Logica voor Informatica. Propositielogica. Normaalvormen en Semantische tableaux. Mehdi Dastani

Transcriptie

1 Logica voor Informatica Propositielogica Normaalvormen en Semantische tableaux Mehdi Dastani Intelligent Systems Utrecht University

2 Literals Een literal is een propositieletter, of de negatie van een propositieletter, bijvoorbeeld: p, q, r, r Literals = {p, p p is een propositieletter} Als φ is een literal, dan φ is het complement van φ. p = p en p = p

3 Normaalvormen Disjunctieve normaalvorm (DNF) Disjunctie van conjuncties van literals (r q r) ( q s t) ( p r) Conjunctieve normaalvorm (CNF) Conjunctie van disjuncties van literals (r q r) ( q s t) ( p r)

4 Disjunctieve normaalvormen (DNF) (r q r) ( q r) ( p r) Een DNF is vervulbaar d.e.s.d.a. tenminste een component vervulbaar is. Een component is vervulbaar d.e.s.d.a. er geen complementair paar literals in voorkomt. Dus, een DNF is vervulbaar d.e.s.d.a. een component geen complementair paar literals bevat. Een DNF is een contradictie d.e.s.d.a. er geen component vervulbaar is.

5 Converteren naar DNF m.b.v. waarheidtafel (p q) p p q p q (p q) p F F T F F T T F T F F T T T T T (p q) (p q)

6 Converteren naar DNF m.b.v. herschrijven 1. Elimineer dmv A B A B 2. Elimineer dmv A B ( A B) ( B A) 3. Pas distributieve wet A (B C) (A B) (A C) (A B) C (A C) (B C) 4. Breng negatietekens binnen haakjes (A B) A B en (A B) A B 5. Elimineer dubbele negaties mbv A A

7 Conjunctieve normaalvormen (CNF) (r q r) ( q r t) ( p r) Een CNF is vervulbaar d.e.s.d.a. alle componenten vervulbaar zijn. Een CNF is een tautologie d.e.s.d.a. alle componenten tautologieen zijn. Een component is een tautologie d.e.s.d.a. er een complementair paar literals in voorkomt. Dus, een CNF is een tautologie d.e.s.d.a. in alle componenten een complementair paar literals voorkomen.

8 Converteren naar CNF m.b.v. herschrijven ( p ( q r)) s ( p ( q r)) s s ( p ( q r)) ( p ( q r)) s s ( p ( q r)) ( p (q r)) s s ( p (q r)) ( p (q r)) s s ( p (q r)) ( p (q r)) s s ( p (q r)) (p ( q r)) s s ( p (q r)) ((p q) (p r)) s ( s p) ( s (q r)) ((p q) s) ((p r) s) ( s p) ( s (q r)) (p q s) (p r s) ( s p) ( s q r)

9 Converteren naar CNF via DNF Laat A een willekeurige propositie zijn. Converteer A naar DNF vorm, bijv. A = (p 1 p 2...) (q 1 q 2...)... CNF van A is dan A = ((p 1 p 2...) (q 1 q 2...)...) = (p 1 p2...) (q 1 q 2...)... = ( p 1 p 2...) ( q 1 q 2...)...

10 Toepassing: logische circuits

11 Van waarheidstafel naar circuit Gegeven een (waarheidstafel voor een) waarheidsfunctie R kunnen we op systematische manier een logisch circuit maken dat R realiseert: Beschouw alle rijen waarvoor v(r) = T Iedere rij levert een disjunct op die zelf bestaat uit een conjunctie van literals Vereenvoudig zo mogelijk mbv regels voor

12 Voorbeeld A B C R(A, B, C) F F F F F F T F F T F T F T T F T F F F T F T T T T F T T T T F Deze procedure levert nu op voor R: ( A B C) (A B C) (A B C) Dit is logisch equivalent ( ) met: (B C) (A B C) Hiervoor circuit maken

13 Alternatieve methoden om geldigheid formules te bepalen In de praktijk is het werken met waarheidstafels onhandig omdat ze erg groot worden in een beetje realistische toepassing: een waarheidstafel met n atomen heeft 2 n rijen. Voor het vaststellen van geldigheid alle rijen te bekijken: (te)veel werk. Zoeken naar alternatieven: bijvoorbeeld door semantische tableaux en (natuurlijke) deductie.

14 Semantische tableaux

15 Semantische tableaux Een semantisch tableau is een (vertakkende) sequentie van propositionele formules, geconstrueerd volgens bepaalde regels, vaak gerepresenteerd in een boom. Deze methode levert modellen voor een formule als deze bestaan: ze geeft op systematische wijze aan welke atomen waar moeten worden gemaakt om een formule waar te maken, en geeft ook aan als dit niet kan!

16 Semantische tableaux Kan een verzameling proposities waar zijn, d.w.z. kan een verzameling proposities een model hebben. Voorbeeld: kan { p q, p } een model hebben? p q p p, q p X

17 Regels semantische tableaux Regel ( -links) Regel ( -rechts) φ ψ φ ψ φ, ψ φ ψ

18 Regels semantische tableaux Regel ( -links) Regel ( -rechts) φ ψ φ ψ φ ψ φ, ψ

19 Regels semantische tableaux Regel ( -links) Regel ( -rechts) φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ

20 Regels semantische tableaux Regel ( -links) Regel ( -rechts) φ ψ φ ψ φ ψ, ψ φ φ ψ ψ φ

21 Regels semantische tableaux Regel ( -links) Regel ( -rechts) φ φ φ φ

22 Regels semantische tableaux Regel 0 Als een logische formule φ in beide kanten van in een tak voorkomt, dan is φ inconsistent en wordt de tak gesloten ( closed ).

23 Voorbeeld: { (p q), p q } is inconsistent. (p q), p q p q p p q p q closed p q p q closed

24 Wel of geen modellen? Als alle takken sluiten dan is de verzameling proposities waar je mee begon inconsistent (d.w.z. heeft geen model) Als minstens een tak open blijft, geeft de tak een model voor de verzameling proposities!

25 Voorbeeld: { p, q, q p } is inconsistent? p, q, q p q closed p p closed

26 Voorbeeld: { p, q, q p } is inconsistent? p, q p q q p p closed Model: v(q) = F, v(p) = T

27 Geldigheid van een formule Semantische tableaux leveren een systematische manier om modellen van een propositie te vinden Als een propositie geen modellen heeft, is deze inconsistent Geldigheid van een formule is indirect te checken φ is geldig (tautologie) φ is inconsistent (contradictie)

28 Voorbeeld: p ( q p) is geldig (tautologie) (p ( q p)) p ( q p) p, q p q p, p p p, q closed

29 Semantische tableaux en logisch gevolg We kunnen de semantische tableaux methode ook gebruiken om logisch gevolg te onderzoeken. Beschouw weer het logisch gevolg: regen nat, regen = nat De geldigheid hiervan is aan te tonen door te controleren of de verzameling { regen nat, regen, nat } inconsistent is, d.w.z. geen modellen heeft.

30 Semantische tableaux en logisch gevolg regen nat, regen nat regen closed nat closed Er zijn dus geen modellen voor { regen nat, regen, nat }, ofwel deze verzameling is inconsistent. Dus, logisch gevolg regen nat, regen = nat is correct.

31 Semantische tableaux en logisch gevolg regen nat, nat = regen is niet correct. We laten met semantische tableaux zien dat de verzameling { regen nat, nat, regen } consistent is, d.w.z. een model heeft. regen nat, nat regen regen open nat open Model: v(regen) = F, v(nat) = T

32 Nogmaals Logische Gevolg en Model Model (Interpretatie): m = ψ Het model m (of interpretatie m) maakt ψ waar. Merk op dat een model een rij van de waarheidstafel is. Logische Gevolg: φ 1,..., φ n = ψ Elk model van proposities φ 1,..., φ n is ook een model van propositie ψ.

33 Semantische tableaux: Correctheid Gezondheid Als φ 1,..., φ n = ψ, dan elk mogelijk tableaux beginnend met φ 1,..., φ n ψ heeft tenminste een open tak. Volledigheid Als φ 1,..., φ n = ψ, dan elk mogelijk tableaux beginnend metφ 1,..., φ n ψ bestaat uit alleen takken die gesloten kunnen worden.

34 Normaalvormen met tableaux DNF van een propositie ϕ is te verkrijgen door een tableaux te maken voor ϕ. CNF van een propositie ϕ is te verkrijgen door een tableaux te maken voor ϕ. Alle bladeren die een tegenvoorbeeld representeren moeten worden ontkent om te voorkomen dat ϕ onwaar wordt. (p q) p p q p q (p q) p p (p q) p p q p q p p ( q p) p