: op geen enkele manier

Nadere informatie

(On)Doenlijke problemen

(On)Doenlijke problemen Fundamentele Informatica In3 005 Deel 2 College 1 Cees Witteveen Parallelle en Gedistribueerde Systemen Faculteit Informatie Technologie en Systemen Overzicht Inleiding - Relatie Deel 1 en Deel 2 - Doenlijke

Nadere informatie

b) Teken op de bijlage welke lampjes van het klokje branden om 19:45:52. Schrijf eronder hoe je dit bepaald/berekend hebt. (3p)

b) Teken op de bijlage welke lampjes van het klokje branden om 19:45:52. Schrijf eronder hoe je dit bepaald/berekend hebt. (3p) NATUURKUNDE KLAS 4 PW HOOFDSTUK PW HOOFDSTUK 3-23/03/2011 Totaal: 3 opgaven, 29 punten. Gebruik eigen BINAS toegestaan. Opgave 1: binair klokje Er bestaan klokjes die de tijd binair weergeven. Zie figuur

Nadere informatie

Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit

Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Vandaag: Hoe meten we de performance van algoritmen? Waar ligt de grens tussen een goed en een slecht algoritme? 22 oktober 2014 1 Vandaag: Hoe meten we de performance

Nadere informatie

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002 - 0 - WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2 maar en hoe nu verder? 29 november 2002 De Wiskunde B-dag wordt gesponsord door Texas Instruments - 1 - Inleiding Snel machtverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen.

Nadere informatie

ALGORITMIEK. Keuzemodule Wiskunde B/D. Mark de Berg TU Eindhoven

ALGORITMIEK. Keuzemodule Wiskunde B/D. Mark de Berg TU Eindhoven ALGORITMIEK Keuzemodule Wiskunde B/D Mark de Berg TU Eindhoven Voorwoord Algoritmiek is het gebied binnen de informatica dat zich bezig houdt met het ontwerpen en analyseren van algoritmen en datastructuren.

Nadere informatie

Programmeermethoden. Recursie. week 11: november kosterswa/pm/

Programmeermethoden. Recursie. week 11: november kosterswa/pm/ Programmeermethoden Recursie week 11: 21 25 november 2016 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/pm/ 1 Pointers Derde programmeeropgave 1 Het spel Gomoku programmeren we als volgt: week 1: pointerpracticum,

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

Logische Complexiteit Hoorcollege 12

Logische Complexiteit Hoorcollege 12 Logische Complexiteit Hoorcollege 12 Jacob Vosmaer Bachelor CKI, Universiteit Utrecht 22 maart 2011 Tijdscomplexiteit Inleiding Grote O en kleine o Complexiteitsanalyse van een simpele taal Complexiteitsverschillen

Nadere informatie

Algoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens

Algoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Algoritmes in ons dagelijks leven Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Wat is een algoritme? Een algoritme is een eindige reeks instructies die vanuit een gegeven begintoestand naar een beoogd

Nadere informatie

Fundamentele Informatica

Fundamentele Informatica Fundamentele Informatica (IN3120 en IN3005 DOI nwe stijl) 20 augustus 2004, 9.00 11.00 uur Het tentamen IN3120 bestaat uit 10 meerkeuzevragen en 2 open vragen. Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal 65

Nadere informatie

4. Exponentiële vergelijkingen

4. Exponentiële vergelijkingen 4. Exponentiële vergelijkingen Exponentiële vergelijkingen De gelijkheid 10 3 = 1000 bevat drie getallen: 10, 3 en 1000. Als we van die drie getallen er één niet weten moeten we hem kunnen berekenen. We

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken

Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken Joost J. Joosten 14 december 2005 Praag en bier Sinds enkele maanden werk ik als post-doc aan de Czech Academy of Sciences in Praag.

Nadere informatie

Vijfde college complexiteit. 21 februari Selectie Toernooimethode Adversary argument

Vijfde college complexiteit. 21 februari Selectie Toernooimethode Adversary argument Complexiteit 2017/05 College 5 Vijfde college complexiteit 21 februari 2017 Selectie Toernooimethode Adversary argument 1 Complexiteit 2017/05 Opgave 28 Gegeven twee oplopend gesorteerde even lange rijen

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Datastructuren. Analyse van algoritmen. José Lagerberg. FNWI, UvA. José Lagerberg (FNWI, UvA) Datastructuren 1 / 46

Datastructuren. Analyse van algoritmen. José Lagerberg. FNWI, UvA. José Lagerberg (FNWI, UvA) Datastructuren 1 / 46 Datastructuren Analyse van algoritmen José Lagerberg FNWI, UvA José Lagerberg (FNWI, UvA) Datastructuren 1 / 46 Datastructuren en Algoritmen Datastructuren, 6 ECTS eerstejaars Bachelor INF Datastructuren,

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe

Nadere informatie

Mastermind met acht kleuren

Mastermind met acht kleuren Geschreven voor het vak: Wiskunde gedoceerd door H. Mommaerts Onderzoekscompetentie Mastermind met acht kleuren Auteurs: Tom Demeulemeester Pieter Van Walleghem Thibaut Winters 6LWIi 22 april 2014 1 Inleiding

Nadere informatie

Bouwplaat. Datastructuren Opgave 6, Voorjaar

Bouwplaat. Datastructuren Opgave 6, Voorjaar 1 Achtergrond Bouwplaat Datastructuren Opgave 6, Voorjaar 2016 1 Het bedrijf Mijn Bouwplaat BV levert gepersonaliseerde bouwplaten Klaar terwijl u wacht. Nadat klanten thuis een ontwerp hebben gemaakt

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden.

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Uitleg Welkom bij de Beverwedstrijd 2006 Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Je krijgt 5 vragen van niveau A, 5 vragen van niveau B en 5 vragen van niveau C. Wij denken

Nadere informatie

Analyse. Samenvatting: logaritmen. Frank Derks Gerard Heijmeriks www.demathe.nl

Analyse. Samenvatting: logaritmen. Frank Derks Gerard Heijmeriks www.demathe.nl Analyse Samenvatting: logaritmen Frank Derks Gerard Heijmeriks www.demathe.nl 1. Inhoudsopgave 1. Inhoudsopgave... 2 2. Exponentiële functies... 3 2.1. Inleiding... 3 2.2. Groeifactoren en groeipercentages...

Nadere informatie

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 -

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 - Wiskunde 0 maart 04 versie - -. a 3 a =. a.. 6.,AppB./ a 4 3. a 3. Rekenregels voor machten: als je twee machten op elkaar deelt, trek je de exponenten van elkaar af. De exponent van a wordt dan =. 3 6

Nadere informatie

Hoofdstuk 13: Sorteren & Filteren* 2010

Hoofdstuk 13: Sorteren & Filteren* 2010 Hoofdstuk 13: Sorteren & Filteren* 2010 13.0 Inleiding Spreadsheets bieden meer grip op gegevens. De twee beste manieren om meer grip te krijgen, is door de gegevens te sorteren of door bepaalde waarden

Nadere informatie

Exponentiële vergelijkingen en groei

Exponentiële vergelijkingen en groei Exponentiële vergelijkingen en groei De gelijkheid 10 2 = 100 bevat drie getallen: 10, 2 en 100. Als we van die drie getallen er één niet weten moeten we hem kunnen berekenen. We kunnen dus drie gevallen

Nadere informatie

Set 1 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)

Set 1 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) 1 Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Set 1 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) 2014-2015 1. (Het sleutelprobleem) In een denkbeeldige wedstrijd kunnen deelnemers auto s

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Ieder tweetal heeft nodig: Een kopie van de slagschipspelletjes: 1. 1A, 1B voor spel A, 2B voor spel A, 3B voor spel 3

Ieder tweetal heeft nodig: Een kopie van de slagschipspelletjes: 1. 1A, 1B voor spel A, 2B voor spel A, 3B voor spel 3 Activiteit 6 Slagschepen Zoekalgoritme Samenvatting Computers zijn vaak nodig om informatie te vinden in grote hoeveelheden data. Ze moeten een snelle en efficiënte manier ontwikkelen om dit te doen. Deze

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie

Uitwerkingen hoofdstuk K deel A3 Grafen en Matrices

Uitwerkingen hoofdstuk K deel A3 Grafen en Matrices 1 Uitwerkingen hoofdstuk K deel A3 Grafen en Matrices 1. Er zijn 3. 2. 1 = 6 rondritten mogelijk. Iedere keer 2 ritten met dezelfde lengte wege de mogelijkheid de omgekeerde richting. b. De kortste ritten

Nadere informatie

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde Een miljoen dollar verdienen in de kerstvakantie? Het enige dat u hoeft te doen, is een polynomiaal algoritme te vinden om een sudoku mee op te lossen. Niels Oosterling schetst waar u dan rekening mee

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen

WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen 1 C D O A O B Omdat driehoek ACD gelijkbenig is, is CAD = ACD en daarmee zien we dat 2 CAD+ ADC = 180. Maar we weten ook dat 180 = ADC + ADB. Dus ADB = 2 CAD. Driehoek

Nadere informatie

Logaritmische functie

Logaritmische functie Logaritmische functie WISNET-HBO update aug 2013 1 Inleiding De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van logaritmen. Voorkennis van de rekenregels van machten is voor deze les beslist

Nadere informatie

Krulgetallen en een heel langzaam stijgende rij. D. C. Gijswijt

Krulgetallen en een heel langzaam stijgende rij. D. C. Gijswijt krulgetal.tex 11 oktober 2015 ²J1 Krulgetallen en een heel langzaam stijgende rij. D. C. Gijswijt Krulgetallen Bekijk eens het volgende rijtje: 2, 1, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 3. Dit rijtje

Nadere informatie

INHOUD MODULE voor WISKUNDE D voor het vwo

INHOUD MODULE voor WISKUNDE D voor het vwo INHOUD MODULE voor WISKUNDE D voor het vwo DISCRETE WISKUNDE Hoofdstuk 1 Minimaal opspannende bomen blz 2 Hoofdstuk 2 Kortste pad (nog toe te voegen) blz 14 Hoofdstuk 3 TSP-probleem blz 15 3.1 Inleiding

Nadere informatie

Computationele Intelligentie

Computationele Intelligentie Computationele Intelligentie Uitwerking werkcollege Representatie, Ongeïnformeerd zoeken, Heuristisch zoeken 1 lokkenwereld a. De zoekboom die door het dynamische breadth-first search algoritme wordt gegenereerd

Nadere informatie

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1 Oefeningen voor de oefeningenles Oefening 1 Gegeven een arbitraire binaire zoekboom T met n toppen en een (andere of gelijke) binaire zoekboom T die ook n sleutels bevat. Beschrijf een algoritme dat in

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Tiende college algoritmiek 14 april 2016 Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS 1 Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Houtzaagmolen

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A (oude stijl)

Examen HAVO. Wiskunde A (oude stijl) Wiskunde (oude stijl) Examen HVO Hoger lgemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak Donderdag 23 mei 3.3 6.3 uur 2 2 Voor dit examen zijn maximaal 9 punten te behalen; het examen bestaat uit 2 vragen. Voor elk

Nadere informatie

Cursus Excel voor beginners (6) Functies.

Cursus Excel voor beginners (6) Functies. Cursus Excel voor beginners (6) Functies. Handleiding van Auteur: CorVerm September 2008 Functies in Excel. Laten we eerst even kijken wat een functie is. Een functie bestaat uit een aantal argumenten

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Populatie: een intuïtieve definitie.... Een

Nadere informatie

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur

Nadere informatie

LES: Betaal gepast 2. inzicht ontwikkelen in deelbaarheid en factoren van getallen. BENODIGDHEDEN Per leerling

LES: Betaal gepast 2. inzicht ontwikkelen in deelbaarheid en factoren van getallen. BENODIGDHEDEN Per leerling LES: Betaal gepast 2 DOEL oefenen van keersommen en deelsommen (groter dan de tafels van 1 t/m 10); bewust worden dat een getal meerdere delers kan hebben; inzicht ontwikkelen in de verbanden tussen keersommen

Nadere informatie

De kleur op zich maakt niet uit voor elk van die paren, maar er is wel verschil in waarde tussen ongelijke/gelijke

De kleur op zich maakt niet uit voor elk van die paren, maar er is wel verschil in waarde tussen ongelijke/gelijke Om goed te kunnen pokeren, is psychologisch inzicht natuurlijk belangrijk. Een speler moet inschatten of zijn tegenstander bluft en zijn eigen strategie zo goed mogelijk verbergen. Je zou zeggen dat geluk

Nadere informatie

LES: Post. BENODIGDHEDEN Per leerling werkblad Postzegels (zie p. 5) potlood en gum AFBEELDING SPELLETJE

LES: Post. BENODIGDHEDEN Per leerling werkblad Postzegels (zie p. 5) potlood en gum AFBEELDING SPELLETJE LES: Post DOEL bewust worden dat bij een aantal postzegels met dezelfde waarde een keersom hoort; oefenen van keersommen; bewust worden dat gerelateerde keersommen gebruikt kunnen worden bij het uitrekenen

Nadere informatie

9.1 Gemiddelde, modus en mediaan [1]

9.1 Gemiddelde, modus en mediaan [1] 9.1 Gemiddelde, modus en mediaan [1] De onderstaande frequentietabel geeft aan hoeveel auto s er in een bepaald uur in een straat geteld zijn. Aantal auto s per uur 15 16 17 18 19 20 21 frequentie 2 7

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Het Land van Oct Marte Koning Frans Ballering Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Hoofdstuk 1 Inleiding Hoi, ik ben de Vertellende Teller, en die naam heb ik gekregen na mijn meest bekende reis, de reis

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Grafieken van veeltermfuncties

Grafieken van veeltermfuncties (HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen

Nadere informatie

Hoofdstuk 16: Zoek- en verwijzingsfuncties

Hoofdstuk 16: Zoek- en verwijzingsfuncties Hoofdstuk 16: Zoek- en verwijzingsfuncties 16.0 Inleiding Eén van de belangrijkste functies binnen Excel is de mogelijkheid om te zoeken naar een specifieke waarde binnen een groot aantal cellen met gegevens.

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Engelse woordjes. Het is ook een leermiddel dat docenten op school en ouders thuis kunnen gebruiken.

Engelse woordjes. Het is ook een leermiddel dat docenten op school en ouders thuis kunnen gebruiken. Inleiding Tam Tam is niet zomaar een spel. Het is ook een leermiddel dat docenten op school en ouders thuis kunnen gebruiken. Alle spellen zijn in nauw overleg met specialisten ontworpen, met speciale

Nadere informatie

WISNET-HBO. update aug. 2011

WISNET-HBO. update aug. 2011 Basiskennis van machten WISNET-HBO update aug. 0 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 (spreek uit: a tot de vierde macht) een macht van a (in dit geval de vierde

Nadere informatie

Basisvaardigheden Microsoft Excel

Basisvaardigheden Microsoft Excel Basisvaardigheden Microsoft Excel Met behulp van deze handleiding kun je de basisvaardigheden leren die nodig zijn om meetresultaten van een practicum te verwerken. Je kunt dan het verband tussen twee

Nadere informatie

Kardinal & König Goldsieber, 2000 SCHACHT Michael 3-5 spelers vanaf 12 jaar ± 90 minuten

Kardinal & König Goldsieber, 2000 SCHACHT Michael 3-5 spelers vanaf 12 jaar ± 90 minuten Kardinal & König Goldsieber, 2000 SCHACHT Michael 3-5 spelers vanaf 12 jaar ± 90 minuten Spelidee Europa was het machtscentrum in de twaalfde eeuw. Invloedrijke ordes bestreden elkaar voor de hegemonie

Nadere informatie

De vruchten van een hype: nieuwe en onmogelijke Franklin vierkanten

De vruchten van een hype: nieuwe en onmogelijke Franklin vierkanten De vruchten van een hype: nieuwe en onmogelijke Franklin vierkanten Arno van den Essen June 1, 2007 De recente hype rond het zogenaamde HSA-vierkant heeft in Nederland een ware magische vierkantenrage

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen. Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 2: Roosters en ongeordende grepen (deze les sluit aan bij de paragrafen 3 en 4 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

WELKOM BIJ BOMBERBOT! LES 2: SEQUENTIES I LES 2: SEQUENTIES I WAAR GAAT DEZE LES OVER? INTRODUCTIE

WELKOM BIJ BOMBERBOT! LES 2: SEQUENTIES I LES 2: SEQUENTIES I WAAR GAAT DEZE LES OVER? INTRODUCTIE WELKOM BIJ BOMBERBOT! Bij onze lessen horen ook nog een online game, waarin de leerlingen de concepten die ze geleerd krijgen direct moeten toepassen, en een online platform, waarin u de voortgang van

Nadere informatie

INHOUD. 50 speelkaarten:

INHOUD. 50 speelkaarten: VAN REINHARD STAUPE Aantal spelers: 2 6 Leeftijd: vanaf 8 jaar Spelduur: ca. 10 minuten INHOUD 50 speelkaarten: Op elke kaart staat een rode, een gele, een groene en een blauwe vlieger afgedrukt. Op iedere

Nadere informatie

-

- Een strategisch spel voor 2 spelers - vanaf 8 jaar. Duurtijd: ca. 30 minuten. 1 houten spelbord (dit spel maakt geen gebruik van de rode stippen op het spelbord) 14 lichte pionnen 14 donkere pionnen De

Nadere informatie

Basisvaardigheden Microsoft Excel

Basisvaardigheden Microsoft Excel Basisvaardigheden Microsoft Excel Met behulp van deze handleiding kun je de basisvaardigheden leren die nodig zijn om meetresultaten van een practicum te verwerken. Je kunt dan het verband tussen twee

Nadere informatie

Stroomschema s maken in Word

Stroomschema s maken in Word 1 Stroomschema s maken in Word Een programma direct maken in Scratch gaat vaak wel goed als het een klein programma is. Als het programma groter en moeilijker is, is het lastig om goed te zien welk commando

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

LES: Kikker 2. BENODIGDHEDEN Per leerling werkblad Welk vriendje helpt? (zie p. 5) potlood en gum AFBEELDING SPELLETJE

LES: Kikker 2. BENODIGDHEDEN Per leerling werkblad Welk vriendje helpt? (zie p. 5) potlood en gum AFBEELDING SPELLETJE LES: Kikker 2 DOEL oefenen van uit het hoofd oproepen van keersommen met antwoord; inzicht ontwikkelen in hoe verbanden tussen keersommen kunnen helpen bij het oplossen van nieuwe keersommen en welke verbanden

Nadere informatie

De stamboom!!!!!!! voor de docent! Hoeveel voorouders heb je als je teruggaat in de tijd?

De stamboom!!!!!!! voor de docent! Hoeveel voorouders heb je als je teruggaat in de tijd? De stamboom voor de docent Hoeveel voorouders heb je als je teruggaat in de tijd? Vooraf.. Je hebt twee ouders. Beiden hebben ze ook twee ouders: je opa en oma. Ook zij hebben weer ouders: je overgrootouders.

Nadere informatie

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

Uitwerkingen Sum of Us

Uitwerkingen Sum of Us Instant Insanity Uitwerkingen Sum of Us Opgave A: - Opgave B: Voor elk van de vier kubussen kun je een graaf maken die correspondeert met de desbetreffende kubus. Elk van deze grafen bevat drie lijnen.

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Afspraken en notaties

Hoofdstuk 1. Afspraken en notaties Hoofdstuk 1 Afspraken en notaties In deze tekst onderzoeken we een eenvoudig dobbelspel: twee spelers hebben een dobbelsteen, gooien deze, en wie het hoogst aantal ogen gooit wint. Er blijken setjes dobbelstenen

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

Examen VWO 2015. wiskunde C. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2015. wiskunde C. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2015 tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur wiskunde C Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

LES: Snelle sommen 2. BENODIGDHEDEN Per leerling werkblad Snelle stappen (zie p. 5) potlood, 2 verschillende kleurpotloden, gum AFBEELDING SPELLETJE

LES: Snelle sommen 2. BENODIGDHEDEN Per leerling werkblad Snelle stappen (zie p. 5) potlood, 2 verschillende kleurpotloden, gum AFBEELDING SPELLETJE LES: Snelle sommen 2 DOEL oefenen van het snel uitrekenen van keersommen die worden weergegeven door een aantal muntjes van gelijke waarde; bewust worden dat strategieën kunnen helpen om keersommen snel

Nadere informatie

Met de functies Verticaal zoeken of Horizontaal zoeken kun je gegevens in het rekenblad laten opzoeken en weergeven.

Met de functies Verticaal zoeken of Horizontaal zoeken kun je gegevens in het rekenblad laten opzoeken en weergeven. Formules functies verticaal en horizontaal zoeken Excel Met de functies Verticaal zoeken of Horizontaal zoeken kun je gegevens in het rekenblad laten opzoeken en weergeven. Opbouw van de functie Verticaal

Nadere informatie

Dag. Maand. Selecteer het jaar met de pijltoetsen. Jaar

Dag. Maand. Selecteer het jaar met de pijltoetsen. Jaar 1. Agenda Met de Agenda van de Milestone 312 kunt u afspraken, verjaardagen, taken, enz. vastleggen en bijhouden. U regelt uw dagelijkse zaken goed en overzichtelijk met deze krachtige toepassing van de

Nadere informatie

EEN RAADSELACHTIG SPEL OVER MAFFE CULINAIRE CONFLICTEN.

EEN RAADSELACHTIG SPEL OVER MAFFE CULINAIRE CONFLICTEN. 2 4 spelers (meer als je meerdere sets combineert) Speelduur: 30 minuten EEN RAADSELACHTIG SPEL OVER MAFFE CULINAIRE CONFLICTEN. In dit spel stuurt de speler een groep obers en keukenhulpjes aan, die zo

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

P2 Exponentiële groei

P2 Exponentiële groei P2 Exponentiële groei Opgave 1 a. Zet in Excel in A1: Aantal jaar en in B1: Spaarbedrag. b. Zet in A2-A11 de getallen 1 t/m 10. Handig doen. Zie hulp bij Excel blad 6. c. Zorg met een formule dat er in

Nadere informatie

LES: Betaal gepast. BENODIGDHEDEN Per leerling werkblad Munten of briefjes (zie p. 5) potlood en gum AFBEELDING SPELLETJE

LES: Betaal gepast. BENODIGDHEDEN Per leerling werkblad Munten of briefjes (zie p. 5) potlood en gum AFBEELDING SPELLETJE LES: Betaal gepast DOEL oefenen van keersommen en deelsommen (groter dan de tafels van 1 t/m 10); bewust worden dat een getal meerdere delers kan hebben; inzicht ontwikkelen in de verbanden tussen keersommen

Nadere informatie

Recapitulatie: Ongeïnformeerd zoeken. Zoekalgoritmen ( ) College 2: Ongeïnformeerd zoeken. Dynamische breadth-first search

Recapitulatie: Ongeïnformeerd zoeken. Zoekalgoritmen ( ) College 2: Ongeïnformeerd zoeken. Dynamische breadth-first search Recapitulatie: Ongeïnformeerd zoeken Zoekalgoritmen (009 00) College : Ongeïnformeerd zoeken Peter de Waal, Tekst: Linda van der Gaag een algoritme voor ongeïnformeerd zoeken doorzoekt de zoekruimte van

Nadere informatie

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint.

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint. Training Vergelijkingen met logaritmen WISNET-HBO update jan. 0 Inleiding Voor deze training heb je nodig: de rekenregels van machten de rekenregels van de logaritmen Zorg dat je het lijstje met rekenregels

Nadere informatie

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang?

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang? 4. tellen & kansen 4.1 Tellen Herkennen Je kunt een vraag over telproblemen herkennen aan signaalwoorden: - hoeveel mogelijkheden, manieren, routes, volgordes etc. zijn er?, - bereken het aantal mogelijkheden/manieren

Nadere informatie

1 Binaire plaatjes en Japanse puzzels

1 Binaire plaatjes en Japanse puzzels Samenvatting Deze samenvatting is voor iedereen die graag wil weten waar mijn proefschrift over gaat, maar de wiskundige notatie in de andere hoofdstukken wat te veel van het goede vindt. Ga er even voor

Nadere informatie

Zoek- en sorteeralgoritmen en hashing

Zoek- en sorteeralgoritmen en hashing Zoek- en sorteeralgoritmen en hashing Femke Berendsen (3689301) en Merel van Schieveen (3510190) 9 april 2013 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Zoek- en sorteeralgoritmen 3 2.1 Grote O notatie..........................

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

Herr der Ziegen Amigo, 2008 Günter BURKHARDT 2-5 spelers vanaf 8 jaar ± 60 minuten

Herr der Ziegen Amigo, 2008 Günter BURKHARDT 2-5 spelers vanaf 8 jaar ± 60 minuten Herr der Ziegen Amigo, 2008 Günter BURKHARDT 2-5 spelers vanaf 8 jaar ± 60 minuten Spelmateriaal! 121 kaarten! 90 geitenkaarten (telkens 5 kaarten van 18 geitensoorten met een waarde van 1-5)! 15 hondenkaarten!

Nadere informatie

2 Recurrente betrekkingen

2 Recurrente betrekkingen WIS2 1 2 Recurrente betrekkingen 2.1 Fibonacci De getallen van Fibonacci Fibonacci (= Leonardo van Pisa), 1202: Bereken het aantal paren konijnen na één jaar, als 1. er na 1 maand 1 paar pasgeboren konijnen

Nadere informatie